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Departamento de Fsica
Curso de: FSICA FUNDAMENTAL I (cdigo 106004M)
UNIDAD 1: Matematizar la descripcin del movimiento
(CINEMTICA)
MDULO 2: Cmo medir el movimiento en general (trayectoria
curvilnea)?
Cuando el mvil cambia la direccin de su movimiento de manera
arbitraria (no limitndose a
invertir su sentido, como suceda en el primer mdulo), el vector
velocidad, que nos indica esa
direccin adems de la rapidez (recordar lo dicho en la lectura
3), deja de estar determinado por una
nica componente. Necesitamos ahora las tres componentes, pues
este vector puede apuntar ahora
en cualquier direccin en el espacio tridimensional. Igualmente,
necesitamos tres coordenadas para
localizar la posicin del mvil, las cuales sern funciones del
tiempo. Cul es la relacin
matemtica entre estas funciones y las componentes del vector
velocidad?
Por otra parte, ya sabemos que la aceleracin mide la no
uniformidad del movimiento. La
desviacin de la trayectoria rectilnea constituye una no
uniformidad del movimiento que se agrega
al cambio de rapidez, y que es muy diferente de ste. Por eso
podemos esperar que las relaciones
entre tiempo, trayectoria, posicin, velocidad y aceleracin sean
mucho ms complejas que en el
movimiento rectilneo. Cmo son estas relaciones en el movimiento
curvilneo?
En las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto gua Usted encontrar
los elementos para construir sus
propias respuestas a las dos preguntas planteadas (las secciones
3.3 y 3.5 se estudiarn en el mdulo
3; la seccin 3.4 no requiere ninguno de los conceptos estudiados
en la 3.3). En este mdulo
seguiremos una metodologa didctica diferente a la que seguimos
en el mdulo 1. Ahora la
responsabilidad por el aprendizaje est en manos del estudiante,
por lo que las actividades de
aprendizaje se reducen esencialmente al estudio del texto gua y
a la resolucin de problemas, con la
excepcin de una actividad inicial a modo de laboratorio virtual
(Exploracin 2).
Objetivo: El estudiante comprender cmo describir matemticamente
el movimiento en
tres dimensiones, generalizando la estructura conceptual de la
cinemtica al movimiento
curvilneo
Desarrollo del mdulo
A. Trabajo independiente (5 a 8 horas)
1. Exploracin 2: Movimiento a control remoto (debe entregarse un
informe individual).
2. Estudio de las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto gua, y
realizacin de ejercicios y problemas
B. Discusin en clase (2 horas).
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UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 2/13
Exploracin 2: Movimiento a control remoto
Las prcticas de simulacin computacional han abierto unas enormes
posibilidades para facilitar la enseanza y
aprendizaje de la fsica, permitiendo modificar los enfoques
didcticos tradicionales puramente verbales
ilustrados con representaciones estticas. En esta simulacin
podremos percibir y experimentar visual y cinestsicamente (es
decir, mediante las sensaciones asociadas al propio movimiento
corporal), las relaciones
entre las variables cinemticas, antes de proceder a su estudio
matemtico. De esta manera se espera hacer este
estudio mucho ms significativo para el estudiante. Lo notable de
esta exploracin es que la experiencia que
proporciona es imposible de obtener en un laboratorio real, pues
en este laboratorio virtual se hacen tangibles
entidades matemticas como los vectores velocidad y
aceleracin.
Objetivo: Adquirir experiencia sensorial (tanto visual como
cinestsicamente) en las relaciones entre las
magnitudes cinemticas en el movimiento bidimensional, comparando
su sentido intuitivo de estas relaciones con las relaciones
definidas formalmente en cinemtica en trminos de la razn de cambio
de la
posicin y la velocidad.
Materiales:
1. Computador con Java y conexin a Internet 2. Simulacin
Movimiento del cucarrn 2D, disponible en:
http://phet.colorado.edu/en/simulation/ladybug-motion-2d#translated-versions
Procedimiento:
1. Suponga que Usted conduce su auto de carreras en una pista
con forma de ocho, como se muestra en la figura 1. Como buen
piloto,
Usted vara su rapidez segn la curvatura de la pista, siendo
mxima
en los segmentos ms rectos y disminuyndola al tomar las
curvas.
Conjeture razonadamente cmo varan los vectores velocidad y
aceleracin a lo largo de su trayectoria, dibujando flechas
que
marquen la direccin y magnitud relativa (use flechas ms largas
cuando la magnitud de estos vectores es
mayor, y viceversa) en diferentes puntos. No se trata de
adivinar la respuesta correcta, sino de dejarse llevar de su
intuicin y su comprensin actual de la cinemtica.
2. Para comparar sus conjeturas con lo que nos dice la fsica,
Usted va a transformar el computador con el que est trabajando en
simulador de un controlador remoto del movimiento de un robot El
robot estar representado como un cucarrn, el cual har las veces del
automvil.
a. Vaya a la direccin de Internet dada y busque en el listado de
versiones traducidas (TRANSLATED VERSIONS) la versin en espaol
(Colombia). Cargue y ejecute la simulacin (RUN NOW).
b. Cuando aparezca la pantalla de la figura 2, fije los
controles del panel derecho como aparece en la figura. Site el
cursor con el mouse en la punta de la flecha gruesa azul en la
ventana Control
remoto. Muvalo en cualquier direccin (oprimiendo continuamente a
la vez el botn principal del
mouse) y observe el consiguiente movimiento del cucarrn en la
ventana principal. Familiarcese con
el control interactivo en una exploracin libre, hasta que haya
adquirido habilidad para hacer seguir al
cucarrn una trayectoria predeterminada, modificando de una
manera tambin predeterminada su
rapidez.
c. Aprenda el manejo de la funcin de grabacin, mediante la cual
Usted puede grabar el movimiento y luego reproducirlo en cmara
lenta.
d. Ahora haga que el cucarrn siga una trayectoria cercana a la
de la figura 1, variando su rapidez como se indic en el nmero 1.
Puede ser necesario hacer varios ensayos.
3. Compare y evale ahora sus conjeturas contrastndolas con el
comportamiento observado de los vectores velocidad y aceleracin.
Para este efecto reproduzca en cmara lenta el movimiento del
cucarrn grabado
en el paso 2.d.
4. Vare repetidas veces la forma de la trayectoria y la rapidez,
hasta percibir un patrn general en las relaciones geomtricas entre
la forma de la trayectoria y el cambio de la rapidez, por una
parte, con la
direccin de los vectores velocidad y aceleracin y los cambios en
sus magnitudes, por la otra.
Figura 1
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UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 3/13
Informe: Describa en palabras el patrn general observado en las
relaciones geomtricas entre la forma de la
trayectoria y el cambio de la rapidez con la direccin de los
vectores velocidad y aceleracin y los cambios en
sus magnitudes. Ilustre dicho patrn con algunas impresiones de
pantalla debidamente comentadas. Explique
tericamente dicho patrn, a partir de las definiciones
vectoriales de la velocidad y la aceleracin en el
movimiento curvilneo.
Figura 2
Gua de estudio
Para orientarse en su estudio de las secciones 3.1, 3.2 y 3.4
del texto gua, tenga siempre presente las preguntas
claves del mdulo (las que estn en negrilla y resaltadas en la
introduccin) y para las cuales ha encontrado una
respuesta emprica en la exploracin. A continuacin encontrar
algunas preguntas con las cuales podr
comprobar su comprensin y retencin del material, sin olvidar que
el objetivo primordial del trabajo es
comprender, generalizar y demostrar la relacin entre las
variables cinemticas observada en la simulacin.
Posteriormente encontrar unos cuantos problemas de estudio para
los que se ofrecen modelos de solucin que
Usted debe contrastar con la suya, y se proponen algunos
problemas de prctica y para la autoevaluacin.
PREGUNTAS DE COMPRENSIN
Seccin 3.1
1. Describa en palabras la receta para combinar las coordenadas
cartesianas del mvil como ingredientes de su vector de posicin,
tomando como base la figura 3.1.
2. Si las tres coordenadas cartesianas del mvil son funciones
del tiempo, la ec. (3.1) implicara que el vector de posicin es una
funcin del tiempo. Cules son el dominio y el rango de
esta funcin?
3. Indique las semejanzas y diferencias entre el desplazamiento
en una dimensin y el desplazamiento en general.
4. Por qu la velocidad media en la figura 3.2 no es colineal con
el desplazamiento?
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Gua de estudio
UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 4/13
5. Compare las figuras 3.2 y 3.3. Cmo se llevan a cabo las
transformaciones de , situada entre P1 y P2, en los vectores 1 y 2,
situados en P1 y P2, respectivamente?
6. Contina siendo cierto en el movimiento curvilneo que la
rapidez es la razn de cambio de la distancia recorrida?; Cmo es
posible que una razn o tasa de cambio sea un vector,
como sucede en el caso del vector velocidad, que es la tasa
instantnea de cambio de posicin con el tiempo (p.79)?
7. Se explica el hecho que el vector velocidad sea tangente a la
trayectoria (figura 3.3) de la misma forma que el hecho de que la
derivada sea la pendiente de la recta tangente a la
grfica cartesiana de una funcin?
8. El teorema de Pitgoras establece que 2 + 2 = 2 siendo a y b
la longitud de los catetos de un tringulo rectngulo y c la de su
hipotenusa. De qu manera se aplica el teorema para
obtener la rapidez en trminos de las componentes rectangulares
de la velocidad (ec. 3.6)?
9. Explique porqu vy es el dividendo y vx el divisor en la
ecuacin (3.7)
10. Justifique cualitativamente (analizando el comportamiento de
las funciones de posicin dadas en el ejemplo 3.1 para t > 0) la
FORMA del camino seguido por el carrito que se
dibuja en la figura 3.5.
11. Por qu es necesario sumar 180 a la tangente inversa de 1,3
para obtener el ngulo en el ejemplo 3.1?
Seccin 3.2
1. Es, tambin en el movimiento curvilneo, el vector aceleracin
la razn de cambio de la razn de cambio de la posicin?
2. Cul es el efecto anlogo, en el movimiento curvilneo, al
efecto de sacudida que produce la aceleracin en el movimiento
rectilneo (ver lectura 5)?
3. Por qu es posible trasladar el vector 2 a la cola del vector
1 para formar el tringulo de la figura 3.6 (b)?
4. Qu significa la palabra resultante en la frase: Observe que 2
es la resultante de la velocidad original 1 y el cambio (p.82)?
5. Ilustre con todos los casos posibles la generalizacin: el
vector aceleracin siempre apunta hacia el lado cncavo de una
trayectoria curva utilizando diagramas triangulares de adicin
vectorial como los de la figura 3.6 (nota: hay cuatro casos
posible: doblar a la
izquierda aumentado la rapidez; doblar a la izquierda
disminuyendo la rapidez; doblar a la
derecha aumentando o disminuyendo rapidez)
6. Explique porqu cuando un cuerpo sigue un movimiento uniforme
curvilneo (ver lectura 2) el vector aceleracin es siempre
perpendicular al vector velocidad (incluso no siendo un
movimiento circular uniforme).
7. Qu significa en general componente de un vector en la
direccin
paralela/perpendicular al vector ?; Para qu nos sirve obtener la
componente de la aceleracin en la direccin paralela a la
velocidad?
8. Cmo se generaliza al movimiento curvilneo la regla sobre los
signos de la velocidad y la aceleracin de las pginas 50 y 51, a
saber: si en el movimiento rectilneo ambas magnitudes tienen el
mismo signo, la rapidez aumenta; si sus signos son opuestos la
rapidez
disminuye? (en caso de duda, consulta una posible respuesta al
final del mdulo)
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Gua de estudio
UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 5/13
9. En la figura 3.15, explique con diagramas triangulares de
adicin vectorial de velocidades la direccin de la aceleracin en los
puntos B, D, E, F.
Seccin 3.4
1. Explique porqu en el movimiento circular uniforme (MCU) la
aceleracin en cada punto de la trayectoria apunta siempre hacia el
centro del crculo descrito por el mvil. Qu sucede
en el movimiento circular no uniforme (discuta los dos casos
posibles: aumento o
disminucin de la rapidez)?
2. Son sinnimos los adjetivos radial y centrpeta? (La expresin
aceleracin centrfuga se escucha con frecuencia, pero el texto no la
menciona. Por qu?)
3. La demostracin que trae el texto de la importante relacin
(3.28), entre la magnitud de la aceleracin en el MCU, la rapidez y
el radio del crculo descrito, consta de los siguientes tres
grandes pasos (complete las frases siguientes):
I. Clculo de la magnitud de _______________________ para un
cierto t, mediante la __________ entre un diagrama triangular de
adicin vectorial (ver fig. 3.28b) y el sector
circular 0P1P2 (ver fig. 3.28a)
II. Clculo de ________ de __________ media para el mismo
intervalo t III.
__________________________________________________________
4. Relacione los diferentes casos que aparecen en la figura 3.30
con la generalizacin, al movimiento curvilneo, de la regla que
relaciona los signos de la velocidad y la aceleracin
en el movimiento rectilneo (ver pregunta de comprensin 8, seccin
3.2).
5. Ordinariamente se piensa sin mucha precisin que la aceleracin
es el aumento de rapidez, y que la disminucin de rapidez es una
desaceleracin o aceleracin negativa. La segunda de
las ecuaciones (3.31) parece justificar este uso, pero a la vez
muestra que el cambio de
rapidez no es toda la aceleracin1. Explique en palabras en qu
consiste la otra parte de la
aceleracin.
6. En la relacin (3.28) el radio de la circunferencia descrita
por el mvil aparece en el denominador y en la relacin (3.30)
aparece en el numerador. Significa esto que la
magnitud de la aceleracin en el MCU es a la vez directa e
inversamente proporcional al
radio?
7. Pregunta P3.1) Un pndulo (un cuerpo que oscila colgado del
extremo de un cordel) se mueve siguiendo el arco circular BC. En
los puntos B y C est momentneamente en reposo.
Qu direccin tiene su aceleracin en los puntos A, B, C, D, E?
(dibuje en escala los vectores aceleracin)
8. (Pregunta P3.11) En el MCU, cul es la velocidad media durante
una revolucin? Y la aceleracin media?
1 Estas dos ecuaciones se aplican tambin a un movimiento
curvilneo no circular (es decir, a un movimiento con
trayectoria arbitraria), con la diferencia de que el valor de R,
el radio de curvatura, no es una constante.
D .
. E
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Gua de estudio
UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 6/13
Problemas de estudio propuestos2
1. Demuestre las ecuaciones (3.4) y (3.10) del texto sin usar el
lenguaje vectorial (es decir, sin partir de la ecuacin 3.3).
2. La aceleracin de un mvil est dada por la funcin vectorial (t)
= (5 3 s-1 t + 2 s-2 t2 ) m/s2. Se sabe que, en el instante t= 0,
la velocidad es el vector = (2 + - 5) m/s y el mvil se encuentra en
el origen de coordenadas. (a) Encuentre su posicin y su velocidad
en cualquier instante. (b)
Encuentre el vector desplazamiento, la distancia al origen, la
rapidez y la direccin de movimiento en
el instante t = 1 s.
3. Encuentre las funciones de movimiento generales en el caso
del movimiento uniformemente acelerado (no necesariamente
rectilneo). Dibuje las grficas cinemticas y la trayectoria del
movimiento (en el plano XY) para el caso en que la velocidad
inicial sea perpendicular a la
aceleracin.
4. Analice el MCU en trminos de las coordenadas cartesianas del
mvil, expresadas como funcin del ngulo que forma el vector posicin
con el eje X, deduciendo la relacin 3.28 directamente desde la
definicin general de aceleracin como derivada de la velocidad
(ver el problema 3.75 del texto gua,
que le ofrece una secuencia de preguntas intermedias que le
facilitarn el anlisis; ver tambin el
problema de estudio 4 de la actividad 4).
5. Resuelva al menos los problemas 3.6, 3.7, 3.29, 3.33, 3.34,
3.44, 3.46, 3.50
Modelos de resolucin de los problemas de estudio propuestos
1. A. Descripcin y anlisis del problema
Podemos imaginar que tres tubos fluorescentes muy alargados
paralelos a los ejes de coordenadas proyectan
haces perpendiculares sobre cada eje. Las sombras producidas por
el mvil sobre los ejes se mueven con
movimiento rectilneo cuando el mvil se desplaza en el espacio
tridimensional. Las posiciones de aqullas
determinan conjuntamente la posicin del mvil, en cuanto sus
coordenadas sobre el respectivo eje (X, Y Z)
son idnticas a las coordenadas x, y, z del mvil. Igualmente la
velocidad lineal de cada sombra es idntica a la
componente rectangular del vector velocidad del mvil sobre el
eje correspondiente, y lo mismo sucede con
sus aceleraciones. El movimiento puede considerarse entonces
como la composicin de tres movimientos
rectilneos solidarios en direcciones mutuamente
perpendiculares.
B. Planteo de ecuaciones
Sean , , las coordenadas que marcan la posicin de las sombras
proyectadas sobre los ejes y , ,
sus velocidades, cuyas nicas componentes (en las direcciones X,
Y y Z respectivamente) son =
,
=
, =
. En efecto, la velocidad lineal de cada una de las sombras a lo
largo del correspondiente
eje es la razn de cambio de su posicin, o lo que es igual es la
derivada de su coordenada con respecto al
tiempo.
Ahora bien, = , = , = y vx = , vy = , vz = . Sustituyendo trmino
a trmino en ambos miembros de las ecuaciones anteriores obtenemos
las ecuaciones (3.4). Derivando una segunda vez cada
ecuacin se obtienen las ecuaciones para las componentes de la
aceleracin (3.10).
2 Los primeros cuatro problemas son de tipo terico; su finalidad
primordial es contribuir a la comprensin de la teora y
desarrollarla con mayor detalle. Por ello es recomendable que Usted
estudie el modelo propuesto de resolucin (despus de
haber reflexionado sobre el enunciado del problema) y pasado un
cierto tiempo intente hacerlos de nuevo por su cuenta.
Los restantes problemas buscan afianzar los conceptos y
desarrollar la competencia en su aplicacin. Los respectivos
modelos de solucin ofrecidos se limitan a indicaciones y
sugerencias, sin desarrollar por completo el proceso.
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Gua de estudio
UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 7/13
C. Discusin
La notacin vectorial nos proporciona una forma compacta o
econmica de describir un movimiento
tridimensional agrupando las tres coordenadas en una nica
magnitud (), sus tres velocidades lineales en otra magnitud () y
sus tres aceleraciones lineales en una tercera magnitud .
2. A. Descripcin y anlisis del problema
Conocida la aceleracin del mvil como funcin del tiempo, es
decir, la derivada de la velocidad, encontramos
sta mediante la resolucin del problema inverso de la
diferenciacin (integracin). Reiterando el proceso
obtenemos la posicin como funcin del tiempo. Tanto la
diferenciacin como la integracin de una funcin
vectorial fx (u) + fy (u) + fz (u) de la variable real u se
realizan de manera idntica a la diferenciacin y la integracin de
una funcin real, considerando a los vectores unitarios , , como
factores constantes. Obsrvese que una funcin vectorial es un
conjunto ordenado de tres funciones escalares3.
La parte (b) del problema requiere simplemente evaluar las
funciones posicin y velocidad para un instante
particular, y a partir de all obtener las magnitudes solicitadas
utilizando la aritmtica vectorial.
B. Planteo y solucin de ecuaciones
a) A partir de la ec. (3.9) e integrando, obtenemos:
= =
0(t) dt = ( 5
0 3 s-1
0 + 2 s-2 2
0) m/s2 =
= (5 t 32 s-1 t2 + 2
3 s-2 t 3 ) m/s2
Sustituyendo el valor dado de = (2 + - 5) m/s y factorizando
trminos semejantes obtenemos:
= ((2+5 s-1t) +(1 32 s-2 t2) +(-5+ 2
3 s-3 t 3) ) m/s
Por otra parte:
= =
0(t)dt = ((2 s-1 t + 5
2 s-2 t 2) +(1 s-1t 3
6 s-3 t3) +(-5 s-1t + 2
12 s-4 t 4) ) m
Como el vector posicin inicial es cero, la anterior funcin es
tambin el vector posicin en cualquier tiempo.
b) Al sustituir en la funcin (t) el valor t = 1 s obtenemos el
vector (1 s) = (92
+ 12
- 29
6) m, cuya
magnitud: (92)2 + (1
2)
2+ (29
6)
2 = 6,6 m, nos proporciona la distancia al origen en ese
instante. Para
encontrar la rapidez evaluamos la funcin velocidad en t = 1 s,
obteniendo el vector (1 s) = (7 - 12
- 13
3) m/s,
cuya magnitud 72 + (12)
2+ (13
3)
2 = 8,25 m/s nos proporciona la rapidez tras 1 s. La direccin
del vector
(1 s), es decir el ngulo que forma con cada uno de los ejes de
coordenadas, se calcula de la manera ms fcil usando el concepto de
producto escalar (ver seccin 1.10 del texto). Si tomamos el
producto escalar de un
vector con el vector unitario el resultado es simplemente la
componente en X del vector (ecuacin 1.21), puesto que Bx = 1, By =
Bz = 0. Por otra parte, la ecuacin (1.18) nos dice que ese producto
escalar es tambin
el producto de la magnitud del vector por el coseno del ngulo
desde el vector hacia el vector , o lo que es igual al ngulo que
forma ste ltimo con el eje X. En consecuencia, obtenemos las
importantes ecuaciones
para los ngulos de un vector con los tres ejes coordenados
usando la funcin arco coseno, o la funcin inversa
del coseno:
= arccos (Ax / || || ); = arccos (Ay / || || ); = arccos (Az /
|| || )
Substituyendo los valores numricos y evaluando con calculadora
(asegrese que entrega como resultado de la
tecla arccos un valor entre 0 o 180), obtenemos:
= arccos (7 / 8,25) = 32; = arccos (-0,5/8,25) = 93,5; = arccos
(-4,3/8.25) = 121,7
3 En realidad, es condicin necesaria, para que constituyan un
vector, que cuando se hace un cambio de ejes coordenados
las componentes de la funcin se combinen de una determinada
manera para dar las nuevas componentes.
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Gua de estudio
UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 8/13
C. Anlisis y evaluacin de la solucin
Al triplicar el nmero de integrales o de derivadas que se deben
evaluar para obtener las magnitudes
cinemticas bsicas a partir de la que se conoce exige gran
cuidado al trabajar para evitar errores. Para
verificar la respuesta a la pregunta (a) se deriva la funcin
posicin dos veces, obteniendo de nuevo la
aceleracin dada. La pregunta (b) es un ejercicio numrico en el
cual el estudiante debe mostrar su
competencia para trabajar con orden y manejar eficientemente la
informacin que debe procesarse para llegar a
las respuestas correctas4. La especificacin de la direccin de un
vector en tres dimensiones es bastante
dispendiosa, por exigir tres parmetros (aunque slo dos de ellos
son independientes, como se demuestra en la
geometra analtica). Pero la casi totalidad de los problemas de
aplicacin se harn en dos dimensiones
(movimiento en el plano), en donde basta un nico parmetro para
especificar cualquier direccin.
3. A. Descripcin y anlisis del problema
El movimiento uniformemente acelerado es aquel en el cual la
aceleracin es un vector constante . Como no se han especificado
ejes de coordenadas predeterminados, tenemos libertad de construir
nuestro sistema de
coordenadas de forma que se reduzcan al mximo el nmero de
componentes de las magnitudes cinemticas.
Tomemos la direccin dada del vector como la direccin de uno de
los ejes, digamos el eje Y. La velocidad inicial es otro vector
dado , que puede tener cualquier direccin. Supongamos que esta
direccin es diferente a la del vector (en caso contrario el caso
sera de MRUA, no de movimiento curvilneo). Como dos vectores no
colineales determinan un nico plano, sea XY el plano determinado
por los vectores y . Escojamos como origen O del sistema de
coordenadas la posicin inicial del mvil. Definamos como eje Y
la
recta que pasa por ese punto orientada en la misma direccin del
vector y como eje X la recta perpendicular al eje Y trazada por O
orientada en alguna de las dos posibles direcciones. Por ltimo, el
eje Z ser una recta
trazada por O y perpendicular al plano XY.
Como la aceleracin no tiene componentes en las direcciones X y
Z, no hay cambios en las componentes de la
velocidad en estas direcciones (no se olvide que la aceleracin
es la razn de cambio de la velocidad). Dado
que la componente inicial de velocidad en Z es cero, la
velocidad en Z siempre es cero y en consecuencia as
tambin lo es la coordenada Z del mvil. En conclusin, el
movimiento se produce nicamente en el plano
XY, siendo entonces un movimiento en dos dimensiones,
requirindose nicamente dos coordenadas, x y y,
para localizar la posicin del mvil. Los parmetros del movimiento
son entonces la magnitud de la
aceleracin, a, la magnitud de la velocidad inicial, vo, y el
ngulo entre los vectores y , que llamaremos .
B. Planteo de ecuaciones
Integrando la ecuacin (3.9) para constante (por lo que puede
salir de la integral), obtenemos y = + t. Substituyendo esta funcin
en la ecuacin (3.3) e integrando nuevamente obtenemos:
= + t+ 1
2 t2 (1)
Utilizando ahora la definicin del sistema de coordenadas
realizada en la parte A, la ecuacin (1) se expande
en las siguientes ecuaciones escalares:
x = vox t
y = voy t + 1
2 a t2
De la primera ecuacin podemos despejar t en trminos de x y luego
substituir en la segunda, obteniendo la
ecuacin de la trayectoria:
y =
+ 1
2
1
2
2
4 Este manejo de la informacin es rutinario, pero es necesario
para la solucin efectiva de los problemas. La situacin es
algo anloga a la ciruga. Las tcnicas de esterilizacin son
rutinarias y no demandan habilidad intelectual, pero son
indispensables para que el paciente no se infecte.
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Gua de estudio
UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el
movimiento en general? Pg 9/13
Las componentes del vector estn dadas por: vox = vox cos y voy =
voy sen (siendo = /2 - el ngulo que forma la velocidad inicial con
el eje X). Substituyendo obtenemos:
y = (tan ) x + 12
1
2 co2
2
Las grficas cinemticas son las grficas cartesianas de las
funciones posicin contra tiempo, velocidad contra tiempo y
aceleracin contra tiempo. A diferencia del movimiento rectilneo, en
el movimiento en el
plano se requieren seis grficas, dos por cada magnitud. En
cambio, la grfica de trayectoria, o diagrama de movimiento (ver
texto gua, pg. 47) que en el caso rectilneo es una recta sobre la
que se indican en ciertos instantes especficos los vectores
velocidad y aceleracin, en el caso curvilneo plano es una curva en
el plano
XY. Las siguientes figuras presentan las grficas cinemticas y el
diagrama de movimiento para la situacin
en que la velocidad inicial es perpendicular a la aceleracin
constante. El color rojo se usa para las magnitudes
en la direccin X y el verde para las magnitudes en la direccin
Y.
C. Anlisis y evaluacin de la solucin
La ecuacin (1) es estructuralmente idntica a la ecuacin para la
posicin en el MRUA pues los conceptos
bsicos implicados son los mismos para el movimiento en una, dos
o tres dimensiones. Pero un movimiento en
lnea recta acelerado uniformemente es superficialmente muy
diferente al movimiento parablico. En el
siguiente mdulo veremos que esta diferencia es de
perspectiva.
La curva parablica del grfico y versus t es muy diferente de la
curva parablica que representa la trayectoria
del mvil en el espacio real. Mientras la curvatura de la primera
es 1
2a, la de la segunda es 1
2
1
2 co2
.
4. A. Descripcin, anlisis del problema y planteo de
ecuaciones
Las coordenadas de los puntos que forman una circunferencia de
radio R
se pueden obtener, conociendo el ngulo entre el radio y el eje
X, mediante la definicin del seno y el coseno. Considere el
tringulo
rectngulo OPQ. El coseno del ngulo es la razn entre el cateto
adyacente OQ = x y la hipotenusa OP = R. El seno es la razn entre
el
cateto opuesto PQ = y y la hipotenusa. De all la relacin bsica
buscada:
Ahora bien, si el punto P se mueve con rapidez uniforme
siguiendo la circunferencia el ngulo vara
proporcionalmente con el tiempo. Sea (omega minscula) la
constante de proporcionalidad, el parmetro que describe la rapidez
con la que cambia el ngulo, la variable esencial del problema
porque determina las dos
coordenadas cartesianas. As pues, = t, por lo que se denomina
velocidad angular (ya que desempea
el mismo papel que la rapidez en el movimiento uniforme,
distancia = v t). Como se debe medir en radianes,
posicin velocidad aceleracin
Y
X 5 s Las lneas amarillas permiten seguir la
evolucin temporal de las coordenadas
por separado, hacindose evidente que la
coordenada x del mvil (o su proyeccin
sobre el eje, ver problema 1) tiene MU,
mientras la coordenada y tiene MRUA.
P(x , y)
X
Rcos
Rse
n
Y
O
Q
x = R cos ; y = R sen
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la unidad natural angular (ver modelo de solucin al problema 4
de la actividad 4, en especial la nota al pi
de pgina 10), la cual es adimensional (sin dimensiones), la
dimensin de es s-1 (sin embargo, por razones didcticas algunos
textos, entre ellos el nuestro, la expresan como rad/s, para
recordar que el desplazamiento
angular se expresa en radianes y no en grados sexagesimales.
El vector posicin con respecto al centro del crculo, que
consideramos como origen del sistema de
coordenadas, estar dado entonces por:
= x + y = R ( cos (t) + sen (t) )
De donde (usando la derivacin en cadena y teniendo a R y
constantes):
=
= R ( sen(t) + cos (t) )
El vector sen(t) + cos (t) tiene magnitud 1 y es tangente a la
circunferencia, pues es perpendicular al vector unitario radial que
va del origen al punto P, a saber cos (t) + sen (t) , como se puede
comprobar efectuando el producto escalar de ambos vectores. La
rapidez del punto est dada por la importante
relacin:
Por ltimo, la aceleracin est dada por:
=
= R2 ( cos (t) + sen (t) )
La anterior expresin nos dice a la vez la magnitud de la
aceleracin, R2, y su direccin: un vector opuesto al
vector unitario radial, y por lo tanto normal a la velocidad. Si
sustituimos como v/R en la magnitud de la aceleracin, obtenemos de
nuevo la relacin (3.28) para la aceleracin centrpeta, que
constituye uno de los resultados ms conocidos y fundamentales de la
cinemtica rotacional:
La teora del MCU incluye otros dos familiares parmetros
relacionados con , el periodo T y la frecuencia f. T es el tiempo
que el punto tarda en dar una vuelta completa al crculo (o una
revolucin, como se suele decir). Por otra parte f se define como el
nmero de vueltas dadas en una unidad de tiempo; es por tanto
idntica a la velocidad angular cuando el ngulo se mide en la
nueva unidad revolucin (rev) , donde
1 rev = 2 rad). As, cuando t = T, = 2 rad = 1 rev = 360. A
partir de la definicin de como coeficiente
de proporcionalidad entre y t (a saber, = t) obtenemos la
relacin (substituyendo los anteriores valores de
t y despejando luego ):
Para convertir la unidad rad que aparece en el numerador de a la
unidad revolucin hemos de dividir el valor numrico por 2 (lo que
equivale a multiplicar por 1 = 1 rev/ (2 rad) y cancelar luego la
unidad rad). Las frmulas para la frecuencia son entonces:
B. Anlisis y evaluacin de la solucin
Como se dijo en la nota 2, los problemas propuestos en este
mdulo son problemas tericos, no ejercicios de aplicacin de
procedimientos algortmicos ya definidos. Estos son los verdaderos
problemas que enfrenta un
cientfico en su trabajo: a partir del conocimiento que ya posee
y de un objetivo cognoscitivo (a saber, llenar
una laguna en ese conocimiento), ejercer su creatividad para
aumentar su conocimiento del problema
inventando si es del caso nuevos conceptos. Lo que hicimos en
este problema fue particularizar las
definiciones generales de velocidad y aceleracin a una funcin
posicin (t) explcitamente dada por una
v = R (1)
acentrpeta = R2 = 2
R (2)
= 2
T (3)
f =
2 =
1
T (4)
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expresin analtica, que fue construida geomtricamente sabiendo la
trayectoria y el carcter uniforme del
desplazamiento angular. Posteriormente utilizamos los resultados
para ampliar la base de conocimientos sobre
el MCU, los cuales sern utilizados con frecuencia y deben ser
memorizados. La frmula (1) nos da la
velocidad tangencial, que no es ms que la rapidez en el contexto
del movimiento curvilneo (en realidad la velocidad como vector es
siempre tangente a la trayectoria). Las frmulas (3) y (4) son
variaciones de la
rapidez angular; una forma adicional de expresarla es en
revoluciones por minuto (rpm), cuyo valor numrico se obtiene
multiplicando por 60 la frecuencia (dada en rev/s, que normalmente
se expresa en s-1, pues
la unidad revolucin, como la unidad radin, es adimensional).
Pero la frmula ms importante es la (2), pues
nos permitir obtener la llamada fuerza centrpeta, que tuvo
excepcional importancia en el desarrollo histrico y conceptual de
la mecnica, y por lo mismo tiene una altsima importancia pedaggica
en la
comprensin de la fsica por parte del estudiante.
Pistas para la solucin de los ejercicios del texto sugeridos
3.6 Conocemos la aceleracin media en un intervalo (en magnitud y
direccin) y la velocidad al comienzo de
ese intervalo (en componentes cartesianas), y nos piden la
velocidad al final del intervalo (en ambas formas).
Sabemos que = t. De donde: ||||= || || t y la direccin de ambos
vectores es idntica (la multiplicacin de un vector por un escalar
no altera su direccin). Lo ms fcil es calcular primero las
componentes cartesianas de 2 : vx2 = vx1 + x, vy2 = vy1 + y, Las
componentes cartesianas del cambio de velocidad se obtienen
multiplicando su magnitud por el coseno y el seno, respectivamente,
del ngulo dado
(31,0) que indica la direccin de este vector. La magnitud y
direccin de 2 se obtienen por las frmulas (1.8) y (1.9).
El dibujo sobre papel cuadriculado de los vectores velocidad
inicial y final permite verificar la respuesta,
restndolos grficamente y comparando el resultado con el vector
t.
R/ 2 = (6,46 + 0,52 ) m/s; ||2|| = 6,48 m/s; ngulo entre el eje
X y 2 : +4,6 (en sentido antihorario); los vectores difieren en
magnitud y direccin.
3.7. Estructuralmente este ejercicio es idntico al problema 3,
en cuanto la aceleracin es el vector constante
2 y la velocidad inicial el vector , como se puede ver al
derivar dos veces las funciones de posicin dadas multiplicadas por
los respectivos vectores unitarios (la funcin velocidad es 2t) . La
eliminacin del
tiempo nos da la ecuacin de la trayectoria: y = 3 -
2 x2: una parbola con vrtice en (0, 3) y que corta al eje X
en x= 3
. En t = 0 las coordenadas son (0, 3) y en t = 2 s son (4,8,
-1,8), como se ve de inmediato al
evaluar las funciones posicin en tales instantes. Evaluando la
funcin velocidad en t = 2 y calculando el
mdulo y la direccin del vector obtenido, tenemos que la rapidez
es 5,4 m/s en direccin -63,4 (desde el eje
X hacia el negativo del eje Y). La aceleracin, que es un vector
paralelo al eje Y hacia abajo, tiene una
componente paralela a la velocidad, por lo que la rapidez est
aumentando. Como tambin tiene componente
normal a la velocidad apuntando hacia la derecha, el ave est
virando hacia ese lado.
3.29 (a) Nos dan el periodo del MCU del objeto (T = 24 horas) y
el radio de su trayectoria (R = 6,380 km).
Nos piden la magnitud de la aceleracin (0,0342 ms-2 = 0,0035g)5
, que obtenemos de la ecuacin (3.30), o de
las ec. (2) y (3) del problema 4. (b) Es el problema inverso:
nos dan la magnitud de la aceleracin (1,0 g) y el
radio, y debemos encontrar T (1,42 horas).
3,33 Se conoce el radio de la trayectoria circular (14 m) y que
el movimiento es uniforme, con una rapidez
(velocidad tangencial) de 7,00 m/s. La magnitud de la aceleracin
es entonces constante, y est dada por la
frmula (3.28), obtenindose 72
14 = 3,5 m/s2. Como la aceleracin en el MCU apunta siempre hacia
el centro de
la trayectoria, en el punto ms bajo es vertical hacia arriba y
en el ms alto es vertical hacia abajo. La distancia
5 Otra de las posibles unidades para la aceleracin es la llamada
unidad g. 1 g es igual a 9,8 ms-2. En el mdulo 3 se estudiar la
razn de la escogencia de este valor y del nombre de esta
unidad.
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recorrida en una revolucin es igual al permetro de la
trayectoria, es decir a la circunferencia del crculo
(2R=88 m). A razn de 7,00 m/s, recorrer esta distancia tarda
88/7 s = 12,6 s.
3.34. Ahora el movimiento no es uniforme. La aceleracin del
pasajero tiene pues
una componente tangencial en la misma direccin horizontal de
izquierda a derecha
que tiene la velocidad, puesto que la rapidez aumenta. La
magnitud de esta
componente tangencial es igual a la razn de cambio de la
rapidez. La magnitud de la
componente normal de la aceleracin se sigue calculando con la
frmula (3.28).
R/ Magnitud de la aceleracin: 0,81 m/s2; direccin: 52 medidos
desde la
horizontal hacia el centro de la rueda.
3.44. La parte a) se hace por integracin, como en el problema 2,
obtenindose:
= ((vox+
3t3) +( voy + t
2 t2) ) m/s; = ((voxt +
12t4) +( voyt+
2t2
6 t3) ) m
b) Cuando la altura y es mxima la componente vertical de la
velocidad vy se anula. El tiempo correspondiente
es entonces la solucin positiva a la ecuacin cuadrtica voy +
t
2 t2 = 0, a saber 13,6 s. Evaluando la funcin
y(t) en ese punto obtenemos la altura mxima, 341 m.
c) Mediante el programa EXCEL se realiz una tabla de valores de
las funciones x(t) , y(t) para los valores 0,
0,25 s, 0,5 s, . hasta 21 s, graficndose luego y vs x,
obtenindose el siguiente grfico:
3.46 b) Como x(t)=t 3t3, x=0 t = 0 t =
3
= 2,12 s. En el ltimo instante la coordenada y es 9 m.
3.50 El periodo del MCU que describe la proyeccin del ave sobre
el plano horizontal es 5 s. En este intervalo
recorre la distancia 2R = 50,3 m, lo que nos da una rapidez
horizontal de 10,1 m/s, que es tangente al cilindro imaginario
sobre el cual se desarrolla la trayectoria. Esta rapidez se compone
con la rapidez vertical
(3,00 m/s) usando el teorema de Pitgoras para obtener la rapidez
resultante de 10,5 m/s formando un ngulo
de 16,7 con la horizontal. La aceleracin est en el plano xy y
tiene una direccin variable, siempre hacia el
centro del crculo, de magnitud constante igual a la rapidez
horizontal al cuadrado sobre el radio (13 ms-2).
Para convencerse de que el movimiento de ascenso superpuesto al
circular no afecta la aceleracin, analice el
vector posicin: = x + y + z = R ( cos (t) + sen (t) ) + 3 m/s
t
Autoevaluacin Resuelva los ejercicios 3.4, 3.8, 3.32, 3.35,
3,45
d) El valor preciso en el que la
coordenada y se hace cero de nuevo se
calcul resolviendo la ecuacin
cuadrtica voy+
2t
6 t2 = 0,
obtenindose la solucin 20,7 s
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Respuesta a la pregunta 8, secc. 3.2 Si la aceleracin tiene
componente en la misma direccin que la velocidad (es decir, si
tiene componente
paralela a la velocidad), la rapidez aumenta; si la aceleracin
tiene componente en direccin opuesta a la de la
velocidad, la rapidez disminuye. Si la aceleracin es normal a la
velocidad (en otras palabras, si no tiene
componente en direccin paralela a la velocidad), la rapidez es
constante.
Solucin a los problemas de autoevaluacin pares
3.4. t = (2b)/(3c)
3.8.
3.32. a) 2,99 x104 m/s 108 000 KPH (es importante por razones
tericas que veremos en la 2 unidad, comparar este resultado para la
rapidez orbital de la Tierra con: i) la rapidez tangencial de un
punto en el Ecuador terrestre debida a la rotacin diurna de la
Tierra, que se puede obtener con los datos del ejercicio 3.29,
a saber 471 m/s 1700 KPH; ii) la rapidez del sistema solar en su
movimiento de rotacin alrededor del
agujero negro situado en el centro de la Va, Lctea6, 2,29 x 105
m/s 826 000 KPH).
b) 5,95 x10-3 m/s2 (compare con la aceleracin debida a la
rotacin de la Tierra obtenida en el ejercicio 3.29,
0,0342 m/s2, y con la aceleracin del sistema solar debida a su
rotacin galctica, del orden de 2x10-10 m/s2).
c) 4,78 x104 m/s; 3,95 x10-2 m/s2
6 Segn los ms recientes datos, el sistema solar se encuentra a
unos 28 mil aos luz del centro galctico, y
completa una rbita en unos 230 millones de aos. He usado para la
velocidad de la luz el valor definido
exactamente en 1983 como 299.792.458 m/s (ver texto gua, p.6), y
para la duracin de un ao el valor
365,2422 das (ao tropical), que equivalen a 3,1556926x10+07 s,
un ao luz es igual a 9,46052841015 m. Si no se requiere mucha
precisin se suele tomar el valor de 9,5 billones de kilmetros.