Teorema do Binômio de Newton (Triângulo de Pascal)ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/BN_M1_FM... · 7 Do lado esquerdo da igualdade, temos . Do lado direito da igualdade, temos ( ) ( )

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP Instituto de Matemática e Computação Científica – IMECC

Matemática - Licenciatura

Ana Cláudia Piau Candido - 154615 Carla Cristina Zauli Pereira - 154954

Bárbara de Souza Pinto Silva - 157709 Maria Carolina Ramalho - 156576

Otávio de Nadae- 156899 Patrícia Cristina Vitor - 108355

Rafael Ferezini- 157053 Victor Matheus Nascimento Zeni - 160017

Viviane Silva Freire - 160036

Teorema do Binômio de Newton

(Triângulo de Pascal)

Campinas-SP Abril/2014

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 2

2. OBJETIVOS ............................................................................................................ 3

3. BIOGRAFIA DE ISAAC NEWTON ......................................................................... 4

4. O BINÔMIO DE NEWTON ...................................................................................... 6

4.1 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO ................................................................ 6

4.2 DEMONSTRAÇÃO ............................................................................................ 6

4.3 PROPRIEDADES ............................................................................................... 8

4.3.1 Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio, já apresentado: ........... 8

4.3.2 Propriedade 2 – Termo geral .................................................................... 8

4.3.3 Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento ....... 9

4.3.4 Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos ............................ 9

4.3.5 Propriedade 5 – Soma dos coeficientes .................................................. 9

5. O TRIÂNGULO DE PASCAL ................................................................................ 10

5.1 PROPRIEDADE GERAL: ................................................................................. 10

5.2 PROPRIEDADE NÚMERO 1 (OU RELAÇÃO DE STIFEL) ............................. 11

5.3PROPRIEDADE NÚMERO 2 ............................................................................ 11

5.4PROPRIEDADE NÚMERO 3 ............................................................................ 12

5.5PROPRIEDADE NÚMERO 4 ............................................................................ 13

5.6PROPRIEDADE NÚMERO 5 ............................................................................ 13

6. APLICAÇÕES DO BINÔMIO DE NEWTON ......................................................... 15

7. CONCLUSÃO ....................................................................................................... 17

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 18

2

1. INTRODUÇÃO

Pelos produtos notáveis, sabe-se que (a+b)² = a²+2ab+b²; para calcular

(a+b)³, escreve-se: (a+b)2(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3; e para obter(a+b)4 , pode-se

adotar o mesmo procedimento: (a+b)4 = (a+b)3 (a+b) = a+4a3b+6a2b2+4ab3+ b4. De

modo análogo, pode-se calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, é

possível obter o desenvolvimento de uma potência (a+b)n a partir da anterior, ou

seja, de (a+b)n-1. Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de

cálculo se torna muito trabalhoso. (Só Matemática, 2013)

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio,

conhecido como Binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642

- 1727). Para esse método é necessário saber o que são Coeficientes Binomiais,

algumas de suas propriedades e o Triângulo de Pascal. (Só Matemática, 2013)

O coeficiente binomial, também chamado de número binomial, de um

número n, na classe k, consiste no número de combinações de n termos, k a k. O

número binomial de um número n, na classe k, pode ser escrito como:

O Triângulo de Pascal (Blaise Pascal, físico e matemático francês, 1623-

1662) é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações

entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que

justifica o nome quelhe é dado. (Educ, 2012)

3

2. OBJETIVOS

Obter conhecimento a respeito da origem do Binômio de Newton; entendera

relação entre o Triângulo de Pascal, os Coeficientes Binomiais e o Binômio de

Newton; apresentar alguns resultados e demonstrações para o melhor

entendimento; e, além disso, dar exemplos da utilização do Binômio de Newton na

atualidade.

4

3. BIOGRAFIA DE ISAAC NEWTON

Isaac Newton foi, e ainda é, considerado um dos maiores cientistas

conhecidos historicamente. Nascido em 25 de dezembro de 1642 numa pequena

aldeia conhecida por Woolsthorpe-by-Colsterworth, localizada na Inglaterra, ele

tornou-se um dos principais precursores do Iluminismo, é responsável pelo teorema

binomial, mais conhecido como Binômio de Newton (apresentado ao longo desta

monografia), e, fez ainda, outras descobertas importantes para o avanço da ciência

como o cálculo infinitesimal, que é utilizado para o estudo de taxas de variação de

grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a

área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), a lei da gravitação, principal

responsável pelo seu reconhecimento, não apenas academicamente, mas também

mundialmente por pessoas comuns, e por fim, mas não menos importante, também

realizou estudos relacionados à natureza das cores.

Por volta do ano de 1665, vários países sofriam com a peste que se

alastrava por toda a Europa, o que fez com que muitas faculdades fossem fechadas,

e entre uma delas estava a Universidade de Cambridge, onde Newton cursava sua

graduação neste mesmo período. Com a universidade fechada, Newton tivera que

estudar em casa, e foi em sua própria residência, na fazenda da família que suas

principais descobertas floresceram.

O cientista publicou diversas obras que contribuíram significativamente para

todo o contexto da matemática e da física, além disso, escreveu também sobre

química, alquimia, cronologia e teologia.

Newton sempre esteve envolvido com questões filosóficas, religiosas e

teológicas e também com a alquimia e suas obras mostravam claramente seu

conhecimento a respeito destes assuntos. Devido a sua modéstia, não foi fácil

convencê-lo a escrever o livro Principia, considerado uma das obras científicas mais

importantes do mundo.

Durante a sua vida, Newton conquistou o respeito como quaisquer outros

cientistas jamais conseguiram. O matemático italiano Joseph-Louis Lagrange

frequentemente dizia que Newton foi o maior gênio que já viveu, e uma vez

5

acrescentou que Newton foi também "o mais afortunado, dado que não se pode

descobrir mais de uma vez o sistema que governa o mundo".

No final de sua vida, Newton passou por diversos problemas renais que

culminaram com sua morte na noite do dia 20 de março de 1727.

6

4. O BINÔMIO DE NEWTON

O binômio de Newton é um método que permite desenvolver um polinômio

correspondente à potência de um binômio; esse estudo surgiu de forma

complementar ao estudo dos produtos notáveis. (BRASIL ESCOLA)

4.1 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO

Já eram conhecidos alguns produtos notáveis, como:

Com o desenvolvimento de mais potências binomiais, foi possível observar

uma relação entre esses produtos notáveis e os coeficientes binomiais, pois:

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

A partir dessa observação, deduziu-se uma equação geral para o

desenvolvimento de números binomiais da forma :

∑(

)

(

) (

) (

) (

)

4.2 DEMONSTRAÇÃO

Pretende-se demonstrar que o binômio de Newton é válido para qualquer

, a partir do princípio da indução finita.

Primeiramente, precisa-se demonstrar que o resultado é válido para n=1.

7

Do lado esquerdo da igualdade, temos .

Do lado direito da igualdade, temos ( ) (

) .

Logo, pode-se concluir que o binômio de Newton é válido para n=1.

Denota-se:

∑ (

)

∑ (

)

E precisa-se demonstrar que P(k) ⇒ P(k + 1).

Partindo da hipótese de P(k), multiplica-se ambos os lados da equação por

(a + b):

∑(

)

Efetuando a propriedade distributiva:

∑(

)

∑(

)

E utilizando a propriedade distributiva para todos os termos do somatório:

∑(

)

∑(

)

Calculando o 0-ésimo termo do primeiro somatório e em seguida retirando-o

do somatório, tem-se:

∑(

)

∑(

)

Calculando o k-ésimo termo do segundo somatório e retirando-o do

somatório, e em seguida redefinindo a variável p como , tem-se:

∑(

)

∑(

)

∑(

)

Dessa forma, obtém-se:

∑(

)

∑ (

)

Colocando em evidência o termo nos dois somatórios:

8

∑[(

) (

)]

Mas ( ) (

) (

) (mostrado em 5.2), então:

∑ (

)

Como o (k + 1)-ésimo termo do somatório é igual a e o 0-ésimo termo

é igual a , podemos incorporar esses dois termos ao somatório modificando o

índice p = 1 para p = 0, e o índice k para k + 1:

∑(

)

Logo, a partir de P(k), foi possível provar P(k +1), e o resultado é válido para

todo número inteiro natural . (PASSOS SILVA, 2012)

4.3 PROPRIEDADES

4.3.1 Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio, já apresentado:

∑(

)

4.3.2 Propriedade 2 – Termo geral

De acordo com o desenvolvimento, é fácil observar que o termo de ordem k

+ 1 do desenvolvimento de é determinado por:

(

)

9

4.3.3 Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento

O desenvolvimento de tem n + 1 termos.

4.3.4 Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos

.

Os coeficientes de dois termos eqüidistantes dos extremos de são

iguais.

Estes termos são formados por binomiais complementares

4.3.5 Propriedade 5 – Soma dos coeficientes

A soma dos coeficientes de

(

) (

) (

) (

)

é igual a . É fácil demonstrar essa propriedade pois basta fazer a = b =

1.

A soma dos coeficientes de qualquer tipo de binômio pode ser obtida por

procedimento semelhante.

Exemplo: a soma dos coeficientes de (3x2 + 2y)5 = (3 + 2)5 = 55 = 3125.

Para obter esse resultado fez-se x = y = 1.

10

5. O TRIÂNGULO DE PASCAL

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números

relacionados entre si. O triângulo aritmético é conhecido há muito tempo (a

descoberta inicial é creditada ao matemático persa Omar Khayyám), mas foi

nomeado como o 'Triângulo de Pascal' devido aos estudos feitos e relações

descobertas pelo filósofo e matemáticofrancês.

Exemplo de um triângulo de Pascal :

Cada linha do triângulo possui um número a mais que a anterior, de modo

que toda linha n possui n+1 elementos, sempre aplicando a primeira linha como

sendo a linha 0. O triângulo também possui algumas propriedades interessantes que

permitem construir com facilidade a linha seguinte.

As principais propriedades estão enumeradas a seguir:

5.1 PROPRIEDADE GERAL:

A propriedade geral diz que a fórmula matemática para se construir uma

pirâmide é: em que n é o número da linha e k é o número da coluna; ambos com

contagem iniciada em 0.

11

Demonstrando esta propriedade algebricamente temos que:

Seja n a quinta linha e k terceiro o elemento da linha.

O elemento

5.2 PROPRIEDADE NÚMERO 1 (OU RELAÇÃO DE STIFEL)

Esta propriedade diz que qualquer número, seu valor é exatamente a soma

dos dois números que se encontram na linha acima.

Observe:

1

1 1

(1 + 2) 1

1 (3) 3 1

1 4 (6 + 4) 1

1 5 10 (10) 5 1

1 6 15 20 15 6 1

...

Esta propriedade é válida para qualquer linha e é o modo mais simples de

encontrar a linha seguinte.

5.3PROPRIEDADE NÚMERO 2

Esta propriedade diz respeito sobre a soma dos números dispostos em

diagonal, partindo sempre de um número 1 ser igual ao número exatamente a lateral

contraria a contagem:

1

1 1

12

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

...

Ou seja, somados a partir do número 1 da extrema direita da segunda linha,

tem-se que:

1+2+3+4= 10.

Esta propriedade, assim como todas as outras, é aplicável em toda e

qualquer linha do triângulo.

5.4PROPRIEDADE NÚMERO 3

Esta propriedade está relacionada à soma dos elementos das linhas. Para

demonstra-la, vamos associar um número para cada linha do triângulo, começando

da linha 0:

Linha 0: 1

Linha 1: 1 1

Linha 2: 1 2 1

Linha 3: 1 3 3 1

Linha 4: 1 4 6 4 1

Linha 5: 1 5 10 10 5 1

Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1

...

A propriedade diz que, a soma dos números em determinada linha n, se dá

pelo resultado da expressão 2n.

Pode-se demonstrar algebricamente esta propriedade da seguinte maneira:

Escolhe-se ao acaso uma linha, por exemplo, a linha 4.

13

A propriedade nos diz que o resultado da soma dos elementos desta linha é

igual a 24.

24= 2x2x2x2=16.

Somando os elementos da linha 4, temos: 1+4+6+4+1=16.

5.5PROPRIEDADE NÚMERO 4

Se colocar o triângulo de Pascal, alinhado pela esquerda, temos como

resultado da soma das diagonais, a sequência de Fibonacci:

A soma dos elementos da primeira diagonal é 1, a soma dos elementos da

segunda, 1; a soma dos elementos da terceira diagonal é dois. E assim, diagonal por

diagonal, temos como resultado os números da sucessão de Fibonacci.

5.6PROPRIEDADE NÚMERO 5

Esta propriedade diz respeito a encontrar os elementos de uma linha n sem

conhecer a linha anterior.

Demonstração:

Encontrar a linha 12 do triângulo:

O 1º elemento da linha é 1.

O 2º elemento é n, aqui tomado como 12.

O 3º elemento é . Nesta linha, temos que:

14

O 4º elemento é igual a . Nesta linha temos:

O 5º elemento é igual a . Temos que:

Seguindo esta linha de raciocínio, temos que a linha 12 é:

1, 12, 66, 220, 495, 792, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1

15

6. APLICAÇÕES DO BINÔMIO DE NEWTON

Uma das áreas, além da matemática, em que o binômio de Newton é

utilizado é na área biológica que envolve genética. Como a genética em si divide-se

em alguns segmentos, alguns destes, em que podemos observar a aplicação, estão

descritos.

Na Herança Quantitativa temos que esta é um caso de interação gênica em

que os fenótipos são contínuos e que a variação genética se dá maior ou menor em

relação ao número de genes atuantes (GARCIA, 2011).

Os genes que fazem parte de tal herança são denominados poligenes,

sendo que cada um desses contribui com uma parcela do fenótipo em questão.

Neste tipo de herança, existe um padrão de distribuição que segue ao binômio de

Newton: (p + q)n, sendo n=número de poligenes. Pode-se desenvolver o binômio

para muitos valores de n, podendo gerar a construção do triângulo de Pascal

baseando-se na distribuição dos coeficientes binomiais. Assim, o coeficiente

binomial será o numerador da representação fenotípica e o número total será o

denominador (BARRETO, 2010).

Alguns exemplos em que se utiliza herança quantitativa é, cor de pele

humana, cor do olho humano, altura, peso, cor do cabelo, entre outras (CMS, 2013),

porque esta é determinada por no mínimo dois pares de alelos, sendo que estes

estão localizados em cromossomos não homólogos.

Exemplo:

Se acontecer um cruzamento entre diíbridos, quais serão as proporções

genéticas da descendência?

Gametas gerados – NnBb x NnBb

Usando o Triângulo de Pascal:

Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou

b).

Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4.

Então se tem(p+q)4 (binômio de Newton), o que gera como coeficientes 1, 4, 6, 4, 1

(vê-se no triângulo de Pascal).

O binômio de Newton desenvolvido possui a seguinte forma:

16

1p4q0 + 4p3q1 + 6p2q2 + 4p1q3 + 1p0q4.

Então, segundo as definições de herança quantitativa, tem-se que 1

corresponde a negro, 4 a mulatos escuros, 6 a mulatos médios, 4 a mulatos claros e

1 a brancos (CMS, 2013).

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7. CONCLUSÃO

Em virtude das informações aqui abordadas, analisadas e demonstradas,

conclui-se que o Binômio de Newton, juntamente com o triângulo de Pascal, foram

obras de mentes brilhantes ao longo do desenvolvimento da matemática. Conforme

visto, o Binômio de Newton se faz uma poderosa ferramenta matemática, com alta

aplicabilidade no mundo contemporâneo, auxiliando os próximos passos do futuro

matemático e tecnológico.

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REFERÊNCIAS

BARRETO, Cindy. Pleiotropia, Interação Gênica e Herança Quantativa. Disponível em: <http://biometodologia.webnode.com.br/products/pleiotropia,%20intera%C3%A7%C3%A3o%20g%C3%AAnica%20e%20heran%C3%A7a%20quantitativa/> Acessado em 26 abr. 2014 CMF Ensino. Herança Quantitativa. Disponível em: <http://www.cmf.ensino.eb.br/sistemas/pipa/files/arquivos/NA/2120_26_05_2013_Arquivo.pdf> Acessado em 26 abr. 2014 Educ. Curiosidades sobre o Triângulo de Pascal. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/curios.htm>Acessado em 26 abr. 2014. Educ. O Triângulo de Pascal. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm> Acessado em 26 abr. 2014 GARCIA, Juliana Fabris Lima. Genética – Herança quantitativa. Disponível em: <http://www.cfnp.com.br/2011/material_de_apoio/BIO/3/Heran%C3%A7a%20quantitativa.pdf> Acessado em 26 abr. 2014 Matemática Didática. Triângulo de Pascal. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/TrianguloDePascal.aspx> Acessado em 23 abr. 2014 Só Matemática. Binômio de Newton. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/binomio/binomio.php> Acessado em 25 abr. 2014

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Wikibooks. Triângulo de Pascal. Disponível em: <http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_divertida/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal> Acessado em 26 abr. 2014. Wikipedia. Triângulo de Pascal. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal> Acessado em 25 abr. 2014 Brasil Escola. Binômio de Newton Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/binomio-de-newton.htm> Acessado em 27 abr. 2014 Cesário José Ferreira - MEU MUNDO. Binômio de Newton Disponível em: <http://www.cesariof.xpg.com.br/tn/alglog_28.htm> Acessado em 27 abr. 2014 Rodrigo Thiago Passos Silva. Demonstração do binômio de Newton Disponível em: <http://pt.slideshare.net/RodrigoThiagoPassosSilva/demonstrao-do-binmio-de-newton> Acessado em 27 abr. 2014