Tringulo de Pascal e Binmio de Newton
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Introduo Se calcularmos todas as combinaes de n elementos tomados p a p, fazendo variar p desde 0 e n desde 0 a n. Ao procedermos deste modo para vrios valores de n, podemos fazer a sua representao numa forma tabular. Obtm-se aquilo que se costuma designar por tringulo de Pascal.2
Tringulo de Pascal1 1 1 1 1 1 5 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1Linha 0 Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 6
10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Corresponde aos valores de:1 0
C01
C02
C12
2 3 4 5 6
C03
C13
C23
Cada linha tem n+1 termos
C04
C14
C24
C34
C05
C15
C25
C35
C45
C0
C1
C2
C3
C4
C53
C 0 6 C1 6 C 2 6 C 3 6 C 4 6 C 5 6 C 6
Leitura do Tringulo de Pascal Repare-se que cada termo do tringulo de Pascal se obtm como a soma dos dois termos que lhe esto acima. Esta realmente a leitura da Lei de Pascal. Por exemplo, considerando o terceiro elemento da penltima linha, 10, ele obtm-se como sendo a soma do 2 e 3 termos da linha anterior, ou seja 4+6, e assim sucessivamente(como mostra a figura seguinte).4
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Propriedades do Tringulo de Pascal:
1. - Em cada linha so iguais os termos equidistantes dos extremos:
n
C p = C n pnn n +1
Regra da SIMETRIA
2. - A soma de dois nmeros consecutivos de uma linha igual ao nmero que na linha seguinte figura entre eles:
n
C p 1 + C p = C p
Regra de STIEFEL
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Propriedades do Tringulo de Pascal:3. - A soma de todos os elementos da n-sima linha igual a 2n
n
C 0 + C1 + ...+ C n = 2n n
n
4. - Outras Propriedades:
nn
C0 = Cn = 1n
C p + C p +1 =n
n +1
C p +110
As somas dos nmeros dispostos ao longo das diagonais do tringulo de Pascal geram a sucesso de Fibonacci
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Binmio de Newton( a + b ) n = n C 0 a n + n C1 a n 1b + n C 2 a n 2 b 2 + ...+ n C n 1 ab n 1 + n C n b nOU
( a + b) = C p an n p =0
n
n p
b
p
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( a + b ) n = n C 0 a n + n C1 a n 1b + n C 2 a n 2 b 2 + ...+ n C n 1 ab n 1 + n C n b n
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Propriedades do Binmio de NewtonO binmio de Newton uma forma rpida de simplificar expresses do tipo (a + b) n .
1. - O desenvolvimento de (a + b) tem n+1 termos.n
2. - O termo de ordem p T p , sendo:
T p = C p 1 an
n p +1
b
p 1
ou T p +1 = C p an
n p
b
p
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