-
308 6. ODRE�ENI INTEGRAL
(g) Neka je {ξn}∞n=1 niz u (0, 1), {λn}∞n=1 niz pozitivinih
brojeva, takavda red
∑∞n=1 λn konvergira i g(x) =
∑∞n=1 λnρ(x − ξn). Dokazati da
za svaku neprekidnu funkciju ψ : [0, 1]→ R va�i∫ 10
ψ dg =
∞∑n=1
λnψ(ξn).
Posled�a jednakost pokazuje da Stiltjesov integral uopxtava
re-dove. X
Zadatak 51. Neka su f, g : [a, b]→ R ograniqene funkcije.(a)
Neka je bar jedna od funkcija f, g neprekidna u taqki c ∈ (a,
b).
Dokazati da iz egzistencije integrala∫ ca
f dg i
∫ bc
f dg
sledi egzistencija integrala∫ ba
f dg.
(b) Da li (a) va�i i ako su obe funkcije prekidne u taqki c?
X
7. Zasniva�e elementarnih funkcija pomo�u integrala
U Glavi 2 smo strogo zasnovali elementarne funkcije realne
promen-ive (videti Definiciju 1 na str. 102) polaze�i od svojstava
realnih brojevaizuqavanih u Glavi 1. Pri tome je definicija
racionalnih funkcija izvedenaiz algebarskih svojstava poa realnih
brojeva (i kao takva, va�i u svakompou), dok je za definiciju
eksponencijalnih i trigonometrijskih funkcija,kao i �ima inverznih,
bila neophodna Aksioma supremuma, ili neki od �enihekvivalenata. U
sluqaju eksponencijalne funkcije, Aksiomu supremuma smoprimenili
ve� pri dokazu egzistencije korena, tj. rexava�a jednaqine xn =
a(videti dokaz Teoreme 22 na str. 55), xto nam je omogu�ilo da
definixemoer za r ∈ Q. Zatim smo, ponovo pomo�u Aksiome supremuma,
definisali ex zasve x ∈ R, pokazali da je funkcija
f : R→ (0,+∞), f(x) = ex
bijekcija i definisali �oj inverznu, logaritamsku funkciju.U
sluqaju trigonometrijskih funkcija, Aksiomu supremuma smo
iskoris-
tili da definixemo, ne funkciju, nego promenivu { argument
trigonometri-jskih funkcija je ugao, ili, ekvivalentno, taqka
jediniqnog kruga u komplek-snoj ravni (videti Definiciju 34 na str.
75). Za korektno zasniva�e pojmaugla iskoristili smo Aksiomu
supremuma i du�inu luka jediniqnog krugadefinisali kao supremum
du�ina izlomenih linija. Odatle smo izvelidefinicije sinusa i
kosinusa kao projekcija taqke jediniqnog kruga na ko-ordinatne ose,
a zatim i definicije ostalih trigonometrijskih i
inverznihtrigonometrijskih funkcija.
U Glavi 4 smo videli kako elementarne funkcije mogu da se
definixu naelegantan naqin pomo�u stepenih redova (videti
Definiciju 13 na str. 226i Definiciju 14 iza �e). Podsetimo se da
se na ovaj naqin elementarnefunkcije realne promenive proxiruju i
na kompleksni domen.
-
7. ZASNIVA�E ELEMENTARNIH FUNKCIJA POMO�U INTEGRALA 309
Poka�imo sada kako elementarne funkcije mogu da se definixu uz
pomo�integrala. Ve� smo spomenuli da su racionalne funkcije dobro
definisaneu svakom pou, pa �emo po�i od jedne od �ih { funkcije
f(t) = 1/t. Pomo�u�e, mo�emo da definixemo prirodni logaritam
kao
log x :=
∫ x1
1
tdt, za x > 0. (47)
Iz Osnovne teoreme integralnog raquna (str. 262) sledi da je
ovako defin-isana funkcija diferencijabilna (specijalno, i
neprekidna). Diferenci-ra�em po gor�oj granici integrala (47)
dobijamo
d
dxlog x =
1
x> 0, (48)
odakle sledi da je logaritamska funkcija strogo rastu�a. Ve�
znamo da namje poznava�e izvoda funkcija dovono da priliqno detano
ispitamo �ihovasvojstva. Npr, logaritamska funkcija �e imati
jedinstvenu nulu x = 1, jer jestrogo rastu�a i
log 1 =
∫ 11
1
tdt = 0.
Iz divergencije integrala∫ 10
1
tdt i
∫ +∞1
1
tdt
zakuqujemo da je
limx→0+
log x = −∞ i limx→+∞
log x = +∞. (49)
Strogu monotonost logaritamske funkcije mo�emo da iskoristimo i
dadamo alternativnu definiciju broja e, kao jedinstvenog rexe�a
jednaqinelog x = 1. Primetimo da ova jednaqina ima rexe�e, poxto iz
(49) i neprekid-nosti sledi da logaritam uzima sve realne
vrednosti, i da je ovo rexe�ejedinstveno, zbog stroge monotonosti
logaritma.
Iz monotonosti i neprekidnosti logaritma sledi da je
log : (0,+∞)→ R
bijekcija, pa ima inverznu funkciju. Na taj naqin mo�emo,
polaze�i odteorije odre�enog integrala, da definixemo funkciju x 7→
ex kao inverznufunkciji (47). Iz pravila za izvod inverzne funkcije
dobijamo
d
dxex = ex.
U ovom pristupu zasniva�u logaritamskih i eksponencijalnih
funkcija�ihova osnovna algebarska svojstva mnogo se lakxe dokazuju
nego u pristupudefinisa�u pomo�u redova ili direktne primene
Aksiome supremuma. Radiilustracije, doka�imo svojstvo
log (xy) = log x+ log y za sve x, y > 0.
Neka je y > 0 proizvona konstanta i
h(x) = log (xy)− (log x+ log y).
-
310 6. ODRE�ENI INTEGRAL
Diferencira�em dobijamo
h′(x) = y1
xy− 1x
= 0.
Poxto je h(1) = log y − (log 1 + log y) = 0, a funkcija h je
definisana idiferencijabilna na intervalu, iz Lagran�eve teoreme
sledi da je h ≡ 0.
Zadatak 52. Dokazati da je log (ab) = b log a za a > 0. X
Zadatak 53. Polaze�i od ove definicije broja e kao jedinstvenog
rexe�ajednaqine log x = 1 dokazati da je
e = limh→0
(1 + h)1/h. (50)
Uputstvo: Iz (48) sledi da je (log)′(1) = 1. Po definiciji prvog
izvoda je
(log)′(1) = limh→0
log (1 + h)− log 1h
.
Izvesti odatle (50). X
Na sliqan naqin kao eksponencijalne i logaritamske, i
trigonometrijskefunkcije mo�emo da definixemo pomo�u integrala.
Npr, izrazom
arctanx :=
∫ x0
1
1 + t2dt
mo�emo da definixemo funkciju arkus tangens. Diferencira�em po
gor�ojgranici dobijamo
(arctanx)′ =1
1 + x2> 0,
odakle sledi da je arkus tangens strogo monotona funkcija, pa
ima inverznu,xto nas dovodi do definicije tangensa. Kao xto ve�
znamo, pomo�u tan-gensa mo�emo da definixemo i ostale
trigonometrijske funkcije. To namomogu�ava da damo i alternativnu
definiciju broja π, npr. kao najma�e poz-itivne nule sinusa (umesto
definicije koju smo dali u okviru Definicije 34na str. 75).
8. Neke nejednakosti
Na sliqan naqin kao Teorema 25 na str. 85 dokazuje se slede�a
teorema.
Teorema 16. (Koxi–Xvarcova nejednakost za integrale) Neka jeI ⊂
R interval i
f, g : I → Cintegrabilne (po Rimanu) funkcije, takve da je∫
I
|f(x)|2 dx < +∞,∫I
|g(x)|2 dx < +∞. (51)
Tada je ∫I
|f(x)g(x)| dx ≤(∫
I
|f(x)|2 dx)1/2(∫
I
|g(x)|2 dx)1/2
, (52)
pri qemu jednakost va�i ako i samo ako postoji λ ∈ C, takvo da
jef(x) = λg(x)
za sve x ∈ I.