Unidad: Unidad: Triángulos rectángulos Triángulos rectángulos Tema: Tema: Triángulos rectángulos con Triángulos rectángulos con medidas especiales medidas especiales Prof. Diannette Molinary Massol – Matemática Integrada 2 Prof. Diannette Molinary Massol – Matemática Integrada 2
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Unidad:Unidad: Triángulos rectángulosTriángulos rectángulos
Tema:Tema:Triángulos rectángulos con Triángulos rectángulos con
medidas especialesmedidas especiales
Prof. Diannette Molinary Massol – Matemática Integrada 2Prof. Diannette Molinary Massol – Matemática Integrada 2
TriángulosTriángulos rectángulosrectángulos especialesespeciales
• Los triángulos resultantes después de cortar a la mitad un triángulo equilátero. (30º- 60º- 90º)
Existen dos tipos:
• Los triángulos rectángulos isósceles. (45º- 45º- 90º)
45º
45º
30º
60º
Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)
4
b
b=4porque los catetos
contienen la misma medida
c
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)
4
4
b=4porque los catetos
contienen la misma medida
c
c
c
c
=
=
=+
=+
24
32
1616
44
2
2
222
c
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)
4
4
b=4porque los catetos
contienen la misma medida
c
c
c
c
=
=
=+
=+
24
32
1616
44
2
2
222
24
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)
m
8
n
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)
m
8
n
8=mporque los catetos
contienen la misma medida.
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)
8
8
c
c
c
c
=
=
=+
=+
28
128
6464
88
2
2
222
n n
8=mporque los catetos
contienen la misma medida.
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)
8
8
28
c
c
c
c
=
=
=+
=+
28
128
6464
88
2
2
222
8=mporque los catetos
contienen la misma medida.
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)
x
y
25
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)
x
y
25
yx =porque los catetos contiene la misma
medida.
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)
x
y
25
yx =porque los catetos contiene la misma
medida.5
25
2
225
2
2
)25)(25(2
)25(
2
2
2
222
==
⋅=
=
=+
x
x
x
x
xx
Encuentra la medida de las variables.
Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)
5
5
25
yx =porque los catetos contiene la misma
medida.
Encuentra la medida de las variables.
5
25
2
225
2
2
)25)(25(2
)25(
2
2
2
222
==
⋅=
=
=+
x
x
x
x
xx
Teorema del triángulo rectángulo Teorema del triángulo rectángulo isósceles (45º - 45º - 90º)isósceles (45º - 45º - 90º)
En los triángulos rectángulos isósceles, los catetos son de la misma medida (a) y su hipotenusa será
la medida del cateto multiplicada por .2
a 2a
a
Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)
b
2 4
30º
Encuentra la medida de la variable.
Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)
b
2 4
30º
4
__
2
===
c
b
a
Encuentra la medida de la variable.
Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)
b
2 4
30º
4
__
2
===
c
b
a
32
12
416
164
42
2
2
2
222
=
=
−==+=+
b
b
b
b
b
Encuentra la medida de la variable.
Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)
2 4
30º
4
32
2
==
=
c
b
a
32
12
416
164
42
2
2
2
222
=
=
−==+=+
b
b
b
b
b
Encuentra la medida de la variable.
32
Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)
60º
Encuentra la medida de las variables.
36
6
h
Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)
60º
Encuentra la medida de las variables.
hc
b
a
==
=
36
6
36
6
h
Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)
60º
Encuentra la medida de las variables.
hc
b
a
==
=
36
6
h
h
h
h
h
==
=+=⋅+=+
12
144
10836
33636
)36(6
2
2
2
222
36
6
h
Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)
60º
Encuentra la medida de las variables.
12
36
6
==
=
c
b
a
h
h
h
h
h
==
=+=⋅+=+
12
144
10836
33636
)36(6
2
2
2
222
36
6
12
Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)
30º
Encuentra la medida de las variables.
20310
p
Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)
30º
Encuentra la medida de las variables.
20
310
==
=
c
b
pa
20310
p
Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)
30º
Encuentra la medida de las variables.
10
100
300400
4003100
20)310(
2
2
2
222
==
−==⋅+=+
p
p
p
p
p
20
310
==
=
c
b
pa
20310
p
Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)
30º
Encuentra la medida de las variables.
10
100
300400
4003100
20)310(
2
2
2
222
==
−==⋅+=+
p
p
p
p
p
20
310
10
==
=
c
b
a
20310
10
Teorema del triángulo especial Teorema del triángulo especial 30º - 60º - 90º30º - 60º - 90º
En un triángulos 30º - 60º - 90º, la medida de la hipotenusa es dos veces mayor que la medida del cateto de menor longitud, y la
longitud del cateto mayor es veces mayor que la longitud del cateto menor.
3
a 2a
30º
3a
60º
Ejercicios de prácticaEjercicios de práctica
1. 2.
3. 4. 30º
w38
v
4 r
s
60º
f
29
gkj
7
Ejercicios de prácticaEjercicios de práctica
1. 2.
3. 4. 30º
16=w38
8=v
4 r = 8
34=s
60º
7=f
29
27=g9=k9=j
7
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