TURUNAN FUNGSI 1 Pratomo Djati Nugroho, S.Pi., M.Kom
TURUNAN FUNGSI
1
Pratomo Djati Nugroho, S.Pi., M.Kom
III. TURUNAN FUNGSI
• 3.1 Pengertian Turunan Fungsi
• 3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat• 3.3 Sifat-sifat Turunan
• 3.4 Aturan Rantai• 3.5 Turunan Fungsi Invers
• 3.6 Turunan Fungsi Implisit• 3.7 Turunan Tingkat Tinggi
• 3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Transenden• 3.9 Turunan Fungsi Parameter
2
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
3
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
4
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
5
3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi
Pangkat
6
3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi
Pangkat
7
3.3 Sifat-sifat Turunan
8
• Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi fungsi
dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka
berlaku:
• 1. Jika y = ku maka y’ = k(u’ )• 2. Jika y = u+v maka y’ = u’ + v’• 3. Jika y = u–v maka y’ = u’ – v’• 4. Jika y = u v maka y’ = u’ v + u v’
• 5. Jika makavu
y =2
'''
vuvvu
y−=
3.3 Sifat-sifat Turunan
9
3.3 Sifat-sifat Turunan
10
3.4 Aturan Rantai
11
Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9
dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor
(3x4 + 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom
berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara
yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x
– 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai.
3.4 Aturan Rantai
12
Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi
3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.
• Jika y = f(u)u = g(v)
v = h(x)
yakni y = (f o g o h)(x)
maka
3.4 Aturan Rantai
13
3.5 Turunan Fungsi Invers
14
3.6 Turunan Fungsi Implisit
15
Fungsí implisit secara umum dapat ditulis
sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungsí
dalam x.
Contoh fungsi implisit:
1) y – 2x3 – 8 = 0
2) 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0
3.6 Turunan Fungsi Implisit
16
Tentukan dari fungsí : y – 2x3 – 8 = 0
• Penyelesaian:
Tentukan dari fungsí : 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0
• Penyelesaian:
3.7 Turunan Tingkat Tinggi
17
• Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’juga berupa fungsi, dan dimungkinkan f ’ juga
mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh
(f ’)’ = f ’’.
• Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari fkarena dia merupakan turunan dari turunan f .
• Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari
y = f(x) sebagai
3.7 Turunan Tingkat Tinggi
18
Contoh 7
Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x).
3.7 Turunan Tingkat Tinggi
19
Contoh 8
Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan
Transenden
20
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan
Transenden
21
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional
Contoh-contoh tentang turunan yang
diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah
contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi
turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas
kembali.
Contoh 3
Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4
22
3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional
Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi
rasional
Contoh 9
Tentukan turunan dimana n >= 0
23
24
3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri
• jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x• jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x• jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x• jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x• jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x• jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x
25
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri adalah invers fungsi
trigonometri.
Mencari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus)
26
27
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma
28
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial
29
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik
30
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik
3.9 Turunan Fungsi Parameter
31
• Apabila disajikan persamaan berbentuk:x = f(t)
y = g(t)
• maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara
sebagai berikut.
• Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi
y = g(t)
= g(h(x))