N. Duceux – LFIB –TS Page 1 Algorithmique – Application aux limites de suites Boucle conditionnelle « tant que » Dans une boucle « tant que », le traitement est répété tant que la condition est vraie. Quand la condition est fausse, on sort de la boucle. Algorithme 1 – Suite divergent vers +∞ (! ) est la suite définie pour tout nombre entier naturel par ! = ! On donne l’algorithme suivant : Entrée Saisir la valeur A Initialisations U prend la valeur 0 N prend la valeur 0 Traitement Tant que U<=A N prend la valeur N+1 U prend la valeur N ! Fin Tant que Sortie Afficher N 1) Quel est le rôle de cet algorithme ? 2) Qu’affiche l’algorithme lorsque l’on saisit en entrée : = 10 ! ? = 10 !" ? Adaptation de l’algorithme au langage des calculatrices TI et CASIO CASIO TI Diverge ? → ↲ ∅ → ∅ → While ≤ ↲ + 1 → ↲ ! → WhileEnd ↲ « Le plus petit entier est » : N ⊿ PROGRAM :Diverge : Prompt : ∅ → : ∅ → : While ≤ : + 1 → : End : Disp « Le plus petit entier est » , N Exercice 1 En s’inspirant de l’algorithme précédent, écrire un algorithme permettant de déterminer le seuil à partir duquel, les termes de la suite (! ), définie pour tout nombre entier naturel par ! = ! + 2+ 10, sont plus grand que et donc montrer qu’elle diverge vers +∞.
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N. Duceux – LFIB –TS Page 1
Algorithmique – Application aux limites de suites
Boucle conditionnelle « tant que » Dans une boucle « tant que », le traitement est répété tant que la condition est vraie. Quand la condition est fausse, on sort de la boucle. Algorithme 1 – Suite divergent vers +∞
(𝑢!) est la suite définie pour tout nombre entier naturel 𝑛 par 𝑢! = 𝑛!
On donne l’algorithme suivant :
Entrée Saisir la valeur A Initialisations U prend la valeur 0 N prend la valeur 0 Traitement Tant que U<=A N prend la valeur N+1 U prend la valeur N! Fin Tant que Sortie Afficher N
1) Quel est le rôle de cet algorithme ?
2) Qu’affiche l’algorithme lorsque l’on saisit en entrée : 𝐴 = 10! ? 𝐴 = 10!" ?
Adaptation de l’algorithme au langage des calculatrices TI et CASIO
CASIO TI
-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐Diverge-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ ?→ 𝐴 ↲ ∅ → 𝑈 ∅ → 𝑁 While 𝑈 ≤ 𝐴 ↲ 𝑁 + 1 → 𝑁 ↲ 𝑁! → 𝑈 WhileEnd ↲ « Le plus petit entier est » : N ⊿
PROGRAM :Diverge : Prompt 𝐴 : ∅ → 𝑈 : ∅ → 𝑁 : While 𝑈 ≤ 𝐴 : 𝑁 + 1 → 𝑁 : End : Disp « Le plus petit entier est » , N
Exercice 1
En s’inspirant de l’algorithme précédent, écrire un algorithme permettant de déterminer le seuil à
partir duquel, les termes de la suite (𝑢!), définie pour tout nombre entier naturel 𝑛 par
𝑢! = 𝑛! + 2𝑛 + 10, sont plus grand que 𝐴 et donc montrer qu’elle diverge vers +∞.
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Exercice 2– Suite géométrique divergent vers +∞
Ecrire un algorithme permettant de montrer qu’une suite géométrique est non bornée et diverge vers
+∞. On précisera bien les conditions sur le premier terme et sur la raison de la suite.
Algorithme 2 – Suite convergente
(𝑢!) est une suite définie pour tout nombre entier naturel 𝑛 ayant pour limite 𝑙.
On souhaite déterminer le rang 𝑛 à partir duquel la distance entre 𝑢! et 𝑙 est inférieure à un réel 𝑒 fixé.
Variables 𝑁 entier Initialisation 𝑢⟵ 𝑎 𝑁 ← 0 Traitement Tant que 𝑢 − 𝑙 ≥ 𝑒 𝑁⟵ 𝑁 + 1 Fin Tant que Sortie Afficher « le seuil est » , 𝑁
Exercice 3
1) En s’inspirant de l’algorithme précédent, déterminer un algorithme permettant de déterminer le
seuil à partir duquel la suite (𝑢!), définie par 𝑢! =!!!!!!!
, prend toutes ses valeurs dans l’intervalle
0; 𝑒 où 𝑒 est un nombre fixé. Tester l’algorithme sur la calculatrice pour 𝑒 = 10!!.
2) Retrouver par le calcul, le seuil à partir duquel 𝑢! < 0,5.
Ecrire un algorithme qui permet de déterminer le seuil à partir duquel une suite géométrique de
premier terme 𝑎 > 0 et de raison 0 < 𝑞 < 1 prend des valeurs données inférieures à un réel 𝑒 fixé.
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Exercice 5
Pour une suite convergente, calculer le rang à partir duquel les termes de la suite sont dans un
intervalle donné.
(𝑢!) est la suite définie pour tout nombre entier naturel 𝑛 par 𝑢! =!!!!!!!
1) Quelle est la limite de la suite (𝑢!) ?
2) On se propose de déterminer le plus petit nombre entier naturel 𝑁 tel que pour tout nombre entier
naturel 𝑛 ≥ 𝑁, 𝑢! appartient à l’intervalle 1,999; 2,001
Le problème invite à calculer les termes de la suite (𝑢!) tant que 𝑢! ≤ 1,999 ou 𝑢! ≥ 2,001.
L’affectation « 𝑁 + 1 → 𝑁 » est exécutée tant que la condition « 𝑢! ≤ 1,999 ou 𝑢! ≥ 2,001 » est
réalisée.
Algorithme correspondant avec ALGOBOX:
VARIABLES N est du type nombre DEBUT ALGORITHME N prend la valeur 0 TANT QUE (F1(N)<=1,999 ou F1(N)>=2,001) FAIRE DEBUT TANT QUE N prend la valeur N+1 FIN TANT QUE AFFICHER « Le rang est » AFFICHER N FIN ALGORITHME Utiliser une fonction F1(X)=(2X+1)/(X+1)
Adaptation de l’algorithme au langage des calculatrices TI et CASIO.