Ukuran Statistika Ukuran Penyebaran Julius Nursyamsi
Ukuran Statistika
Ukuran Penyebaran
Julius Nursyamsi
Pendahuluan
Ukuran penyebaran Suatu ukuran baik parameter atau statistik
untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya
Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data
Data yang belum dikelompokan Grouped data
Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi
Ukuran PenyebaranUkuran penyebaran: Range Deviasi Rata – rata Varian Deviasi standar Range inter-kuartil Deviasi kuartil
Ukuran kecondongan dan keruncingan
Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan
Range – Jarak Merupakan perbedaan antara nilai
terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel
Rumusan RangeRange = Nilai terbesar – nilai
terkecilPerusahaan Harga Saham
Sentul City 530
Tunas Baru 580
proteinprima 650
total 750
Mandiri 840
Range = 840 – 530= 310
Deviasi Rata – rata Populasi
Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnyaRumusan Deviasi rata –rata ( MD)
∑|x - x| MD =
N
X = Nilai data pengamatanX = Rata – rata hitungN = Jumlah data
Contoh Deviasi Rata - RataPerusahaan Indek x - X Nilai Mutlak
Sentul City 7.5 1.14 1.14
Tunas Baru 8.2 1.84 1.84
proteinprima 7.8 1.44 1.44
total 4.8 -1.56 1.56
Mandiri 3.5 -2.86 2.86
Total 31.8 8.84
Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768
MD == ∑|x - X| / n= 8.84 / 5= 1.768
Varians dan Standar Deviasi Populasi
Varians Rata – rata hitung deviasi kuadrat
setiap data terhadap rata – rata hitungnya
Rumus varians populasi (X - µ )2
2= N
µ = (∑ X) / N
X = Nilai data pengamatanµ = Nilai rata – rata hitungN = Jumlah total data
Contoh Kasus Varians
Perusahaan Indek X - µ (X - µ)²
Sentul City 7.5 1.14 1.2996
Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856
proteinprima 7.8 1.44 2.0736
total 4.8 -1.56 2.4336
Mandiri 3.5 -2.86 8.1796
Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372
Rata - rata (µ) 6.36 ² 3.4744
(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5
Standar deviasi Akar kuadrat dari varians dan
menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya
Rumus standar deviasi
(X - µ )2
= N
Standar Deviasi
atau = ²
Contoh Kasus Standar Deviasi
(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5
Nilai varians :
Nilai standar deviasi : = 3.4744 = 1.864
Nilai penyimpangan sebesar 1.864
Varians dan Standar Deviasi Sampel
Varians
Standar deviasi
(x - x )2
s 2= n -1
S = s²
Contoh Kasus Sampel
No PerusahaanHarga saham x - X (x - X)²
1 Jababeka 215 -358 128164
2 Indofarma 290 -283 80089
3 Budi Acid 310 -263 69169
4 Kimia farma 365 -208 43264
5 Sentul City 530 -43 1849
6 Tunas Baru 580 7 49
7 proteinprima 650 77 5929
8 total 750 177 31329
9 Mandiri 840 267 71289
10 Panin 1200 627 393129
Jumlah 5730 824260
Rata - Rata (X) 573 s² 91584.44
S 302.63
Varians : ∑(x – X)²s² = n – 1s² = 824260 / 9s² = 91584.44
Standar deviasi :S = s²S = 91584.44S = 302.63
Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan
Range – Jarak Merupakan selisih antara batas
atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah
Rumusan RangeRange = Batas atas kelas
tertinggi – nilai terkecil
Kelas1 215 21222 2123 40303 4031 59384 5939 78465 7847 9754
Interval
Contoh RangeBatas atasKelas terendah
Batas atas Kelas tertinggi
Range := 9754 – 215= 9539
Deviasi Rata - Rata
Rumus deviasi rata - rata
f. |x - x| MD = n
Rata – rata hitung data dikelompokanx = ( f.x ) / n
Contoh Kasus Kelas
Interval Kelas f
Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X|
1 16 24 10 20 200 13.68 136.8
2 25 33 18 29 522 4.68 84.24
3 34 42 14 38 532 4.32 60.48
4 43 51 4 47 188 13.32 53.28
5 52 60 2 56 112 22.32 44.64
6 61 69 2 65 130 31.32 62.64
Total 50 255 1684 89.64 442.08
Rata - rata (X) 33.68
MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416
Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan
Varians
Standar deviasi
f. (x - x )2
s 2= n -1
S = s²
Contoh Kasus Kelas Interval Kelas f
Titik tengah (x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|²
1 16 24 10 20 200 13.68 187.1424 1871.424
2 25 33 18 29 522 4.68 21.9024 394.2432
3 34 42 14 38 532 4.32 18.6624 261.2736
4 43 51 4 47 188 13.32 177.4224 709.6896
5 52 60 2 56 112 22.32 498.1824 996.3648
6 61 69 2 65 130 31.32 980.9424 1961.885
Total 50 255 1684 89.64 1884.254 6194.88
Rata - rata (X) 33.68
Varians :s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 = 6194.88 / 49 = 126.4261
Standar deviasi :S = s² = 126.4261 = 11.2439
Ukuran Penyebaran Relatif
Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatifPenggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : Data mempunyai satuan penguikuran
yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang
sama
Ukuran Penyebaran Relatif
Koefisien rangeKoefisien deviasi rata-rataKoefisien deviasi standar
Koefisien Range
Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatifRumusan :
KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %La : Batas atas data atau kelas tertinggiLb : Batas bawah data atau kelas terendah
Contoh Koefisien Range
KelasInterval Kelas f
1 16 24 102 25 33 183 34 42 144 43 51 45 52 60 26 61 69 2
La : Kelas tertinggi = 69Lb : Kelas terendah = 16
KR := (La – Lb) / (La + Lb)= (69 – 16 ) / (69 + 16)= 53 / 85= 0.6235 x 100 %= 62.35 %
Koefisien Deviasi Rata - Rata
Koefisien deviasi rata – rata Ukuran penyebaran dengan
menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya
Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100%MD = Deviasi rata - rataX = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus
Data dikelompokan : MD = 8.8416 X = 33.68
Koefisien deviasi rata – rata :KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 % = 0.2625 x 100 %
= 26.25 %
Koefisien Standar Deviasi
Koefisien standar deviasi Ukuran penyebaran yang
menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase
Rumus KSD = [ s / x ] x 100 %
S = Standar deviasiX = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus
Data dikelompokan Standar deviasi = 11.2439 Rata – Rata hitung (x) = 33.68
Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 %
= 33.38 %
Ukuran Kecondongan - Skewness
Ukuran kecondongan – kemencengan Kurva tidak simetris
Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan mediaPendekatan : Jika Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan
Koefisien Skewness
Sk = [µ - Mo ] / atau = 3.[µ - Md] /
µ = Nilai rata – rata hitungMo = Nilai modusMd = Nilai median = Standar deviasi
Contoh kasus data dikelompokanµ = 33.68Mo = 18Md = 32 = 11.2439
Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439Sk = 15.68 / 11.2439Sk = 1.394
Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439Sk = 5.04 / 11.2439Sk = 0.4482
Ukuran Keruncingan - Kurtosis
Keruncingan disebut juga ketinggian kurvaPada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : Leptokurtis = Sangat runcing Mesokurtis = Keruncingan sedang Platykurtis = Kurva datar
Koefisien Kurtosis
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis Mesokurtik 4 = 3 Leptokurtik 4 > 3 Platikurtik 4 < 3
Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)
4 =
1/n ∑(x - )4
4
Nilai data
Koefisien Kurtosis
Koefisien kurtosis (data dikelompokan)
4 =
1/n ∑ f. (X - )4
4
Nilai rata – rata hitungStandar deviasi
Nilai tengah kelas
Jumlah Frekuensi
Rata – Rata Geometrik
Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rateRumus :
G = n (x1 . x2 . x3 . … xn )
G = [log x1 + log x2 +… log xn]n
G = Antilog (log G)
ContohData pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 %Tingkat pertumbuhan :G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 +
log 1.2 + log 2.5 ] / 5G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079
+ 0.397] / 5G = 1.5464 / 5 = 0.30928G = antilog 0.30928 = 2.03
Ukuran Penyebaran Lain
Range Inter-Kuartil Jarak inter-kuartil = K3 – K1
Jika : Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ;
Bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke nilai rata-rata hitung (seragam)
Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam
Ukuran Penyebaran Lain
Deviasi Kuartil Setengah jarak antara kuartil ke 3
dan kuartil ke 1
Rumusan Deviasi kuartil – DKDK = [ K3 – K1 ] / 2
Jika DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih
mewakili keseluruhan data
Ukuran Penyebaran Lain
Jarak persentil Selisih antara persentil ke 90 dengan
persentil ke 10
Rumusan jarak persentil - JPJP = P90 – P10
Jika JP lebih besar Bahwa nilai deviasi lebih besar