unidad 4 de temo

S.E.P. S.N.E.S.T D.G.E.S.T. S.E.V.

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE

LAS CHOAPAS

NOMBRE DEL TEMA

“ Cinética de sistemas de partículas”

TRABAJO

Investigación de la unidad 4

CARRERA:

Ingeniería Civil

PRESENTA:

Jesús del Carmen Pérez Hernández

DOCENTE:

Ing. CUAHUTEMOC REYES DEL VALLE

LAS CHOAPAS, VER. JUNIO DEL 2011

INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………………………..... 3

CINETICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS

4.1.- Impulso y cantidad de movimiento para una partícula y para un sistema de partículas………………………………………………………………………….... 4

4.1.1.- Principio del impulso y la cantidad de movimiento………………………… 8

4.1.2.- Impacto…………………………………………………………………………. 10

4.1.3.- Cantidades de movimiento lineal y angular de un sistema de partículas. 15

4.1.4.- Principio de la conservación de la cantidad de movimiento………….…... 19

4.1.5.- Sistemas variables de partículas……………………………………………. 19

4.1.6.- Corriente estacionaria de partículas………………………………………… 20

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………. 22

INTRODUCCION

En esta investigación se mostraran los conceptos de los temas correspondientes a la unidad cuatro de la materia de dinámica en el cual se encontraran temas como El impulso que es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. Así como la cantidad de movimiento que es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad.

Mostrando así también el principio de impulso y la cantidad de movimiento y dice que Cuando sobre una partícula actúa una fuerza durante un intervalo, la cantidad de movimiento final de la partícula puede obtenerse al sumar vectorialmente la cantidad de movimiento inicial y el impulso de la fuerza. Y dice que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva.

En el impacto La velocidad relativa de dos partículas después del impacto puede obtenerse al multiplicar su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restitución, existen otros tipos de impactos como son el impacto directo central, el impacto particular y el impacto central oblicuo.

Cantidades de movimiento lineal y angular de un sistema de partículas, Principio de la conservación de la cantidad de movimiento, Sistemas variables de partículas, Corriente estacionaria de partículas son temas que se muestran en esta investigación los cuales se explican a continuación de manera entendible y mas extendido para una mayor comprensión del lector.

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4.1.- IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTÍCULA Y PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Impulso

El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial.  El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

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Cantidad de Movimiento

La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad.

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.

m= Masav = Velocidad (en forma vectorial)p  =  Vector cantidad de movimiento

Cantidad de movimiento de un sistema de Partículas

La cantidad total de movimiento del sistema de partículas es la suma vectorial de las cantidades vectoriales de las partículas individuales. Es: = + + + ...Para ello se representan las cantidades de movimiento en un sistema de ejes rectangulares y se descomponen en sus componentes.

Ejemplo de tres partículas

Sumatoria de las componentes según el eje x :

Componentes de : P1x = - P1.cosa                               P1y = P1.senaComponentes de : P2x= P2.cos�                               P2y= P2.sen�Componentes de : P3x= P3.cos Y                                P3y= -P3.sen Y

Px = P1x + P2x + P3x

Sumatoria de las componentes según el eje y:Py = P1y + P2y + P3y

Los componentes Px y Pyse representa en un sistema ejes rectangulares y se

determina el vector cantidad de movimiento cuyo módulo es: El anterior procedimiento es válido para un número cualquiera de partículas.

Dado un sistema de partículas, la cantidad de movimiento de una cualquiera de ellas, en un referencial dado, viene dada por el producto de su masa por su velocidad; esto es,

La cantidad de movimiento total p del sistema de partículas en un cierto referencial se define simplemente como la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas individuales en ese mismo referencial; o sea

Para establecer el teorema de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas será conveniente escribir la ecuación del movimiento de la partícula i-ésima

Evidentemente, podemos escribir una ecuación análoga para cada una de las N partículas del sistema. Sumando miembro a miembro todas esas ecuaciones, tenemos

El primer miembro de esta ecuación puede reescribirse en la forma

El primer sumatorio del segundo miembro de [17.9] representa la suma (vectorial) de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, o sea, la resultante de las fuerzas externas, que representaremos por Fext

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El segundo sumatorio del segundo miembro de [17.9] representa la suma de todas las fuerzas internas que actúan sobre las partículas del sistema. Supongamos que la fuerza Fi,int que actúa sobre la partícula i-ésima pueda representarse con la suma de fuerzas independientes debidas a la interacción de la partícula i-ésima con las N-1 partículas restantes y que dichas fuerzas cumplan la tercera ley de Newton, al menos en lo que podemos llamar su forma débil3; es decir que

Sin que ello implique que esas fuerzas deban estar sobre la recta que une la partícula i-ésima con la partícula j-ésima. Bajo estos supuestos, es fácil comprender que las fuerzas internas al sistema se irán cancelando por parejas (de acción-reacción) de modo que

Sustituyendo los resultados anteriores tenemos un importante resultado:

Esto es:La rapidez con que cambia la cantidad de movimiento total de un sistema de partículas es igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Este enunciado constituye el teorema de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas, que no es más que una generalización de la ecuación del movimiento de una sola partícula F = dp/dt a un sistema de partículas. El teorema de la cantidad de movimiento establece que solamente las fuerzas externas al sistema pueden modificar la cantidad de movimiento total del mismo.Las fuerzas internas al sistema modificarán las cantidades de movimiento individuales de las partículas. Puesto que las fuerzas internas son iguales y opuestas, producirán cambios iguales y opuestos en las cantidades de movimiento de las partículas individuales, de modo que dichos cambios se compensarán entre sí y no contribuirán al cambio en la cantidad de movimiento total.

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4.1.1.- PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Cuando sobre una partícula actúa una fuerza durante un intervalo, la cantidad de movimiento final de la partícula puede obtenerse al sumar vectorialmente la cantidad de movimiento inicial y el impulso de la fuerza.

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Las ecuaciones de componentes son:

Cuando varias fuerzas actúan sobre la partícula, se considera el impulso de cada una de las fuerzas.

Es posible sumar vectorialmente las cantidades de movimiento de todas las partículas y los impulsos de todas las fuerzas que participan.

Si la suma de las fuerzas externas es cero, la ecuación es:

La cantidad de movimiento total de las partículas se conserva.

La ecuación indica que los botes se mueven en direcciones opuestas con velocidades inversamente proporcionales a sus masas.

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Movimiento impulsivo

En el caso del movimiento impulsivo de varias partículas

El momento total de la partícula se conserva

4.1.2.- IMPACTO

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Impacto directo central

Coeficiente de restitución

Para la partícula B

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La velocidad relativa de dos partículas después del impacto puede obtenerse al multiplicar su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restitución

Impactos particulares

En este caso, se conserva la energía total de las partículas, así como su cantidad de movimiento total

Impacto Central Oblicuo

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La componente de la cantidad de movimiento de cada partícula a lo largo del eje t, se conserva. Por lo tanto la componente t de la velocidad permanece invariable.

La componente en el eje n de la cantidad de movimiento total se conserva

La componente en el eje n de la velocidad relativa de las dos partículas después del impacto se obtiene multiplicando la componente n de su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restitución.

Por medio de estas ecuaciones puede obtenerse las componentes de las velocidades de A y B después del impacto.

Aplicacion

La componente en el eje t de la cantidad de movimiento de la pelota B se conserva, por lo tanto la componente t de la velocidad de la pelota permanece invariable.

La componente en el eje x horizontal de la cantidad de movimiento total del bloque A y de la pelota B se conserva. 13

La componente en el eje n de la velocidad relativa del bloque A y de la pelota B después del impacto se obtiene al multiplicar la componente n de su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restitución.

Aplicando el principio del impulso y la cantidad de movimiento al bloque A sobre el período de deformación

Si consideramos el período de restitución

El coeficiente de restitución

Resolviendo

La relación entre las componentes a lo largo de la línea de impacto de las velocidades relativas de las dos partículas que chocan es válida cuando se restringe el movimiento de una de las partículas. La validez de la relación se extiende al caso en el que ambas partículas se restringen en su movimiento.

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4.1.3.- CANTIDADES DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

La relación existente entre la masa y la aceleración de un cuerpo, nos permite conocer la fuerza que estuvo actuando sobre este cuerpo, sin embargo ya en casos mas prácticos es muy difícil determinar la aceleración de un cuerpo, entonces el problema es hallar una expresión que nos relacione movimiento con las propiedades del cuerpo, para lo cual analicemos este ejemplo:

Si tenemos dos botes el uno con una masa mayor que el otro sobre el agua, consideremos el rozamiento despreciable, si con una cuerda tratamos de jalar al bote mas pequeño hacia al mas grande, podremos ver que el bote de mayor masa experimenta un desplazamiento pero este es menor que el del bote con menor masa, entonces podremos decir que la cantidad de movimiento depende de la masa.Como podemos ver en este caso es muy difícil determinar la aceleración en los cuerpos, pese a la existencia de fuerza. Por facilidad si consideramos que la fuerza es constante con respecto al tiempo y partiendo de que:

F=m*asi  a=v/t

Entonces:F*t=m*v

La expresión m * v se la conoce como cantidad de movimiento lineal y nos sirve para la cantidad de movimiento de un cuerpo en un momento determinado, mientras que la expresión  F * t  se la denomina impulso y nos indica la magnitud de la fuerza aplicada en un tiempo determinado.

Si consideramos que la fuerza varía en el tiempo y sabiendo que la fuerza es un vector:

F*t=m*dr/dt,

Donde r es el vector desplazamiento

Entonces: p=m*dr/dt,    

Donde p es el vector cantidad de movimiento lineal

Ahora veamos las aplicaciones de estos dos conceptos fundamentales:

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Queremos saber a que velocidad saldrá disparada una pelota de béisbol si el jugador la golpea con una fuerza de 4000 [N] y si la interacción del bat sobre la pelota fue de 0,001 [s] y la masa de la pelota es de 120 [g].

m = 0, 12 [kg] F * t = m * v    entonces v = (F * t) / mv = (4000[N] * 0,001 [s] ) / 0,12 [kg]v = 33,33 [m/s] = 120 [km/h]

Otro problema para analizar esto sería que fuerza ejerce un carro sobre un poste si el mismo se estrella a una velocidad de 75 [km/h], la interacción dura 1 [s] y la masa del carro es de 1000[kg], considerando el choque como inelástico.

v = 20, 83 [m/s]F = (m * v) / tF = (1000 [kg] * 20,83 [s]) / 1[s]F = 20830 [N] = 2125,5 [kg-fuerza]

Como podemos ver la fuerza es equivalente a un peso de 2125,5 [kg] o 2 toneladas. El concepto de cantidad de movimiento lineal es muy importante dentro de la física y sirve mucho en el análisis de la fuerza de impulsión de cohetes, en choques de partículas y en la transmisión del movimiento o principio de conservación de la cantidad de movimiento,

Momento angular de un sistema de partículas

El momento angular (LO) de un sistema discreto de partículas respecto de un referencial inercial (O) se define como la suma de los momentos angulares individuales de cada partícula respecto del observador O (lio)...

(2.9)

Nos conviene relacionar el momento angular o cinético respecto del referencial inercial (LO) y el momento cinético respecto al referencial situado en el c.d.m.

(Lcdm)...

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Donde, como vemos, el momento angular respecto a O podemos estudiarlo como suma de dos términos; uno de ellos representa el momento angular del sistema respecto al referencial situado en el c.d.m. y el otro representa el momento angular del c.d.m. respecto del referencial inercial (O), -Rcdm× MVcdm-. Así en los sistemas (discretos) indeformables que sólo rotan (Vcdm=0) -*- el momento angular del sistema respecto a O coincide con el momento angular del sistema respecto al referencial sito en el c.d.m.; y si el sistema sólo traslada (v'i=0) -**- el momento angular del sistema respecto a O coincide con el momento angular del c.d.m. respecto al mismo punto.

Hemos visto que la cantidad de movimiento de un sistema solamente se modifica debido a las fuerzas exteriores. Veamos ahora quién modifica el momento angular o cinético del sistema, para fijar ideas concretamos a uno compuesto por dos partículas.

Si estudiamos la variación de la expresión (2.9) con el tiempo,...

Sabiendo que la velocidad y el momento lineal de una partícula poseen la misma dirección y que por tanto su producto vectorial es cero, nos queda para la expresión anterior:

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Hemos hecho uso del teorema del momento lineal para una partícula. El último término de la expresión se ha obtenido haciendo el cambio f21=-f12. Este término es nulo debido a que el producto vectorial de dos vectores con la misma dirección lo es y teniendo en cuenta que el producto vectorial de la posición de una partícula por la fuerza aplicada es la denominación del momento de una fuerza respecto del referencial (O)...

(2.11)

El momento de las fuerzas exteriores de un sistema de partículas respecto a O coincide con la variación temporal del momento angular del sistema respecto al mismo punto.

(2.12)

De la misma forma el momento de las fuerzas exteriores de un sistema respecto del c.d.m. coincide con la variación temporal del momento angular respecto del c.d.m. Hemos de hacer notar la analogía de esta última expresión con la obtenida para el teorema del momento lineal de un sistema de partículas. El papel que juegan las fuerzas exteriores en la dinámica de traslación lo juegan el momento de estas fuerzas en la dinámica de rotación. Así, pues, la dinámica de los sistemas discretos indeformables puede atacarse con las siguientes ecuaciones fundamentales...

(2.13)

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4.1.4.- PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento de éste permanece constante.Por tanto, si debido a acciones mutuas entre los componentes de un sistema se produce un fenómeno en él (p. ej. un choque entre ellos o una explosión interna), la suma de las cantidades de movimiento de cada uno de los componentes antes de la explosión debe ser igual a la suma de las cantidades de movimiento de cada uno de los componentes después del fenómeno, es decir:

m1v1 + m2v2 +............= m' 1v' 1 + m' 2v' 2 +...............

El retroceso de las armas de fuego se debe precisamente a este principio. Sean "m" y "M" las masas del proyectil y arma respectivamente, "V" la velocidad de salida del proyectil y "v" la de retroceso del arma. Si antes del disparo el conjunto arma-proyectil estaba en reposo significa que su cantidad de movimiento inicial escero y por tanto será igualmente cero después del disparo ya que no ha actuado ninguna fuerza exterior, por tanto tendremos que:

0 = mV + Mv es decir mV = - MvY como las masas deben ser positivas y al tomar la velocidad del proyectil igualmente positiva resulta que la velocidad del arma debe ser necesariamente negativa, es decir, de retroceso.El movimiento de los cohetes y aviones a reacción se basan igualmente en este principio, así el avión, al expulsar grandes cantidades de gases a elevada velocidad, avanzará en dirección contraria a la de salida de los gases.

4.1.5.- SISTEMAS VARIABLES DE PARTÍCULAS

Sistemas que continuamente ganan o pierden partículas, o bien, que hacen ambas a la vez, los cohetes son un claro ejemplo de sistemas variables, pues su propulsión depende de la expulsión continua de partículas de combustible.De la misma manera que una turbina hidráulica, su análisis incluye la determinación de las fuerzas que ejerce un chorro de agua sobre paletas giratorias, y notamos que las partículas de agua que están en contacto con las paletas forman un sistema que cambia siempre, y que continuamente gana y pierde partículas.

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Recordemos que todos los principios cinéticos formulados hasta ahora se dedujeron para sistemas constantes de partículas, que no las ganaban ni las perdían. Por tanto, debemos encontrar una manera de reducir el análisis de un sistema variable de partículas al de un sistema constante auxiliar. El procedimiento lo veremos en el tema “corriente estacionaria de partículas”.

4.1.6.- CORRIENTE ESTACIONARIA DE PARTICULAS

Los campos magnéticos pueden tener distintas causas. Entre ellas, se encuentran las propias corrientes eléctricas.

El campo magnético creado por una carga puntual en movimiento a velocidades bajas (comparadas con la de la luz) vale aproximadamente

Siendo la posición instantánea de la carga. μ0 es una constante denominada

permeabilidad del vacío, cuyo valor en el SI es .

El campo magnético creado por una distribución de corriente lineal puede calcularse integrando la expresión anterior. Para el caso de una corriente estacionario la aproximación se convierte en una igualdad y el campo magnético viene dado por la ley de Biot y Savart

De forma análoga al caso de la corriente lineal tenemos el campo creado por una distribución de corriente estacionaria volumétrica y por una superficial

En estas expresiones las densidades de corriente son funciones de la posición,

, .

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Aplicaciones

Existen muy pocos casos que pueden resolverse de forma sencilla empleando la integración directa de la ley de Biot y Savart.

Un caso particular importante es campo magnético de una corriente rectilínea de longitud finita o infinitamente larga que produce un campo

Finito:             Infinito:    

Este campo gira en torno al hilo, siendo circunferencias sus líneas de

campo

También es importante el campo magnético de una espira circular, que en los puntos de su eje vale

Este campo apunta en la dirección del eje de la espira, siendo máximo, con

un valor μ0I / 2R en su centro.

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BIBLIOGRAFIA

Beer Johnston Mecánica Vectorial para Ingenieros

Soutas, Inman, Balint Ingeniería Mecánica

Boresi- Schmidt Dinámica

Hibbeler Russell. C. Mecánica para Ingenieros: Dinámica

Singer Ferdinand L.Mecánica para ingenieros: DinámicaEditorial Harla

https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r57690.PDF

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/fisica/sistemas.htm

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