Oct 10, 2015
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
1/17
Brojevna kruznica
Pretpostavimo da se po kruznici jedinicnog radijusa pomaknemo za kut t usmjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Kut t u radijanima po definiciji je jednak duljini prijedenog luka. Akoobidemo cijelu kruznicu, duljina prijedenog luka, odnosno radijanska mjera
tog kuta iznosi 2(opseg jedinicne kruznice), a ako obidemo cetvrtinu kruznice,tada je to 2
. Ako obilazimo u suprotnom smjeru, tada govorimo o negativ-noj radijanskoj mjeri. Na taj nacin mozemo svakom realnom broju t kojioznacava duljinu luka koji smo obisli, odnosno radijansku mjeru pripadnogkuta, pridruziti tockuT(t) na brojevnoj kruznici. Stoga je kutt+2k,kZ,ekvivalentan kutu t, tj. tocke T(t) i T(t+ 2k) se poklapaju. Na sljedecojslici je brojevna kruznica sa nekim karakteristicnim tockama:
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
2/17
Buduci da ispruzenom kutu mjere 180 odgovara radijanska mjera , tada je
veza izmedu radijana i stupnjeva dana sljedecom formulom:
t rad = t
180
Funkcije sinus i kosinus
Definicija i osnovna svojstva
Neka je t proizvoljni realni broj i T(t) = (x, y) njemu odgovara juca tockabro jevne kruznice.
2
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
3/17
Iz trokuta OP T vrijedi:
cos t= x
1=x, sin t=
y
1=y.
Dakle, funkcija sinus je ordinata, a funkcija kosinus apscisa tocke T(t) nabrojevno j kruznici.Svojstva:
ogranicene su:1sin t1 i1cos t1, vrijedi: sin2 t + cos2 t= 1,
periodicne s osnovnim periodom 2, sinus je neparna, dok je kosinus parna funkcija, nultocke funkcije sinus su x= k, kZ, dok funkcija kosinus iscezava
za x= 2
+ k,kZ.Zadatak 1. Odredite na brojevnoj kruznici tockuT(t), ako je
1. sin t=12
, cos t
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
4/17
2. cos t= 23
, sin t
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
5/17
U sljedecoj tablici su neke karakteristicne vrijednosti funkcija sinus i kosinus:
t 0 6
4
3
2
32
2
sin t 0 12
22
32
1 0 1 0cos t 1
32
22
12
0 1 0 1
Opceniti oblik funkcije sinus
Funkcija oblika: f(x) =a sin x
funkcija sinus poprima vrijednosti izmedu -1 i 1, pa funkcija f(x) po-prima vrijednosti izmedu -a i a
anazivamo amplituda
Funkcija oblika: f(x) = sin(x)
period funkcije sinus iznosi 2, a period funkcije f(x) iznosi 2
Na slici je graf funkcije sinus s razlicitim periodima
5
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
6/17
Funkcija oblika: f(x) = sin(x + )
graf funkcije sin(x+) dobije se translacijom grafa funkcije sin x duzx osi za udesno ukoliko je 0
Na slici je graf funkcije sinus s razlicitim pomacima
Primjer 1. Nacrtajte graf funkcijef(x) = 3 sin(2x + 4
)
Koraci pri crtanju su sljedeci:
1. Amplituda je 3.
2. Temeljni period je P = 2
= 22
= .
6
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
7/17
3. Graf se pomakne za
= 42
=8
u smjeru pozitivne orijentacijeosi x, tj. za
8 ulijevo.
7
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
8/17
Zadatak 6. Nacrtajte graf funkcijef(x) =
32cos(3x
6
)
Funkcije tangens i kotangens
Tangens
Povucimo tangentu na brojevnu kruznicu u tocki A = (1, 0). Taj pravacnazivamo os tangensa. Tangens realnog broja t je ordinata tocke u kojojpravac OT sijece os tangensa.
Svojstva:
vrijedi tg t= sin tcos t
,
tangens nije definiran u nul-tockama funkcije kosinus
t=
2+ k,kZ,
pa su ti pravci njegove vertikalne asimptote,
periodicna s osnovnim periodom ,
neparna funkcija.Na slici je graf funkcije tangens:
8
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
9/17
KotangensPovucimo tangentu na brojevnu kruznicu u tocki C = (0, 1). Taj pravacnazivamo os kotangensa. Kotangens realnog broja t je apscisa tocke u kojo jpravac OT sijece os kotangensa.
Svojstva:
vrijedi ctg t= cos tsin t
,
9
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
10/17
kotangens nije definiran u nul-tockama funkcije sinus
t= k, kZ,
pa su ti pravci njegove vertikalne asimptote,
periodicna s osnovnim periodom , neparna funkcija, veza tangensa i kotangensa: ctg t= 1
tg t.
Na slici je graf funkcije kotangens:
Primjer 2. Nacrtajte graf funkcijef(x) = 2 tg(x2 2
3)
Koraci pri crtanju su sljedeci:
1. Ordinate grafa pomnoze se s 2.
10
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
11/17
2. Temeljni period je P =
= 12
= 2.
11
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
12/17
3. Graf se pomakne za
=
23
1
2
= 4
3
u smjeru pozitivne orijentacije
osi x, tj. za 43
udesno.
Zadatak 7. Odredite na brojevnoj kruznici tockuT(t), ako je
1. tg t=2, cos t >0,2. ctg t= 3
4, cos t
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
13/17
Temeljne veze trigonometrijskih funkcija
Iz vec spomenutog temeljnog identiteta
sin2 t + cos2 t= 1
i veza s preostale dvije trigonometrijske funkcije
tg t= sin t
cos t, ctg t=
1
tg t=
cos t
sin t,
izvode se sve formule u sljedecoj tablici:
sin t cos t tg t ctg t
sin t - 1 cos2 t tg t1+tg2 t 11+ctg2 tcos t
1 sin2 t - 1
1+tg2 t
ctg t
1+ctg2 t
tg t sin t
1sin2 t1cos2 tcos t
- 1ctg t
ctg t
1sin2 tsin t
cos t
1cos2 t
1tg t
-
Ako znamo vrijednost jedne trigonometrijske funkcije, tada, pomocu formulaiz tablice, mozemo odrediti vrijednost bilo koje druge funkcije.
Zadatak 13. Iz dane vrijednosti jedne, izracunaj vrijednosti ostalih trigono-
metrijskih funkcija:1. sin x= 15
17,
2< x < ,
2. tg x= 31516
, cos x >0.
Zadatak 14. Ako jecos(x) =45
, 5 < x < 112
, koliko jectg x?
Arkus funkcije
Ciklometrijske ili arkusfunkcije su usko povezane s trigonometrijskim funk-cijama. One zadanoj vrijednosti trigonometrijske funkcije pridruzuju vrijed-nost kuta za koju se ta vrijednost funkcije postize. Svakoj trigonometrijskojfunkciji odgovara jedna arkus funkcija koja joj je inverzna. Tocnije, arkusfunkcije ili ciklometrijske funkcije su inverzne funkcije odgovarajucih restrik-cija trigonometrijskih funkcija.Razlikujemo, dakle, cetiri arkus funkcije: arkus sinus, arkus kosinus, arkustangens i arkus kotangens. Argument funkcije x i vrijednosti funkcije y obr-nutog su smisla nego kod trigonometrijskih funkcija. Stoga su i grafovi tihfunkcija u odnosu na grafove restrikcija trigonometrijskih funkcija simetricniobzirom na pravac y=x.
13
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
14/17
Funkcija arcsin(x)
Restrikcija funkcije sinus na interval [2
, 2
] je bijekcija. Tada postoji inverznafunkcija te restrikcije
sin1 : [1, 1][2
,
2].
Tu funkciju zovemo arkus sinus i oznacavamo arcsin x. Na slici je prikazangraf restrikcije funkcije sinus na interval [
2, 2
] i njoj inverzna funkcija arkussinus.
Buduci da su to inverzne funkcije, vrijedi
arcsin(sin x) = x, x[2
,
2],
sin(arcsin x) = x, x[1, 1].
Bitno je uociti da je funkcija sin x definirana za svaki xR, dok je funkcijaarcsin x definirana samo na intervalu [1, 1] jer sin x poprima vrijednostisamo u tom intervalu.
14
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
15/17
Funkcija arccos(x)
Restrikcija funkcije kosinus na interval [0, ] je bijekcija. Tada postoji inverznafunkcija te restrikcije
cos1 : [1, 1][0, ].Tu funkciju zovemoarkus kosinus i oznacavamo arccos x. Na slici je prikazangraf restrikcije funkcije kosinus na interval [0, ] i njoj inverzna funkcija arkuskosinus.
Buduci da su to inverzne funkcije, vrijedi
arccos(cos x) =x, x[0, ],cos(arccos x) =x,
x
[
1, 1].
Kao i u prethodnom slucaju, funkcija cos xdefinirana je za svaki xR, dokje funkcija arccos x definirana samo na intervalu [1, 1].
Funkcija arctg(x)
Restrikcija funkcije tangens na interval
2, 2
je bijekcija. Tada postoji
inverzna funkcija te restrikcije
tg1 : R
2,
2
.
15
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
16/17
Tu funkciju zovemo arkus tangensi oznacavamo arctg x. Na slici je prikazan
graf restrikcije funkcije tangens na interval2 , 2
i njoj inverzna funkcija
arkus tangens.
Buduci da su to inverzne funkcije, vrijedi
arctg(tg x) =x, x
2,
2
,
tg(arctg x) =x, x R.
Za razliku od funkcija cos xi sin x, funkcija tg xnije ogranicena pa je funkcijaarctg x definirana na cijelom skupu realnih brojeva.
Funkcija arcctg(x)Restrikcija funkcije kotangens na interval0, je bijekcija. Tada postojiinverzna funkcija te restrikcije
ctg1 : R 0, .
Tu funkciju zovemo arkus kotangens i oznacavamo arcctg x. Na slici je pri-kazan graf restrikcije funkcije kotangens na interval0, i njoj inverznafunkcija arkus kotangens.
16
5/20/2018 Trigonometrijske funkcije
17/17
Buduci da su to inverzne funkcije, vrijedi
arcctg(ctg x) =x,
x
0,
,
ctg(arcctg x) =x, x R.Funkcija arcctg x definirana je takoder na cijelom skupu realnih brojeva.
Zadatak 15. Izracunaj:
1. arcsin 12
+ arccos32
+ arctg33
2. cos(arccos(12
) + 3
).
17