Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC 30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu Um modelo de transmissão de moléstias infecciosas envolvendo duas populações: distribuição quase-estacionária e a matriz de covariância Maria Ângela Caldas Didier Departamento de Matemática da UFRPE, Rua D Manoel Medeiros, s/n, Dois Irmãos Recife (0xx)81 3320-6001 E-mail: [email protected]César Augusto Rodrigues Castilho Departamento de Matemática da UFPE, Av. Prof. Moraes Rego, 1235 - Cidade Universitária Recife - PE - CEP: 50670-901 2126.8029 E-mail: [email protected]Resumo: Neste trabalho, são apresentados modelos de acoplamento de jump Markoviano do tipo SIS (JPMDA, JPMCA e om JPMCA- STP), com duas populações de tamanhos constantes. As populações foram distribuídas de forma homogênea com mecanismo de transmissão direta de um indivíduo infectado de uma população para um indivíduo suscetível da outra população. Não existe transmissão entre indivíduos de mesma população. Procurou-se explorar o comportamento da distribuição quase estacionária mostrando-se a dificuldade em determiná-la de forma analítica para este modelo. Para populações de tamanhos suficientemente grandes e para um intervalo [0,T] com T fixo, podemos aproximar o equilíbrio estocástico do equilíbrio determinístico. A matriz de covariância das variáveis aleatórias para um modelo estocástico de acoplamento de SIS satisfaz uma equação diferencial linear. Assim, foi dado um tratamento determinístico para o modelo estocástico e determinamos o equilíbrio da matriz de covariância. A alta variância nos dados obtidos em campo para doenças complexas como a Esquistossomose é um obstáculo na sua descrição. Este fenômeno foi descrito como resultado de um simples acoplamento de modelos SIS entre duas populações. A análise dos resultados obtidos para as distribuições quase-estacionárias e para o equilíbrio da matriz de covariância foi realizada em função da reprodutividade basal, que é um indicador de surto epidêmico. Palavras-chave: Epidemia; Acoplamento de SIS Logístico; Reprodutividade Basal; Processo de jump Markoviano; Distribuição Quase- estacionária; Matriz de Covariância. 1 - Introdução Nos modelos estocásticos, em alguns casos, o tempo até a extinção da doença pode ser muito longo [7]. Portanto, neste trabalho foi investigada a possibilidade de construção de uma distribuição de probabilidade condicionada a não extinção da doença: a distribuição de probabilidade quase-estacionária. Tais tipos de distribuições em cadeias de Markov em tempo discreto foram estudadas por Seneta e Vere Jones [12] e em tempo-contínuo por Darroch e Seneta [11]. Na definição de epidemia, distribuições quase-estacionárias em tempo contínuo foram estudadas por Kryscio e Lefevre [6]. Recentemente, Nasell estudou as distribuições quase-estacionárias para o modelo SIS estocástico em tempo-contínuo sem nascimentos e mortes [8,9] e para o modelo SIR estocástico em tempo-contínuo, também, sem nascimentos e mortes [10]. Ele mostrou que as distribuições quase- estacionárias têm formas diferentes dependendo do valor de R 0 e sua relação com N, o tamanho total da população. Três regiões paramétricas diferentes determinam a forma das distribuições quase-estacionárias. Quando R 0 < 1 ela é aproximadamente geométrica, quando R 0 > 1 ela é aproximadamente normal e existe uma relação de transição quando R 0 se aproxima de 1, a forma da distribuição é complexa. O tempo de extinção também depende das três regiões [10]. Partindo-se desses pressupostos este trabalho teve como objetivo principal apresentar as vantagens e limitações dos modelos determinísticos e estocásticos de acoplamento SIS (suscetíveis – infectados – suscetíveis) através de uma modelagem minimalista. Conseguimos explicitar algumas dificuldades encontradas com a modelagem de doenças mais complexas como a Esquistossomose e as Infecções Hospitalares. 5 ISSN 2317-3297
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Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC
30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu
Um modelo de transmissão de moléstias infecciosas envolvendo duas
populações: distribuição quase-estacionária e a matriz de covariância
Maria Ângela Caldas Didier Departamento de Matemática da UFRPE,
Rua D Manoel Medeiros, s/n, Dois Irmãos Recife (0xx)81 3320-6001 E-mail: [email protected]
César Augusto Rodrigues Castilho Departamento de Matemática da UFPE,
Av. Prof. Moraes Rego, 1235 - Cidade Universitária Recife - PE - CEP: 50670-901 2126.8029