Twierdzenie o odcinkach w czworokącie

Twierdzenie o odcinkach w czworokącie

Zacznijmy od nietrudnego zadania szkolnego, które swego czasu podsunęła mi do rozwiązania koleżanka z pracy.

Zadanie 1. Odcinek w trójkącie. W trójkącie ABC poprowadzono z wierzchołka C środkową CD. Z wierzchołka A poprowadzono przez środek odcinka CD prostą, która

przecina bok BC w punkcie E. Wyznaczyć stosunek

Rozwiązanie. Poprowadźmy prostą przechodzącą przez punkt D i równoległą do prostej AE. Z twierdzenia Talesa dla trójkąta CDF mamy

skąd

Z kolei stosując twierdzenie Talesa dla trójkąta ABE otrzymujemy

skąd

Zatem

Pomyślałem, że to zadanie może być punktem wyjścia do ułożenia zadania konkursowego. Od razu wpadłem na pomysł by wykorzystać ideę tego zadania w równoległoboku. I tak ułożyłem poniższe zadanie.

Zadanie 2. Odcinek w równoległoboku. Z wierzchołka A równoległoboku ABCD poprowadzono prostą przecinającą bok CD w punkcie E, a przekątną BD w punkcie P takim, że Wyznaczyć stosunek Rozwiązanie. Poprowadźmy prostą OK przechodzącą przez O i równoległą do AE. Wówczas z

twierdzenia Talesa

oraz czyli

Wobec tego

Jednak po pewnym czasie stwierdziłem, że zadanie w tej wersji może być trochę za łatwe i dodałem jeszcze druga prostą przechodzącą przez wierzchołek A i przecinającą bok BC. W ten sposób otrzymujemy kolejne zadanie, które finaliści X KPZM im. M. Rejewskiego rozwiązywali w kategorii klas pierwszych.

Zadanie 3. Odcinki w równoległoboku. Niech E i F będą punktami boków CD i BC równoległoboku ABCD. Prosta AE przecina przekątną BD w punkcie P takim, że

a prosta AF przecina przekątną BD w punkcie R takim, że

Wyznaczyć

1

Twierdzenie o odcinkach w czworokącie

Rozwiązanie.

Z rozwiązania zadania 2 mamy Analogicznie wyznaczamy drugi stosunek.

Poprowadźmy prostą OL przechodzącą przez O i równoległą do AF. Wówczas z

twierdzenia Talesa

i

czyli oraz

Wobec tego

Zatem

Nasuwa się naturalne pytanie, czy to musi być równoległobok. Odpowiedzią jest zadanie z finału X KPZM im. M. Rejewskiego w kategorii klas drugich.

Zadanie 4. Odcinki w czworokącie. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym przekątne przecinają się w stosunku 1:2 licząc od wierzchołków A i B. Niech E i F będą punktami boków CD i BC czworokąta ABCD. Prosta AE przecina przekątną BD w punkcie P, a prosta AF przecina przekątną BD w punkcie R takim, że

Wyznaczyć

Rozwiązanie. Poprowadźmy prostą OK przechodzącą przez przechodzącą przez O i równoległą do AE.

Wówczas z twierdzenia Talesa oraz czyli

Wobec tego

Analogicznie wyznaczamy drugi stosunek. Poprowadźmy prostą OL przechodzącą przez O i równoległą do AF. Wówczas z twierdzenia

Talesa i

czyli oraz

Wobec tego

Zatem

Zmodyfikujmy dalej zadanie tak, aby na wszystkich bokach czworokąta obrać punkty. Obliczmy wówczas iloczyn nie dwóch a czterech odpowiednich stosunków. Treść wówczas wyglądałaby następująco.

2

Twierdzenie o odcinkach w czworokącie

Zadanie 5. Odcinki w czworokącie. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym przekątne przecinają się w stosunku 1:2 licząc od wierzchołków A i B. Niech K, L, M i N będą punktami boków odpowiednio AB, BC, CD i DA czworokąta ABCD. Proste AM i CN przecinają przekątną BD w punkcie P, a proste AL i CK przecinają przekątną BD w

punkcie R takim, że Wyznaczyć

Rozwiązanie. Wykorzystamy tym razem twierdzenie Menalaosa kolejno dla 1) trójkąta AOB i prostej CK,2) trójkąta BOC i prostej AL,3) trójkąta COD i prostej AM,4) trójkąta DOA i prostej CK.

Mamy wówczas

Wobec tego skąd

Wobec tego skąd

Wobec tego skąd

Wobec tego skąd

Zatem

Uzyskaliśmy więc wynik „Cevo-podobny” dla czworokąta. W powyższym rozwiązaniu wykorzystywaliśmy stosunki podziału przekątnych. Wydaje się, że są one niezbędne by uzyskać iloczyn stosunków równy 1. Ale czy na pewno?

Zadanie 6. Odcinki w czworokącie(wersja 2). Niech K, L, M i N będą punktami boków odpowiednio AB, BC, CD i DA czworokąta wypukłego ABCD. Proste AL i CK przecinają przekątną BD w punkcie P, a proste AM i CN przecinają przekątną BD w punkcie R.

Wyznaczyć

Rozwiązanie.Rozwiązanie oprzemy nie na twierdzeniu Menelaosa, lecz na twierdzeniu Cevy (co niektórym czytelnikom na pewno nasunęło się w trakcie rozwiązywania zadania 5) dla trójkątów ABC i ACD.Otrzymujemy więc

3

Twierdzenie o odcinkach w czworokącie

oraz

Mnożąc powyższe równości stronami dostajemy

czyli

Możemy więc sformułować twierdzenie.

Twierdzenie (o odcinkach w czworokącie). Niech K, L, M i N będą punktami boków odpowiednio AB, BC, CD i DA czworokąta wypukłego ABCD. Jeżeli proste AL, CK i przekątna BD przecinają się w jednym punkcie, a proste AM, CN i przekątna BD przecinają się w jednym punkcie, to

Patrząc tylko na tezę powyższego twierdzenia chciałoby się powiedzieć, że otrzymaliśmy uogólnione twierdzenie Cevy. Ale czy możemy tak je nazwać? Z dwóch powodów wydaje się to ryzykowne. Po pierwsze mamy w naszym czworokącie dwie trójki prostych przecinających się w dwóch punktach a nie w jednym. Po drugie znane już jest w literaturze uogólnienie twierdzenia Cevy, którym jest twierdzenie Ponceleta. Przypomnijmy je więc w wersji dla pięciokąta.

Twierdzenie Ponceleta. Niech ABCDE będzie dowolnym pięciokątem wypukłym, na którego bokach obrano punkty różne od wierzchołków w następujący sposób:

Wówczas jeżeli proste i przecinają się w jednym punkcie, to

Dowód. Niech proste i przecinają się w punkcie P. Mamy

wówczas

gdzie - oznacza pole figury F.Analogicznie otrzymujemy równości

4

Twierdzenie o odcinkach w czworokącie

Mnożąc stronami powyższe pięć równości otrzymujemy tezę.

Twierdzenie Ponceleta prawdziwe jest także dla wszystkich wielokątów wypukłych o nieparzystej liczbie boków. Sformułowanie tego uogólnienia i jego dowód pozostawiamy jako ćwiczenie Czytelnikowi.Widzimy ponadto, że twierdzenie Ponceleta nie dotyczy czworokątów. Zatem czy nasze twierdzenie o odcinkach w czworokącie można by jednak nazwać twierdzeniem Cevy dla czworokątów?Na koniec proponuję by Czytelnik zastanowił się nad twierdzeniami odwrotnymi do twierdzenia Ponceleta i twierdzenia o odcinkach w czworokącie.

5