unidad #5 sistemas de varios grados de libertad
29 de Julio de 2015[unidad #5 sistemas de varios grados de
libertad]
INSTITUTO TECNOLGICO DE PIEDRAS NEGRAS
MATERIA: VIBRACIONES MECNICASTEMA:UNIDAD #5 ALUMNORAUL ALAIN
RAMIREZ CUADRADO
No. CONTROL 14430005
CARRERA: ING. MECATRNICA
PROFESOR: ING. CHIO SALINAS MARTIN
INDICE
5.1 Vibraciones de modo normal.3
5.2 Acoplamiento De Coordenadas.5
5.3 Ortogonalidad de los modos de vibracin..8
5.4 Anlisis modal; coordenadas normales.11
5.5 Vibracin libre.14
5.6 vibraciones forzadas y absorcin de vibraciones20
5.1 Vibraciones de modo normalUnmodo normalde unsistema
oscilatorioes la frecuencia a la cual la estructura deformable
oscilar al ser perturbada. Los modos normales son tambin llamados
frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cada
estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es nico.Es
usual utilizar un sistema formado por una masa y un resorte para
ilustrar el comportamiento de una estructura deformable. Cuando
este tipo de sistema es excitado en una de sus frecuencias
naturales, todas las masas se mueven con la misma frecuencia. Las
fases de las masas son exactamente las mismas o exactamente las
contrarias.
El significado prctico puede ser ilustrado mediante un modelo de
masa y resorte de un edificio. Si un terremoto excita al sistema
con una frecuencia prxima a una de las frecuencias naturales el
desplazamiento de un piso (nivel) respecto de otro ser mximo.
El Modo normal incluye 2 efectos:
1. Frecuencia de resonancia: (la fuente sonora puede generar
alguna de las frecuencias naturales o de resonancia del aire
encerrado dentro de la sala) 1. Onda estacionaria cuando el aire
entra en resonancia la presin sonora dentro del recinto presentar
mximos (antinodos) y mnimos (nodos)depresin sonora).
Modos normalesSupongamos, que el sistema vibra en un modo de
frecuenciaw. Cada partculadescribir un M.A.S. de la misma
frecuenciawy fasej, pero cuya amplitudAivamos a
calcular.yi=Aicos(wt+j)Introduciendo esta expresin en la ecuacin
diferencial que describe el movimiento de cada partcula, obtenemos,
la relacin entre las amplitudes de los M.A.S. de las
partculasi+1,i, ei-1.
Vamos a buscar una solucin a esta ecuacin de la
formaAi=Asen(kia)dondekes el nmero de ondak=2p/l.Despus de algunas
operaciones, se obtiene
y finalmente,
Esta ecuacin que relaciona la frecuencia angularwcon el nmero de
ondak, se denominarelacin de dispersin.Aplicaremos laslongitudes de
contornopara la solucin buscadaAi=Asen(kia)Las partculas
imaginarias situadas en las posiciones extremasi=0, ei=N+1, estn
fijas, de aqu se obtiene los posibles valores del nmero de onda o
de la longitud de onda.AN+1=Asen(ka(N+1))=0, se cumple
cuandoka(N+1)=np
La frmula de las frecuencias angulares de los distintos modos de
vibracin son
DondeKes la constante del muelle,mla masa de las partculas, que
hemos tomado como unidad,Nel nmero de partculas del sistema.En la
figura, se muestra la relacin de dispersin para un sistema de 3
partculas. La curva continua en color azul es la representacin de
la frecuencia angularw en funcin del nmero de ondak, cuyo valor
mximose obtiene parak=p/a.Los puntos en color rojo sobre la curva
continua sealan las frecuencias de los tres modos de vibracin.
Fig. 1En el siguiente applet se van a mostrar de forma animada
el movimiento de las partculas del sistema en el modo normal de
vibracin seleccionado.En la parte inferior del applet, se
representa en el eje vertical el desplazamiento de cada una de las
partculas.Como ejercicio se recomienda representar grficamente, la
frecuencia de los distintos modos en funcin del nmero de onda (o
del nmero del modon), tomando como modelo la figura
anterior.Observar los modos de vibracin de un sistema compuesto por
muchas partculas y muelles, por ejemplo, 20, y compararlos con los
modos de vibracin de una cuerda uondas estacionarias en una
cuerdasujeta por ambos extremos.5.2 Acoplamiento De
CoordenadasUnacoplamiento de coordenadas es una serie de
acoplamientos donde las coordenadas concuerdan formando una cadena
cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Es similar a un
acoplamiento mecnico que tiene uno o ms ligas, y stas tienen
diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre
los ligamentos. Un acoplamiento es llamadomecanismosi dos o ms
ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fijo. Los
acoplamientos mecnicos son usualmente designados en tener una
entrada, y producir una salida, alterando el movimiento, velocidad,
aceleracin, y aplicando una ventaja mecnica.Se denominan
informalmentecoordenadas generalizadas(acoplamiento de coordenadas)
a un conjunto cualquiera de parmetros numricos que sirven para
determinar de manera unvoca la configuracin de unmecanismoo sistema
mecnico con un nmero finito degrados de libertad. Ms formalmente,
las coordenadas generalizadas se definen como un sistema
decoordenadas curvilneassobre la variedad de configuracin de un
sistema fsico como por ejemplo elespacio de configuracino elespacio
de fasesde la mecnica clsica.El nmero mnimo de coordenadas
generalizadas para definir el estado del sistema se conoce
como:coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas
pueden serabsolutas(referidas a un slido inmvil, respecto del cual
el mecanismo "se mueve"); o bien pueden serrelativasa otro miembro
del mecanismo.
Nocin intuitivaLamecnica newtonianausa sistemas de referencia
con ejes cartesianos en que la posicin de una partcula puntual en
un instante dado viene dada por un vector del espacio eucldeo.Las
ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que
relacionan las derivadas de la posicin con la posicin de las otras
partculas. Sin embargo, matemticamente podemos usar un conjunto de
coordenadas curvilneas cualesquiera tales que el vector posicin
pueda ser expresado en trminos de esas coordenadas y viceversa.
Esto implica que en un sistema dePpartculas (y 2Ngrados de
libertad) existirn funciones invertibles de la otra tales que:
Nocin formalFormalmente, enmecnica lagrangianaelestado fsicode
un sistema mecnico, tambin llamado estado de movimiento, viene
representado por un punto del espacio de configuracin"ampliado".
Este espacio se designa porTQy matemticamente es el fibrado
tangente del espacio de configuracinQde posibles posiciones. Por
construccin el espacio de configuracin ampliado tiene una
estructura devariedad diferenciablede dimensin 2N, siendoNel nmero
de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2Nnmeros
anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilneas en trminos
de los cuales representamos la posicin ordinaria de una partcula.De
la discusin anterior se sigue que un conjunto adecuado de
coordenadas generalizadas para un sistema lagrangiano no puede
venir dado por un conjunto cualquiera demnmeros reales sino que
debe existir un conjunto abiertoUdel fibrado tangenteTQy una funcin
de claseCk, con k > 1, tal que:
Un sistema como el anterior se llamasistema natural. Sin
embargo, algunos sistemas admiten coordenadas generalizadas ms
complicadas que dependen adems del tiempo, como se discuti al
principio y esos sistemas requieren ser descritos mediante una
variedad de dimensin 2N+1 siendo los detalles similares.
Oscilaciones acopladasEn ciertos problemas mecnicos sencillos como
el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen
sistemas de coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna
medida directa realizable sobre el sistema fsico, pero tiles en la
resolucin matemtica de los problemas.Un problema deoscilaciones
acopladaspuede resolverse mediante ciertos cambios de variables que
llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios
de vibracin, que son de hecho una forma particular de coordenadas
generalizadas para el problema mecnico original. El problema de
oscilaciones acopladas, aparece por ejemplo en las vibraciones
trmicas de un cristal, o el movimiento horizontal de un edificio en
unterremotoo el movimiento de un sistema de masas unidas por
muelles oresortes. Estos problemas conducen a un sistema de
ecuaciones del siguiente tipo:
Que puede resolverse fcilmente definiendo unas nuevas
coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un
cambio lineal:
Donde la matriz cambio de masa se calcula a partir de losmodos
propiosdel sistema. Con ese cambio el sistema se convierte en un
conjunto deNecuaciones sencillas del tipo:
Cada una de las cuales es de resolucin inmediata. Es interesante
notar que estos modos no son cantidades directamente medibles, sino
slo un sistema de coordenadas con dimensiones de longitud
matemticamente adecuado, pero que de no estn relacionadas de manera
directa o natural con ninguna medicin realizable sobre el
sistema.
5.3 Ortogonalidad de los modos de vibracin
Una propiedad de gran importancia en el estudio de las
vibraciones es la ortogonalidad de los modos. Gracias a ella,
podemos desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtindolas en
N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de
variables conocido como transformacin modal que veremos ms
adelante.
Basndonos en la ecuacin (9.133), particularizada para las
frecuencias naturales i, j y sus modos correspondientes A i y A j,
podemos escribirK Ai= 2 M Ai(9.136)
i
K A j = 2j M A j(9.137)
Premultiplicando la ecuacin (9.136) por el vector A j
transpuesto y la ecuacin (9.137) por el vector Ai transpuesto,
obtenemos
AT K Ai= 2 AT M Ai(9.138)
ji j
ATi K A j = 2j ATiM A j(9.139)
Restando ambas ecuaciones trmino a trmino y teniendo en cuenta
que tanto M como K son simtricas, obtenemos
( i2 2j )A TiM A j = 0(9.140)
Si i y j son valores propios distintos, concluimos que
A TiM A j = 0para i j(9.141)
A TiM A j 0para i = j
Es decir, los vectores propios asociados con valores propios
distintos son ortogonales respecto a la matriz de masas. Debido a
que la matriz de masas es positivo definida queda garantizado que
el producto ATi M Ai no es nulo excepto en el caso en que Ai sea
nulo. Por ello, podemos escribir
A TiM A j= 0para i j
A T M A= m(9.142)
jpara i = j
ii
donde mi es un trmino escalar, positivo y constante. Los modos
de vibracin tambin son ortogonales respecto a la matriz de rigidez.
La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y
de la ecuacin (9.142), lo que conduce a
A TiM A j= 0para i j
A T M A= m(9.142)
jpara i = j
ii
donde mi es un trmino escalar, positivo y constante. Los modos
de vibracin tambin son ortogonales respecto a la matriz de rigidez.
La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y
de la ecuacin (9.142), lo que conduce aA TiK A j= 0para i j
A T K A= m 2= k(9.143)
jpara i = j
ii ii
siendo ki otro trmino escalar, positivo o nulo y constante.
Independencia lineal de los modos de vibracin
La propiedad de ortogonalidad recin vista se puede utilizar para
probar que los modos de vibracin son linealmente independientes.
Como es sabido, el conjunto de vectores A1, A2,, AN es linealmente
independiente si la relacin
c1 A1 + c2 A 2 + + c N AN = 0(9.144)
se cumple slo cuando las constantes c1 ,c2 ,...,cN son nulas.
Premultiplicando la ecuacin (9.144) por ATi M resulta
ci mi = 0(9.145)
Como mi es distinto de cero, se concluye que(9.146)
ci = 0
es decir, los vectores son linealmente independientes.
Probando la ortogonalidad de los modos de vibracin hemos asumido
que los valores propios i2 y 2j eran distintos. En algunos casos
particulares pueden aparecer valores propios repetidos. En un
problema de valores propios general, los vectores propios asociados
con valores propios repetidos pueden ser independientes o no
serlo.Supongamos un valor propio 2con multiplicidad s, de manera
que 2, 2,,2
rrr +1r + s 1
son iguales. Si todos los dems vectores propios son
independientes entre s, el rangode la matriz K 2M es igual a N-s, y
se puede demostrar que el sistema de ecuaciones
r
(K r2 M )A r = 0(9.147)
tiene s soluciones no triviales A r , A r +1 ,, Ar + s 1 que son
linealmente independientes. En el caso de que el rango de la matriz
fuese superior a N-s, esta propiedad no se verificara.
Afortunadamente, se puede demostrar que si las matrices M y K son
reales y simtricas, como ocurre en el caso de los sistemas
mecnicos, los vectores propios aso-ciados a valores propios
repetidos son linealmente independientes.
Ejemplo 10.2.3.2-1
Calculemos las frecuencias y modos de vibracin del ejemplo
10.1-1 para los valores m1 = m2 =1 Kg, c1 = c2 = c3 = 0 y k1 = k2 =
k3 =1 N/m. Particularizando, las ecuaciones del movimiento para el
caso de las vibraciones libres, resulta:
10 x21 x0
011+1 21=0
x2x2
Las frecuencias naturales se calculan de la ecuacin
caracterstica dada por la ecuacin (9.132), que para este caso
es
2 121 02= 0
4
1 2 i01= 4 + 3
La solucin a esta ecuacin bicuadrtica es
2 = 4 2 = 1 2 3
de manera que 12 =1 y 22 = 3 . Para calcular el primer modo de
vibracin, particularizamos la ecuacin (9.133). Para el primer modo,
la ecuacin se convierte en
2 1 11 0A11 1A10
1 20 1=1 1=0
Dando arbitrariamente a la primera componente de A1 el valor de
1, resulta
1 A1 = 1
Anlogamente, para el segundo modo podemos escribir
2 1 31 0A 211A20
1 20 1=11=0
5.4 Anlisis modal; coordenadas normales
La solucin general de las ecuaciones [M]{q} + [K]{q} = {0}, ),
debido a la linealidad de las soluciones, se puede expresar como
una combinacin lineal de las mismas, de la forma
Denominando aki a la componente i del vector propio {ak}, la
expresin anterior se puede escribir en componentes como:
donde se sobreentiende el sumatorio implcito en el ndice
repetido k. Denamos ahora unos coecientes (funcin del tiempo)
que denominamos coordenadas normales. En funcin de ellas
queda
Esta expresin puede interpretarse como un cambio de coordenadas
para obtener uk(t) a partir de las qi(t). La matriz del cambio es
la denida por los coecientes aki, que son constantes en relacin al
tiempo, y que como hemos visto son precisamente las componentes de
los modos normales de vibracin.
Las componentes aki denidos para la expresin constituyen la
llamada Matriz Modal, Es inmediato comprobar que sta est formada
por los modos normales como las,
El cambio de coordenadas establecido por est denido por la
traspuesta de la matriz modal, [A]T. La expresin de la solucin {q}
en funcin de las coordenadas normales {u} es pues:
Es decir
Las coordenadas normales as denidas poseen una propiedad
notable, ya que en funcin de ellas las ecuaciones del movimiento
quedan desacopladas. Al realizar el cambio a las coordenadas
normales, en lugar de un sistema de n ecuaciones simultneas
acopladas, se obtienen n ecuaciones independientes, cada una con
una sola variable, que se pueden solucionar unaa una. En efecto,
sustituyendo en [M]{q} + [K]{q} = {0},
y premultiplicando por la matriz modal [A],
Desarrollando en componentes los productos de matrices en esta
ecuacin, la componente (ij) de [A][M][A]T corresponde a:
es decir, se trata del producto interior a travs de [M] del modo
{ai} (la i de [A]) y el modo {aj} (columna j de [A] T), que como se
vi en son las deltas de Kronecker multiplicadas por las masas
modales. Por tanto el resultado es una matriz diagonal:
En el caso en que la normalizacin se haya hecho con masas
modales unitarias, esta sera la matriz identidad. Anlogamente, el
otro producto de matrices, empleando (), resulta otra matriz
diagonal:
Por lo tanto, la ecuacin [M]{q} + [K]{q} = {0}, queda expresada
en coordenadas normales como
En componentes, equivale a n ecuaciones desacopladas
(independientes)
(sin sumatorio sobre el ndice repetido k).
Ejemplo 1: Sea un pndulo doble, formado por dos masas iguales m
unidas por varillas rgidas sin masa de longitud l, la primera de
las cuales est articulada en un punto jo (gura 2). Estudiar las
pequeas oscilaciones alrededor de la posicin de equilibrio vertical
calculando las frecuencias propias y modos normales de
vibracin.
Figura 2.
Empleando las coordenadas (1, 2) denidas en la gura 1. La
Lagrangiana es:
Las ecuaciones de Lagrange del movimiento resultan:
Las ecuaciones se linealizan despreciando trminos de segundo
orden:
La expresin matricial de las ecuaciones es:
La ecuacin caracterstica resulta
cuyas soluciones son
A partir de stas podemos calcular el vector propio asociado a
cada una, as como la frecuencia propia. El resultado es:
5.5 Vibracin libre
Una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es
desplazado desde una posicin de equilibrio estable, el sistema
tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de
restitucin elsticas o gravitacionales, movindose de un lado a otro
hasta alcanzar su posicin de equilibrio. El intervalo de tiempo
necesario para que el sistema efecte un ciclo completo de
movimiento se llamaperiodo de vibracin, el nmero de ciclos por
unidad de tiempo define lafrecuenciay el desplazamiento mximo del
sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de
vibracin.
Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas.
Cualquier sistema elstico puede tener unavibracin librea
consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es
mantenido nicamente por las fuerzas de restitucin inherentes al
mismo. El sistema bajo vibracin libre vibrar en una o ms de sus
frecuencias naturales, dependientes de la distribucin de su masa y
rigidez.Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras
externas, el movimiento resultante es unavibracin forzada. Cuando
la excitacin es oscilatoria, ya sea peridica o no, como la de un
sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de
excitacin, si sta coincide con una de las frecuencias naturales del
sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar
oscilaciones peligrosamente grandes; as la falla por resonancia de
estructuras como puentes o edificios es una dramtica posibilidad
que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el clculo de las
frecuencias naturales de vibracin es de gran importancia en el
diseo ssmico de estructuras.DEFINICINUna estructura est en vibracin
libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y
comienza a vibrar sin la excitacin de fuerza externa alguna
(p(t)=0).
VIBRACIN LIBRE NO AMORTIGUADA
Figura 3Sistema SDF: vibracin libre sin amortiguamientoLa
ecuacin que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin
amortiguamiento y que no est sometido a la accin de una fuerza
externa es:(1)(2)dondewnes la frecuencia natural en vibracin libre
del sistema y es igual a:(3)El desarrollo de la ecuacin diferencial
4.1 se expone en el Apndice I, y su solucin es:(4)Las
constantesAyBse hallan a partir de las condiciones iniciales:u(0)y,
el desplazamiento y la velocidad iniciales respectivamente.
Obtenindose por lo tanto:(5)Las Figuras 1(a)y 1(b)ilustran el
movimiento de la masa durante un ciclo de vibracin libre del
sistema para la ecuacin 4.5. A partir de estas figuras se observa
que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar
un ciclo de vibracin libre es denominado periodo natural de
vibracin,Tn, y es:(6)La frecuencia cclica natural de vibracin,fn,
es definida como el nmero de ciclos que se repiten en 1 [s] de
tiempo y su valor es:(7)Las propiedades de vibracin natural,wn,
Tnyfn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el trmino
natural es utilizado para enfatizar el hecho de que stas son
propiedades naturales del sistema cuando ste esta en estado de
vibracin libre.El movimiento representado por la ecuacin 5 puede
tambin ser expresado en la forma:(8)
Figura 4Vibracin libre, representacin vectorial Dondeu0es la
magnitud del desplazamiento mximo y es llamada amplitud de
movimiento, la cual esta dada por:(9)Y el ngulo de fasefesta dado
por:(10)En la Figura 4 esta representada vectorialmente la ecuacin
de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o
proyeccin horizontal de los dos vectores de rotacin; y el ngulo de
fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del
trmino del coseno.VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOLa
ecuacin de movimiento para un sistema lineal amortiguado en
vibracin libre es:|(11)dividiendo la ecuacin 4.11 por la masa se
obtiene:(12)donde: (13)(14)El coeficiente de amortiguamiento
crtico,ccr, y la razn o relacin de amortiguamiento crtico,x,son
parmetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.Tipos de
Movimiento
Figura 5Vibracin libre de un sistema crticamente amortiguado,
sobreamortiguado y subamortiguado La Figura 3 ilustra el desarrollo
de este punto; sta es una grfica del movimientou(t)debido a un
desplazamiento inicialu(0)para tres valores distintos
dex:Sic=ccrx=1El sistema retorna a su posicin inicial de equilibrio
sin oscilar, por tal razn esllamado sistema crticamente
amortiguadoo sistema con amortiguamiento crtico.Sic>ccrx>1 El
sistema no oscila pero retorna a su posicin de equilibrio
lentamente, por tal motivo es denominadosistema
sobreamortiguado.Sic