UD II - PROBABILIDADE Assunto 02 DISTRIBUIÇÃO NORMAL.

UD II - PROBABILIDADE

Assunto 02

DISTRIBUIÇÃO

NORMAL

Karl F. Gauss

( 1777- 1855 )

produzido por

Joviano Alfredo Lopes

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO

2. DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE

3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL

4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA5. EXEMPLOS

6. USANDO O EXCEL

7. EXERCÍCIOS

INTRODUÇÃO

introdução

Objetivo da Aula

DETERMINAR PROBABILIDADES

E VALORES DA VARIÁVEL

ALEATÓRIA COM DISTRIBUIÇÃO

NORMAL.

- Distinguir situações em que se aplica o modelo normal

- Esboçar graficamente distribuições normais

- Interpretar gráficos de distribuições normais

objetivos específicos

introdução

introdução

mensurações repetidas de uma mesma quantidade

DF

PERFIL DE UM SINO

introdução

Distribuição Normal

Curva Gaussiana

Curva de Gauss

DISTRIBUIÇÃO

CONTÍNUA DE

PROBABILIDADES

distribuição contínua de probabilidades

a b0 x

f(x)

0)x(f i)

1dx)x(fii)

b<a

Rb e a ,dx)x(f)bXa(P )iii

b

a

fdp

DISTRIBUIÇÃO

NORMAL

distribuição normal

conceito

Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média e desvio padrão se a sua fdp é expressa por:

0>

<<-

<x<-

,e2

1)x(f

2x

2

1


propriedades

2

1

f(x)

x+- 0


propriedades

- curva em forma de sino

- simetria em relação à média

- ponto de máximo da função: ( ,

- pontos de inflexão:

- P ( - < x < + ) = 1

) 2/1

2

e,

2

1


propriedades

- curva assintótica em relação ao eixo dos x

- P ( X = c ) = 0, c R. Logo:

)bXa(P)bXa(P

)bXa(P)bXa(P


localização e abertura da curva normal

fixo e variável

1 > 2

2

1


cálculo das probabilidades

a) dificuldade de integração de f(x);

b) dificuldade de elaboração de múltiplas tabelas de probabilidades, visto que f(x) depende de dois parâmetros, e


cálculo das probabilidades

mudança de variável:transformo X em Z

x

z

onde: z=0 e z=1

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

PADRONIZADA

distribuição normal padronizada

conceito

Chama-se variável normal padronizada a variável aleatória definida pela transformação:

x

z

onde X é uma variável aleatória contínua normalmente distribuída com parâmetros e 2.


modelo matemático

1) N(0, :Z

1

0

,e2

1)z(f z

zz

2

1 2


área sob a curva

Tabela I

)z Z ( P Área 0

z0 Z

Z


áreas sob a curva

)z Z ( P Área 0

z0

Tabela II

exemplos de

aplicação

exemplos de aplicação

a) P( Z > 1,64 ) ?

1,64

solução

Tabela I

) 1,64 Z ( P Área

Z

P( Z > 1,64 ) = 0,0505


b) P( Z < 1,64 ) ?

solução) 1,64 Z ( P Área

Tabela II

Z1,64

Tabela II - Distribuição Z Probabilidade acumulada de menos infinito a Zo, sendo Zo>=0

Zo 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,060,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,52390,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,56360,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,60260,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,64060,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,67720,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,71230,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,74540,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,77640,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,80510,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,83151,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,85541,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,87701,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,89621,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,91311,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,92791,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,94061,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,95151,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608

P( Z < 1,64 ) = 0,9495

P ( Z > z0 ) + P ( Z < z0 ) = 1

Note que:

0,0505 + 0, 9495 = 1

ou, genericamente:


c) Alturas dos Alunos da Universidade “ A ”

=166 cm

=10 cm

X


Escolhido um aluno, ao acaso, qual a probabilidade de sua altura ser superior a 175 cm?

175 X


solução

1841,0

)9,0Z(P

)175X(P

9,0z10

166175z

σ

μxz

175

0,90 z

x166

USANDO O EXCEL

usando o excel

PADRONIZAR(x;;)

PADRONIZAR(81;75;6)

função

exemplo

resultado z=1

significado

x

z

usando o excel

DIST.NORMP(z)

DIST.NORMP(1)

função

exemplo

resultado P(Z<1)=0,8413

significado P(Z< z)

usando o excel

INV.NORMP(P(X< x))

DIST.NORMP(0,0843)

função

exemplo

resultado z = 1

significado valor de z correspondente a x

usando o excel

DIST.NORM(x;;;verdadeiro)

DIST.NORM(81;75;6;verdadeiro)

função

exemplo

resultado P(X< x) = 0,8413

significado P(X< x)

usando o excel

INV.NORM(P(X< x); ;)função

exemplo

resultado x = 81

significado valor de x

INV.NORM(0,8413;75;6)

exercícios

UD II - PROBABILIDADE Assunto 02 DISTRIBUIÇÃO NORMAL.

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