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AN ´ ALISIS MATEM ´ ATICO I (2018) (Grupo Ciencias) Trabajo pr´ actico 11 Integrales de funciones trigonom´ etricas e hiperb´ olicas Ejercicio 1. Hallar las funciones primitivas: a) Z cos 3 x dx (sug: escribir cos 3 x = cos x cos 2 x = cos x (1 - sen 2 x)) b) Z cos 3 x sen 4 x dx (sug: escribir cos 2 x en funci´on del seno de x) c) Z sen 4 x dx (sug: escribir sen 4 x = sen 3 x sen x e integrar por partes considerando u(x) = sen 3 x y v 0 (x) = sen x) d) Z sen(3x) cos(2x) dx (sug: escribir sen(5x) y sen x en funci´ on del seno y del coseno de 2x y3x) e) Z 1 - cos x dx (sug: escribir x =2t) Ejercicio 2. Recordando las definiciones del seno y coseno hiperb´ olicos en t´ erminos de exponenciales, calcular a) Z senh 2 x dx b) Z cosh 2 x dx Ejercicio 3. Resolver las siguientes integrales utilizando identidades trigonom´ etricas e hiperb´ olicas: a) Z sen 3 x dx b) Z sen 2 x cos 3 x dx c) Z cos 4 x dx d) Z sen 2 x dx e) Z sen 2 x cos 2 x dx f) Z 1 sen x cos x dx g) Z sen(3x) cos(5x) dx h) Z 1 + cos x dx i) Z senh 3 x dx j) Z cosh 3 x senh 2 x dx k) Z cosh 4 x dx 1
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Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Oct 24, 2021

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Page 1: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

Trabajo practico 11

Integrales de funciones trigonometricas e hiperbolicas

Ejercicio 1. Hallar las funciones primitivas:

a)

∫cos3 x dx (sug: escribir cos3 x = cosx cos2 x = cosx (1− sen2 x) )

b)

∫cos3 x sen4 x dx (sug: escribir cos2 x en funcion del seno de x)

c)

∫sen4 x dx (sug: escribir sen4 x = sen3 x senx e integrar por partes considerando

u(x) = sen3 x y v′(x) = sen x)

d)

∫sen(3x) cos(2x) dx (sug: escribir sen(5x) y sen x en funcion del seno y del coseno de

2x y 3x)

e)

∫ √1− cosx dx (sug: escribir x = 2t)

Ejercicio 2. Recordando las definiciones del seno y coseno hiperbolicos en terminos deexponenciales, calcular

a)

∫senh2 x dx b)

∫cosh2 x dx

Ejercicio 3. Resolver las siguientes integrales utilizando identidades trigonometricas ehiperbolicas:

a)

∫sen3 x dx

b)

∫sen2 x cos3 x dx

c)

∫cos4 x dx

d)

∫sen2 x dx

e)

∫sen2 x cos2 x dx

f)

∫1

senx cosxdx

g)

∫sen(3x) cos(5x) dx

h)

∫ √1 + cos x dx

i)

∫senh3 x dx

j)

∫cosh3 x senh2 x dx

k)

∫cosh4 x dx

1

Page 2: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Sustituciones trigonometricas e hiperbolicas

Ejercicio 4. Hallar las fuciones primitivas:

a)

∫ √1− x2 dx (sug: utilizar la sustitucion x = sen t)

b)

∫ √1 + x2 dx (sug: utilizar la sustitucion x = senh t)

c)

∫ √x2 − 1 dx (sug: utilizar la sustitucion x = cosh t)

d)

∫ √x2 − 2x dx (sug: completar cuadrados y utilizar una sustitucion hiperbolica)

Ejercicio 5. Resolver utilizando sustituciones trigonometricas e hiperbolicas, cuando seanecesario:

a)

∫ √x2 − 16 dx

b)

∫ √9− x2 dx

c)

∫ √5 + x2dx

d)

∫1√

1− 4x2: dx

e)

∫1

x3√x2 − 1

dx

f)

∫4

x2 + 16dx

g)

∫4

x2 − 16dx

h)

∫1

x2 + 3dx

i)

∫2√

9x2 + 1: dx

j)

∫ √4x2 − 1 : dx

k)

∫ 1

−1

1√x2 + 1

dx

l)

∫ 32

√2

32

1

x2√

9− x2dx

Aplicaciones

Ejercicio 6. Hallar el area de un cırculo de radio 3. (Sug: Notar que la porcion del cırculoen el primer cuadrante se describe mediante la funcion f(x) =

√9− x2).

Ejercicio 7. Hallar el area de la region encerrada por las curvas

a) x2 + y2

9= 1

b) x2

4+ y2

16= 1

2

Page 3: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 8. Calcular la longitud de las curvas

a) y = 12

cosh(2x) entre x = 0 y x = 2 ln(√

5).

b) y = x2 entre x = 0 y x = 5.

Ejercicio 9. Calcular la superficie de un paraboloide de rotacion, generado por rotacionde la parabola y = x2 alrededor de su eje de simetrıa para x entre 0 y 10.

3

Page 4: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)Trabajo Practico 12

Integrales impropias

Ejercicio 1. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen, de ser ası, cal-cular a que valor lo hacen.

a)

∫ ∞2

1

x3/2dx

b)

∫ ∞1

1

x2/3dx

c)

∫ 3

2

1

(x− 2)2dx

d)

∫ 4

1

1

(x− 1)2/3dx

e)

∫ 5

1

1

5− xdx

f)

∫ ∞0

1

1 + x2dx

g)

∫ 1

0

ln(x) dx

h)

∫ ∞1

e−x dx

i)

∫ ∞1

ex dx

Ejercicio 2. Estudiar para que valores de s convergen y para cuales no, las siguientesintegrales impropias

a)

∫ 1

0

1

xsdx b)

∫ ∞1

1

xsdx

Comparar con lo obtenido en los inciso a)− e) del ejercicio 1.

Ejercicio 3. Analizar por que las siguientes integrales son impropias. Determinar si con-vergen, y de ser ası, calcular a que valor lo hacen.

a)

∫ ∞0

x

1 + x2dx

b)

∫ ∞0

x

1 + xdx

c)

∫ 1

−1

x√1− x2

dx

d)

∫ 0

−∞ex√ex + 1 dx

e)

∫ 1

0

√x ln(x) dx

f)

∫ 2

0

2

x2 − 4x+ 3dx

1

Page 5: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 4. Utilizando el criterio de comparacion determinar si las siguientes integralesimpropias convergen

a)

∫ ∞1

1

1 + x6dx

b)

∫ 1

0

ln(u)4√udu

c)

∫ 1

0

e−x

1− xdx

d)

∫ ∞1

1√x2 − 0,1

dx

e)

∫ ∞10

√x

exdx

f)

∫ 1

0

1

t− t4dt

Ejercicio 5.

a) Mostrar que

∫ 1

0

| ln(x)|1 + x2

dx es convergente.

b) Mostrar que

∫ +∞

0

e−x cos2(x) dx es convergente.

c) Mostrar que para cualquier n ∈ N ,

∫ 1

0

| ln(x)|n

xdx es divergente.

Ejercicio 6. Analizar la convergencia de

a)

∫ ∞1

x2 − x+ 4

x7/2 + 6x+ 1dx

b)

∫ ∞1

(1

x− 1

1 + x

)dx

c)

∫ ∞0

e−x sen(x) dx

d)

∫ ∞1

x−x dx

e)

∫ 1

0

√− ln(x) dx

f)

∫ ∞0

e2xe−x2

dx

g)

∫ +∞

e

t2 + 1

et + ln(t)dt

h)

∫ π/2

0

tan θ dθ

i)

∫ ∞1

1

x(1 + x)dx

j)

∫ ∞−∞

1

ex + e−xdθ

k)

∫ 1

−1

1√1− x2

dx

Ejercicio 7. Si f ′ es continua en [a, b], aplicar integracion por partes para demostrar que

lımλ→+∞

∫ b

a

f(t) sen(λt)dt = 0.

2

Page 6: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 8. Hay funciones que no tienden a cero en el infinito cuya integral impropiaresulta convergente. Por ejemplo, probar que la siguiente integral resulta convergente:∫ ∞

0

sen(x2) dx .

Ejercicio 9. Calcular el volumen de solido de revolucion generado por la grafica de lafuncion f(x) = e−x con 0 ≤ x ≤ b para b > 0. ¿Existe el lımite cuando b → ∞ delvolumen del solido? ¿Que significado geometrico tiene ese lımite?.

Ejercicio 10.

a) Determinar para que valores de c > 0 el volumen de revolucion generado por la graficade la funcion y = 1

xcentre x = 1 y x = b es finito cuando b→∞.

b) Si ahora se considera el volumen entre x = a y x = 1, ¿que valores de c darıan unvolumen finito cuando a→ 0+?

Ejercicio 11. Analizar si el area comprendida entre las funciones propuestas resultafinita. En caso de ser finita, calcular su valor exacto.

1. g(x) = −x−6 y f(x) = xe−x2

para x ∈ [1,+∞)

2. g(x) = π2

y f(x) = arctan(x) para x ∈ [0,+∞)

Ejercicio 12. Utilizando integrales, hallar la longitud de la curva y =√

1− x2 en [−1, 1].¿Que representa geometricamente?

Teorema de Taylor e integrales.

Ejercicio 13. Usando desarrollos de Taylor adecuados, determinar cuales de las siguientesintegrales impropias convergen.

1.

∫ 1

0

sen(x)

x3/2dx

2.

∫ 1

0

ln(1 + x)

x2dx

Ejercicio 14. Calcular las siguientes integrales con error menor que 10−3.

1.

∫ 1

0

cos(x)− 1

xdx

2.

∫ 1

0

sen(x2) dx

3.

∫ 1/2

0

ln(1 + x)

xdx

4.

∫ 1

0

ex − 1

xdx

3

Page 7: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Criterios de convergencia para integrales impropias

Criterio de comparacion

Teorema. Sean f y g funciones continuas en [a, b) tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo

x ∈ [a.b). Si la integral∫ bag(x) dx converge, entonces

∫ baf(x) dx tambien converge.

Observacion 15. Notar que si la integral∫ baf(x) dx diverge tambien lo hace la integral∫ b

ag(x) dx.

Criterio de comparacion por paso al lımite

Teorema. Sean f y g funciones continuas en [a, b) tales que 0 ≤ f(x) y 0 ≤ g(x), para

todo x ∈ [a, b). Si lımx→b−

f(x)

g(x)= λ se verifica:

a) Para 0 < λ <∞,∫ b

a

f(x) dx converge si y solo si

∫ b

a

g(x) dx converge

b) Para λ = 0,

si

∫ b

a

g(x) dx converge entonces

∫ b

a

f(x) dx converge

c) Para λ =∞,

si

∫ b

a

g(x) dx diverge entonces

∫ b

a

f(x) dx diverge

Observacion 16. Ambos criterios son validos para b =∞.

Observacion 17. De manera analoga pueden plantearse ambos criterios para funcionespositivas y continuas en (a.b]. En este caso, se puede considerar a = −∞.

4

Page 8: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 1

1. Encontrar una expresion para las siguientes funciones indicando el dominio de lasmismas.

(a) El perımetro p de un cuadrado como funcion de la longitud l del lado.

(b) El costo p de l lamparas si cada una cuesta 4 pesos. ¿Que diferencia hay entreesta funcion y la del inciso anterior?

(c) El area de un triangulo equilatero como la funcion de la longitud x de un lado.Lo mismo para el perımetro.

(d) La longitud de un lado de un cuadrado como funcion de la longitud d de ladiagonal.

2. No toda curva del plano es el grafico de una funcion. En vista de la definicion defuncion y de su grafico, indique cuales de los siguientes dibujos corresponden a lagrafica de alguna funcion:

–2

–1

1

2

y

–1 1 2 3

x

,

–2

–1

0

1

2

y

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

,

–1

–0.5

0.5

1

1.5

2

y

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2

x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2

x

,

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–4 –2 2 4 6

x

,

5

10

15

20

y

–3 –2 –1 1 2 3

x

1

Page 9: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

3. Determinar, justificando, si y es una funcion de x para cada uno de los siguientescasos:

(a) x2 + y2 = 9

(b) y2 = x2 − 1

(c) x2 + y = 3

(d) x2y − x2 + 4y = 0

4. Determinar los dominios de las siguientes funciones:

(a) k(x) = x4 + 5x−√x

(b) f(y) = 3

√y+1y3−1

(c) g(u) =√u3 − 3u

(d) f(x) = xx2+x

5. Use las graficas dadas de f y g para evaluar cada expresion, o bien, explique porqueno esta definida.

(a) f(g(2))

(b) g(f(0))

(c) (f ◦ g)(0)

(d) (g ◦ f)(6)

(e) (g ◦ g)(−2)

(f) (f ◦ f)(4)

6. Sean f(x) = 1x

y g(x) =√x. Sabiendo que el dominio de f es IR−{0} y el dominio

de g es [0,+∞), hallar la expresion de las siguientes funciones y sus dominios:

(a) (g ◦ f)(x)

(b) f(g(x))

(c) g(g(x))

(d) (f ◦ f)(x).

2

Page 10: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

7. Si la funcion h(x) tiene la grafica de la figura, dibuje la grafica de las siguientesfunciones:

(a) h(x + 4)

(b) h(x) + 4

(c) 2h(x)

(d) −13h(x− 1)

8. Hacer una representacion grafica de las siguientes funciones lineales:

(a) f(x) = x

(b) f(x) = −12x + 4

(c) f(x) = 3x + 1.

Definicion: La variacıon promedio de f(x) entre x1 y x2 se define como el cocientef(x2)−f(x1)

x2−x1y representa la razon de cambio promedio a la que cambio f(x) entre x1

y x2.

9. (a) ¿Como se interpreta geometricamente la variacion promedio de f(x) entre x1

y x2?

(b) Probar que si f es una funcion lineal entonces para cada x1 y x2 la variacionpromedio es la misma.

(c) Si para cada x1 y x2 la variacion promedio de una funcion f es constante eigual al numero m, ¿como es f? (Sugerencia: considerar los casos m = 0 ym 6= 0.)

(d) Si bien el grafico de toda funcion lineal es una recta, no toda recta es el graficode una funcion lineal (justifique esta observacion).

(e) Halle una ecuacion de la recta r, su pendiente y su ordenada al origen, sabiendoque:

i. Pasa por los puntos (2, 1), (3, 4).

ii. Pasa por los puntos (−1,√

3), (−1, 5).

iii. Pasa por el punto (1, 0) y tiene pendiente −2.

iv. Pasa por el punto (4,−3) y tiene pendiente√

7.

10. Encontrar y graficar las funciones lineales que satisfacen las siguientes condiciones:

(a) f(−1) = 0 y f(1) = 2.

(b) Su grafica pasa por el origen y su pendiente es igual a 3.

3

Page 11: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

(c) Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a la recta de ecuacion 3x− 4y = 0.

11. Un escritor esta por firmar un contrato que establece que ganara 400.000 pesos mas100 pesos por libro vendido. Graficar la funcion ganancia y establecer cual es larazon de cambio. Observar que todos los puntos de la grafica de la funcion estan enuna recta.

Una nueva editorial le ofrece al escritor un contrato de 300.000 pesos pero le pagara120 pesos por cada libro vendido. ¿Que decision tomara el escritor? ¿Le convienecambiar de editorial?

(a) Analizar el problema haciendo una grafica.

(b) Plantear la desigualdad que dara respuesta al problema.

12. Graficar el triangulo determinado por los puntos (−1, 2), (4, 0), (1,−5) y calcular superımetro y superficie.

13. Graficar las siguientes funciones e indicar el dominio e imagen de las mismas:

(a) f(x) =

{2x + 3 si x > 2−x− 2 si x ≤ 2

(b) f(x) =

{1 si x ≤ 0

−2x + 1 si x > 0

(c) f(x) =

x si x ≤ 00 si 0 < x ≤ 1

x− 1 si x > 1

(d) f(x) =

{−x + 2 si −3 < x ≤ 2x− 2 si 2 < x ≤ 5

14. Dadas las siguientes funciones, calcular f ◦ g y g ◦ f . Indicar sus dominios.

(a) f(x) = x + 3 y g(x) = 14x−2

(b) f(x) = x2 − x− 6 y g(x) =√x

(c) f(x) = |3− x| y g(x) =√x

15. Analizar si las siguientes funciones admiten inversa y, en caso afirmativo, dar suexpresion e indicar su dominio.

(a) f(x) =√x

(b) f(x) = 1x

(c) f(x) = 4− x2

(d) f(x) = 2− |x|

Observacion: Algunas de las funciones anteriores pueden tener mas de una funcioninversa segun el dominio que se considere. ¿Cuales?

4

Page 12: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

16. Demostrar:

(a) Toda funcion lineal no constante admite inversa. Ademas, la inversa es otrafuncion lineal.

(b) Toda funcion homografica admite inversa en algun dominio adecuado. Darla expresion de dicha inversa indicando su dominio (Aclaracion: Una funcionhomografica es de la forma f(x) = ax+b

cx+d, donde bc− da 6= 0)

17. Definimos g(x) = x1n , n ∈ IN como la inversa de f(x) = xn.

(a) Encontrar dominio e imagen de g para los distintos valores de n

(b) Graficar aproximadamente dichas funciones.

(c) ¿Como podrıa definir xq para q ∈ IQ? ¿Cuando esta funcion tiene inversa?

5

Page 13: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 2

1. Resolver y representar graficamente en la recta numerica los conjuntos de numerosreales que cumplen cada una de las siguientes condiciones.

(a) |4x| = |4x+ 1|(b) |x2 + 1| = |x2 − 1|(c) −3|4

3x− 1| ≤ 1

(d) |1 + x| ≥ 1 + |x|

2. Para cada ıtem graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos cada uno de lossiguientes conjuntos de funciones a valores reales.

(a) f(x) = |x|, h(x) = |x− 3|, v(x) = |x| − 3

(b) f(x) = −|x|, g(x) = −|x+ 1|, u(x) = −|x|+ 1,

3. Reescribir las siguientes funciones como funciones a trozos utilizando la definicionde valor absoluto y a continuacion graficarlas:

(a) f(x) = |3x− 1|+ 2

(b) g(x) = −|x− 1|+ x

(c) h(x) = |3x− 5|+ |2x+ 1|

4. (a) Graficar una funcion f : IR → IR que cumpla simultaneamente las siguientescondiciones:

i. f(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ (4, 6)

ii. f(x) > 0 si x ∈ (−1, 4) ∪ (6,∞)

iii. f(x) = 0 si x = −1, x = 4 y x = 6.

(b) A partir del grafico de f realizado en el inciso anterior, graficar |f(x)|.

5. Hallar las ecuaciones de las parabolas que verifican:

(a) pasa por los puntos (0,3), (1,4) y (-2,13).

(b) su vertice esta en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.

(c) pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo que es −5.

(d) pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo.

6. Graficar y senalar raıces, vertice y eje de simetrıa de las siguientes parabolas

(a) y = −x2 + 2x− 1

1

Page 14: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

(b) y = 2x2 − 4x− 3

(c) y = −1/2 x2 − 3x+ 7/2

(d) y = x2 − 3x+ 2

7. Analizar el signo de las funciones del inciso anterior.

8. Determinar el o los valores de k tales que

(a) y = x2 + 7x+ k tiene una sola interseccion con el eje x,

(b) y = x2 − 2kx+ k2 − 3k + 2 pasa por el origen.

9. Graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones a valoresreales: f(x) = 2x2 − 10x+ 8, g(x) = |2x2 − 10x+ 8|

Definicion: Una funcion f se dice par si f(x) = f(−x) e impar si f(x) = −f(−x)para todo x ∈ Dom(f).

Por ejemplo, la funcion f(x) = x2 es una funcion par (grafica de la izquierda) yaque

f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x),

y la funcion f(x) = x3 es impar (grafica de la derecha) porque

f(−x) = (−x)3 = [(−1)x]3 = (−1)3x3 = −x3 = −f(x).

0

10

20

30

40

50

60

y

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

x

–60

–40

–20

0

20

40

60

y

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

x

10. Determinar analıticamente si las siguientes funciones son pares o impares y cuandosea posible verificarlo graficamente: (a) f(x) = 2x2 + 1, (b) f(x) = 3x3, (c) f(x) =x4 − x2.

11. Hay funciones que no son pares ni impares, verificar que f(x) = x7 − x2 es una deellas.

12. Mostrar que g(x) = f(x) + f(−x) es siempre una funcion par. ¿Como se podrıaconstruir una funcion impar a partir de otra funcion f dada?

2

Page 15: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Definicion:

• Reflexiones respecto de los ejes: Dada una funcion conocida y = f(x),consideremos la funcion compuesta g(x) = f(−x). Graficamente vemos que lagrafica se copia, como por un espejo, reflejada con respecto al eje y. Por estarazon, g(x) se llama reflexion de f(x) con respecto al eje y. Si se considera lafuncion h(x) = −f(x) se obtiene la reflexion de f(x) con respecto al eje x.

• Traslaciones en el plano: Si conocemos la grafica de una funcion f(x) pode-mos construir una nueva funcion g(x) cuya grafica sea como la de f(x), perotrasladada horizontalmente a unidades mediante la composicion g(x) = f(x−a)donde a es un numero real. Y si queremos construir una funcion que tenga lamisma grafica que f(x) pero trasladada verticalmente b unidades, lo hacemosmediante la suma h(x) = f(x) + b donde b es un numero real.

• Dilataciones y compresiones: Cambio de escala vertical: si multiplicamosel valor de f(x) por un numero c > 0, obtenemos la funcion cf(x). Cuandoc > 1 la grafica de cf(x) es como la de f(x) pero extendida verticalmente.Mientras que si 0 < c < 1 la grafica se comprime verticalmente. Se conocencon el nombre de dilatacion o compresion vertical, respectivamente.

Cambio de escala horizontal: si utilizamos un numero c > 0 para realizar lacomposicion f(x/c) generamos una transformacion en el eje horizontal. Cuandoc > 1 , la funcion compuesta f(x/c) se representa con la grafica dilatada hor-izontalmente en un factor c. Cuando 0 < c < 1 la grafica se contrae horizon-

3

Page 16: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

talmente. Se denominan compresiones o dilataciones horizontales , respectiva-mente.

13. (a) A partir de la grafica de f(x) = 1x, usando traslaciones apropiadas, graficar las

siguientes funciones

i. g(x) = 1x−2

ii. h(x) = 1x+2

(b) Verificar que

i. xx+2

= 1− 2x+2

ii. −x+4x−2

= −1 + 2x−2

(c) A partir de lo realizado en los incisos previos graficar las siguientes funciones(usando traslaciones, dilataciones y/o reflexiones) e indicar cual es el dominiode cada una de ellas.

i. w(x) = xx+2

ii. z(x) = −x+4x−2

(d) Determinar en base a las graficas realizadas en el inciso anterior para quevalores de x se satisfacen las siguientes condiciones:

i. w(x) = 0

ii. z(x) > 0

iii. w(x) < 1

iv. z(x) > −1

14. Indicar el dominio y hacer un grafico aproximado de las siguientes funciones racionales:

(a) f(x) =3x

−x+ 4

(b) f(x) =x+ 4

−2x− 4

(c) f(x) =4

3x+ 9

4

Page 17: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Algunas Conicas

Algunas curvas que aparecen frecuentemente en distintos tipos de problemas no son elgrafico de una funcion, pero son representadas por distintas ecuaciones. Analizaremoslas llamadas conicas que, junto con la parabola se obtienen al seccionar un cono cirulardoble con un plano es distintas posiciones.

• Circunferencia

– Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de unpunto llamado centro de la circunferencia.

– La ecuacion que la representa es

(x− α)2 + (y − β)2 = r2

y es claro que para determinar una circunferencia basta conocer su centro y suradio.

– Las posiciones relativas de una circunferencia y una recta pueden ser

∗ exterior: no existen puntos de interseccion

∗ tangente: existe un solo punto de interseccion

∗ secante: existen dos puntos de interseccion

5

Page 18: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

• Elipse

– Una elipse puede verse como una circunferencia “deformada”.

– La ecuacion llamada canonica de la elipse centrada en el punto C = (α, β)esta dada por

(x− α)2

a2+

(y − β)2

b2= 1

• Hiperbola

– Si bien los graficos de todas las funciones homograficas son curvas llamadashiperbolas cuyas asıntotas son verticales y horizontales, estas no son lasunicas.

6

Page 19: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

– Las ecuacionesx2

a2− y2

b2= 1 (1)

y2

a2− x2

b2= 1 (2)

corresponden a hiperbolas centradas en el origen. En el caso de la ecuacion(1), la hiperbola corta al eje x en los puntos (a, 0) y (−a, 0) y las ecuacionesde las asıntotas son

y =b

ax y y =

−bax.

En el caso de la ecuacion (2), la hiperbola corta al eje y en los puntos (0, a) y(0,−a) y las ecuaciones de las asıntotas son

y =a

bx y y =

−abx.

Observar que los resultados mencionados para la ecuacion (2) provienen deintercambiar los roles de x e y en los resultados correspondientes a la ecuacion(1).

– De manera analoga toda ecuacion de la forma

(x− α)2

a2− (y − β)2

b2= 1 o

(y − β)2

a2− (x− α)2

b2= 1

representa una hiperbola centrada en el punto C(α, β). En el caso de la primeraexpresion, se tiene que las ecuaciones de las asıntotas son

y − β =b

a(x− α) y y − β =

−ba

(x− α).

Intercambiando los roles de (x−α) e (y− β) se pueden obtener las ecuacionesanalogas de las asıntotas para la segunda expresion.

7

Page 20: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

1. Dar la ecuacion de la circunferencia que verifica las siguientes condiciones y graficar.

(a) Centro C(−1, 2) y radio 1

(b) Centro C(−2, 3) y tangente al eje x

(c) Pasa por los puntos (0, 3), (0,−1) y (2, 1)

2. Dada la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 4, indicar para que valores de k larecta de ecuacion y + x = k es

(a) exterior

(b) secante

(c) tangente

3. Graficar las siguientes conicas:

(a) 2x2 − 4x+ 2y2 − 8y − 2 = 0

(b) 4x2 + (2y + 2)2 = 1

(c)x2

12+y2

9= 1

(d) x2 +y2

16= 1

(e) 3(x− 1)2 + 5(y + 3)2 = 15

(f)(x+ 2)2

9− y2

4= 1

(g) −x2 + 4y2 = 4

4. Encontrar b para que la elipse de ecuacionx2

4+y2

b= 1 sea tangente a la recta y = 1.

5. Determina los puntos de interseccion de la hiperbola x2 − 2y2 = 1 con cada una delas siguientes curvas (verificar los resultados graficamente):

(a) x+ y − 1 = 0

(b) x2 + 4y2 = 25

(c) x2 + y2 = 10

(d) y2 − x2

4= 1

1 Problemas de aplicacion

1. Encontrar las coordenadas de un punto cuya distancia al (0, 0) y al (4, 4) sea 2√

2.

2. Un colectivo parte desde la terminal de un pueblo hacia otro a las 17 hs. a unavelocidad constante de 96km/h, por una carretera recta.Un pasajero que no llego a horario a tomar el colectivo decide alcanzarlo en un remıs.A las 17:20 hs comienza el viaje en remis a una velocidad constante de 120km/h.

8

Page 21: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

• Consideren las funciones de posicion del colectivo y el remıs, teniendo en cuentaque ambas miden la distancia que separa a cada vehıculo de la terminal delpueblo de partida. si el instante t = 0 representa las 17hs y las funciones deposicion se consideran medidas en km, encuentren las expresiones de cada unade ellas y realicen las graficas.

• ¿A que hora el pasajero alcanza al colectivo?

• ¿A que distancia del pueblo de partida se produce el encuentro?

3. Se sabe que cierto gallinero rectangular tiene un perımetro de 30 m. Expresar lasuperficie del gallinero en funcion de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 maveriguar la superficie del gallinero. ¿Cual es el ancho si se sabe que la superficie esde 44 m2? ¿Puede ser el ancho de 18 m?

4. Una flecha se lanza hacia arriba en direccion al horizonte y viaja trazando un arcoparabolico dado por la ecuacion y = ax2 +x+c. Utilizar el hecho de que la flecha selanza a una altura vertical de 1,5 m y que vuelve a alcanzar la misma altura luegode recorrer una distancia horizontal de 60 m, para hallar a y c. ¿Cual es la maximaaltura alcanzada por la flecha? ¿En que intervalo sube la flecha? ¿En que intervalobaja?

5. Los gastos mensuales, en pesos, de una empresa por la fabricacion de x relojes vienendados por la funcion G(x) = 2000+25x, y los ingresos que se obtienen por las ventasson I(x) = 60x − 1

100x2, tambien en pesos. ¿Cuantos relojes deben fabricarse para

que el beneficio (ingresos-gastos) sea maximo?

6. Con un cuadrado de carton de 1 metro de lado se desea construir una caja de basecuadrada (sin tapa) cortando cuadrados de las esquinas y doblando los lados haciaarriba. Expresar el volumen de la caja en funcion de la altura.

9

Page 22: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 3

Ejercicio 1. Dada la funcion determinada por la grafica siguiente:

5

84

4

3

2

Calcular los lımites de la funcion en los puntos x = 2, x = 4 y x = 8.

Ejercicio 2. Grafique y use la grafica para hallar limx→1

f(x) :

a) f(x) = x2 + 1,

b) f(x) =

x2 + 1 si x 6= 1

3 si x = 1

Ejercicio 3. Hallar los siguientes lımites

a) limx→1

3x3 − 2x2 + 4

b) limx→−3

2

x + 2

c) limx→1+

|x− 1|x− 1

d) limx→1

|x− 1|x− 1

e) limx→2

x2 + 3x− 1

x4 + 6x2 + 5

f) limx→3−

x− 2

x− 3

g) limx→3

x− 2

x− 3

h) limx→4

2−√x

x2 − 5x + 4

i) limx→1

(x− 1)2√x + 3− 2

Ejercicio 4. Analizar si las siguientes afirmaciones son ciertas. Justificar.

a) Si no existen limx→a

f(x) y limx→a

g(x); ¿puede existir limx→a

(f(x) + g(x))?

1

Page 23: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

b) Si existen limx→a

f(x) y limx→a

(f(x) + g(x)); ¿debe existir limx→a

g(x)?

c) Si existe limx→a

f(x) y no existe limx→a

g(x); ¿puede existir limx→a

(f(x) + g(x))?

d) Si existen limx→a

f(x) y limx→a

(f(x).g(x)); ¿se puede asegurar que existe limx→a

g(x)?

Ejercicio 5. Hallar los siguientes lımites utilizando los datos.

a) Si limx→x0

f(x) = 5 y limx→x0

g(x) = −2, encontrar limx→x0

f(x)− 2

f(x)− g(x).

b) Si limx→−2

f(x)

x2= 1, hallar lim

x→−2

f(x)

x.

c) Si limx→0

f(x)

x= 1, hallar lim

x→0

f (x2)

x.

Funciones continuas.

Ejercicio 6. Determinar si las siguientes funciones son continuas

a) f(x) =x− |x|

2

b) f(x) =

{3x + 1 si x ≥ 0x + |x| si x < 0

Ejercicio 7. Graficar f(x) =x2 − 4

|x− 2|. Hallar los lımites laterales de f(x) cuando x tiende

a 2. ¿Existe limx→2 f(x)? ¿Puede definirse f(2) para que f sea continua?

Ejercicio 8. Averiguar si f(x) =

x2 − 2x + 1

x− 1si x 6= 1

2 si x = 1

es continua en x = 1. En

caso negativo, ¿puede redefinirse f(1) para que resulte continua?

Ejercicio 9. Dadas dos funciones continuas, probar que la suma, la diferencia, el productoy el cociente son funciones continuas en su dominio.

Definicion: La funcion parte entera esta dada por [x] = m donde m es el mayor numeroentero que satisface m ≤ x.

Ejercicio 10. Dada f(x) = [x] (la parte entera de x) , calcular limx→2+

f(x) y limx→2−

f(x).

En x = 2 la funcion salta de un valor finito a otro. ¿Podrıa indicar una manera de medirese salto?

Ejercicio 11. Construya ejemplos de funciones f y puntos x0 tales que

a) f esta definida en x0, existe limx→x0

f(x) y limx→x0

f(x) = f(x0)

2

Page 24: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

b) f esta definida en x0, existe limx→x0

f(x) y limx→x0

f(x) 6= f(x0)

c) f no esta definida en x0 y existe limx→x0

f(x)

d) f esta definida en x0 y no existe limx→x0

f(x)

Definicion: La funcion signo esta dada por sg(x) =

1 si x > 0

−1 si x < 0.

Ejercicio 12. Calcular los lımites laterales de f(x) cuando x tiende a 0; decir si existelimx→0

f(x) y si puede redefinirse f(0) de manera que resulte continua.

a) f(x) = sg(x)

b) f(x) = [x + 1]

Ejercicio 13. ¿Como extenderıa la definicion de continuidad en un intervalo cerrado?

Ejercicio 14. Dada f(x) continua en [a,b], construir una funcion que sea continua en Ry que coincida con f en [a,b] (en realidad existe una infinidad de dichas funciones).

Ejercicio 15. Determinar el valor de c para el cual la funcion f es continua en R.

f(x) =

{x + 3 si x ≤ 2cx + 6 si x > 2

Ejercicio 16. Hallar los valores de b y c para los cuales la funcion f resulta continua enR.

f(x) =

{x + 1 si 1 < x < 3x2 + bx + c si |x− 2| ≥ 1

Ejercicio 17. Sea f una funcion continua definida en [0, 48] tal que f(0) = f(48). Mostrarque hay algun valor x ∈ [0, 48] para el cual f(x) = f(x + 24).

Ejercicio 18. Un docente sube y baja una montana por el mismo camino en 48 hs (partea las 0 hs de un dıa y llega a las 24 hs del dıa siguiente. Mostrar que independientementede la velocidad a la que vaya en cada momento y de los descansos que pueda haber hecho,hay un punto del camino por el cual paso ambos dıas a la misma hora.

Ejercicio 19. Para cada uno de los siguientes polinomios, hallar un entero n tal quep(x) = 0 para algun x entre n y n + 1.

a) p(x) = x3 − x + 3

b) p(x) = x5 + x + 1

c) p(x) = 4x2 − 4x + 1

Ejercicio 20. Sea f una funcion continua definida en [0, 1] tal que su imagen esta con-tenida en el intervalo [0, 1]. Demostrar que f(x) = x para algun numero x. (Sugerencia:Dibujar tal funcion)

3

Page 25: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 4

Ejercicio 1. a) Calcular la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados:

i) f(x) = 2x2, en el punto de abscisa x = 1.

ii) g(x) =1

x, en el punto de abscisa x = 1.

iii) h(x) =√x, en el punto de abscisa x0 > 0.

b) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de cada una de las funciones delinciso anterior en los puntos indicados. Graficar.

Definicion: Una funcion f es estrictamente creciente si para cualquier par de puntos a,b ∈ Dom(f) con a < b se verifica que f(a) < f(b).

Ejercicio 2. Dada f(x) = x3,

a) Mostrar por definicion que f(x) es estrictamente creciente.

b) Hacer un grafico aproximado de la funcion.

c) Hallar la pendiente de la curva en x = 0.

d) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica en (1, 1). Observar que esa rectatangente tambien corta a la grafica en (−2,−8).

Ejercicio 3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la grafica de f(x) = x2 + 1que pasan por el punto (2,1). Graficar la funcion y ambas rectas.

Ejercicio 4. ¿Cuantas rectas tangentes a la grafica de y = x2 + 3 pasan por el punto(1, 0)? Hallar la ecuacion de cada una. Graficar.

Ejercicio 5. A partir de las graficas de

a) f(x) = x+ |x|

b) g(x) = x.|x|

c) f(x) =

{3x+ 1 si x ≥ 03 si x < 0

determinar en cada caso si existe la tangente a la grafica en (0,0). Luego en cada casodemostrarlo analıticamente.

Ejercicio 6. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuacion y = xsea tangente a la grafica de f(x) = x2 + c. Graficar.

1

Page 26: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 7. Calcular por definicion la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = k, con k constante.

b) f(x) = x

c) f(x) = x3

d) f(x) = x4

e) f(x) =1

x

f) f(x) =√x

Ejercicio 8. Dadas las siguientes funciones, calcular su derivada:

a) f(x) =1

3x4 − (5x)3 + x2 − 2

b) f(x) = 12x−

12

c) f(x) = πx7 − 8x5 + x+ 1

d) f(x) = (x3 + x).(x− 1)

e) f(x) = (x−12 + x2).(x3 + 1

x)

f) f(x) = 2x+1x+5

Ejercicio 9. Calcular la derivada de las siguientes funciones. En cada caso indicar eldominio de definicion y el dominio de derivabilidad

a) (x−√x)(x2 + x−3)

b)1

x√x

c)x4(x+ 1)

x− 1

d)1

1 + 1x+1

Ejercicio 10. Utilizando la ecuacion del cırculo, realice un grafico de f(x) =√

4− x2.Calcule f ′(0) y f ′(

√2) sin derivar, solo usando argumentos geometricos. Luego verifique

los resultados hallados calculando la derivada.

Ejercicio 11. En cada caso, hallar g◦f y f ◦g, su dominio natural y calcular su derivada.

a) f(x) =1

xg(x) = x2 + 1

b) f(x) =x√

1− x3g(x) = x2

Ejercicio 12. Calcular la funcion derivada de las siguientes funciones

a) f(x) = x−n con n ∈ N

b) f(x) = xq con q ∈ Q. (Observacion importante: ¿Son derivables en x=0? Por ejemplo,pensar en f(x) = x1/3)

Ejercicio 13. Calcular la derivada de las siguientes funciones. En cada caso indicar eldominio de definicion y el dominio de derivabilidad.

a) f(x) = x−34 + 10x

b) f(x) = (x4 + x2 + π)−34

2

Page 27: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

c) f(x) = 3

√2x4 + 4x3 − 1

2x

d) f(x) = (3x+ 2x)4

e) f(x) = 5√

(x+ 1)3

f) f(x) = x3√(1−x2)3

Ejercicio 14. a) Calcular las derivadas laterales de f(x) =x− |x|

2en x = 0 y determinar

si es derivable.

b) Determinar si g(x) =(f(x)

)2es derivable en x = 0. Graficar la funcion.

Ejercicio 15. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable enx = 0. ¿Cuanto vale f ′(0)?

Ejercicio 16. Sea la funcion

f(x) =

{x2 − x+ 1 si x > 1x3 si x ≤ 1

a) Graficar.

b) Probar que f es continua en x = 1.

c) Analizar si f es derivable en x = 1.

Ejercicio 17. Analizar la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones ensus respectivos dominios:

a) f(x) =

{(x− 2)2 si x ≥ 2−(x− 2)2 si x < 2

b) g(x) = |x− 2|

Graficar las funciones f y g.

Ejercicio 18. Sea la funcion

f(x) =

{2x+ 1 si x < 1x+ a si x ≥ 1

a) Determinar el valor de a para que la funcion sea continua en x = 1.

b) ¿Es f(x) derivable en x = 1?

Ejercicio 19. Sea la funcion

f(x) =

{x2 si x < 1ax+ b si x ≥ 1

Hallar el valor de a y b para que la funcion resulte continua y derivable en x = 1.

3

Page 28: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 20. Consideremos la siguiente situacion: desde una altura de 40 metros se dejacaer un objeto. Si t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde que se lo suelta, laposicion del objeto (medida en metros desde el suelo) esta dada por la funcion h(t) =40− 5t2.

a) En el contexto descripto, entre que valores de t es valida la expresion h(t) = 40− 5t2.

b) Haga un grafico que represente la posicion del objeto en funcion del tiempo.

c) Estime en ese grafico la velocidad del objeto despues de 2 segundos.

d) Determine la velocidad del objeto a los t segundos. Entre que valores es correcta laexpresion encontrada?

e) Grafique la velocidad en funcion del tiempo.

f) Calcule la razon de cambio instantanea de la funcion velocidad ¿Que representa?

Ejercicio 21. Se debe doblar un pedazo de alambre de 60 cm para formar un rectangulo.Encontrar las dimensiones del rectangulo de area maxima.

Ejercicio 22. La funcion f(x) = −x2 + bx + c tiene un valor maximo de 12 en x = −2.Hallar las constantes b y c.

Ejercicio 23. Graficar las siguientes funciones. En cada caso determinar la region decrecimiento y decrecimiento; maximos y mınimos locales y absolutos.

a) g(x) = −3x2 − 4x

b) h(x) = x|x|

c) g(x) = |1− |x||

d) f(x) =|1 + x|+ |1− x|

2

e) Demostrar que f(x) ≥ 1,∀x ∈ R. Determinar para que valores de x, g(x) > 1.

4

Page 29: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 5

Extremos y teorema del valor medio

Ejercicio 1. Decir si las siguientes afirmaciones son correctas. En caso contrario, justi-ficar la respuesta.

a) El teorema del valor medio se puede aplicar a la funcion f(x) = x1/3 en [−1, 1].

b) Si la grafica de una funcion tiene tres intersecciones con el eje x, debe haber almenos dos puntos en los que su tangente sea horizontal.

c) Si la grafica de un polinomio tiene tres raıces, debe haber al menos dos puntos enlos que su tangente es horizontal.

Ejercicio 2. Utilizando el teorema del valor medio, demostrar que una funcion continuaen un intervalo [a, b] y derivable en (a, b) tal que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), resultaser creciente en [a, b].

Ejercicio 3. Determinar los maximos y mınimos absolutos de las siguientes funciones enlos intervalos indicados.

a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2, en [−1/2, 1/2]

b) f(x) = x3 − x2 − 8x + 1, en [−2, 2]

c) f(x) =x

x− 2, en [3, 5]

d) f(x) = 4− |x− 4|, en [1, 6]

e) f(x) = 2x− 3x2/3, en [−1, 3]

En cada ıtem, ¿es posible afirmar que la funcion tiene al menos un maximo y unmınimo absoluto sin hacer calculos? ¿Por que?

Ejercicio 4. Determinar los maximos y mınimos absolutos de las siguientes funciones enlos intervalos indicados.

a) f(x) = x4 − x2 en [−1,∞)

b) f(x) =x3

1 + x2en (−∞,∞)

c) f(x) =

{3 + x si 0 ≤ x ≤ 1,

1x−1 si 1 < x ≤ 2,

en [0, 2].

1

Page 30: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

En cada ıtem, sin realizar calculos, ¿es posible afirmar que la funcion tiene al menos unmaximo y un mınimo absoluto?

Ejercicio 5. La altura de un objeto t segundos despues de dejarlo caer desde una alturade 500 metros es s(t) = −4.9t2 + 500.

a) ¿Para que valores de t esta definida la funcion s(t)?

b) Calcular la velocidad media del objeto durante los 3 primeros segundos.

c) Verificar que en algun momento de esos 3 primeros segundos estaba cayendo a unavelocidad igual a la velocidad media calculada antes. ¿En que instante ocurre esto?

Ejercicio 6. Calcular la distancia del punto (1, 2) a la parabola de ecuacion y =x2

4.

Ejercicio 7. Hallar dos numeros positivos cuyo producto sea 16 y

a) su suma sea mınima.

b) la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mınima.

Ejercicio 8. Se planea fabricar una caja rectangular sin tapa de una pieza de carton de80 cm por 1,5 mts cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba.¿Cuales son las dimensiones de la caja de mayor volumen que se pueda hacer de estemodo?

Ejercicio 9. Un trozo de alambre de 10 metros de longitud se corta en dos partes. Conuna parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Comodebe cortarse el alambre de modo que el area total de las dos figuras sea maxima?

Ejercicio 10. Determinar las dimensiones del triangulo de area maxima inscripto en lacircunferencia de radio 1 segun la siguiente figura

Ejercicio 11. Un chacarero esta engordando su ganado. El peso total del ganado es de20 toneladas y el precio del ganado en pie es de $4,50 el kg. El precio esta bajando arazon de $0,10 por dıa y el ganado esta engordando a razon de 100 kg. por dıa (entretodos los animales). Graficar el precio total del ganado en funcion del tiempo. ¿Cuandoconviene venderlo?

2

Page 31: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 12. Una ventana normanda tiene forma de rectangulo con un semicırculo ensu parte superior (ver figura). Si el perımetro de la ventana es de 30 pies, encuentre lasdimensiones de la ventana de modo que admita la mayor cantidad de luz posible.

Ejercicio 13.Hallar sobre la recta y = x + 2 el punto que se encuentra mas proximo al(1/2, 2). Demostrar que la recta que pasa por el punto hallado y el (1/2, 2) es perpendic-ular a y = x + 2.

Concavidad

Ejercicio 14. Encontrar los puntos de inflexion, y determinar la concavidad en losintervalos que estos determinan, de las siguientes funciones:

a) f(x) = (x2 − 4)2

b) f(x) = x3 − 6x2 + 12x

c) f(x) = x(x + 1)12

Ejercicio 15. Dada la funcion

f(x) =

{−x2 si x < 0,x3 si x ≥ 0.

Graficar. Mostrar que f ′′ no existe en x = 0. Analizar si en x = 0 hay un punto deinflexion.

Ejercicio 16. Sea f : (a, b) → IR una funcion derivable tal que f ′(x) > 0 para todox ∈ (a, b).

a) Mostrar que f es concava hacia arriba si y solo si f−1 es concava hacia abajo.Interpretar graficamente.

b) Si ademas f es derivable dos veces, dar otra pueba de (a) utilizando el criterio dela segunda derivada para la concavidad.

3

Page 32: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 17. Sea f : (a, b) 7−→ IR una funcion dos veces derivable y sea x0 ∈ (a, b) talque f ′(x0) = 0. Demostrar que

a) si f ′′(x0) < 0, x0 es un maximo local de f ;

b) si f ′′(x0) > 0, x0 es un mınimo local de f .

Si f ′′(x0) = 0, dar ejemplos que muestren que en x0 puede haber un maximo, un mınimo oun punto de inflexion. En tal caso habra que clasificar el punto x0 mediante el crecimientoo decrecimiento de la funcion o el signo de su derivada.

Ejercicio 18. Clasificar los extremos locales y absolutos de las funciones en el ejercicio14 utilizando el criterio de la segunda derivada cuando sea posible.

Ejercicio 19. Proponer una grafica para las siguientes funciones.

a) f(x) = x3 − x

b) f(x) = x4 − 2x3 + x2 + 3

c) h(x) = x5 + x + 1

d) g(x) = − 1

x2 − 9

e) f(x) =x4 − 1

x2

f) f(x) =x2 − 2x

x− 2

g) r(x) =x

x2 + 1

h) k(x) =x3

x2 − 4

4

Page 33: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 6

Funciones trigonometricas

Ejercicio 1.

a) Utilizando la formula de la suma de angulos para el seno probar que cos x = sen(x+ π

2

).

b) Utilizando la identidad probada en el punto 1, analizar dominio, periodicidad, continuidady derivabilidad de la funcion cos x y trazar su grafica.

c) Encontrar (grafica y analıticamente) los valores de x en donde la funcion cosx

i) se anula,

ii) alcanza el maximo absoluto,

iii) alcanza el mınimo absoluto.

Pista: Usar la periodicidad de la funcion.

Ejercicio 2. Estudiar la funcion tan x =sen x

cos xen el intervalo (−π

2, π2) analizando:

a) continuidad y derivabilidad,

b) intersecciones con los ejes coordenados,

c) comportamiento de la funcion a derecha de −π2

y a izquierda de π2,

d) regiones de crecimiento.

Utilizando la periodicidad de la funcion tanx extender los resultados obtenidos a su dominionatural.

Ejercicio 3. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, indicando en cada caso eldominio de la funcion y de su derivada:

a) cosec x =1

sen x

b) sec x =1

cos x

c) ctg x =1

tan x

1

Page 34: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 4. Hallar los lımites cuando x→ 0 de:

a)sen (2x)

xb)

sen (x2)

xc)

sen(π − x)

x

d)x sen x

sen (x2)e)

1− cos x

sen xf)

1− cos x

x2

g)sen 9x

sen 7xh)

sen x

3x2 + 2xi)

x

sen 5x

Ejercicio 5. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) f(x) = sec (x2 + 1)

b) f(x) =x+ cos(x)

cos(x) sen(x)

c) f(x) = tan(sen√x)

d) f(x) = cos((2x+ 3)2)

Ejercicio 6. Analizar la existencia local de funciones inversas de sen x, cos x y tan x.Considerar los dominios en los que estas existan y hallar la derivada en cada caso. Graficar.

Ejercicio 7. Demostrar que existe algun numero x tal que sen x = x− 1.

Ejercicio 8. Dadas las funciones f(x) = x sen

(1

x

), g(x) = x2 sen

(1

x

).

a) Analizar la continuidad en x = 0.

b) En caso de ser posible, redefina estas funciones de manera que resulten continuas en x = 0,y analice su derivabilidad.

c) Si alguna de las funciones resultara derivable, analizar la continuidad de su derivada.

Ejercicio 9. Calcular los siguientes limites, enunciando que propiedad usa:

a) limx→2

(x2 − 4) cos

(1

x− 2

)

b) limx→5+

(x− 5)2 sen

(1√x− 5

)

Funciones exponenciales y logarıtmicas.

Ejercicio 10. La poblacion de cierta ciudad se duplica cada 10 anos y en 1940 tenıa 100.000habitantes.

2

Page 35: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

a) Determinar la poblacion en 1980.

b) Expresar la poblacion en funcion del tiempo (en anos).

c) Dibujar la curva de poblacion. ¿La poblacion, crece o decrece con respecto al tiempo?

Ejercicio 11. Demostrar que si 0 < a < 1, ax es estrictamente decreciente. Puede definirsela funcion exponencial si a < 0? Justifique.

Ejercicio 12. Probar las siguientes propiedades: Para a > 0,

• Dominio(loga x) = (0, +∞)

• Imagen(loga x) = R

• loga 1 = 0

• loga(xy) = loga x+ loga y

• loga(x−1) = − loga x

• loga xb = b loga x

Ejercicio 13. Analizar crecimiento y decrecimiento de f(x) = loga x de acuerdo a los distintosvalores de a.

Ejercicio 14. Calcular las derivadas de las siguientes funciones. Explicitar dominio de lafuncion y de su derivada:

a) f(x) = ln(x2 + 1)

b) f(x) =ex

x

c) f(x) = x√x

d) f(x) = x lnx

e) f(x) =x2

ln x

f) f(x) = 2x − x2

g) f(x) = eln(7)x

h) f(x) = cos(ex2)

Ejercicio 15. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) ex+7 = 1e2

b) 4.3x+1 = 12

c) ln(x2 − 4x− 4) = 0

d) ln(x2 + x)− ln(x) = ln(5)

3

Page 36: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Crecimiento Exponencial.

Ejercicio 16. Una substancia radiactiva se desintegra proporcionalmente a la cantidad desubstancia presente en un instante dado, digamos f(t) = CeKt.

a) ¿En que instante habra exactamente la mitad de la cantidad original presente?

b) Suponer que K = −4. ¿En que instante habra un tercio de la substancia?

Ejercicio 17. En 1900, la poblacion de una ciudad fue de 50000 habitantes. En 1950 fue de100000. Si la razon de crecimiento de la poblacion es proporcional a la poblacion, ¿cual sera lapoblacion en 1984? ¿En que ano sera de 200000?

Ejercicio 18. Sean f una funcion definida en algun intervalo de la recta real, K una constantey supongamos que f ′(t) = Kf(t) en el intervalo mencionado. Probar que existe una constanteC tal que f(t) = CeKt.

Sugerencia: considerar la funcion F (t) = f(t)eKt y mostrar que F ′(t) = 0. Luego podemos

asegurar que existe una constante C tal que F (t) = C. Por lo tanto se deduce que f(t) = CeKt.

4

Page 37: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 7

Sobre lımites en el infinito

Ejercicio 1. Calcule los siguientes lımites

a) limx→+∞

x21

x

b) limx→+∞

x1

x

c) limx→+∞

x1

x2

d) Que se puede decir del limx→+∞

f(x)g(x) cuando limx→+∞

f(x) = 0 y limx→+∞

g(x) = +∞?

Ejercicio 2.

a) Hallar

limx→∞

3x4 + 4x3

x6 − 7x4 + 1limx→∞

14x5 − 12x2 + 4

2x4 − 13x+ 4limx→∞

2x3 + 3x2 − 2

3x3 − 12x+ 2

b) Dados dos polinomios p(x) y q(x) de grados m y n respectivamente, analizar el compor-

tamiento de la funcion racionalp(x)

q(x)cuando x→ +∞ si m > n, m = n y m < n.

Ejercicio 3.

a) Calcular limx→+∞

1

xsen x

b) Demostrar que limx→+∞

f(x)g(x) = 0 si limx→+∞

f(x) = 0 y g(x) es una funcion acotada.

Ejercicio 4.

a) Probar que 1 + x < ex, para x > 0.

b) Utilizar (a) para mostrar que 1 + x2

2< ex, para x > 0

c) Utilizar (b) para demostrar que limx→∞

ex

x=∞.

1

Page 38: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

d) Calcular:

limx→∞

x4 + 2x+ 8

2x3 + 3xexlim

x→−∞

ln(x4) + 3√x√

x2 + 2 ln(|x|)limx→∞

xx

e√x

Ejercicio 5. Hallar los siguientes lımites:

(a) limx→0+

xn ln(x), n natural (b) limx→+∞

ln(1 + ex)− x (c) limx→∞

(1 +

4

x

)−x(d) lim

x→∞

(1 +

1

x3

)x

(e) limx→∞

(x+ 3

x+ 4

)x/2

(f) limx→∞

x( x√a− 1), a > 0

(g) limx→+∞

x3 + 2 ln(x)

2x +√x

(h) limx→0

ex − 1

tg(x).

Ejercicio 6. Sea f : (0,∞)→ R la funcion dada por: f(x) =

{ln(x)x−1 si x 6= 1,

1 si x = 1,

a) Probar que f es continua en todo su dominio.

b) Analizar la derivabilidad de f en todo su dominio.

Estudio y grafico de funciones.

Ejercicio 7. Probar las siguientes desigualdades:

a) 1− x2

2≤ cos(x) si x ≥ 0.

b) tan(x) > x si 0 < x < π/2.

c) 2 ln(x) ≤ x2 − 1

xsi x ≥ 1.

Ejercicio 8. Graficar las siguientes funciones explicitando en cada caso, si es posible:

• Dominio. Puntos de discontinuidad. Intersecciones con los ejes coordenados.

• Puntos crıticos. Maximos y mınimos, locales y absolutos.

• Regiones de crecimiento y de decrecimiento.

• Comportamiento de la funcion cuando x→ +∞ y x→ −∞, indicando si tiene asıntotashorizontales.

• Valores de x en los cuales la funcion tiende a +∞ o a −∞, a izquierda o a derecha(asıntotas verticales).

• Regiones de concavidad. Puntos de inflexion.

2

Page 39: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

a) f(x) = ln(x2 − 9)

b) f(x) =x2 − 2x

x− 2

c) f(x) = ln(x2 + 1)

d) f(x) = xe−x2

e) f(x) =x2

(x+ 1)12

f) f(x) = xe1x

g) f(x) =x

ln(x)

h) f(x) = ln(4− x2)

i) f(x) = ex(x− 2)

j) f(x) = 2x+ x23

3

Page 40: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 8

Derivacion implıcita

Ejercicio 1. Consideremos el folio de Descartes x3 + y3 = 3xy cuya grafica es

a) Calcular la derivada de y con respecto a x.

b) Despejar y′(x). ¿Para que valores de x e y esta expresion no esta definida?. Interpretarlograficamente.

c) Hallar en forma analıtica el o los puntos donde y′(x) = 0. Indicarlo en el grafico.

d) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto (32, 32).

Ejercicio 2. En los siguientes casos consideramos a y como una funcion de x. Hallar y′(x) eindicar donde la expresion encontrada es valida.

a) 2x3 − 3xy + 2y2 = 1

b) sen(2x) + cos(2y) = 2xy

c) ex sen(y) = e−y cos(x)

d) x ln(y) + y ln(x) = 3

Ejercicio 3. Hallar las rectas tangentes a la circunferencia de centro en el origen y radio 2 quepasan por el punto P(4,5).

Ejercicio 4. Una escalera de 3 metros de longitud descansa contra una pared vertical. Elextremo inferior comienza a resbalar sobre el piso y se aleja de la pared a una velocidadconstante de 0,5 m/s. ¿A que velocidad se desliza hacia abajo el extremo superior cuandoesta a 1,8 m del suelo?

1

Page 41: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Polinomios de Taylor

Ejercicio 5. Hallar el polinomio de Taylor centrado en x = 0 de orden 3 para cada una de lassiguientes funciones.

a) f(x) = e−x b) f(x) = x2e−x c) f(x) =1

x+ 1d) f(x) = arctan(x)

Ejercicio 6. Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 alrededor de x = 1 para la funcionf(x) = ln(x). Utilizar este polinomio para aproximar ln(9/10) y acotar el error cometido.

Ejercicio 7. Utilizar un polinomio de Taylor de la funcion f(x) = ex alrededor de x = 0 para

a) Calcular el valor del numero e con 5 decimales exactos (¡Cuidado! no es lo mismo quecalcularlo con un error menor que 10−5).

b) Calcular el valor de 4√e con un error menor que 10−3.

Ejercicio 8. Considerar las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x).

a) Encontrar las expresiones de sus polinomios de Taylor de orden n de f alrededor de x = 0.

b) Para cada funcion, hallar una cota para el error de aproximacion en el intervalo [0, π] enterminos de n.

Ejercicio 9. a) Reconstruir el polinomio f(x) de grado 3 del que sabemos que f(0) = 2 ,f ′(0) = f ′′(0) = 6 y f ′′′(0) = −12.

b) Sea f(x) un polinomio de grado 2 tal que f(2) = −1, f ′(2) = 3 y f ′′(2) = 4. Expresar f(x)en potencias de (x− 2) , y luego en la forma habitual, es decir en potencias de x .

c) Utilizando el desarrollo de Taylor, escribir p(x) = x4−x3 + 2x2− 3x+ 1 como un polinomioen potencias de x− 1.

d) Si p es un polinomio de grado n. Para m ≥ 1, ¿cual es el polinomio de Taylor de orden malrededor de x = 0?

Ejercicio 10. Calcular los siguientes lımites.

(a) limx→0

ln(1 + x)− xx2

(b) limx→0

ex − cos(x)

x(c) lim

x→0

√ex − x− 1

x

2

Page 42: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 11. Sea f : (−1,+∞) → IR definida por f(x) = (1 + x)r, siendo r un numero realfijo.

a) Demostrar que cerca de x = 0, la funcion f puede aproximarse con primer orden por 1 + rx,

y con segundo orden por 1 + rx+ r(r−1)2

x2.

b) Estimar el valor de√

1, 1 a orden 2, eligiendo valores adecuados de r y de x. Calcular unacota para el error cometido y comparar con el valor de

√1, 1 que arroja la calculadora.

Ejercicio 12. Utilizando un desarrollo de Taylor adecuado, averiguar para que valores de a > 0el siguiente lımite existe:

limx→0

sen(x)− x+ x3/6

xa

Ejercicio 13. Hallar los siguientes lımites:

a) limx→0

cos(sen(x))− cos(x)

x2

b) limx→1

ln(x)

x2 + x− 2

c) limx→π/4

cos(x)− sen(x) +√

2(x− π/4)

(x− π/4)3

3

Page 43: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

Trabajo practico 10

Metodos de Integracion

Ejercicio 1. Hallar las primitivas indicadas:

a)

∫3

2x

12 dx

b)

∫5

2

(x2− 7)4

dx

c)

∫sen7(x) cos(x) dx

d)

∫e5xdx

e)

∫x sen(x) dx

f)

∫x2 cos(x) dx

g)

∫x sen(2x2) dx

h)

∫ln(x) dx

i)

∫x cos(2x2)dx

j)

∫ln(x)

x2dx

k)

∫1

xln(x) dx

l)

∫2x + 3

x2 + 3x− 1dx

m)

∫x

1 + x2dx

n)

∫x2 − 1

(x2 + 1)dx

n)

∫x2ex dx

o)

∫cos (x) ex dx

p)

∫arc sen(x) dx

q)

∫x2 ln2(x)dx

r)

∫arctan(x)

x2 + 1dx

s)

∫ln(ln(x))

xdx

t)

∫ √1− x2 dx

Ejercicio 2. Calcular:

a)

∫ π/2

π/4

cos(x)

sen3(x)dx

b)

∫ 2

1

√x ln(x) dx

c)

∫ 1

0

xe−√x dx

d)

∫ 0

−1ex√

1 + ex dx

e)

∫ 2

1

x ln2(x) dx

f)

∫ π/4

0

x

cos2(x)dx

1

Page 44: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 3. Calcular las siguientes integrales de funciones racionales expresando el in-tegrando como suma de fracciones simples.

a)

∫1

x2 − x− 6dx

b)

∫x

x2 + x + 1dx

c)

∫x

(x + 1)(x + 2)2dx

d)

∫1

(x + 1)(x2 + 1)dx

e)

∫ −1−2

x + 2

x2 − xdx

f)

∫x + 2

x2 + xdx

g)

∫ π2

0

cos(x)

6− 5 sen(x) + sen2(x)dx

Ejercicio 4. Sea f : (1,∞) → R una funcion tal que f ′(x) = 1x ln3(x)

. Determinar f

sabiendo que f(e) = 12.

Ejercicio 5. Utilizando la sustitucion u = 4√

1 + x3, calcular∫ 4√

1 + x3

xdx

Ejercicio 6. Dada f una funcion integrable en el intervalo [−a, a], demostrar:

a) Si f es par, entonces

∫ a

−af(x) dx = 2

∫ a

0

f(x) dx.

b) Si f es impar, entonces

∫ a

−af(x) dx = 0.

Ejercicio 7. Demostrar que si f es periodica de perıodo a y continua, entonces∫ a

0

f(x)dx =

∫ b+a

b

f(x) dx para todo b ∈ R

Sugerencia: demostrar que

∫ t+a

t

f(x) dx no depende de t.

Algunas aplicaciones de la integral

Ejercicio 8. Calcular el area comprendida entre las graficas de:

a) y = x, e y = x3.

b) y = xex e y = 2x.

c) x = 3− y2 y x = y + 1.

Ejercicio 9. Sean f(x) = x−x2 y g(x) = ax. Determinar a para que la region delimitadapor las funciones f y g tenga area 9/2.

2

Page 45: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 10. Calcular la longitud del arco de las siguientes curvas

a) y = x32 desde el origen hasta el punto de coordenadas (4,8).

b) y = ex entre x = 1 y x = 2.

Ejercicio 11. Hallar la formula del volumen de un cono de altura h y radio de la base r.

Ejercicio 12. Calcular el volumen de

a) El solido generado por la region acotada por f(x) =√x con x en el intervalo [0, 4] al

rotar alrededor del eje x.

b) Calcular el valor de x que divide al solido generado en dos partes iguales

Ejercicio 13. Calcular el volumen del solido generado por la region acotada por lasgraficas de y =

√x e y = x2 al girar en torno al eje x.

Ejercicio 14. Calcular el volumen del solido generado al girar en torno al eje y de laregion acotada por las ecuaciones y = 6− 3x e y = 0 y x = 0.

3

Page 46: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 13

Supremo, ınfimos y sucesiones

Ejercicio 1.

Determinar cotas superiores e inferiores para los siguientes conjuntos y encontrar elsupremo y el ınfimo. Decir en que casos existe el maximo y el mınimo del conjunto.

a) (0, 1] b) { t : 2t− 7 < 4 } c){

1n| n ∈ IN

}d){t ∈ [0,∞) : 1+t

1+t2< 1

}e){

1 + (−1)n + (−1)nn| n ∈ IN

}Ejercicio 2. Los siguientes numeros son los primeros terminos de una sucesion. En cadacaso hallar el termino general de la misma y demostrar que son monotonas y acotadas.

a) 12, 23, 34, . . . b) 1, 1

2, 14, 18, . . .

c) 1,√

2, 3√

3, 4√

4, . . . d) 1, 2!22, 3!33, 4!44, . . .

Ejercicio 3. Dada la sucesion an =10n

n!.

a) Decidir si es monotona a partir de algun termino.

b) Calcular limn→∞

an.

Ejercicio 4. Mostrar que limn→∞

(1√

n2 + 1+

1√n2 + 2

+ · · ·+ 1√n2 + n

)= 1.

(Sugerencia: Comparar cada termino de la suma con el primero y el ultimo).

Ejercicio 5. Demostrar que la sucesion√

2,

√2√

2,

√2

√2√

2, ... converge y calcular su

lımite. (Sugerencia: Demostrar primero que si 0 < a < 2 entoncesa <√

2a < 2).

Ejercicio 6. Dada an =n√n

naveriguar si es una sucesion convergente; y en caso afirmativo

calcular el valor lımite.

Ejercicio 7. Hallar el supremo del conjunto A = {∫ n

1xe−x

2dx : n ∈ N }

Ejercicio 8. Utilizando el teorema que relaciona continuidad con sucesiones, probar:

f(x) = sen(πx

)tiene una discontinuidad no evitable en x = 0

1

Page 47: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Definicion 9. Una sucesion aritmetica es una sucesion en la cual cada termino sepuede obtener del anterior, sumando un mismo numero, llamado diferencia. Si llamamosa1, a2, a3 ... an, a los n primeros terminos de una sucesion aritmetica, siendo d ladiferencia; el n-esimo termino es:

an = a1 + (n− 1)d

Ejercicio 10. a) El tercer termino de una sucesion aritmetica es 85 y el decimocuartoes 30, hallar el primer termino y la diferencia.

b) El cateto menor de un triangulo rectangulo mide 8cm. Calcula los otros dos, sabiendoque los dos lados del triangulo forman una progresion aritmetica.

Ejercicio 11. Determinar si las siguientes sucesiones son monotonas:

a) an = 3 + (−1)n

b) bn = 2n1+n

c) cn = n2

2n−1

Ejercicio 12. Calcular, si existen, los siguientes lımites:

a) limn→∞n!

(−3n)n

b) limn→∞n3+n!3n+5n!

c) limn→∞

(5n2−3n+13(n+3)n

)n+2

Ejercicio 13. Encontrar todos los valores de x ∈ R para los cuales la sucesion an = x2n+1

n34n+1

es convergente. Para los valores encontrados, calcular limn→∞ an.

2

Page 48: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 14

Ejercicio 1. Halle la suma de las series:

a) 1 +1

3+

1

9+

1

27+ . . .

b)∞∑i=0

1

7i/2

c)∞∑j=0

1

5j−1

d)∞∑

n=1000

(13

15

)nEjercicio 2. Explicar porque no vale la siguiente formula:

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0 .

Ejercicio 3. Analizar si es cierta la siguiente formula

1 + 2 + 4 + 8 + . . . = 1 + 21 + 22 + 23 + . . . = 1/(1− 2) = −1.

Ejercicio 4. Una persona quiere extraer de su cuenta bancaria unos $10000, y luegodesea extraer cada ano 3/4 de lo que extrajo el ano anterior. Si asumimos que la cuentano da intereses ni posee gastos, ¿cual es la menor cantidad de dinero que debe tener ensu cuenta antes de la primera extraccion para contar con fondos por un perıodo ilimitadode tiempo?

Ejercicio 5. Analizar para que valores de s ∈ IR converge la serie∞∑n=1

1

ns

Ejercicio 6. Averiguar si las siguiente series convergen:

a)∞∑n=1

ln2(n)

n3

b)∞∑n=0

n2

n4 + 1

c)∞∑n=2

n2

n2 − 1

d)∞∑n=0

n4

n3 + 2

e)∞∑n=0

arctg(n)

n2 + 1

f)∞∑n=0

ne−n

g)∞∑n=0

n2e−n

h)∞∑n=2

1

ln(n)

1

Page 49: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

i)∞∑n=2

1√n2 − 1

j)∞∑n=1

n!

nn

Ejercicio 7. Dada la serie∞∑n=1

n

(n+ 1)!

a) Hallar una expresion general para la suma parcial N-esima.(Pista: Mostrar que n

(n+1)!= 1

n!− 1

(n+1)!)

ii) Decidir si la serie converge, y en caso afirmativo calcular el valor de la serie.

Ejercicio 8. Calcular el valor exacto de∞∑n=1

1

n(n+ 1).

Ejercicio 9. Dada la serie∞∑n=2

1

n(lnn)α

a) Decidir para que valores de α ∈ IR resulta convergente.

b) Para α = 2, hallar cuantos terminos de la serie deben sumarse para aproximar el valorlımite de la serie con un error menor que 10−3.

Ejercicio 10. Sea (un)n una sucesion de terminos positivos.

a) Si∑∞

n=1 un converge, mostrar que∑∞

n=1 upn tambien converge si p > 1.

b) Si∑∞

n=1 un diverge, mostrar que∑∞

n=1 upn tambien diverge si p < 1.

c) Probar que∑∞

n=1 un converge si y solo si∞∑n=1

un1 + un

converge.

Ejercicio 11. Averiguar si las siguientes series son convergentes y si son absolutamenteconvergentes:

a)∞∑n=1

(−1)n(

1 +1

n

)−n

b)∞∑n=1

(−1)n

2n+ 1

c)∞∑n=2

(−1)n

ln(n)

d)∞∑n=1

sin(n)

n3 + n

e)∞∑n=0

(−1)n(√

n+ 1−√n)

f) 1− 1

22+

1

33− 1

42+

1

53...

g)∞∑n=1

(−1)n+1

√n

n+ 1

h) 1− 1

3+

1

3− 1

32+

1

5− 1

33+ . . .

2

Page 50: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 12. Mostrar que las siguientes integrales son convergentes, pero no absoluta-mente convergentes:

a)

∫ ∞0

sin(x)

xdx

b)

∫ ∞0

sin(x)√xdx

c)

∫ ∞0

sin(x2)dx

Ejercicio 13. Calcular con error menor que 10−3:

a)∞∑n=1

(−1)n

n4

b)∞∑n=1

(−1)nn

2n. ¿La serie converge absolutamente?

Sugerencia: Recordar que si {an} satisface las condiciones del Criterio de Leibniz, entonces|∑∞

n=1 an − sN | ≤ aN+1.

Ejercicio 14. Dada la serie∞∑n=1

1

n3n, calcular con un error menor que 10−4

3

Page 51: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 16

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicio 1. Llevar las siguientes ecuaciones diferenciales a la forma de variables separa-bles y resolverlas.

a) y′(y + ey) = x− e−x

b) y′ = 3x2(1 + y2)

c) x(y2 − 1) − y(x2 − 1)y′ = 0

d) xy + y′ = 0

Ejercicio 2. Encontrar la solucion de las siguientes ecuaciones lineales de primer orden

a) xy′ − 2y = x2

b) y′ + y/x = 3x + 4

c) y′ − y = cosx

d) y′ + 5y = e5x

Ejercicio 3. Hallar una serie de potencias que sea solucion de las ecuaciones

a) y′′ − 9y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 6

b) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 6, y′(0) = 10

c) y′′ + y′ = sin(x), y(0) = y′(0) = 0

1

Page 52: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 15

Ejercicio 1. Hallar el radio y dominio de convergencia de las siguientes series de potencias

a)∞∑n=0

nxn

b)∞∑n=1

(xn

)nc)

∞∑n=1

nn

n!xn

d)∞∑n=1

xn

ln(n)

e)∞∑n=1

(x− 5)n

n24n

Ejercicio 2. Dadas las series∞∑n=0

(1− x)xn y∞∑n=0

(−1)nxn(1− x).

1. Hallar el dominio de convergencia.

2. Hallar la funcion lımite y analizar su continuidad en [0,1].

Ejercicio 3. Dada f(x) =∞∑n=0

x2n

(2n)!, calcular su radio y dominio de convergencia y de-

mostrar que f ′′(x) = f(x).

Ejercicio 4. Probar la siguientes identidades diferenciando o integrando (segun convenga)series de sumas conocidas.

a)1

(1− x)2=∞∑n=1

nxn−1 ∀x : |x| < 1

b) − ln(1− x) =∞∑n=0

xn+1

n + 1∀x : |x| < 1

Ejercicio 5. Dada f(x) =∞∑n=0

xn

n!.

a) Calcular su radio y dominio de convergencia.

b) Demostrar que f ′(x) = f(x).

c) Demostrar que f(x) = ex.

d) ¿Para que valores de x esta es la serie de Taylor de ex alrededor de x = 0.

1

Page 53: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

e) Verificar la siguiente igualdad∞∑n=0

2n

n!= e2

Ejercicio 6. Dada la serie f(x) =∞∑n=1

xn

(n− 1)!.

a) Hallar su intervalo de convergencia.

b) Mostrar que se satisface x(f ′(x)− f(x)) = f(x).

c) Encontrar la expresion de f .

Series de Taylor

Ejercicio 7. Encontrar la serie de Taylor alrededor de x = 0 de las siguientes funcionesindicando su radio de convergencia.

a) g(x) = cos x

b) h(x) = sen x

c) F (x) = ln(1 + x)

En cada caso, en que intervalo converge la serie a la funcion dada?

Ejercicio 8. Calcular la region de convergencia y la funcion suma de

a) 1− x +x2

2!− x3

3!+ ...

b) 1− x3 + x6 − x9 + ....

c)x2

2 · 1− x3

3 · 2+

x4

4 · 3− x5

5 · 4+ ...

d) 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...

Ejercicio 9. Calcular los siguientes lımites utilizando propiedades de las series de poten-cias

a) lımx→0

ex − (1− x)

x

b) lımx→∞

x2

ex

c) lımx→0

x− sinx

x3

2

Page 54: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 10. Sea f(x) =

{e−1/x

2si x 6= 0

0 si x = 0. Demostrar que existe la serie formal

de Taylor alrededor de x0 = 0 , pero que no converge hacia la funcion dada para ningunx 6= 0.

Ejercicio 11. Sea g(x) =

sen(x)

xsi x 6= 0

1 si x = 0

. Calcular gk(0) , k ∈ N .

Ejercicio 12. a) Muestre que g(x) =1 + x

1− xes una biyeccion entre los intervalos [−1, 1)

y [0,+∞)

b) Usando series de potencias apropiadas y la identidad

ln(g(x)) = ln(1 + x)− ln(1− x)

construir una serie de potencia absolutamente convergente para todo x : |x| < 1 quepermita hallar ln de cualquier numero positivo.

Sugerencia: observar que si x = 23

entonces ln(5) = ln(g(23)).

3

Page 55: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

EJERCICIOS PRELIMINARES

Estos ejercicios preliminares son para realizar durante la primera semana de clases.

Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones

(a)2x

x+ 1=

2x− 1

x

(b) 2x2 + 4x+ 1 = 0

(c) x4− 3x2 + 2 = 0

Ejercicio 2. Simplificar las siguientes expresiones indicando el conjunto de validez de las opera-ciones

(a)x2 + 3x+ 2

x2 − x− 2

(b)2x2 − x− 1

x2 − 9

·x+ 3

2x+ 1

(c)x2

x2 − 4

−x− 1

x+ 2

Ejercicio 3. Reescribir las siguientes expresiones completando cuadrados

(a) x2 + x+ 1

(b) −1

5x2 +

1

5x−

1

20

Ejercicio 4. Encontrar los valores de x que verifiquen las siguientes desigualdades (analizar pre-viamente para que valores de x tienen sentido las expresiones dadas).

(a) x (x− 3) < 0.

(b)x2

x− 1≤ 8.

(c) x3< 8.

(d) x4 + x ≥ 0.

(e) x+1

x> 0.

(f)x2

x2 + 1

> 1.

(g)x

x2 − 2x

> 2.

1

Page 56: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)

TRABAJO PRACTICO 9

Ejercicio 1. Determinar, usando formulas conocidas para calcular areas, el area ence-rrada por la grafica de la funcion f y el eje x en el intervalo que se indica.

a) f(x) = 2− x en [0, 2].

b) f(x) =

{3− 2x si − 2 ≤ x ≤ 03 si 0 < x ≤ 2

en [−2, 2].

c) f(x) =√

1− x2 en [0, 1].

Ejercicio 2. Determinar, para todas las funciones del ejercicio anterior, una expresion

para la funcion integral Iaf(x) :=

∫ x

a

f(t) dt, indicando en cada caso el dominio obtenido.

Si la funcion integral Iaf resulta derivable, evaluar su derivada. ¿Que observa?

Ejercicio 3. a) Verificar quex|x|

2es una primitiva de |x|.

b) Evaluar

∫ 4

−4

|x| dx. Comparar con

∣∣∣∣∫ 4

−4

x dx

∣∣∣∣.c) Verificar geometricamente la respuesta del inciso (b).

Ejercicio 4. Calcular

a)

∫ 4

1

t6 − t2

t4dt.

b)

∫ π

0

sen(x) + 2 cos(x) dx.

c)

∫ π2

−π2

| sen(x)| dx.

d)

∫ ln 6

ln 3

8ex dx.

Ejercicio 5. Mostrar que:

a)2

e≤∫ 1

−1

e−x2

dx ≤ 2.

b) 0 ≤∫ 2

1

ln(x) dx ≤ 1.

1

Page 57: Integrales de funciones trigonom etricas e hiperb olicas

Ejercicio 6. Sean

f(x) =

0 si x < 0

x si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2

0 si 2 < x

y g(x) =

∫ x

0

f(t) dt.

a) Determinar una expresion para g(x).

b) Graficar las funciones f(x) y g(x).

c) ¿Donde son derivables estas funciones?

Ejercicio 7. Derivar las siguientes funciones:

a) g(x) =

∫ x

1

(t2 + 1)8 dt

b) g(x) =

∫ x3

0

sen4 (t) dt.

c) g(t) =

∫ 1

5t+3

1

1 + u2 + sen2(u)du

Ejercicio 8. Demostrar que

∫ x

0

1

1 + t2dt +

∫ 1/x

0

1

1 + t2dt no depende de x.

Ejercicio 9. Para x ≥ 0, probar la siguiente desigualdad∫ x

0

e−t2

dt ≥ x− x3

3.

Ejercicio 10. Sea C una constante positiva. Hallar una funcion continua que cumpla∫ x

0

f(t) dt = f(x)2 − C.

2