-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
1
PERTEMUAN 3 TURUNAN NUMERIK
Materi pada pertemuan ini:
1. Turunan numerik fungsi kontinyu 2. Turunan numerik
diskrit
Setelah menyelesaikan pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat
menjelaskan dan mengaplikasikan teknik untuk menentukan turunan
numerik.
DEFINISI TURUNAN NUMERIK Turunan (derivatif) adalah laju
perubahan nilai suatu fungsi terhadap perubahan inputnya, yang
secara formal rumus matematikanya dinyatakan sebagai:
h
xfhxf
xhx
xfhxf
dx
xdfxf
hh
)()(lim
)(
)()(lim
)()('
00
Pada gambar di bawah ini, nilai turunan pada titik x, yaitu f
'(x), adalah garis tangen yang merupakan garis singgung kurva pada
titik (x, f(x)).
Nilai h secara ideal adalah 0, tetapi dalam metode numerik, hal
ini tidak dapat dilakukan, karena akan menyebabkan pembagian dengan
0. Oleh karena itu, nilai h diambil cukup kecil. Dalam hal ini,
nilai turunan f '(x) akan didekati dengan
h
xfhxf
x
xfxf
)()()()('
sehingga turunan yang dihitung ditunjukkan dengan garis secant.
Dengan demikian terdapat kesalahan atau ralat dalam menghitung
turunan secara numerik, atau dengan kata lain, turunan numerik
merupakan pendekatan dari nilai turunan yang sebenarnya (eksak).
Apabila nilai h dibuat cukup kecil, maka ralat tersebut akan
menjadi kecil pula.
y = f(x)
x
y
x x+h
h
f(x+h)
f(x)
f '(x)
garis
tangen
garis
secant
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
2
contoh:
Hitunglah turunan dari 24)( xxf pada titik x = 3, untuk h = 2.
Hitung pula ralat
sejatinya.
322
36100
2
34)23(4
2
)3()23()3('
4)(4)()()('
22
22
fff
h
xhx
h
xfhxfxf
Nilai turunan sebenarnya adalah
2438)3('
842)('
f
xxxf
Sehingga ralat sejatinya adalah
83224 tE
Ralat yang diperoleh adalah cukup besar, ini disebabkan
pemilihan nilai h yang terlalu besar. Untuk memperkecil ralat, maka
nilai h harus dibuat lebih kecil.
Dalam kasus peluncuran roket (pada Pertemuan 1), hitunglah
percepatan roket pada detik ke 16 menggunakan turunan numerik. Pada
kasus tersebut, diperoleh rumus kecepatan roket adalah
tt
v 8.9210014000
140000ln 2000
sehingga percepatan roket adalah
h
tvhtvtvta
)()()(')(
ambil t = 16 dan h = 2 detik,
2
)16()18(
2
)16()216()16(
vvvva
475.302
07.39202.453
2
)16()18()16(
07.392168.916210014000
140000ln 2000)16(
02.453188.918210014000
140000ln 2000)18(
vva
v
v
Ralat sejatinya adalah (nilai eksak = 29.674 m/s2)
%699.2%100674.29
801.0
801.0474.30674.29
t
tE
PENGARUH NILAI h (UKURAN LANGKAH/STEP SIZE)
Berikut ini akan diberikan contoh pengaruh nilai ukuran langkah
terhadap ralat sejati yang diperoleh.
Ambil fungsi xexf 49)( . Hitung turunan fungsi tersebut pada
titik x = 0.2, untuk nilai h
yang bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst. Dari
perhitungan turunan numerik, diperoleh hasil seperti dalam tabel
berikut. Nilai eksaknya adalah 80.11947.
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
3
h f '(0.2) Ea |a|% digit benar Et |t|%
0.05 88.69336 0 -8.5389 10.70138
0.025 84.26239 -4.430976 5.258546 1 -4.14291 5.170918
0.0125 82.15626 -2.106121 2.563555 1 -2.03679 2.542193
0.00625 81.12937 -1.026900 1.265756 1 -1.00989 1.260482
0.003125 80.62231 -0.507052 0.628923 1 -0.50284 0.627612
0.001563 80.37037 -0.251944 0.313479 2 -0.25090 0.313152
0.000781 80.24479 -0.125579 0.156494 2 -0.12532 0.156413
0.000391 80.18210 -0.062691 0.078186 2 -0.06263 0.078166
0.000195 80.15078 -0.031321 0.039078 2 -0.03130 0.039073
9.77E-05 80.13512 -0.015654 0.019535 3 -0.01565 0.019534
4.88E-05 80.12730 -0.007826 0.009767 3 -0.00782 0.009766
Dari plot berikut ini terlihat bahwa semakin kecil nilai ukuran
langkah, nilai turunan numerik semakin mendekati nilai eksaknya
(ralat semakin kecil).
76
80
84
88
92
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Number of times step size halved, n
f'(0
.2)
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 2 4 6 8 10 12
Number of times step size halved, n
Ea
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
4
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Number of times step size halved, n
|Ea| %
0
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Number of times step size halved, n
Least
nu
mb
er
of
sig
nif
ican
t d
igit
s
co
rrect
-9
-6
-3
0
0 2 4 6 8 10 12
Number of times step size halved, n
Et
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
5
PENDEKATAN SELISIH MAJU, MUNDUR DAN PUSAT Perhitungan turunan
numerik yang telah dibahas di depan menggunakan pendekatan selisih
maju, yang menggunakan titik di depannya untuk menghitung
selisihnya. Kita juga dapat menggunakan pendekatan selisih mundur
dan pusat untuk menghitung turunan numerik.
PENDEKATAN SELISIH MUNDUR
Pendekatan selisih mundur menggunakan titik di belakangnya
untukmenghitung selisihnya, seperti diilustrasikan pada gambar di
bawah ini.
Nilai turunan f '(x) akan didekati dengan
h
hxfxf
x
xfxf
)()()()('
turunan yang dihitung ditunjukkan dengan garis secant. Di sini
juga terdapat kesalahan atau ralat dalam menghitung turunan secara
numerik.
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Number of times step size halved, n
|Et|
%
y = f(x)
x
y
x x-h
h
f(x-h)
f(x)
f '(x) garis
tangen
garis
secant
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
6
contoh:
Hitunglah turunan dari 24)( xxf pada titik x = 3, untuk h = 2,
menggunakan
pendekatan selisih mundur. Hitung pula ralat sejatinya.
162
436
2
)23(434
2
)23()3()3('
)(44)()()('
22
22
fff
h
hxx
h
hxfxfxf
Ralat sejatinya adalah
81624 tE
Meski dalam contoh ini, ralat sejati yang diperoleh sama dengan
pada pendekatan selisih maju, namun hal ini hanya kebetulan saja.
Pada banyak kasus, ralat untuk pendekatan selisih maju dan mundur
tidak sama persis, tetapi dalam kisaran yang hampir sama.
Untuk fungsi xexf 49)( , turunan fungsi tersebut pada titik x =
0.2, untuk nilai h yang
bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst.
h f '(0.2) Ea |a|% digit benar Et |t|%
0.05 72.61598 7.50349 9.365377
0.025 76.24376 3.627777 4.758129 1 3.87571 4.837418
0.0125 78.14946 1.905697 2.438529 1 1.97002 2.458849
0.00625 79.12627 0.976817 1.234504 1 0.99320 1.239648
0.003125 79.62081 0.494533 0.62111 1 0.49867 0.622404
0.001563 79.86962 0.248814 0.311525 2 0.24985 0.31185
0.000781 79.99442 0.124796 0.156006 2 0.12506 0.156087
0.000391 80.05691 0.062496 0.078064 2 0.06256 0.078084
0.000195 80.08818 0.031272 0.039047 3 0.03129 0.039052
9.77E-05 80.10383 0.015642 0.019527 3 0.01565 0.019529
4.88E-05 80.11165 0.007823 0.009765 3 0.00782 0.009765
Di sini juga terlihat nilai turunan numerik semakin mendekati
nilai eksaknya untuk ukuran langkah yang semakin kecil.
Pada kasus peluncuran roket, hitunglah percepatan roket pada
detik ke 16 menggunakan turunan numerik dengan pendekatan selisih
mundur. Rumus yang digunakan adalah
h
htvtvtvta
)()()(')(
ambil t = 16 dan h = 2 detik,
2
)14()16(
2
)216()16()16(
vvvva
591.282
24.33407.392
2
)14()16()16(
24.334148.914210014000
140000ln 2000)14(
vva
v
Ralat sejatinya adalah
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
7
%558.2%100674.29
759.0
759.0915.28674.29
t
tE
PENDEKATAN SELISIH PUSAT
Pendekatan selisih pusat menggunakan titik di depan dan belakang
titik yang ditinjau untuk menghitung selisihnya, seperti
diilustrasikan pada gambar di bawah ini. Nilai turunan f '(x) akan
didekati dengan
h
hxfhxf
x
xfxf
2
)()()()('
Dari gambar tersebut, terlihat gradien garis secant, yang
merupakan nilai turunan numerik, mendekati nilai gradien garis
tangen yang merupakan nilai turunan yang sebenarnya. Dengan
demikian, penggunaan pendekatan selisih pusat diharapkan memberikan
hasil yang lebih baik daripada pendekatan selisih maju maupun
mundur.
contoh:
Hitunglah turunan dari 24)( xxf pada titik x = 3, untuk h = 2,
menggunakan
pendekatan selisih pusat. Hitung pula ralat sejatinya.
244
4100
4
)23(4)23(4
22
)23()23()3('
2
)(4)(4
2
)()()('
22
22
fff
h
hxhx
h
hxfhxfxf
Ralat sejatinya adalah
02424 tE
Meski dalam contoh ini, ralat sejatinya adalah 0, namun tentu
saja ini juga hanya kebetulan saja. Pada kebanyakan kasus, ralat
untuk pendekatan selisih pusat lebih kecil dibandingkan dengan
pendekatan selisih maju atau mundur, untuk ukuran langkah yang
sama.
y = f(x)
x
y
x x-h
h
f(x-h)
f(x)
f '(x)
garis
tangen
garis
secant
h
x+h
f(x+h)
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
8
Untuk fungsi xexf 49)( , turunan fungsi tersebut pada titik x =
0.2, untuk nilai h yang
bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst.
h f '(0.2) Ea |a|% digit benar Et |t|%
0.05 80.65467 -0.53520 0.668001
0.025 80.25307 -0.4016 0.500417 1 -0.13360 0.16675
0.0125 80.15286 -0.100212 0.125026 2 -0.03339 0.041672
0.00625 80.12782 -0.025041 0.031252 3 -0.00835 0.010417
0.003125 80.12156 -0.00626 0.007813 3 -0.00209 0.002604
0.001563 80.12000 -0.001565 0.001953 4 -0.00052 0.000651
0.000781 80.11960 -0.000391 0.000488 5 -0.00013 0.000163
0.000391 80.11951 -9.78E-05 0.000122 5 -0.00003 4.07E-05
0.000195 80.11948 -2.45E-05 3.05E-05 6 -0.00001 1.02E-05
9.77E-05 80.11948 -6.11E-06 7.63E-06 6 0.00000 2.54E-06
4.88E-05 80.11947 -1.53E-06 1.91E-06 7 0.00000 6.36E-07
Di sini juga terlihat nilai turunan numerik semakin mendekati
nilai eksaknya untuk ukuran langkah yang semakin kecil. Jika
dibandingkan dengan pendekatan selisih maju dan mundur, terlihat
ralat absolut dan relatif pada pendekatan selisih pusat jauh lebih
kecil.
Pada kasus peluncuran roket, hitunglah percepatan roket pada
detik ke 16 menggunakan turunan numerik dengan pendekatan selisih
mundur. Rumus yang digunakan adalah
h
htvhtvtvta
2
)()()(')(
ambil t = 16 dan h = 2 detik,
569.292
24.33402.453
4
)14()18(
22
)216()216()16(
vvvva
Ralat sejatinya adalah
%071.0%100674.29
021.0
021.0695.29674.29
t
tE
Sekali lagi, di sini terlihat bahwa ralat turunan numerik dengan
pendekatan selisih pusat jauh lebih kecil dibandingkan dengan
pendekatan selisih maju dan mundur. Oleh karena itu, apabila
memungkinkan, gunakan pendekatan selisih pusat untuk menghitung
turunan numerik.
FORMULASI DENGAN DERET TAYLOR Untuk memperoleh rumus turunan
numerik, dapat juga menggunakan bantuan dari Deret Taylor.
PENDEKATAN SELISIH MAJU
Polinomial Taylor:
..."!2
'2
xfh
xhfxfhxf
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
9
Pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di
kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama.
)('
..."2
'
..."!2
'2
hOh
xfhxfxf
xfh
h
xfhxfxf
xfh
xfhxfxhf
di mana O(h) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan
dengan
hxtxtfh
hO ,"2
)(
Di sini terlihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h.
Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat pemotongannya juga akan
menjadi lebih kecil.
PENDEKATAN SELISIH MUNDUR
Polinomial Taylor:
..."!2
'2
xfh
xhfxfhxf
Pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di
kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama.
)('
..."2
'
..."!2
'2
hOh
hxfxfxf
xfh
h
hxfxfxf
xfh
hxfxfxhf
di mana O(h) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan
dengan
xthxtfh
hO ,"2
)(
Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan
fungsi dari h. Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat
pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil.
PENDEKATAN SELISIH PUSAT
Kedua bentuk polinomial Taylor di atas digunakan
...!3
"!2
'
...!3
"!2
'
)3(32
)3(32
xfh
xfh
xhfxfhxf
xfh
xfh
xhfxfhxf
Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua, lalu
pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di kanan,
kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama.
...6
2'2 )3(3
xfh
xhfhxfhxf
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
10
)(2
'
...62
'
...3
'2
2
)3(2
)3(3
hOh
hxfhxfxf
xfh
h
hxfhxfxf
xfh
hxfhxfxhf
di mana O(h2) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan
dengan
hxthxtfh
hO ,6
)( )3(2
2
Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan
fungsi dari h2. Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat
pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil, bahkan lebih kecil
daripada pendekatan maju dan mundur yang hanya merupakan fungsi
dari h.
TURUNAN YANG LEBIH TINGGI Untuk memperoleh rumus turunan numerik
yang lebih tinggi, juga digunakan Deret Taylor. Beberapa contoh
formulasinya diberikan berikut ini.
TURUNAN KEDUA PENDEKATAN SELISIH PUSAT
Polinomial Taylor:
...!4!3
"!2
'
...!4!3
"!2
'
)4(4
)3(32
)4(4
)3(32
xfh
xfh
xfh
xhfxfhxf
xfh
xfh
xfh
xhfxfhxf
Jumlahkan kedua persamaan tersebut, lalu pindahkan suku turunan
kedua ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan
untuk memperoleh turunan kedua.
)()(2
"
...12
)(2"
...!4
2)(2"
...!4
2"2
22
2
2
)4(2
2
)4(4
2
)4(42
hOh
hxfxfhxfxf
xfh
h
hxfxfhxfxf
xfh
xfhxfhxfxfh
xfh
xfh
xfhxfhxf
di mana O(h2) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan
dengan
hxthxtfh
hO ,12
)( )4(2
2
Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan
fungsi dari h2.
TURUNAN KEDUA PENDEKATAN SELISIH MAJU DAN MUNDUR
Polinomial Taylor:
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
11
...!3
)2("
!2
)2('22
...!3
"!2
'
)3(32
)3(32
xfh
xfh
xhfxfhxf
xfh
xfh
xhfxfhxf
Kalikan persamaan pertama dengan 2 kemudian kurangkan dari
persamaan kedua, lalu pindahkan suku turunan kedua ke kiri, sisanya
letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan
kedua.
hxtxthfhO
hOh
xfhxfhxfxf
xhfh
xfhxfhxfxf
xfhxfhxfhxfxfh
xfh
xfhxfhxfhxf
2 ,)(
)()(22
"
...)(22
"
...)(22"
...!3
6"22
)3(
2
)3(
2
)3(32
)3(3
2
Dengan cara yang sama untuk pendekatan selisih mundur,
diperoleh.
xthxthfhO
hOh
hxfhxfxfxf
2 ,)(
)(2)(2
"
)3(
2
Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan untuk
pendekatan selisih maju dan mundur merupakan fungsi dari h,
sedangkan untuk pendekatan selisih pusat adalah fungsi dari h2.
Dengan demikian turunan kedua numerik lebih baik dihitung
menggunakan pendekatan selisih pusat. Dengan cara yang sama dapat
dihitung untuk turunan numerik berbagai orde baik dengan pendekatan
selisih maju, mundur, maupun pusat; sebagamana ringkasannya
diberikan dalam tabel berikut ini.
Turunan Rumus Pendekatan
Pertama
)(' hO
h
xfhxfxf
selisih maju
)(' hOh
hxfxfxf
selisih mundur
)(2
' 2hOh
hxfhxfxf
selisih pusat
)(2
3)(42' 2hO
h
xfhxfhxfxf
selisih maju
)(12
2)(8)(82' 4hO
h
hxfhxfhxfhxfxf
selisih pusat
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
12
Kedua
)(
)(22"
2hO
h
xfhxfhxfxf
selisih maju
)(2)(2
"2
hOh
hxfhxfxfxf
selisih mundur
)()(2
" 22
hOh
hxfxfhxfxf
selisih pusat
)(12
2)(5243" 2
2hO
h
xfhxfhxfhxfxf
selisih maju
)(
12
2)(16)(30162"
4
2
hO
h
hxfhxfxfhxfhxfxf
selisih pusat
Ketiga
)(
)(32333
)3( hOh
xfhxfhxfhxfxf
selisih maju
)(2
2)(222 23
)3( hOh
hxfhxfhxfhxfxf
selisih pusat
Keempat
)(
)(4263444
)4( hOh
xfhxfhxfhxfhxfxf
selisih maju
)(2)(4)(642 2
4
)4( hOh
hxfhxfxfhxfhxfxf
selisih pusat
-
Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .
13
SOAL LATIHAN TURUNAN NUMERIK
1. Sebuah fungsi f(x) = ex
Hitunglah turunan numerik pada titik x = 1 dan hitunglah ralat
sejati relatifnya (dalam persen).
Turunan Pendekatan Turunan numerik t (%)
pertama selisih maju
pertama selisih mundur
pertama selisih pusat
kedua selisih maju
kedua selisih pusat
ketiga selisih maju
ketiga selisih pusat
2. Sebuah fungsi 13)( 23 xxxf
Hitunglah turunan nilai berikut ini untuk x = 1 dan h = 0.2,
gunakan pendekatan yang memberikan nilai turunan terbaik (ralat
terkecil).
)()("3)('2)(3)( )3( xfxfxfxfxQ
3. Sebuah eksperimen pengukuran hambatan sebuah sensor pada
berbagai suhu seperti
pada tabel berikut ini.
T (C) R ()
10 10
15 21
20 30
25 36
30 39
35 41
40 44
45 51
50 63
Hitunglah laju perubahan tahanan terhadap perubahan suhu pada
suhu 30C. Usahakan agar ralat yang terjadi sekecil mungkin.