Bagian 15 Bagian 15 Bagian 15 Bagian 15 Momentum sudut dan Atom Hidrogen Momentum sudut dan Atom Hidrogen Momentum sudut dan Atom Hidrogen Momentum sudut dan Atom Hidrogen Untuk menjelaskan spektrum atom diskrit yang diamati, Bohr menyatakan bahwa momentum sudut dari elektron dalam atom hidrogen terkuantisasi seperti contoh = ℏ, =1, 2, 3, … (552) However, a careful analysis of the observed spectra showed that the angular momentum tidak bias menjadi ℏ, but rather , where. Namun, analisis yang cermat dari spektrum yang diamati menunjukkan bahwa momentum sudut tidak bisa menjadi ℏ, tetapi mendekati( +1), dimana = 1, 2, 3, … − 1.Ini sesuai dengan postulat Bohr yang menyatakan bahwa energi dan juga orbit elektron terkuantisasi, elektron hanya terdapat pada jarak tertentu dari inti. Sebuah pertanyaan muncul, di mana elektron sebenarnya ketika electron mengalami transisi dari satu orbit ke orbit yang lain? Di sini, kami akan memberikan jawaban atas pertanyaan ini dengan menganalisis gerak elektron dalam atom hidrogen dari sudut pandang mekanika gelombang kuantum. Dalam pendekatan ini, daripada membingungkan tentang posisi dan gerakan elektron, kita akan mengklasifikasikan elektron dalam hal jumlah energi yang dimiliki elektron. Dalam uraian ini, elektron diwakili oleh sebuah fungsi gelombang ψ (r ), yang memenuhi persamaan stasioner Schrödinger. ψ(r ) = Eψ(r )(553) Dimana Hamiltonian nya adalah = − ℏ ∇ + V (r)(554) dengan V (r ) = − π(555) Dengan demikian, potensial hanya bergantung pada jarak r dari elektron yang bergerak ke inti (pusat kekuatan). Karena potensial V (r) memiliki simetri bola, kita akan bekerja dalam koordinat bola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 30, di mana
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Momentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom Hidrogen
Untuk menjelaskan spektrum atom diskrit yang diamati, Bohr menyatakan bahwa
momentum sudut dari elektron dalam atom hidrogen terkuantisasi seperti contoh
= ℏ , =1, 2, 3, … (552)
However, a careful analysis of the observed spectra showed that the angular momentum
tidak bias menjadi ℏ , but rather , where . Namun, analisis yang cermat dari spektrum
yang diamati menunjukkan bahwa momentum sudut tidak bisa menjadi
ℏ, tetapi
mendekati ( +1), dimana = 1, 2, 3, … − 1.
Ini sesuai dengan postulat Bohr yang menyatakan bahwa energi dan juga orbit elektron
terkuantisasi, elektron hanya terdapat pada jarak tertentu dari inti. Sebuah pertanyaan
muncul, di mana elektron sebenarnya ketika electron mengalami transisi dari satu orbit
ke orbit yang lain?
Di sini, kami akan memberikan jawaban atas pertanyaan ini dengan menganalisis gerak
elektron dalam atom hidrogen dari sudut pandang mekanika gelombang kuantum.Dalam pendekatan ini, daripada membingungkan tentang posisi dan gerakan elektron,
kita akan mengklasifikasikan elektron dalam hal jumlah energi yang dimiliki elektron.
Dalam uraian ini, elektron diwakili oleh sebuah fungsi gelombang ψ(r), yang memenuhi
persamaan stasioner Schrödinger.
ψ(r) = Eψ(r) (553)
Dimana Hamiltonian nya adalah
= − ℏ
∇ + V(r) (554)
dengan
V(r) = − π
(555)
Dengan demikian, potensial hanya bergantung pada jarak r dari elektron yang bergerak
ke inti (pusat kekuatan). Karena potensial V (r) memiliki simetri bola, kita akan bekerja
dalam koordinat bola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 30, di mana
15.115.115.115.1 BagianBagianBagianBagian sudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudut
Pada kenyataannya, Persamaan (561) adalah persamaan nilai eigen untuk kuadrat dari
operator momentum sudut
= = −ℎ ∇ (562)
yang dalam koordinat bola berbentuk
= −ℏ
sin
+
(563)
Karena persamaan nilai eigen untuk dapat ditulis sebagai
(, ) = (, ), (564)
Kita dapatkan = − ℎ⁄ , dimana is adalah nilai eigen dari . Dengan demikian, kita
dapat menulis persamaan nilai eigen untuk sebagai
sin sin
− sin + = 0 (565)
Persamaan ini mengandung dua bagian terpisah, satu tergantung hanya pada dan
lainnya tergantung hanya pada . Oleh karena itu, solusi dari Persamaan (565) akan
menjadi
(, ) = ()Φ() (566)
Oleh karena itu, substitusi Persamaan (566) ke persamaan (565), dan membagi kedua sisi
dengan ()Φ(), kita peroleh
sin
sin − sin =
(567)
dimana ≡ () dan Φ ≡ Φ().Seperti sebelumnya, kedua belah pihak harus sama dengan suatu konstanta, katakanlah
. Jadi
sin
sin − sin = (568)
= − (569)
Pertama, kita akan memecahkan Persamaan (569) untuk bagian azimut dari fungsi
disebut persamaan diferensial Legendre biasa yang solusinya diberikan oleh polinomial
Legendre. Solusi Persamaan (578), yang biasa di z = 1, diasumsikan diwakili oleh
serangkaian deret berbentuk
() = (1 − )|| ∑ ∞ (579)
Dengan mensubstitusi persamaan (579) ke dalam Persamaan (578), kita memperoleh
relasi rekursi untuk suatu koefisien . = (||)(||)
()() (580)
Karena a > a, deret divergen ( secara logaritma) untuk z = ±1. Oleh karena itu,
dalam rangka untuk mendapatkan fungsi gelombang yang terbatas di mana-mana dalam
ruang, kita harus mengakhiri deret di rumah j = j. Dengan kata lain, kita berasumsi
bahwa a = a = ⋯ = 0. Deret ini berakhir pada j = j. Menunjukkan bahwa
( + ||)( + || + 1) + = 0 (581)
Memperkenalkan
= + || (582)
Kita lihat bahwa ≥ ||, dan
= −( + ), = 0,1, 2, … (583)
Oleh karena itu, kita melihat bahwa nilai eigen dari momentum sudut terkuantisasi
= ℏ( + 1), = ℏ ( + 1), (584)
Jumlah bilangan bulat disebut bilangan kuantum momentum sudut. Karena ≥ ||,bilangan m terbatas untuk nilai-nilai absolut tidak lebih besar dari .Kita telah menunjukkan bahwa bagian azimut dari fungsi gelombang yang diberikan oleh
Φ() = √ exp (), = 0, ±1, ±2, … , ± (585)
Pertimbangkan komponen z dari momentum sudut.
Kita akan mencoba untuk menemukan nilai eigen dan fungsi Eigen dari:
an bentuk dari fungsi gelombang |temuan dari elektron dalam nilai ,,| 2 4 2|,,| 2
tuk menemukan elektron dalam v
gsi probabilitasgsi probabilitasgsi probabilitasgsi probabilitas elektron dalamelektron dalamelektron dalamelektron dalam , yang banyak ditemukan jarak dari elec
dimana = 1/dan kami telah mengubah integral dari ke koordinat bola dengan
= 4. Dengan mengintegralkan, kita dapatkan
= 4 6
(2) = 24
16
= 3
2 1
= 3
2
Dengan demikian, jarak rata-rata elektron dari inti dalam bentuk ψ adalah 3/2 kali jari-
jari Bohr.
b. Nilai yang paling mungkin dari r adalah nilai di mana kemungkinan untuk menemukan
elektron maksimal.
Jadi, pertama kita bisa menghitung kemungkinan untuk menemukan elektron pada
titik r:
() = 4|ψ(r)| = 4 = 4
Nilai maksimum dari () adalah di mana()
= 0. Karenanya
() = 8
− 8
sehingga,()
= 0 ketika = 1 dari mana, kita dapat:
= 1 =
Perhatikan bahwa hasil ini sesuai dengan prediksi dari model Bohr, bahwa radius orbit
= 1 adalah sama dengan .
Ringkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinya: Harapan dan nilai yang paling mungkin dari tidak sama. Hal
ini karena kurva probabilitas () tidak simetris untuk nilai maksimum pada , lihat