Transformasi Laplace

10 Desember 2014

Persamaan Diferensial

Kelompok 3

Baiq Zilalin Azzima Febri Arianti

Fitria Windiarni

Teorema Translasi Pertama

Jika L dan adalah sebuah bilangann riil, maka L

Teorema 1

Pembuktian

L

Trans las i pada sumbu-s

Trans las i pada sumbu-s

Jika kita misalkan adalah bilangan riil, maka grafik

dari adalah grafik dari yang bergeser pada sumbu

sepanjang . Jika , grafik dari bergeser sepanjang

satuan ke kanan, kemudian jika grafik bergeser

sepanjang satuan ke kiri. Lihat gambar disamping.

Lebih jelasnya dapat dituliskan dalam bentuk seperti dibawah ini.

L L Dimana berarti transformasi laplace dari dengan mengganti simbol menjadi .

Trans las i pada sumbu-sContoh

Tentukan : L L .Penyelesaian

L L

L L

L L

L L

Trans las i pada sumbu- tUnit step function (fungsi tangga satuan)

didefinisikan sebagai

Perhatikan bahwa fungsi tangga satuan ini dapat diinterpretasikan sebagai kondisi menekan tombol switch on dari suatu alat elektronik pada waktu . Saat fungsi tersebut bernilai , sehingga merepresentasikan kondisi alat belum dinyalakan, saat fungsi bernilai , dan merepresentasikan kondisi alat sudah menyala. Gambar fungsi tangga satuan

Trans las i pada sumbu- t

Teorema Translasi Kedua

Jika L dan , maka L 

Teorema 2

Pembuktian Dengan menggunakan sifat penjumlahan dalam integral dapat ditulis menjadi 2 integral:

L

Sekarang kita misalkan pada integral terakhir, maka

LL

Trans las i pada sumbu- t

Contoh Tentukan L

Penyelesaian : dengan dan , maka dengan menggunakan rumus penjumlahan untuk fungsi cos. (bentuk alternatif teorema translasi kedua)L L

Invers teorema Translasi pertama

Jika L maka, L -1 L -1

Contoh

Tentukan invers dari transformasi laplace :

Penyelasaian

Sehingga , L -1 = L -1

L -1 = L -1

L -1 =

Invers teorema Translasi kedua

Jika L , maka L -1

Contoh

Tentukan : L -1 L -1

Penyelesaian:

dengan mengidentifikasi dan L -1 maka L -1

(b) dengan dan L -1 maka

L -1

Pernyataan terakhir dapat di sederhanakan dengan menggunakan rumus penjumlahan cos. Diperoleh hasil yang sama dengan –