Turunan berarah dan aturan rantai

8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai

1/21

TURUNAN DALAM RUANG BERDIMENSI – n

Oleh :

KELOMPOK III

1. Mahatma Adi Pranata Giri Mukti 1313011048

2. Ni Putu Santhi Widiasih 1313011050

3. Made !udi Suardi 1313011054

4. Putu "ina Widiastini 1313011084

#$%$SAN P&N""'AN MA(&MA('A

)A'$*(AS MA(&MA('A "AN *M$ P&NG&(A+$AN A*AM

$N,&%S(AS P&N""'AN GAN&S+A

SNGA%A#A

2014


2/21

15.5 TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN

Pokok Bahasan :

15.5.1 "e-inisi (urunan erarah

15.5.2 *a/u Peruahan Maksimum

15.5.3 'ura 'etinian dan Gradien

Prasyara :

1. 'nse (urunan Parsial2. 'eterdi-erensialan

3. 'nse ,ektr

Bahan D!sk"s! :

1. aaimana menentukan turunan erarah dari suatu -unsi di suatu titik

dalam arah tertentu

2. aaimana 6ara menentukan ektr satuan ada arah dimana

f

meninkat alin 6eat dititik tertentu dan eraakah la/u eruahan ada

arah terseut

Kaa K"n#! :

,ektr Satuan

(urunan erarah

*a/u Peruahan

15.5.1 T"r"nan B$rarah


3/21

Pada -unsi dua euah

789 y x f

turunanturunan arsial

79 y x f xdan

789 y x f y

menukur la/u eruahan 9dan kemirinan aris sinun7 ada arah

se/a/ar denan sumu x

dan sumu

y

. $ntuk la/u eruahan

f

ada semaran

arah menarah ada knse turunan erarah ;an ada ilirann;a erhuunan

denan radien.

maka kedua turunan arsial dari

( ) y x f z 8= daat dide-inisikan ulan Misalkan

p=( x , y ) , ! adalah ektr satuan ada arah sumu x dan % adalah ektr satuan

ada arah sumu y men/adi

f x ( p )=limh → 0

f ( p+h i )− f ( p)h

f y ( p )= limh →0

f ( p+h j )−f ( p)h

"enan menantikan ! dan % denan ektr satuan " semaran maka daat

dide-inisikan turunan erarah dari

( ) y x f z 8= di titik

p=( x , y ) seaai

"e-inisi

$ntuk semaran ektr satuan " misalkan

Du f ( p )= limh→ 0

f ( p+hu )− f ( p)h

*imit ini ika ada diseut "r"nan &$rarah directional derivative dari

f

di


4/21

#adi Di f ( p )= f x ( p ) dan D j f ( p )= f y ( p )

Ga(&ar 1

'arena p=( x , y ) kita /ua menunakan ntasi Du f ( x , y )

Gamar 1 men;atakan interretasi emetrik dan D

uf

( x

0

, y0 ) ,ektr ini

menentukan seuah aris * di idan xy melalui

7.9 00 y x

idan ;an melalui *

ini teak lurus terhada idan xy dan memtn ermukaan

789 y x f z =

ada

kura


5/21

∇ f ( p) daat din;atakan denan

∇ f ( p )= f x ( p ) i+ f y ( p ) j

T$or$(a A

Misalkan

f

daat didi-erensialkan di ada arah ektr satuanu=u1i+u2 j

dan

Du f ( p )=u ∙ f ( p)

;akni

Du f ( x , y )=u1 f x ( x , y )+u2 f y ( x , y )

,ONTOH 1

1. #ika

y x y x f 279 =

tentukan turunan erarah di = 91 27 ada arah ektr

a = 3! – 4 % denan :

a. "e-inisi . (erema

Penyelesaian

a. "enan "e-inisi

,ektr satuan " ada arah a adalah

5

48

5

3−

Du f ( p ) = limh →0

f ( p+h u)−f ( p)h

Du f (1,2) = limh →0

f ( (1,2 )+h(35 ,−4

5 ))−f (1,2)h


6/21

=

(1+ 35 h ,2−4

5 h)−f (1,2)

¿f ¿

¿limh→ 0

¿

= limh → 0

(1+ 35 h)2

(2−45 h)−12 .2h

= limh → 0

(1+ 65 h+ 925 h2

)(2− 45 h)−2h

= limh →0

(2−45 h+ 125 h−245 h2

+ 1825

h2

− 36125

h3

−2)h

= limh → 0

−45 +

12

5 −

24

5 h+

18

25 h−

36

125h

2

=−45 +

12

5

=8

5

. "enan (erema

#ika f ( x , y )= x2 y ; p=(1,2 ); a=3 i−4 j

Makaf x ( x , y )=2 xy → f x (1,2)=4

f y ( x , y )= x2 → f y (1,2 )=1

dan

∇ f (1,2)=⟨4,1 ⟩ ektr satuan " ada arah a adalah

5

48

5

3−

Sehina

Du f ( p )=u . f ( p)


7/21

Du f (1,2)=∙ ⟨4,1⟩

¿12

5 −

4

5=

8

5

2. (entukan turunan erarah dari f di titik ' ada arah a dari

1. f ( x , y )= y2ln x ; p=(1,4 );a=i− j

2. f ( x , y )= x2−3 xy+2 y 2 ; p=(−1,2 ); a=2 i− j

3. f ( x , y )=e− xy ; p=(1,−1 ) ; a=−i+√3 j

Penyelesaian

1. #ika f ( x , y )= y2ln x ; p=(1,4 );a=i− j

Maka f x ( x , y )= y2

x → f x (1,4 )=16

f y ( x , y )=2 y ln x → f y (1,4 )=0

dan ∇ f (1,4 )= ⟨16, 0⟩ ektr satuan " ada arah a adalah

1

√2 ⟨1,−1 ⟩

Sehina

Du f ( p )=u . f ( p)

Du f ( p )=[ 1√ 2 ⟨1,−1 ⟩] ∙ ⟨16,0 ⟩

Du f (1,4) ≈11.3137

2. #ika f ( x , y )= x2−3 xy+2 y2 ; p=(−1,2); a=2 i− j

Maka

f x ( x , y )=2 x−3 y → f x (−1,2)=−8


8/21

f y ( x , y )=−3 x+4 y → f y (−1,2 )=11

dan ∇ f (−1,2)=−8 i+11 j=⟨−8,11⟩ ektr satuan " ada arah a

adalah1

√ 5⟨2,−1 ⟩

Sehina

Du f ( p )=u . f ( p)

Du f ( p )=[ 1√ 5 ⟨2,−1 ⟩] ∙ ⟨−8,11 ⟩

Du f (−1,2 ) ≈−12.0748

3. #ika f ( x , y )=e− xy

; p=(1,−1 ) ; a=−i+√3 j

Maka f x ( x , y )=− y e− xy

→ f x (1,−1 )=e

f y ( x , y )=− x e− xy

→ f y (1,−1 )=−e

dan ∇ f (1,−1 )=−e i+e j= ⟨−e , e ⟩ ektr satuan " ada arah a adalah

1

2 ⟨−1, √ 3 ⟩

Sehina

Du f ( p )=u . f ( p)

Du f ( p )=[12 ⟨−1,√ 3⟩ ]∙ ⟨e ,−e ⟩=−e−e √ 32


9/21

Du f (1,−1 ) ≈3.71

15.5.- La%" P$r"&ahan Maks!("(

Misaln;aθ

adalah sudut antarau

dan ∇f ( p)

maka:

Du f ( p )=u .∇ f ( p )=|u||∇ f ( p )|cosθ=|∇ f ( p )|cosθ

#adi Du f ( p )

akan ernilai maksimum ila0=θ

dan ernilai

minimum ketikaπ θ =

T$or$(a B

Seuah -unsi meninkat alin 6eat di ' ada arah radienn;a 9denan la/u

|∇ f ( p )| 7 dan menurun alin 6eat ada arah erla>anan 9denan la/u

−|∇ f ( p )| 7

,ONTOH )

(entukan ektr satuan ada arah dimana

( ) xe y x f y sin8 =meninkat alin

6eat di titik

( )08?5π dan eraakah la/u eruahan ada arah terseut

Penyelesaian

( ) xe y x f y x 6s8 =

( )2

308?5 −=π x f


10/21

( ) xe y x f y y sin8 =

( )2

108?5 =π y f

∇ f ( x , y )=e y cos x i+e y sin x j

∇ f (5π /6,0 )=√ 32

i+−12

j

,ektr satuan n;a adalah

√ 32

i+−12

j=⟨ √ 32 ,−12 ⟩ dan la/u eruahan terhada

arah terseut adalah

( ) 108?5 =∇ π f

,ONTOH -

(entukan ektr satuan ada arah dimana f meninkat alin 6eat di '.

eraakah la/u eruahan ada arah terseut #ika ( x , y )= x3− y5 @ ' = 9217

Penyelesaian

Aar f meninkat maka menurut (erema haruslah f searah denan radienn;a.

#ika f ( x , y )= x3− y5 maka

f x ( x , y )=3 x2→ f x (2,−1 )=12

f y ( x , y )=−5 y4

→ f y (2,−1 )=−5

Sehina ∇ f (2,−1 )=12 i−5 j= ⟨12,−5 ⟩ dan ⟨ 1213 , −513 ⟩ adalah ektr satuan ada arah terseut. Maka la/u eruahan ada arah terseut adalah

|∇ f (2,−1 )|=|⟨12,−5 ⟩|=13

15.5. K"r/a K$!n**!an +an Gra+!$n


11/21

'ura ketinian dari ermukaan

789 y x f z =

adalah r;eksi ada idan

xy dari kurakura ertnan ermukaan terseut denan idan

k z =

;an

se/a/ar denan idan xy. Nilai -unsi di seluruh titik ada kura ketinian ;an

sama adalah knstan 9Gamar 27.

'ura ketinian dari

789 y x f

;an melalui titik ;an diilih se6ara

semaran

79 00 y x P

ada daerah asal dari

f

dintasikan denan L @ dan misalkan

ektr satuan u adalah ersinunan denan L di titik P. 'arena nilai

f

adalah

sama diseluruh titik ada kura ketinian L maka turunan erarah

789 00 y x f Du

;an meruakan la/u eruahan

789 y x f

ada arah " adalah nl ketika " adalah

ersinunan denan L.

0= Du f ( x0 , y 0 )=u .∇ f ( x0 , y0 ) = |u||∇ f ( x0 , y 0)|cosθ

Kar$na Du f ( x0, y 0 ) = 0 maka haruslah θ = 90 ° . Sehina kita daat

men;imulkan ah>a

f ∇

dan " salin teak lurus.

Ga(&ar )


12/21

T$or$(a ,

Gradien

f

di titik P teak lurus terhada kura ketinian

f

;an melalui P .

,ONTOH 5

Sketsalah kura ketinian darif ( x , y )=

y

x2 ;an melalui p=(1,2 ) .

+itunlah ektr radient dan amarlah ektr ini denan menematkan titik

a>aln;a di '. Aakah ;an seharusn;a enar tentan ∇ f ( p )

Penyelesaian

'ura ketiniann;a adalah

y

x2=k

untuk menentukan nilai k ;an terdaat di

kura ketinian terseut kita sustitusikan 9127 ke dalam 9;7 dan memerleh

k=2. #adi ersamaan kura ketinian terseut adalah y=2 x2

.

Misalkanf ( x , y )= y

x2 .

'arenaf x ( x , y )=

−2 y x3

→ f x (1,2)=−4

f y ( x , y )= 1

x2 → f y (1,2)=1

Maka∇ f (1,2)=f x (1,2 ) i+ f y (1,2 ) j=−4 i+ j=⟨−4 ,1 ⟩ dan akan teak lurus

ada arala di 9127.


13/21

,ONTOH 0

"iketahui suatu kura f ( x , y )= x2− y2 di p=(1,2 ) .

1. Maka tentukanlah :

Gradien dari f di titik '

(entukan ektr satuan " sehina Du f ( p )• Maksimum

• Minimum

• Sama denan nl

2. Gamarlah eta kntur dan in-rmasi ;an dierleh dari erhitunan

diatas di '

Penyelesaian

1. 'arenaf x ( x , y )=2 x → f x (1,2 )=2

f y ( x , y )=−2 y → f y (1,2)=−4

Sehina ∇ f (1,2 )=2i−4 j=⟨2,−4 ⟩


14/21

Aar maksimum maka haruslah Du f ( x , y ) ada arah e6tr

∇ f (1,2 )=2i−4 j . ,e6tr satuan ada arah e6tr radient

terseut adalah u=

⟨2,−4 ⟩

√ 22+ (−4 )2=

1

√ 5⟨1,−2 ⟩

Aar minimum maka haruslah Du f ( x , y ) erla>anan terhada

arah e6tr ∇ f (1,2 )=2i−4 j . Sehina e6tr satuann;a

adalahu=−

1

√ 5⟨1,−2 ⟩

.

Aar Du f ( x , y ) sama denan nl maka sudut diantara " dan

∇ f ( x , y ) haruslah teak lurus. Maka e6tr satuan " daat

di6ari denan rtasi 90 ° karena e6tr

∇ f (1,2 )=2i−4 j=⟨ 2,−4 ⟩ maka setelah di rtasi 90 °

maka didaat e6tr a = ⟨4,2 ⟩ ektr satuan ada arah a adalah

u= 1

√ 5⟨2,1⟩

;an men;eakan Du f ( x , y ) sama denan nl.

2. Gamarlah eta kntur dan in-rmasi ;an dierleh dari erhitunan

diatas di '


15/21

15.0 ATURAN RANTAI

Pokok Bahasan :

15.?.1 Aturan %antai ,ersi Pertama


16/21


17/21

dydt =

dydx

dxdt

15.0.1 A"ran Rana! $rs! P$ra(a

T$or$(a A Aturan %antai

Misalkan

( )t x x = dan

( )t y y =daat didi-erensialkan di

t dan misalkan

( ) y x f z 8= daat didi-erensialkan di

( ) ( )( )t yt x 8 maka

( )( ) ( )( )t y f t x f z 8= daat

didi-erensialkan di t dan

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

∂

∂+

∂

∂=

,ONTOH 1

Andaikan

32

y x z =di mana

3t x =dan

2

t y = (entukan

dt

dz

Penyelesaian

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

∂

∂+

∂

∂=

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )11

22232323

2223

12

2332

2332

t

t t t t t t

t y xt xy

=

+=

+=

,ONTOH )

Andaikan

xz yz xyw ++=

di mana

2t x =

21 t y −=

dant z −=1

(entukandt

dw

Penyelesaian


18/21

dt

dx

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

124

112112

122

3

2222

−+−=

+−−−+−−+−=

−++−+++=

t t

t t t t t t t t

x yt z xt z y

15.0.) A"ran Rana! $rs! K$+"a

T$or$(a B Aturan %antai

Misalkan

( )t s x x 8= dan

( )t s y y 8= memun;ai turunan arsial ertama di

( )t s8

dan misalkan

( ) y x f z 8= daat didi-erensialkan di

( ) ( )( ).888 t s yt s xMaka

( ) ( )( )t s yt s x f z 888= memun;ai turunan arsial ertama ;an din;atakan denan

9i7

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

9ii7

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

,ONTOH -

#ika

y xw 2=

dimana st x =

dan

t s y −=

tentukan

∂ w∂t

dan n;atakan dalam s

dan t

Penyelesaian

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂


19/21

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

223

2

2

32

2

12

t st s

st st s st

x s xy

−=

−−=

−+=

,ONTOH

#ika z= xy+ x+ y , x=r+s+ t,dan y=rst , tentukan∂ z∂ s|r=1,s=−1,t =2

Penyelesaian

∂ z∂ s

=∂ z∂ x

∂ x∂ s

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ s

= ( y+1 ) (1 )+( x+1 ) (rt )=(rst +1 )+(r+s+ t +1 ) (rt )

¿ rt (2 s+r+t +1 )+1

Sehina∂ z∂ s|(1,−1,2 )=5

15.0.- 2UNGSI IMPLISIT

Andaikan

( ) 08 = y x F mende-inisikan

y

se6ara imlisit seaai seuah -unsi dari

x misaln;a

( ) x g y = maka denan menurunkan terhada

xdidaat:

0=∂

∂+

∂

∂

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F

#adi


20/21

y F

x F

dx

dy

∂∂

∂∂−=

B

B

,ONTOH

(entukandx

dy

/ika

02 323

=−+ y y x x

denan menunakan

a Aturan %antai

Pendi-erensialan imlisit

Peyelesaian

a Misalkan

( ) .28 323 y y x x y x F −+= Maka

22

2

32

43

B

B

y x

xy x

y F

x F

dx

dy

−

+−=

∂∂

∂∂−=

"i-erensialkan kedua ruas terhada x

untuk menhasilkan

03423 222

=−++

dx

dy y xy

dx

dy x x

( ) ( ) xy x y xdx

dy4332

222+−=−

22

2

32

43

y x

xy x

dx

dy

−

+−=

Misalkan

( ) 088 = z y x F mende-inisikan z se6ara imlisit seaai -unsi x dan

y

.

Maka denan menurunkan se6ara arsial terhada x

dan

y

maka dierleh:

z F

x F

x

z

∂∂

∂∂−=

∂

∂

B

B

z F

y F

y

z

∂∂

∂∂−=

∂

∂

B

B


21/21

,ONTOH 5

#ika

0sin =+− x z ye x

tentukan z

x

∂

∂

Penyelesaian

( ) x z ye x

x z ye

x

x F

z F

z

x x x

6s

sin

6s

sin

B

B

−=

+−−=

∂∂

∂∂−=

∂

∂

−−

Turunan berarah dan aturan rantai

Documents