TIPOS DE ÁNGULOS ∡ + ∡ =90 ° Ángulos complementarios
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TIPOS DE ÁNGULOS 𝐴 𝐵
𝐶𝑂
∡ 𝐴𝑂𝐵+∡𝐵𝑂𝐶=90 °
Ánguloscomplementarios
TIPOS DE ÁNGULOS
𝐴
𝐵
𝐶𝑂
∡ 𝐴𝑂𝐵+∡𝐵𝑂𝐶=180 °
Ángulossuplementarios
3 𝑥 /2𝑥4 𝑥
Si el ángulo y el es el tripledel , ¿Cuánto mide cada ángulo
∠1
∠2 ∠3
PARALELISMO
A B
C D
E
F
Secante
𝐴𝐵∥𝐶𝐷
Tangente
PARALELISMO
A B
C D
E
F
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 sec
∢1∢ 4
∢5∢8
∢2
∢3 ∢6
∢7
∢1=∢4=∢5=∢ 8∢2=∢3=∢6=∢7
Teorema
PARALELISMO
A B
C D
E
F
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 sec
120 °
60°
x
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
SEMEJANTESólo les falta una constante paraser iguales
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
A
B
C A’
B’
C’
ángulosiguales
Triángulossemejantes
𝐴𝐵𝐴𝐶
= 𝐴′𝐵 ′𝐴′𝐵 ′
𝐴𝐵𝐶𝐵
= 𝐴′𝐵 ′𝐶′ 𝐵 ′
𝐵𝐶𝐴𝐶
=𝐵′𝐶 ′𝐴′𝐵 ′
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
4m
5m 10m
x
A
B
C
D
E
𝐴𝐵∥𝐸𝐷
3m
4m12m
?
𝐴𝐵∥𝐸𝐷
AB
E
C D
E
12m 4m
3m
𝐴𝐵12
= 34
A
BC
D
E𝐴𝐵∥𝐸𝐷
3m
2m
???
MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS
Teorema: La suma interna de los ángulos de un triángulo, es de 180°
α
β
γ
𝛼+𝛽+𝛾=180
MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS
Teorema: La suma externa de los ángulos de un triángulo, es de 360°
α
β
γ
𝛼+𝛽+𝛾=180
𝛿+𝜀+𝜃=360
ε
θ
δ
MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS
α
β
γ
𝛼+𝛽+𝛾=180
𝛿+𝜀+𝜃=360
ε
θ
δ
Teorema: La suma interna de dos ángulos continuos de un triángulo, es igual a su opuesto externo
𝛼+𝛽=𝛿
135°
x
30°
y
Ejemplo
δ=
=θ 180°-δ
+(180°-δ)x=
z
MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS
hipotenusa
Cate
to
cateto
Ángulo recto
= 90°
ac
b
Teorema de Pitágoras: el cuadradode la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de los catetos
𝑐2=𝑎2+𝑏2
a𝒄=√𝒂𝟐+𝒃𝟐
b
𝑐2=𝑎2+𝑏2
c
𝑐2=𝑎2+𝑏2𝑐2−𝑏2=𝑎2𝑎=√𝑐2−𝑏2
a = 3
b = 4
c = ?
𝑐2=𝑎2+𝑏2
a = 10
b = ?
c = 12
𝑐2=𝑎2+𝑏2
a = ?
b = 3
c = 8
𝑐2=𝑎2+𝑏2
𝑐2=𝑎2+𝑏2
4
h = ?
𝑐2=𝑎2+𝑏2
l = ?
h = 3
x
yh
b
a
cA
B
C
D
yh
b
a
cA
B
C
D
x
yh
b
a
cA
B
C
D
x
yh
b
cA
B
C
D
x
h
b
A
y
C
D
x
A
y
C
Dh
BD
A
x
h
b
c
h𝑦
𝑥h=
x
yh
b
a
cA
B
C
D
yh
b
a
cA
B
C
D
yh
b
a
c
AB
C
D
BA
y
h
b
a
cA
B
C
DB
A
c
x
yh
b
a
cA
B
C
D
POLÍGONOSSe llama polígono aquella porcióndel plano limitada por una curva cerrada
A B
C
DE
A B
C
D
EF
Polígono cóncavo
Polígono convexo
POLÍGONOS
irregulare
s
regulares
Triángulo• 3Cuadrilátero• 4Pentágono• 5Hexágono• 6Heptágono• 7Octágono• 8Eneágono• 9Decágono• 10
POLÍGONOSTeorema : la suma de los ángulos interioresde un polígono es:
180 (𝑛−2 )
para n = 3
180
POLÍGONOSTeorema : en un polígono regular, cadaángulo interno en cada vértice es
180 (𝑛−2 )𝑛
= 128°34’17’’
POLÍGONOS
𝑑=𝑛−3
Diagonal
Numero de
diagonales
Diagonales totales
𝑛 (𝑛−3 )2
POLÍGONOS
Polígono inscrito
Polígono circunscrito
Radio de un polígono
Apotema
ra
POLÍGONOS
r ar
a
ll/2
𝑟2=𝑎2+( 𝑙2 )2
¿ √𝑟2 − (𝑙 2)2
Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3m de radio, si el lado del cuadrado mide 3√2m
3m
3 √2
Calcular los ángulos
α
βγ
Calcular las diagonales
l=3
TRIGONOMETRÍA
hipotenusa
Cate
to o
pues
to
Cateto adyacente
α
Relacionestrigonométricas
Catetoadyacent
e
Catetoopuesto
hipotenusa
β
Cate
to a
dyac
ente
Cateto opuesto
TRIGONOMETRÍACa
teto
opu
esto
Cateto adyacente
α
ac
b
Seno α =h𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎
hipotenusa
TRIGONOMETRÍAhipotenusa
Cate
to o
pues
to
Cateto adyacente
α
ac
b
coseno α =h𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎
cos𝛼=𝑐𝑏
TRIGONOMETRÍAhipotenusa
Cate
to o
pues
to
Cateto adyacente
α
ac
b
tangente α =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎
cos𝛼=𝑐𝑏
tan𝛼=𝑐𝑏
TRIGONOMETRÍAhipotenusa
Cate
to o
pues
to
Cateto adyacente
α
ac
b
s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎
cos𝛼=𝑐𝑏
tan𝛼=𝑐𝑏
cot𝛼=𝑏𝑐
sec𝛼=𝑐𝑏
csc𝛼=𝑎𝑐
cotangente
secante
cosecante
TRIGONOMETRÍA
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