Tugas Kalkulus Lanjut

TUGAS KALKULUS LANJUT

SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT

Oleh:

KAMELIANI

1211041016

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2014

Universitas Negeri Makassar Page 2

SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT

A. SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT

Integral lipat dua dan integral lipat tiga mewarisi hampir semua sifat-sifat integral

tunggal. Berikut adalah sifat-sifat integral lipat dua (yang juga dimiliki integral sifat tiga).

(1) Integral lipat dua bersifat linear, yaitu

[(, ) + (, )]

= (, )

+ (, )

(, )

= (, )

,

(2) . (, ) (, ) (, ) ,

(, )

(, )

(3) . (, ) 0 (, ) ,

(, )

(, )

,

(4). Integral lipat dua bersifat aditif (dapat dijumlahkan) pada daerah yang saling

berimpit pada hanya sebuah sisi atau ruas garis.

(, )

= (, )

+ (, )


Sifat-sifat integral tersebut membawa beberapa akibat yang perlu dikemukakan di

sini. Misalkan (, ) untuk semua (, ) di maka

(luas R) = (, ) =

(luas R)

Satu sifat lainnya yang perlu dikemukakan adalah akibat dari sifat

|(, )| (, ) |(, )|

Berdasarkan sifat integral nomor 2, maka berlaku

|(, )| (, ) |(, )|

Atau

(, ) |(, )|

Untuk fungsi yang kontinu, ternyata urutan pengintegralan tidak menjadi

masalah. Hal ini dituliskan dalam teorema berikut.

Teorema urutan integral (Teorema Fubini)

(, ) = [ (, )

]

= [ (, )

]

Misalkan fungsi kontinu pada empat persegi panjang = [, ][, ], maka


B. PENERAPAN SIFAF-SIFAT INTEGRAL DALAM

MENYELESAIKAN MASALAH.

Soal dan Pembahasan

1. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!

, = {(, )|1 2 , 3}

Penyelesaian:

Dengan menerapkan sifat (1) dan (2), maka

=

3

2

1

= |

3

2

1

= ( 2

)2

1

= ( 2)

2

1

()2

1

= [1

2

2

1

22]

21

= (1

2 4

1

24) (

1

2

1

2) =

1

2 4 2

2. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!

62 40

,

D adalah segitiga dengan titik puncak (0,3) , (1,1), dan (5,3)

Penyelesaian:

Pertama-tama harus dibuat persamaan garis yang melalui titik-titik puncak tersebut,

agar bisa diketahui batas-batas daerahnya.

Kita dapat membuat persamaan garis berdasarkan dua titik puncak yang diketahui.

Persamaan garis yang melalui titik (0,3) dan (1,1)

12 `1

= 1

2 `1


3

1 3=

0

1 0

3 = 2

= 2 + 3


12 `1

= 1

2 `1

3

3 3=

0

5 0

5 = 15

= 3


12 `1

= 1

2 `1

1

31=

1

51

4 4 = 2 2

=1

2 +

1

2

Berikut ini adalah gamba segitiga yang dimaksud


Ada dua cara untuk mendeskripsikan daerah yang diarsir.

Cara I

Jika kita menggunakan fungsi x, maka daerah

D akan dibagi menjadi dua daerah karena

fungsi yang berada di bawah berbeda

bergantung pada nilai x. Pada kasus ini, daerah

D diberikan sebagai = 1 2, dimana

1 = {(, )|0 1 , 2 + 3 3}

2 = {(, )|1 5 ,1

2 +

1

2 3}

Dengan menggunakan sifat (6), maka

62 40

= 62 40

1

+ 62 40

2

= 62 403

2+3

1

0+ 62 40

3

12

+12

5

1

= (62 202)|2+33

1

0

+ (62 202)|12

+12

3 5

1

= [123 180 + 20(2 + 3)2]1

0

+ [33 + 152 180 + 20 (1

2 +

1

2)

2

] 5

1

= [34 180 10

3(2 + 3)3]

10

+ [3

44 + 53 180 +

40

3(

1

2 +

1

2)

3

]51

= 935

3

Perhatikan bahwa menyelesaikan integral pada fungsi berbentuk kuadrat tidak

perlu dikalikan satu persatu. Lebih mudah diintegralkan dengan integral

subsitusi yang telah dipelajari di Calculus I.


Cara II

Jika kita menggunakan fungsi y, maka daerah D tidak perlu dibagi menjadi

dua bagian.

Batas-batas untuk x adalah

= 2 + 3 = 1

2 +

3

2

=1

2 +

1

2 = 2 1

= {(, )| 1

2 +

3

2 2 1 , 1 3 }

Sehingga

62 40

= (62 40)21

12+

32

3

1

= 23 40 |2 1

1

2 +

3

2

3

1

= 100 1002 + 2(2 1)3 23

1

(1

2 +

3

2)

3

dy

= [50y2 100

3y3 +

1

4(2y 1)4 + (

1

2y +

3

2)

4

]31

= 935

3

3. Hitunglah nilai integral berikut dengan membalikkan urutan dari integralnya. !

33 9

2

3

0

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa kita tidak bisa melakukan integral terhdap karena kita

membutuhkan 2 di depan eksponensial untuk melakukan integral terhadap . Akan

tetapi, jika urutan integral dibalik, maka kita bisa menghitung nilai integral di atas.


Membalik urutan integral artinya kita akan melakukan integral terhadap terlebih

dahulu kemudian terhadap . Ketika membalik urutan integral, maka batas-batsanya

juga akan berubah.

Agar memudahkan mencari batas-batasnya, maka pertama-tama kita gambarkan

daerah yang diberikan berdasarkan batas-batas yang telah diketahui. Berdasarkan

integral di atas, batas-batas daerahnya adalah

0 3

2 9

Berdasarkan pertidaksamaan di atas, batas bawah pada sumbu y adalah = ^2 dan

batas atas pada sumbu y adalah = 9 dengan batas pada sumbu yaitu antara

= 0 dan = 3.

Berikut ini adalah gambar daerah yang dimaksud

Karena kita ingin mengintegralkan terhadap terlebih dahulu,maka kita perlu

menentukan batas-batas untuk terlebih dahulu, kemudian batas-batas untuk .

Batas pada sumbu adalah 0

Batas pada sumbu adalah 0 9

Sehingga bentuk integralnya sekarang adalah sebagai berikut

33 9

2

3

0

= 33

0

9

0


Berikut adalah penyelesaian untuk bentuk integral yang baru

33

0

9

0=

3 3

0

9

0

= 3 3

0

9

0

= 3 [1

44]

9

0

0

= 3 [1

44]

9

0

0

= 1

42

39

0

=1

43 |

90

=1

4(729 1)

C. Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral pada

Daerah Persegi Panjang dan Bukan Persegi Panjang

Contoh Soal!

Daerah Persegi Panjang

1. Tentukan Volume benda pejal di bawah bidang = + + 1 pada =

{(, ): 0 1, 1 3

Penyelesaian:

( + + 1)1

0

3

1

= [1

22 + + ]

3

1

1

0

= (1

2+ + 1)

3

1

= [1

2 +

1

22 + ]

31

= (3

2+

9

2+ 3) (

1

2+

1

2+ 1)

= 7

(karena di integralkan terhadap , maka

dianggap konstanta, sehingga berlaku sifat linear

integral


daerah = + + 1 pada = {(, ): 0 1, 1 3

2. Carilah Volume benda pejal yang berada di atas fungsi g(x,y) dan berada di

bawah fungsi f(x,y) dengan batas-batas x dan y sebagai berikut.

(, ) = 4 (, ) = 9 2 2

2,5 2,5 0,5 2,5

Penyelesaian:

Volume = [9 2 2 (4)]2,5

0,5

2,5

2,5

= [13 2 1

33]

2,5

2,5

2,50,5

= {[655

24 2,52] [

155

24+ 0,52]}

2,5

2,5

= [135

4 32]

2,5

2,5

= [135

4 3]

2,52,5

=275

4+

275

4

= 137,5 satuan volume


Daerah bukan Persegi Panjang

1. Carilah volume benda yang dibatasi oleh persamaan bola 2 + 2 + 2 = 6

dan Paraboloida = 2 + 2

Penyelesaian:

Bentuk daerahnya adalah sebagai berikut

Gambar di atas adalah daerah yang dimaksud yakni irisan antara bola dan

paraboloida.

Subsitusi = 2 + 2 ke persamaan 2 + 2 + 2 = 6

sehingga diperoleh


2 + 2 + (2 + 2)2 = 6

2 + 2 + (2 + 2)2 6 = 0

(2 + 2 2)(2 + 2 + 3) = 0

Untuk (2 + 2 2) = 0 maka = 2 2

untuk (2 + 2 + 3) = 0 tidak ada solusi

Batas-batas untuk y adalah 2 2 2 2

sedangkan untuk x adalah 2 2

Sehingga dengan menggunakan maple, volume benda yang diperoleh adalah diperoleh

6 2 2 22

22 (2 + 2)

2

2

= 46 22

3 = 7,74

Perhitungan dengan Maple

Menggambar plot


D. Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral dalam

Koordinat Polar

Soal Dan Pembahasan

1. Hitunglah nilai integral berikut dengan mengubahnya ke dalam koordinat polar

terlebih dahulu.

2

D adalah daerah di antara lingkaran dnegan jari-jari 2 dan jari-jari 5 . lingkaran-

lingkaran tersebut berpusat pada titik asal. Daerahnya berada pada kuadran I.

Penyelesaian:

Pertama-tama kita harus mengubah daerah D dalam koordinat polar. Lingkaran

dengan jari-jari 2 berarti = 2 , dan lingkaran dengan jari-jari 5 berarti = 5 .

Karena daerah yang dimaksud berada di antara jari-jari tersebut, maka dapat

dituliskan 2 5

Sedangkan daerah yang dimaksud berada pada kuadran I, sehingga dapat

dituliskan 0

2

Diketahui bahwa dalam koordinat polar, = cos dan = sin ,

=

Sehingga,

2

= 2(5

2

2

0

cos )( sin )

= 3(sin 2)5

2

2

0

= [1

44(sin 2)]

52

2

0

=1

4 [4(sin 2)]

52

20

(menggunakan sifat kelinearan integral)

=609

4 (sin 2)

20

(menggunakan sifat kelinearan integral)


= 609

4(

1

2) cos 2 |

20

=609

4

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh = 3 + 2 sin dan = 2

Penyelesaian:

Daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Untuk mengetahui luas daerah di atas, maka terlebih dahulu perlu diketahui

batas-batas untuk nilai dimana kurva saling berpotongan.

Untuk mengetahui nilai bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut.

Diketahui = 3 + 2 sin dan = 2

Dapat dituliskan 3 + 2 sin = 2

sin = 1

2 =

7

6,11

6


Berikut ini adalah gambar daerah

Kita tahu bahwa

6 adalah bentuk lain dari

11

6

Jika kita gunakan 7

6

11

6 maka kita akan menghitung daerah yang tidak di

arsir. Oleh karena itu batas yang digunakan adalah

6

7

6

Untuk menentukan nilai , fungsi yang terdekat dengan titik asal merupakan

batas bawah, dan fungsi yang terjauh merupakan batas atas.

Sehingga luas daerah D adalah

=

= 3+2 sin

2

76

6

= 1

22|

2

3+2 sin 76

6

= (5

2+ 6 + 2 sin2 )

76

6

= (7

2+ 6 cos (2))

76

6


=7

2 6 cos

1

2sin 2|

6

76

=113

2+

14

3

= 24,187

3. Tentukan volume benda yang berada di bawah bola 2 + 2 + 2 = 9, di atas

bidang = 0, dan berada pada silinder 2 + 2 = 5

Penyelesaian:

Kita tahu bahwa rumus untuk menentukan volume adalah

= (, )

Ubah fungsi 2 + 2 + 2 = 9 ke bentuk = 9 2 + 2. Kita mengambil

nilai yang positif karena kita akan menghitung di atas bidang ( = 0)

Kini kita mempunyai dua fungsi yaitu = 0 dan = 9 2 + 2

Kita ingin menghitung daerah yang berada di bawah bola tetapi berada pada

silinder 2 + 2 = 5.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Jadi, daerah yang akan dicari volumenya adalah sebuah cilinder yang

penutupnya merupakan sebuah bola.


Sebelumnya kita ubah terlebih dahulu batas-batasnya dalam koordinat polar.

0 2

0 5 (jari-jari silinder)

Sehingga volume daerah yang dimaksud adalah

= 9 2 2

= 9 2 5

0

2

0

(2 = 2 + 2)

= 1

3(9 2)

32|

0

52

0

= 1

3 (9 2)

32|

0

52

0

= 19

3

2

0

=38

3

4. Hitunglah volume benda yang berada di antara fungsi = 2 + 2 dan bidang

= 16.

Penyelesaian:

Jika disketsakan maka gambar grafiknya sebagai berikut.


Volume yang dicari adalah daerah selisih antara kedua kurva tersebut, yakni

= 16

2 + 2 = 16 (2 + 2)

Agar memudahkan dalam mencari nilai volume, fungsi di atas di ubah dalam koordinat

polar. Demikian pula batas-batas daerahnya.

Berikut ini adalah batas-batas daerahnya

0 2 0 4 = 16 2

Sehingga,

= 16 (2 + 2)

= (16 2)

4

0

2

0

= (82 1

44)|

0

42

0

= 64

2

0

= 128


DAFTAR PUSTAKA

Purcell,dkk.2011.Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga

Budi Wono Setya.2001.Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannya.Bandung:ITB.

http://www.math24.net/definition-and-properties-of-double-integrals.html (di akses

24 Desember 2014)

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIGeneralRegion.aspx (di akses 24

Desember 2014)

http://ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleintegration/Volume.htm (di akses 29

Desember 2014)

http://www2.seminolestate.edu/lvosbury/CalculusIII_Folder/ExamplesForExam4.ht

m (di akses 5 Januari 2015)

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx (di akses 5

Januari 2015)

Tugas Kalkulus Lanjut

Documents