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Rvision de cours

Dans ce cercle : labscisse est le cosinus de langle

lordonne est le sinus de langle

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Exercice 1

1) Montrer que AB = 4 OB - 4 OM sin. 2) Faire de mme pour CD.

3) Calculer AB + CD.

Indication

1. AB = (2HB) = 4 HB = 4 (OB-OH) = 4 OB - 4 OH = 4 OB - 4 OM sin 2. CD = 4 OD - 4 OM cos 3. AB + CD = 4OB + 4OD - 4OM

Exercice 2

On considre lquation : cos(2x) = sin (x) et x compris entre 0 et

1) Montrer que cette quation est quivalente a : 2x =

x

2) En dduire l'ensemble des solutions de l'quation : cos(2x) = sin(x)

Indication

J'cris l'quation sous la forme : cos(2x) = cos(

x) (formule des angles

complmentaires)

On trouve

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Exercice 3

1) Rsoudre dans [0 , ] l'quation : sin(x) = 3/4. 2) a) Rsoudre dans IR l'quation : x = 1.5x+1 b) Rsoudre dans [0 , ] l'quation 2 cos(x) = 3cos(x) + 2 3) a) A l'aide de la calculatrice, dterminer une valeur approche au centime prs du rel a tel que : cos (a) = 0.8 et a appartient [0 , ] b) Rsoudre dans R l'quation : 5 sin(x) + 8cos (x) = 5 cos(x) +5. Si ncessaire, on exprimera les solutions en fonction de a. c) Reprsenter les solutions de l'quation prcdente sur la demi-cercle trigonomtrique.

Rponse

1) sin(x) = 3/4 => sinx =

ou sinx = imp car sinx 0

=> x = ou x = =

2)a) x = 2 et x = 0.5 ( par discriminant = b - 4ac ) b) On pose t = cosx

On trouve t = 2 = cos x impossible et t = 0.5 = cosx

Do x =

3) a) cos (a) = 0.8 par une calculatrice on trouve a= 36.89

On peut prendre a =

b) b) Remplacer sin(x) par 1 - cos(x) dans l'quation... de cette faon, il ne reste plus que des cosinus! On trouve : -5cos(x) + 4cos(x) = 0 En factorisant cos(x): cos(x) [-5cos(x) + 4) = 0 2 cas: cos(x) = 0 et cos(x) = 4/5 = 0.8

Do x =

x = a =

Exercice 4

Sur le demi-cercle trigonomtrique de centre O. 1) a) Placer les points suivants ( les angles tant donns en radians II = 0 ) :

A tel que IA = , B tel que IB = , C tel que IC =

, D tel que ID = et E tel

que IE =

.

b) Indiquer les coordonnes des points A, B, C et D dans le repre ( O , i, j ). c) Calculer les longueurs des petits arcs dangles IA, AB et du grands arc de langle

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CD en considrant que le rayon du cercle trigonomtrique est de 1 mtre.

2) On donne sin ( ) = .

Calculer cos ( ) ; tan (

) ; tan (

) et cos (

)

Rponse 1) a)

1) b) On rappelle quun point M dangle IM=x radians sur le cercle trigonomtrique a pour coordonnes M ( cos(x) ; sin(x) )

A( , ) ; B(

,

) ; C(

,

) et D(

, )

1) c) On rappelle que la longueur des arc est obtenue par la formule L = tels que : est la mesure de larc en radians et r le rayon du cercle.

L IA = 2 ,36 m.

Rq : Pour chaque angle il ya petit arc et grand arc

2) On a (cos (x)) = 1 - (sin (x)) pour tout x et on donne

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sin ( ) =

.

Avec cette formule , calculer le(s) rsultat(s) exact(s) possible(s) pour

(cos ( ))2 puis pour cos (

) .

donc on a

En plaant sur le cercle trigonomtrique, on trouve que cos

positif donc

Do cos =

Tan

= sin /cos =

cot

= cos /sin =

cos

= sin

(donn)

Tan = - Tan

Exercice 5

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Exercice 6

8

Rponse

Exercice 7

9

Rponse

Exercice 8 (non corrig)

10

Exercice 9 (non corrig)

Exercice 10 (non corrig)

Exercice 11

Pour chaque x de [0 , ] on considre : A(x) = cosx - sinx

1) Calculer A ( ) . A (

) . A ( )

2) a) Montrer que pour chaque x de [0 , ] { } on a : A(x) =

!"# !"#

b) Rsoudre dans [0 , $] { $ } lquation A(x) = 0

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rp 1)

A ( ) = cos

- sin

= 0

A ( ) = cos

- sin

=

A ( ) = cos - sin = 1

2)a) cosx - sinx = ( cosx - sinx )/( cos+sinx ) = [ ( cosx - sinx ) / cosx ] / [ ( cos+sinx ) / cosx ] = [ 1 - tanx ] / 1+tanx ]

b) L equation A(x) = 1/2 [ 1 - tanx ] / 1+tanx ] = 1/2 % 1 - tanx = 2 + 2tanx

%tan x = ou tan x =

Do x = ou

Exercice 12

Rponse

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Exercice 13

x est un rel tel que sin x =

1. Peux-tu en dduire cos x ?

2. On sait de plus que x compris entre et .

Trouver cos x et tan x.

rep 1. On sait que cos x + sin x = 1 pour tout rel x.

Ainsi, cos x = 1 - sin x = 1 - & =

'& donc cos x =

ou cos x =

2. Sachant que x compris entre et , alors x compris entre et

donc cos x = et parsuite tan x =

)*+,)

= =

Exercice 14

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Rponse