1 Ph-¬ng tr×nh , BÊt ph-¬ng tr×nh v« tØ Bµi 1: Gi¶i ph ¬ng tr× nh a) 3 3 1 2 2 1 x x3 3 3 3 1 2 2 1 2 1 1 2 x xy x y x- Ph¬ng tr ×nh ®îc chuy Ón thµn h hÖ 3 3 3 3 3 3 2 2 3 1 1 2 1 2 1 2 1 5 2 1 2 2( ) 2 0( ) 1 5 1 2 2 x y x y x y x y x y x y y x x y x y x xy y vn x y x y - VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm. b) 2 2 1 1 ( 1 2 1 ) x x x§S:x=1/2; x=1 c) 2 ( 3 2 1) 4 9 2 3 5 2 x x x x x§S: x=2. d) 1 ( 3 )( 1 ) 4( 3 ) 3 3 xx x xx§S: 1 13; 1 5 x xe) 2 2 1 1 2 2 4 ( ) x xx x- Sö dông B§T Bunhia. f) 4 1 1 2 x x x§S: x=0 Bµi 2: Gi¶i BPT: a) 5 1 4 1 3 x x x§S: x≥1/4 b) 2 2( 16) 7 3 3 3 x xxx x§K 2 16 0 4 3 0 xxx- BiÕn ®«Ø bÊt ph¬ng tr×n h vÒ d¹ng 2 2 2 2 2( 16) 3 7 2( 16) 10 2 10 2 0 5 10 2 0 10 34 . 10 3 4 5 2( 16) ( 10 2 ) x x x x xxxxxxx x- KÕt hîp §K ta cã nghiÖm cña BPT lµ 10 34 x. c) ( 1)(4 ) 2 x x x.
35
Embed
Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
1- Khi ®ã ph ¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh m=t2+t-5t2+t-5-m=0 (1).- NÕu ph ¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm t1; t2 th× t1+ t2 =-1. Do ®ã (1) cã nhiÒu nhÊt 1 nghiÖm - VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng 2 nghiÖm d ¬ng khi vµ chØ khi ph ¬ng tr×nh (1) cã ®nghiÖm t (1; 5) .
- §Æt g(t)=t2+t-5. Ta ®i t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh g(t)=m cã ®óng 1 nghiÖm t (1; 5) .
f’(t)=2t+1>0 víi mäi t (1; 5) . Ta cã BBT sau:t 1 5
g’(t) +g(t) 5
-3Tõ BBT suy ra -3<m< 5 lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m.Bµi 6: X¸c ®Þnh m ®Ó ph ¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
Đặt 2(4 )(2 ) 2 8; [0;3]t x x x x t . Bất phƣơng trình trở thành:2 21
(10 ) 4 104
t a t a t t .(2)
(1)ghiệm (2) có nghiệm mọi t [0;3]đƣờng thẳng y=a nằm trên ĐTHSy=t2-4t+10 với t [0;3]y’=2t-4; y’=0t=2
t 0 2 3y’ - 0 +y 10 7
6Vậy m≥10. Bài 10: Cho phƣơng trình 4 2 2 2( 1) x x x m x (1). Tìm m để phƣơng trình có nghiệm.Giải:Phƣơng trình đã cho tƣơ ng đƣơ ng
3 2 2 22
2 2 2 2 2 2
4( ) 4 ( 1) 4 2 24 2. ( ) 4
(1 ) (1 ) 1 1
x x x x x x x x m m m
x x x x
Đặt t=2
2
1
x
x ; t [-1;1].
Khi đó phƣơng trình (1) trở thành 2t+t2=4m.(1) có nghiệm (2) có nghiệm t [-1;1]Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t [-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t [-1;1].t -1 1f’ 0 +
f 3
-1
Từ BBT -1≤4m≤3 1 3
4 4m .
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
I. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG1. Bình phƣơng 2 vế của phƣơng trình
a) Phƣơng pháp
Thông thƣờng nếu ta gặp phƣơng trình dạng : A B C D , ta thƣờng bình phƣơngđiều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
3 3 3 33 33 . A B C A B A B A B C
và ta sử dụng phép thế : 3 3 A B C ta đƣợc phƣơng trình : 33 . . A B A B C C
b) Ví dụ
Bài 1. Giải phƣơng trình sau : 3 3 1 2 2 2 x x x x Giải: Đk 0 x
Bình phƣơng 2 vế không âm của phƣơng trình ta đƣợc: 1 3 3 1 2 2 1 x x x x x , để g
phƣơng trình này dĩ nhiên là không khó nhƣng hơi phức tạp một chút . Phƣơng trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phƣơng trình : 3 1 2 2 4 3 x x x x
Bình phƣơng hai vế ta có : 2 26 8 2 4 12 1 x x x x x Thử lại x=1 thỏa
Nhận xét : Nếu phƣơng trình : f x g x h x k x
Mà có : f x h x g x k x , thì ta biến đổi phƣơng trình về dạng :
f x h x k x g x sau đó bình phƣơng ,giải phƣơng trình hệ quả
Bài 2. Giải phƣơng trình sau :3
211 1 3
3
x x x x x
x
Giải: Điều kiện : 1 x Bình phƣơng 2 vế phƣơng trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển nhƣ thế nào?
Ta có nhận xét :3
21. 3 1. 1
3
x x x x x
x, từ nhận xét này ta có lời giải nhƣ sau :
321
(2) 3 1 13
x x x x x
x
Bình phƣơng 2 vế ta đƣợc:3
2 2 1 31 1 2 2 03 1 3
x x x x x x x x
Thử lại : 1 3, 1 3 x x l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phƣơng trình : f x g x h x k x
Mà có : . . f x h x k x g x thì ta biến đổi f x h x k x g x
2. Trục căn thức2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a)
Phƣơng phápMột số phƣơng trình vô tỉ ta có thể nhẩm đƣợc nghiệm 0 x nhƣ vậy phƣơng trình luôn đƣa về
dạng tích 0x x A x ta có thể giải phƣơng trình 0A x hoặc chứng minh 0A x vô n
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
dạng tích 0x x A x ta có thể giải phƣơng trình 0A x hoặc chứng minh 0A x vô n
b) Ví dụ
Bài 1 . Giải phƣơng trình sau : 2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x
Giải:
Ta nhận thấy : 2 23 5 1 3 3 3 2 2 x x x x x v 2 2
2 3 4 3 2 x x x x
Ta có thể trục căn thức 2 vế :2 22 2
2 4 3 6
2 3 43 5 1 3 1
x x
x x x x x x x
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình .
Bài 2. Giải phƣơng trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 212 5 3 5 x x x
Giải: Để phƣơng trình có nghiệm thì : 2 2 512 5 3 5 0
3 x x x x
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phƣơng trình , nhƣ vậy phƣơng trình có thể phân tích về dạng2 0 x A x , để thực hiện đƣợc điều đó ta phải nhóm , tách nhƣ sau :
2 2
2 2
2 2
2 2
4 412 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 12 3 0 2
12 4 5 3
x x x x x x
x x
x x x x
x x
Dễ dàng chứng minh đƣợc :2 2
2 2 53 0,
312 4 5 3
x x x
x x
Bài 3. Giải phƣơng trình : 2 331 1 x x x
Giải :Đk 3 2 x Nhận thấy x=3 là nghiệm của phƣơng trình , nên ta biến đổi phƣơng trình
22 33
2 32 233
3 3 931 2 3 2 5 3 1
2 51 2 1 4
x x x x x x x x
x x x
Ta chứng minh :22
2 2 23 33
3 31 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
2
3
3 9
2 5
x x
x
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đƣa về “hệ tạm “
a) Phƣơng pháp
Nếu phƣơng trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải nhƣ sau :
A BC A B
A B, khi đĩ ta có hệ: 2
A B C A C
A B
b) Ví dụ
Bài 4. Giải phƣơng trình sau : 2 22 9 2 1 4 x x x x x
Giải:
Ta thấy : 2 22 9 2 1 2 4 x x x x x
4 x không phải là nghiệmXét 4 x
2 22 8x
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
Bài 1. Giải phƣơng trình : 3 3 x x x Giải: Đk: 0 3 x khi đó pt đ cho tƣơng đƣơng
: 3 23 3 0 x x x
331 10 10 1
3 3 3 3 x x
Bài 2. Giải phƣơng trình sau : 22 3 9 4 x x x Giải:
Đk: 3 x phƣơng trình tƣơng đƣơng :2
2
13 1 3
1 3 9 5 3 1 3
18
x x x
x x x x x
Bài 3. Giải phƣơng trình sau :22 332 3 9 2 2 3 3 2 x x x x x
Giải : pttt3
3 32 3 0 1 x x x
II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông thƣờng Đối với nhiều phƣơng trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x và chú ý điều kiện củt nếu phƣơng trình ban đầu trở thành phƣơng trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải đƣợ
phƣơng trình đó theo t thì việc đặt phụ xem nhƣ “hoàn toàn ” .Nói chung những phƣơng trình mà cóđặt hoàn toàn t f x thƣờng là những phƣơng trình dễ .
Bài 1. Giải phƣơng trình: 2 21 1 2 x x x x
Điều kiện: 1 x
Nhận xét. 2 21. 1 1 x x x x
Đặt 21t x x thì phƣơng trình có dạng:
12 1t t
t
Thay vào tìm đƣợc 1 x
Bài 2. Giải phƣơng trình: 22 6 1 4 5 x x x
Giải
Điều kiện:4
5 x
Đặt 4 5( 0)t x t thì2
54
t x . Thay vào ta có phƣơng trình sau:
4 22 4 210 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 016 4
t t t t t t t
2 2( 2 7)( 2 11) 0t t t t
Ta tìm đƣợc bốn nghiệm là: 1,2 3,41 2 2; 1 2 3t t
Do 0t nên chỉ nhận các gái trị 1 31 2 2, 1 2 3t t
Từ đó tìm đƣợc các nghiệm của phƣơng trình l: 1 2 2 3vaø x x
Cách khác: Ta có thể bình phƣơng hai vế của phƣơng trình với điều kiện 22 6 1 0 x x Ta đƣợc: 2 2 2
( 3) ( 1) 0 x x x , từ đó ta tìm đƣợc nghiệm tƣơng ứng.
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
Bài 3.Giải phƣơng trình sau: 5 1 6 x x Điều kiện: 1 6 x
Đặt 1( 0) y x y thì phƣơng trình trở thnh: 2 4 25 5 10 20 0 y y y y y ( với
5) y2 2
( 4)( 5) 0 y y y y1 21 1 17
,2 2
(loaïi) y y
Từ đó ta tìm đƣợc các giá trị của
11 17
2 x
Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phƣơng trình sau :2
2004 1 1 x x x
Giải: đk 0 1 x
Đặt 1 y x pttt2 2
2 1 1002 0 1 0 y y y y x
Bài 5. Giải phƣơng trình sau : 2 12 3 1 x x x x
x
Giải:
Điều kiện: 1 0 x Chia cả hai vế cho x ta nhận đƣợc:
1 12 3 x x
x x
Đặt1
t x x
, ta giải đƣợc.
Bài 6. Giải phƣơng trình : 2 4 232 1 x x x x
Giải: 0 x không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta đƣợc: 31 1
2 x x x x
Đặt t= 3 1 x x
, Ta có : 3 2 0t t 1 512
t x
Bài tập đề nghịGiải các phƣơng trình sau
2 215 2 5 2 15 11 x x x x
2( 5)(2 ) 3 3 x x x x
2(1 )(2 ) 1 2 2 x x x x
2 2
17 17 9 x x x x 2
3 2 1 4 9 2 3 5 2 x x x x x
2 211 31 x x
2 2 22 (1 ) 3 1 (1 ) 0
nn n x x x
2(2004 )(1 1 ) x x x
( 3 2)( 9 18) 168 x x x x x 32 2
1 2 1 3 x x
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ nhƣ trên chúng ta chỉ giải quyết đƣợc một lớp bài đơn giản, phƣơng trình đối với t lại quá khó giải2. Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phƣơng trình: 2 2
0u uv v (1) bằng cách
Xét 0v phƣơng trình trở thành :2
0u u
v v
0v thử trực tiếpCác trƣờng hợp sau cũng đƣa về đƣợc (1)
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
Bài 2.Giải phƣơng trình sau : 2 22 2 1 3 4 1 x x x x x
Giải
Đk1
2 x . Bình phƣơng 2 vế ta có :
2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x x
Ta có thể đặt :2
2
2 1
u x x
v x khi đó ta có hệ : 2 2
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v
Do , 0u v . 21 5 1 52 2 12 2
u v x x x
Bài 3. giải phƣơng trình : 2 25 14 9 20 5 1 x x x x x
Giải:
Đk 5 x . Chuyển vế bình phƣơng ta đƣợc: 2 22 5 2 5 20 1 x x x x x
Nhận xét : không tồn tại số , để : 2 22 5 2 20 1 x x x x x vậy ta không thể đ
220
1
u x x
v x.
Nhƣng may mắn ta có : 2 220 1 4 5 1 4 4 5 x x x x x x x x x
Ta viết lại phƣơng trình: 2 22 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4) x x x x x x . Đến đây bài toán đƣợ
quyết .Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phƣơng trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên
3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Từ những phƣơng trình tích 1 1 1 2 0 x x x , 2 3 2 3 2 x x x x
Khai triển và rút gọn ta sẽ đƣợc những phƣơng trình vô tỉ không tầm thƣờng chút nào, độ khó của phtrình dạng này phụ thuộc vào phƣơng trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phƣơng trình dạng này .Phƣơng pháp giải đƣợc thể hiện qua các vsau .
Bài 1. Giải phƣơng trình : 2 2 23 2 1 2 2 x x x x
Giải:
22t x , ta có : 2
32 3 3 0
1
t t x t x
t x
Bài 2. Giải phƣơng trình : 2 21 2 3 1 x x x x
Giải:
Đặt : 22 3, 2t x x t Khi đó phƣơng trình trở thnh :
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
Đặt : 2 3, 2t x x t Khi đó phƣơng trình trở thnh :
Bây giờ ta thêm bớt , để đƣợc phƣơng trình bậc 2 theo t có chẵn
: 2 22
2 3 1 2 1 0 1 2 1 01
t x x x t x t x t x
t x
Từ một phƣơng trình đơn giản : 1 2 1 1 2 1 0 x x x x , khai triển ra ta sẽ đƣợ
sau
Bài 3. Giải phƣơng trình sau : 24 1 1 3 2 1 1 x x x x Giải:
Nhận xét : đặt 1t x , pttt: 4 1 3 2 1 x x t t x (1)
Ta rút 21 x t thay vào thì đƣợc pt: 2
3 2 1 4 1 1 0t x t x
Nhƣng không có sự may mắn để giải đƣợc phƣơng trình theo t2
2 1 48 1 1 x x
có dạng bình phƣơng .
Muốn đạt đƣợc mục đích trên thì ta phải tách 3x theo2 2
1 , 1 x x
Cụ thể nhƣ sau : 3 1 2 1 x x x thay vào pt (1) ta đƣợc: Bài 4. Giải phƣơng trình: 2
2 2 4 4 2 9 16 x x x Giải .
Bình phƣơng 2 vế phƣơng trình: 2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16 x x x x
Ta đặt : 22 4 0t x . Ta đƣợc: 2
9 16 32 8 0 x t x
Ta phải tách 2 2 29 2 4 9 2 8 x x x làm sao cho t có dạng chí nh phƣơng .
Nhận xét : Thông thƣờng ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt đƣợc mục đích
4. Đặt nhiều ẩn phụ đƣa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra đƣợc những phƣơng trình vô tỉ mà khinó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đƣa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức3 3 3 3
3a b c a b c a b b c c a , Ta có33 3 3
0a b c a b c a b a c b c
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phƣơng trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .2 23 33 7 1 8 8 1 2 x x x x x
3 3 3 33 1 5 2 9 4 3 0 x x x x
Bài 1. Giải phƣơng trình : 2 . 3 3 . 5 5 . 2 x x x x x x x
Giải :
2
3
5
u x
v x
w x
, ta có :
2
2
2
22
3 3
5 5
u v u wu uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu v w u w
, giải hệ ta đƣợc:
30 239
60 120u x
Bài 2. Giải phƣơng trình sau : 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2 x x x x x x x
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
Phƣơng trình : 33 23 327 81 8 27 54 36 54 27 81 8 3 2 46 x x x x x x
Ta đặt : 33 2 81 8 y x Các em hãy xây dựng những phƣơng trình dạng này !
III. PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phƣơng : 2 2
0 A B , ta xây dựng phƣơng trình dạng 2 20 A B
Từ phƣơng trình2 2
5 1 2 9 5 2 1 0 x x x x ta khai triển ra có phƣơng trình :
24 12 1 4 5 1 9 5 x x x x x
2. Dùng bất đẳng thức
Một số phƣơng trình đƣợc tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: A m
B m nếu dấu bằng ỏ (1) và (
dạt đƣợc tại 0 x thì 0
x là nghiệm của phƣơng trình A B
Ta có : 1 1 2 x x Dấu bằng khi và chỉ khi 0 x và1
1 21
x x
, dấu bằng khi và
khi x=0. Vậy ta có phƣơng trình: 11 2008 1 2008 11
x x x x
Đôi khi một số phƣơng trình đƣợc tạo ra từ ý tƣởng :( )
A f x
B f x khi đó :
A f x A B
B f x
Nếu ta đoán trƣớc đƣợc nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhƣng có nhiều bàinghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không đƣợc, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá đƣợc
Bài 1. Giải phƣơng trình (OLYMPIC 30/4 -2007):2 2
91
x x x
Giải: Đk 0 x
Ta có :
2 222 2 1
2 2 1 911 1
x x x x
x x x
Dấu bằng2 2 1 1
71 1 x
x x
Bài 2. Giải phƣơng trình : 2 4 2 413 9 16 x x x x
Giải: Đk: 1 1 x Biến đổi pt ta có :
22 2 2
13 1 9 1 256 x x x
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
2 2 2 2 213. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10 x x x x x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:2
2 2 1610 16 10 64
2 x x
Dấu bằng
2
2
2 2
21
513
210 16 10
5
x x x
x x x
Bài 3. giải phƣơng trình: 3` 2 43 8 40 8 4 4 0 x x x x
Ta chứng minh : 48 4 4 13 x x và23 2
3 8 40 0 3 3 13 x x x x x x
Bài tập đề nghị . Giải các phƣơng trình sau
1 2 1 21 2 1 21 2 1 2
x x x x x x
4 4 41 1 2 8 x x x x 4 4 4
2 8 4 4 4 4 x x x
4 3316 5 6 4 x x x 3` 2 43 8 40 8 4 4 0 x x x x
3 3 4 28 64 8 28 x x x x
2
2
1 12 2 4 x x
x x
3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học
3.1 Dùng tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: 1 1 2 2; , ;u x y v x y
khi đó ta có
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2u v u v x x y y x y x y
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ ,u v
cùng hƣớng 1 1
2 2
0 x y
k x y
, chú ý tỉ số phải d
. . .cos .u v u v u v
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos 1 u v
3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác
Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA MB MC OA OB OC với O là tâm của đƣờng tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nnhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dƣới cùng một góc 0
120
Bài tập
1) 2 2 22 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 3 x x x x x x
2) 2 24 5 10 50 5 x x x x
IV. PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ1.Xây dựng phƣơng trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu y f t là hàm đơn điệu thì f x f t x t ” ta có thể xây dựn
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. PHƢƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG
Dạng 1 : Phƣơ ng trình(*)
0 x D
A B A B A B
Lư u ý : Điều kiện (*) đƣợc chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của 0 A hay 0 B
Dạng 2: Phƣơ ng trình2
0 B A B
A B
Dạng 3: Phƣơ ng trình
+)
0
0
2
A
A B C B
A B AB C
(chuyển về dạng 2)
+) 3 3 3 33 33 . A B C A B A B A B C
và ta sử dụng phép thế : 3 3 A B C ta đƣợc phƣơng trình : 33 . . A B A B C C
Bài 1: Giải phƣơ ng trình:
a) 21 1 x x
b) 2 3 0 x x
c) 21 1 x x
e) 3 2 1 3 x x
f) 3 2 1 x x
g) 9 5 2 4 x x
h) 3 4 2 1 3 x x x
i) 2 2( 3) 10 12 x x x x
II.PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông thƣờng.
- Nếu bài toán có chứa ( ) f x và ( ) f x khi đó đặt ( )t f x (với điều kiện tối thiểu là 0t . đối vphƣơng trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). - Nếu bài toán có chứa ( ) f x , ( )g x và ( ). ( ) f x g x k (với k là hằng số) khi đó có thể đặt :
( )t f x , khi đó ( )k
g xt
- Nếu bài toán có chứa ( ) ( ) ; ( ). ( ) f x g x f x g x và ( ) ( ) f x g x k khi đó có thể đặt:
( ) ( )t f x g x suy ra2
( ). ( )2
t k f x g x
- Nếu bài toán có chứa 2 2a x thì đặt sin x a t với
2 2t hoặc cos x a t với 0 t
- Nếu bài toán có chứa2 2
x a thì đặt sin
a
x t với ; \ 02 2t hoặc cos
a
x t với
0 \
Bài 2: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 2 23 2 2 x x m x x
Bài 3: Cho phƣơ ng trình: 21 x x m
-Giải phƣơ ng trình khi m=1
-Tìm m để phƣơng trình có nghiệm. Bài 4: Cho phƣơ ng trình: 2
2 3 x mx x m -Giải phƣơ ng trình khi m=3-Với giá trị nào của m thì phƣơng trình có nghiệm.
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
-Giải phƣơng trình với m = 9 -Tìm m để phƣơng trình có nghiệm.
2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phƣơng trình ban đầu thành một phƣơng trình với một ẩn phụ nhƣngsố vẫn còn chứa x.
-Từ những phƣơng trình tích 1 1 1 2 0 x x x , 2 3 2 3 2 0 x x x x
Khai triển và rút gọn ta sẽ đƣợc những phƣơng trình vô tỉ không tầm thƣờng chút nào, độ khó của phƣơndạng này phụ thuộc vào phƣơng trình tích mà ta xuất phát. Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phƣơng trình dạng này .Phƣơng pháp giải đƣợc thể hiện qua các ví d
Bài 1. Giải phƣơng trình : 2 2 23 2 1 2 2 x x x x
Giải: 22t x , ta có : 2
32 3 3 0
1
t t x t x
t x
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
Cách giải : Đặt: dy e ax b khi đó phƣơng trình đƣợc chuyển thành hệ: 2
22( )
dy e ax bdy e ax b
dy e c dx e x c dy e x dy e->giải
Nhận xét : Dể sử dụng đƣợc phƣơng pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phƣơng trình ban đầu về dạng thmãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn ; thông thƣờng chúng ta chỉ cần viết dƣới dạng
: ' 'n n x p a x b là chọn đƣợc.
c) Dạng phƣơng trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
33 ax b c dx e x vớid ac
e bc
Cách giải : Đặt 3dy e ax b khi đó phƣơng trình đƣợc chuyển thành hệ: 3 33
3 3 3
( ) ( )
dy e ax bdy e ax b c dy e acx bc
dy e c dx e x c dx e ac d x dy bcc dx e x dy e Bài tập: Giải các phƣơ ng trình sau:
1) 21 4 5 x x x
2) 23 1 4 13 5 x x x
3) 3 32 3 3 2 x x
4) 24 97 7 0
28
x x x x
5) 3 31 2 2 1 x x
6) 3 33 335 35 30 x x x x
7) 24 13 5 3 1 0 x x x
8) 24 13 5 3 1 0 x x x
215
30 4 2004 30060 1 12 x x x 3 23 3 5 8 36 53 25 x x x
9)
3 23 4
81 8 2 23 x x x x
10) 33 6 1 8 4 1 x x x
II. PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phƣơng trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hƣớng áp dụđây: H ướng 1: Thực hiện theo các bƣớc: Bước 1: Chuyển phƣơng trình về dạng: ( ) f x k
Bước 2: Xét hàm số ( ) y f x Bước 3: Nhận xét:
Với 0 0( ) ( ) x x f x f x k do đó 0 x là nghiệm Với 0 0
( ) ( ) x x f x f x k do đó phƣơng trình vô nghiệm
Với 0 0( ) ( ) x x f x f x k do đó phƣơ ng trình vô nghiệm
Vậy 0 x là nghiệm duy nhất của phƣơ ng trình
H ướng 2: thực hiện theo các bƣớc Bước 1: Chuyển phƣơng trình về dạng: ( ) ( ) f x g x
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng ( ) f x và g(x) có những tính chất trái ngƣợc nhau và xác định 0 x
cho 0 0( ) ( ) f x g x
5/11/2018 Tuyen Tap Cac Bai Toan Va Phuong Phap Giai Pt Va Bpt Vo Ty - slidepdf.com
Đặt t= 4 4 x x ≥0. giải phƣơng trình ẩn t đƣợc t=4; t=-3 (loại).Giải đƣợc x=5.Bài 11 :
a)(CĐSP 2004) Giải pt3
2 1 2 12
x x x x x
b) (ĐH-KD-2005) 2 2 2 1 1 4 x x x a) ĐK ; x≥1.
Pt3
1 1 1 12
x x x .
Xét 1≤x≤2 : giải đƣợc nghiệm x=1xét x>2 giải đƣợc x=5b)x=33. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phƣơng trình tích 1 1 1 2 0 x x x , 2 3 2 3 2 x x x x
Khai triển và rút gọn ta sẽ đƣợc những phƣơng trình vô tỉ không tầm thƣờng chút nào, độcủa phƣơng trình dạng này phụ thuộc vào phƣơng trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phƣơng trình dạng này .Phƣơng pháp giải đƣợc thể hiqua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phƣơng trình : 2 2 23 2 1 2 2 x x x x
Giải:
22t x , ta có : 2
32 3 3 0
1
t t x t x
t x
Bài 2. Giải phƣơng trình : 2 21 2 3 1 x x x x
Giải:
Đặt : 22 3, 2t x x t Khi đó phƣơng trình trở thnh :
21 1 x t x
21 1 0 x x t
Bây giờ ta thêm bớt , để đƣợc phƣơng trình bậc 2 theo t có chẵn