Transformasi geometri MATEMATIKA KELAS 12 SMA lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya

KELOMPOK 3:AURA PUSPANING RATRI

DAVY KHARISFITRA RAHMADANIA PITALOKA

PUTRI SAGITA UTAMIROFI ABDUL MUHID

YOLA PRASASTY PUTRI

KELAS:XI MIA 2

Transformasi Geometri

Sebuah titik A(x,y) ditransformasikan maka akan menghasilkan bayangan A’(x’,y’)

A. Jenis-jenis transformasi secara umum:

1. translasi (pergeseran)Sebuah titik A(x,y) ditranslasi sejauh

maka:

ba

A(x,y) A’(x+a,y+b)

ba

Contoh soal :

Tentukan bayangan dari titik-titik berikut ini jika ditranslasi sejauh (3,7)

a. P(2,3)b. Q(1,4)c. R(5,-1)

A(x,y) A’(x+a,y+b)

ba

Maka:P(2,3) P’(2+3,3+7)=P’(5,10)

73

Maka:Q(1,4) Q’(1+3,4+7)=Q’(4,11)

73

Maka:R(5,-1) R’(5+3,-1+7)=R’(8,6)

73

Jawab:

2. Dilatasi (Perubahan ukuran)Sebuah titik diDilatasi dengan faktor skala

k maka :

A(x,y) A’(k x a,k x b) Skala = k

Contoh soal :1. tentukan bayangan dari titik titik A(3,4),

B(-1,8), dan C(0,4). Jika di Dilatasi dengan faktor skala 5!

Jawaban :Ingat bahwa

Maka :

A(x,y) A’(k x a,k x b) Skala = k

A(3,4) A’(5 x 3,5 x 4)= A’(15,20) Skala = 5

B(-1,8) AB(5 x -1,5 x 8)=B’(-5,40) Skala = 5

C(0,2) C’(5 x 0,5 x 2)= C’(0,10) Skala = 5

3. Refleksi (Pencerminan) Sebuah titik A (x,y) jika dicerminkan menurut ketentuan dibawah ini :A(x,y) A’(x,-y) Terhadap sumbu x

A(x,y) A’(-x,y) Terhadap sumbu y

A(x,y) A’(y,x) Terhadap garis y=x

A(x,y) A’(-y,-x) Terhadap garis y=-x

A(x,y) A’(-x,-y) Terhadap titik pusat O

A(x,y) A’(2k-x,y) Terhadap garis x=k

A(x,y) A’(x,2h-y) Terhadap garis y=h

Contoh soal :1. tentukan bayangan dari titik-titik M(2,5)

dan N(4,8) jika dicerminkan terhadap sumbu x.

Jawab : ingat Maka :

A(x,y) A’(x,-y) Terhadap sumbu x

M(2,5) M’(2,-5) Terhadap sumbu x

N(4,8) N’(4,-8) Terhadap sumbu x

2. tentukan bayangan dari titik A(3,-1) jika dicerminkan terhadap sumbu x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y=x!

Jawab : ingat bahwa

Sehingga :

A(x,y) A’(x,-y) A”(-y,x) sumbu x garis y=x

A(3,-1) A’(3,1) A”(1,3) sumbu x garis y=x

4. Rotasi (Perputaran)Sebuah titik A(x,y) dirotasi sejauh sudut α

A(x,y) A’(-y,x) Rotasi 90o

A(x,y) A’(-x,-y) Rotasi 180o

A(x,y) A’(y,-x) Rotasi 270o

Contoh soal : 1. bayangan dari titik-titik A(1,3) dan

B(5,7) jika di rotasi sejauh 90o adalah....

Jawab : A(x,y) A’=(-y,x) Rotasi 90o

A(1,3) A’=(-3,1) Rotasi 90o

B(5,7) B’=(-7,5) Rotasi 90o

2. bayangan dari titik P(1,4) jika dirotasi sejauh 180o dilanjutkan rotasi sejauh 90o adalah....

Jawab :Pertama kita akan berotasi 180o :

Selanjutnya akan kita rotasi sejauh 90o :

Jadi titik bayangannya adalah (4,-1)

P(x,y) P’(-x,-y) Rotasi 180o

P(1,4) P’(-1,-4) Rotasi 180o

P’(x,y) P”(-y,x) Rotasi 90o

P’(-1,-4) P”(4,-1) Rotasi 90o

B. Matriks TransformasiJika sebuah titik A(x,y) ditransformasikan dengan matriks M, maka menghasilkan bayangan :

Adapun jenis-jenis matriks transformasi adalah:

A’=M.A atau

yx

Myx

.''

1. Matriks Dilatasi

Dengan faktor skala k

kk

M D 00

ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]!

2. Matriks Refleksi (Pencerminan)

Terhadap sumbu x Mc =

Terhadap sumbu y Mc =

Terhadap garis y=x Mc =

Terhadap garis y=x Mc =

Terhadap titik pangkal O Mc =

Terhadap garis y=mx Mc =

1001

1001

0110

0110

1001

2

2

2

22

2

11

12

12

11

mm

mm

mm

mm

3. Matriks Rotasi

MR = dengan sudut rotasi α

Catatan penting: 1. Jika titik dirotasi sejauh α searah jarum

jammaka besar sudut =- α 2. Jika rotasi sejauh α berlawanan arah

jarum jam maka besar sudut =+ α

cossinsincos

4. Matriks Komposisi

Misal sebuah titik dirotasi ( MR ) kemudian dilanjutkan dengan pencerminan ( Mc ), maka matriks komposisinya adalah:

M= Mc × MR (penulisan dibalik)

C. Transformasi Dengan Matriks

a. Transformasi dengan pusat (0,0)

A’=M.A Dengan matriks M

tergantung dari jenis transformasinya

yx

Myx

.''

CONTOH SOAL:

1. Persamaan bayangan parabola y= x2 + 4 karena rotasi dengan pusat O (0.0) sejauh 180o adalah...

Jawab : persamaan mula-mula y=x2+4

M180o =

M180o =

2x

00

00

180cos180sin180sin180cos

1001

Selanjutnya :

Diperoleh x’=-xx=-x’ y’=-yy=-y’

Dengan mensubstitusikan x=x’ dan y=-y’ kepersamaan mula-mula diperoleh....

yx

yx

yx

yx

''

1001

''

y= x2 + 4-y’= (-x’)2 + 4-y’= (x’)2 + 4y’= -(x’)2 -4

Jadi persamaan bayangannya adalah y=-x2-4

b. Transformasi dengan Pusat (a,b)

A’=M.A

Contoh soal:1. persamaan bayangan garis y = 4x+2

yang direfleksikan terhadap garis y = x dengan pusat di titik A(1,3) adalah...

byax

Mbyax

.'' Dengan matriks M tergantung

dari jenis transformasinya.

Jawab:Persamaan mula-mula y=4x+2Matriks refleksi terhadap garis y=x adalah My=x =

Selanjutnya:

0110

byax

Mbyax

xy .''

13

31

.0110

3'1'

xy

yx

yx

Diperoleh: x’-1=y-3 y=x’+2 y’-3=x-1 x=y’-2

Subsitusikan ke persamaan mula-mula, maka:y=4x+2x’+2=4(y’-2)+2x’+2=4y’-8+20=4y’-x’-8Jadi, persamaan bayangannya adalah 4y – x – 8 = 0

DILATASIContoh soal :

Jika (12,6) merupakan bayangan dari sebuah titik yang diDilatasikan dengan faktor skala 3, maka titik mula-mulanya adalah.....

Jawab : Misal titik mula-mula A (x,y) maka titik bayangan A’ (12,6)

Sehingga : (3x,3y)=(12,6)Diperoleh : 3x = 12 x=43y=6 y= 2Jadi titik mula-mula A (4,2)

A(x,y) A’(3x,3y) Skala = 3