Triangulo retangulo 0001

COLÉGIO UNIVERSO UNO

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusab e c: catetosh: altura relativa a hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relações métricas Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.b² = a.n c² = a.m - O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.b.c = a.h - O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.h² = m.n - O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c²Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.Exemplo:Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

Prof. Edigley Alexandrewww.edigleyalexandre.blogspot.com

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10 b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8 c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6 b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4 Determine os valores literais indicados nas figuras: a)

13² = 12² + x² 5.12 = 13.y 169 = 144 + x² y = 60/13x² = 25 x = 5 b)


c)

d)


Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.

Determine x nas figuras. a)


O triângulo ABC é eqüilátero.

b)

O triângulo ABC é eqüilátero.

c)


Determine a diagonal de um quadrado de lado l.


Razões trigonométricas Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.senÊ = e/a senÔ = o/a - Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosÊ = o/a cosÔ = e/a - Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgÊ = e/o tgÔ = o/e Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8


cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333.... Ângulos notáveis Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:

Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. No triângulo ABD, temos:


Observação: sen45° = cos45° Resumindo temos a tabela:

Exercícios resolvidos: 1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5

Solução:


2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.

Solução:

3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule:


a) A medida do lado do triângulo

b) A área do triângulo

4) Calcule x indicado na figura

Solução:


Solução:


6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?

Solução:


7) Na figura indicada calcule AB.

Solução:


8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?

A2 = A1 + A3

100 = 36 + A2

A2 = 100 – 36 = 64cm²

9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.


10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.

11) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.



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