Trigonometr´ıa hiperb´olica - Instituto de Matemáticas ...

Trigonometrıa hiperbolica

Cesar Zarco Romero

Universidad Nacional Autonoma de MexicoSeminario de Geometrıa A

13 de abril de 2020

Indice

Introduccion

Funciones hiperbolicas

Triangulos

Introduccion

Queremos probar el siguiente Teorema.

TeoremaPara β ∈ R se cumplen las igualdades

cosh(β) = eβ + e−β

2 y sinh(β) = eβ − e−β

2 .

Funciones hiperbolicasDistancia

En geometrıa hiperbolica, ”cırculos” de distancia constante alorigen se vuelven hiperbolas, para alguna constante ρ > 0. A lolargo de esta exposicion consideraremos {(x, y) ∈ R2 | x > 0}.

Funciones hiperbolicasAngulo hiperbolico

DefinicionSea (x0, y0) ∈ H fijo y considere la recta que pasa por el origen yel punto (x0, y0), a saber, ` = {(x, y) ∈ R2 | y = y0

x0x}. Definimos

el angulo hiperbolico β entre la recta ` y el eje positivo x como

β := σ

ρ,

donde σ es la longitud Lorentziana del arco de la hiperbola entrelos puntos (x0, y0) y (ρ, 0).

Funciones hiperbolicasGeometrıa

Funciones hiperbolicasDefinicion

Definimos las funciones trigonometricas hipebolicas en terminos de(x0, y0), esto es,

cosh(β) := x0ρ, sinh(β) := y0

ρ.

Funciones hiperbolicasIntegrales

Funciones hiperbolicasIntegrales

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Entonces

ρ · β =∫ x0

ρ

√ρ2

s2 − ρ2ds = ρ

∫ x0

ρ

1√s2 − ρ2ds. (1)

Recordemos que de la identidad (sin(t))2 + (cos(t))2 = 1 tenemos(tan(t))2 + 1 = (sec(t))2, por lo que (tan(t))2 = (sec(t))2− 1 parat ∈ R. Esto sugiere el cambio de variable s = ρ sec(t) parat ∈ [0, π/2).

De modo que

ds = ρ

(− 1

(cos(t))2

)(− sin(t))dt = ρ sec(t) tan(t)dt.

Luego,

β =∫ x0

ρ

1√s2 − ρ2ds =

∫ sec−1(x0/ρ)

sec−1(ρ/ρ)

ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt.

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Entonces

ρ · β =∫ x0

ρ

√ρ2

s2 − ρ2ds = ρ

∫ x0

ρ

1√s2 − ρ2ds. (1)

Recordemos que de la identidad (sin(t))2 + (cos(t))2 = 1 tenemos(tan(t))2 + 1 = (sec(t))2, por lo que (tan(t))2 = (sec(t))2− 1 parat ∈ R. Esto sugiere el cambio de variable s = ρ sec(t) parat ∈ [0, π/2). De modo que

ds = ρ

(− 1

(cos(t))2

)(− sin(t))dt = ρ sec(t) tan(t)dt.

Luego,

β =∫ x0

ρ

1√s2 − ρ2ds =

∫ sec−1(x0/ρ)

sec−1(ρ/ρ)

ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt.

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Entonces

ρ · β =∫ x0

ρ

√ρ2

s2 − ρ2ds = ρ

∫ x0

ρ

1√s2 − ρ2ds. (1)

Recordemos que de la identidad (sin(t))2 + (cos(t))2 = 1 tenemos(tan(t))2 + 1 = (sec(t))2, por lo que (tan(t))2 = (sec(t))2− 1 parat ∈ R. Esto sugiere el cambio de variable s = ρ sec(t) parat ∈ [0, π/2). De modo que

ds = ρ

(− 1

(cos(t))2

)(− sin(t))dt = ρ sec(t) tan(t)dt.

Luego,

β =∫ x0

ρ

1√s2 − ρ2ds =

∫ sec−1(x0/ρ)

sec−1(ρ/ρ)

ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt.

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Ası, β queda como

β =∫ sec−1(x0/ρ)

0

ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt

=∫ sec−1(x0/ρ)

0

sec(t) tan(t)√(tan(t))2 dt

=∫ sec−1(x0/ρ)

0sec(t)dt

=∫ sec−1(x0/ρ)

0sec(t) · sec(t) + tan(t)

sec(t) + tan(t)dt

= ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)

0,

(2)

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Por lo tanto,

β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)

0

= ln(∣∣∣∣x0

ρ+ tan(sec−1(x0/ρ))

∣∣∣∣)− 0.(3)

Ademas,

(tan(sec−1(x0/ρ)))2 = (sec(sec−1(x0/ρ)))2 − 1 =(x0ρ

)2− 1

Ası, sustituyendo este hecho en (3),

β = ln

∣∣∣∣∣∣x0ρ

+

√(x0ρ

)2− 1

∣∣∣∣∣∣ .

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Por lo tanto,

β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)

0

= ln(∣∣∣∣x0

ρ+ tan(sec−1(x0/ρ))

∣∣∣∣)− 0.(3)

Ademas,

(tan(sec−1(x0/ρ)))2 = (sec(sec−1(x0/ρ)))2 − 1 =(x0ρ

)2− 1

Ası, sustituyendo este hecho en (3),

β = ln

∣∣∣∣∣∣x0ρ

+

√(x0ρ

)2− 1

∣∣∣∣∣∣ .

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Por lo tanto,

β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)

0

= ln(∣∣∣∣x0

ρ+ tan(sec−1(x0/ρ))

∣∣∣∣)− 0.(3)

Ademas,

(tan(sec−1(x0/ρ)))2 = (sec(sec−1(x0/ρ)))2 − 1 =(x0ρ

)2− 1

Ası, sustituyendo este hecho en (3),

β = ln

∣∣∣∣∣∣x0ρ

+

√(x0ρ

)2− 1

∣∣∣∣∣∣ .

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Por ende,

β = ln

x0ρ

+

√x2

0 − ρ2

ρ2

, pues x0 ≥ ρ > 0. (4)

En particular, para (ρ, 0) ∈ H,

0 = β = ln

ρρ

+√ρ2 − ρ2

ρ2

Sustituyendo cosh(β) = x0/ρ en (4) obtenemos

eβ = cosh(β) +√

(cosh(β))2 − 1

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Por ende,

β = ln

x0ρ

+

√x2

0 − ρ2

ρ2

, pues x0 ≥ ρ > 0. (4)

En particular, para (ρ, 0) ∈ H,

0 = β = ln

ρρ

+√ρ2 − ρ2

ρ2

Sustituyendo cosh(β) = x0/ρ en (4) obtenemos

eβ = cosh(β) +√

(cosh(β))2 − 1

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Por ende,

β = ln

x0ρ

+

√x2

0 − ρ2

ρ2

, pues x0 ≥ ρ > 0. (4)

En particular, para (ρ, 0) ∈ H,

0 = β = ln

ρρ

+√ρ2 − ρ2

ρ2

Sustituyendo cosh(β) = x0/ρ en (4) obtenemos

eβ = cosh(β) +√

(cosh(β))2 − 1

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Despejando y elevando al cuadrado,

(eβ − cosh(β))2 = (cosh(β))2 − 1.

Equivalentemente,

e2β − 2eβ cosh(β) = −1.

Por ultimo,

cosh(β) = −1− e2β

−2eβ = e2β + 12eβ = eβ + e−β

2 ,

como querıamos mostrar.

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Despejando y elevando al cuadrado,

(eβ − cosh(β))2 = (cosh(β))2 − 1.

Equivalentemente,

e2β − 2eβ cosh(β) = −1.

Por ultimo,

cosh(β) = −1− e2β

−2eβ = e2β + 12eβ = eβ + e−β

2 ,

como querıamos mostrar.

Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico

Despejando y elevando al cuadrado,

(eβ − cosh(β))2 = (cosh(β))2 − 1.

Equivalentemente,

e2β − 2eβ cosh(β) = −1.

Por ultimo,

cosh(β) = −1− e2β

−2eβ = e2β + 12eβ = eβ + e−β

2 ,

como querıamos mostrar.

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Para el seno hiperbolico tenemos la igualdad

ρ · β =∫ y0

0

√ρ2

y2 + ρ2dx = ρ

∫ y0

0

1√y2 + ρ2dx. (5)

Hacemos el cambio de variable y = ρ tan(t) para t ∈ (−π/2, π/2).En consecuencia, dy = ρ(sec(t))2dt. De modo que

β =∫ tan−1(y0/ρ)

0

ρ(sec(t))2√(ρ tan(t))2 + ρ2dt

=∫ tan−1(y0/ρ)

0

(sec(t))2√(tan(t))2 + 1

dt

=∫ tan−1(y0/ρ)

0sec(t)dt.

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

De la igualdad (3) tenemos

β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣tan−1(y0/ρ)

0

= ln(∣∣∣∣√(tan(t))2 + 1 + tan(t)

∣∣∣∣) ∣∣∣tan−1(y0/ρ)

0

= ln(∣∣∣∣√(y0/ρ)2 + 1 + y0/ρ

∣∣∣∣)(6)

En particular, para (ρ, 0) ∈ H,

0 = β = ln

∣∣∣∣∣∣√(0

ρ

)2+ 1 + 0

ρ

∣∣∣∣∣∣ .

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

De la igualdad (3) tenemos

β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣tan−1(y0/ρ)

0

= ln(∣∣∣∣√(tan(t))2 + 1 + tan(t)

∣∣∣∣) ∣∣∣tan−1(y0/ρ)

0

= ln(∣∣∣∣√(y0/ρ)2 + 1 + y0/ρ

∣∣∣∣)(6)

En particular, para (ρ, 0) ∈ H,

0 = β = ln

∣∣∣∣∣∣√(0

ρ

)2+ 1 + 0

ρ

∣∣∣∣∣∣ .

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Notemos que si√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ < 0, entonces

0 <

√(y0ρ

)2+ 1 < −y0

ρ.

Esto implica (y0ρ

)2+ 1 <

(y0ρ

)2,

por lo cual 1 < 0. Por consiguiente,√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ > 0. Demanera que

β = ln

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ

.

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Notemos que si√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ < 0, entonces

0 <

√(y0ρ

)2+ 1 < −y0

ρ.

Esto implica (y0ρ

)2+ 1 <

(y0ρ

)2,

por lo cual 1 < 0.

Por consiguiente,√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ > 0. Demanera que

β = ln

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ

.

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Notemos que si√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ < 0, entonces

0 <

√(y0ρ

)2+ 1 < −y0

ρ.

Esto implica (y0ρ

)2+ 1 <

(y0ρ

)2,

por lo cual 1 < 0. Por consiguiente,√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ > 0.

Demanera que

β = ln

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ

.

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Notemos que si√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ < 0, entonces

0 <

√(y0ρ

)2+ 1 < −y0

ρ.

Esto implica (y0ρ

)2+ 1 <

(y0ρ

)2,

por lo cual 1 < 0. Por consiguiente,√(

y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ > 0. Demanera que

β = ln

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ

.

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos

eβ =

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ=√

(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)

Esto implica (eβ − sinh(β)

)2= (sinh(β))2 + 1.

Consecuentemente,

e2β − 2eβ sinh(β) = 1.

Por lo tanto,

sinh(β) = 1− e2β

−2eβ = −1 + e2β

2eβ = eβ − e−β

2 .

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos

eβ =

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ=√

(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)

Esto implica (eβ − sinh(β)

)2= (sinh(β))2 + 1.

Consecuentemente,

e2β − 2eβ sinh(β) = 1.

Por lo tanto,

sinh(β) = 1− e2β

−2eβ = −1 + e2β

2eβ = eβ − e−β

2 .

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos

eβ =

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ=√

(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)

Esto implica (eβ − sinh(β)

)2= (sinh(β))2 + 1.

Consecuentemente,

e2β − 2eβ sinh(β) = 1.

Por lo tanto,

sinh(β) = 1− e2β

−2eβ = −1 + e2β

2eβ = eβ − e−β

2 .

Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico

Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos

eβ =

√(y0ρ

)2+ 1 + y0

ρ=√

(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)

Esto implica (eβ − sinh(β)

)2= (sinh(β))2 + 1.

Consecuentemente,

e2β − 2eβ sinh(β) = 1.

Por lo tanto,

sinh(β) = 1− e2β

−2eβ = −1 + e2β

2eβ = eβ − e−β

2 .

Funciones hiperbolicasGraficas

Para (x, y) ∈ H se satisface x2−y2 = ρ2. Por ende, x =√ρ2 + y2.

La funcion f : R→ R dada por f(y) :=√ρ2 + y2 tiene derivada

f ′(y) := 2y2√ρ2 + y2 ,

de donde vemos que f tiene un mınimo global de ρ en y = 0. Esdecir, para (x, y) ∈ H se tiene ρ ≤ x. Ası, 1 ≤ x/ρ ≤ cosh(β).

Por otro lado,

lımβ→∞

cosh(β) = lımβ→∞

eβ + e−β

2 =∞.

Y tambien,

lımβ→−∞

cosh(β) = lımβ→−∞

eβ + e−β

2 =∞.

Funciones hiperbolicasGraficas

Para (x, y) ∈ H se satisface x2−y2 = ρ2. Por ende, x =√ρ2 + y2.

La funcion f : R→ R dada por f(y) :=√ρ2 + y2 tiene derivada

f ′(y) := 2y2√ρ2 + y2 ,

de donde vemos que f tiene un mınimo global de ρ en y = 0. Esdecir, para (x, y) ∈ H se tiene ρ ≤ x. Ası, 1 ≤ x/ρ ≤ cosh(β).Por otro lado,

lımβ→∞

cosh(β) = lımβ→∞

eβ + e−β

2 =∞.

Y tambien,

lımβ→−∞

cosh(β) = lımβ→−∞

eβ + e−β

2 =∞.

Funciones hiperbolicasGraficas

Grafica del coseno hiperbolico.

Funciones hiperbolicasGraficas

Para graficar el seno hiperbolico note que

lımβ→∞

sinh(β) = lımβ→∞

eβ − e−β

2 =∞.

A su vez,

lımβ→−∞

sinh(β) = lımβ→−∞

eβ − e−β

2 = −∞.

Luego, (sinh(β))′ = βeβ+βe−β

2 = 0 si y solo si β = 0. Y(sinh(β))′ > 0 si β > 0. De igual forma, (sinh(β))′ < 0 si β < 0.

Funciones hiperbolicasGraficas

Para graficar el seno hiperbolico note que

lımβ→∞

sinh(β) = lımβ→∞

eβ − e−β

2 =∞.

A su vez,

lımβ→−∞

sinh(β) = lımβ→−∞

eβ − e−β

2 = −∞.

Luego, (sinh(β))′ = βeβ+βe−β

2 = 0 si y solo si β = 0. Y(sinh(β))′ > 0 si β > 0. De igual forma, (sinh(β))′ < 0 si β < 0.

Funciones hiperbolicasGraficas

Grafica del seno hiperbolico.

TriangulosTrigonometrıa

IdentidadPara todo β ∈ R≥0 se satisface

(cosh(β))2 = 11− (tanh(β))2 .

Demostracion.

11− (tanh(β))2 = (cosh(β))2

(cosh(β))2 − (sinh(β))2 = (cosh(β))2.

TriangulosTrigonometrıa

Supongamos que conocemos tanh(β) = 3/5. Queremos encontrarcosh(β). Podemos utilizar la identidad anterior para obtener elvalor buscado.

TriangulosTrigonometrıa

TriangulosTrigonometrıa