Transformada Z - indico.ictp.itindico.ictp.it/event/a11204/session/56/contribution/34/material/0/... · Transformada Z Transformada Antitransformada ^`>@ f>@ f ()¦ n n TZ xn Xz xnz^`>@

2384-21

ICTP Latin-American Advanced Course on FPGADesign for Scientific Instrumentation

COSTA Diego Esteban

19 November - 7 December, 2012

Laboratorio de Electronica, Investigacion y Servicios Fac. Cie. Fisico, Mat y Nat.

Universidad Nacional de San Luis Av. Ejercito de los Andes, D5700HHW San Luis

ARGENTINA

Transformada Z

Transformada Z

Transformada Z

1 ( ) ( ) ( ) tsTL X s x t X s e ds

Transformada Antitransformada

( ) ( ) ( ) stTL x t X s x t e dt

Transformada de Laplace

Transformada Z

Transformada Antitransformada

( ) n

nTZ x n X z x n z 1 11( ) ( )

2n

CTZ X z x n X z z dz

j

n

nz ROC X z x n z

Región de convergencia

Transformada Z

Función polinómica

10 11

0 10

11

...( ) ...

( ) ...

MM M Mk Mk M M

k

MM M

M k

k

b z b z bH z b z b b z b zz

H z z z c z c z z c

Transformada Z Polos y ceros

Función polinómica racional


1 10 1 0 10

1 10 1 0 1

0

1 1

1

1

... ...( )

... ...

...( )

...

Mk

k M N MM M Mk

N N M NN N Nk

kk

M

kMN M N M k

NN

k

k

b zb b z b z z b z b z bH za a z a z z a z a z aa z

z cz c z cH z z z

z p z p z p

lim

lim 0k

k

z p

z z

H z

H z


lim

lim 0k

k

z p

z z

H z

H z


Función racional

Número de polos = número de ceros Polos y ceros triviales: Ubicados en z=0 ó z= Número de ceros no triviales: M Número de polos no triviales: N


2

0

2

12

2

1

0 0

1 1 ... 11

1... 1 11 1

11

11

111

n

n

n

n

n

n

Nn

n N

NNn n n

n n n N

a a a si aa

aa a a si aa a

aa si aa

si aaaa

si aaa a aa

Transformada Z Serie Geométrica

unilateral derecha

bilateral

unilateral izquierda

0; 00

nazznxzXn

n

n

0

0; 0n

n nX z x n z a z n

2

1

1 2 1 2; 0n

n

n nX z x n z a z a n n

Transformada Z ROC

Lateralidad Longitud infinita Longitud finita

Derecha

Bilateral

Izquierda

…

…

…

Transformada Z ROC

n

u n1

11 z

1z

na u n 1

11 az

z a

cos n u n1

1 2

1 cos1 2 cos

zz z

1z

sen n u n1

1 2

sen1 2 cos

zz z

1z

cosna n u n1

1 2 2

1 cos1 2 cos

azaz a z

z a

na sen n u n

1

1 2 2

sen1 2 cos

azaz a z

z a

Antitransformada Transformada ROC

1 Z

Transformada Z Tabla de pares de funciones y transformadas

Propiedades

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ;TZ

c x n c x n c X z c X z ROC ROC ROC

Linealidad

Convolución

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ;TZ

x n x n X z X z ROC ROC ROC

Transformada Z

Desplazamiento Temporal

( ) ; 0TZ

kx n k z X z ROC ROC ROC

1

sup inf

1 1; : ;TZ

x n X z ROC zr r

Reflexión Temporal

Propiedades Transformada Z

Escalado en el Dominio Z

Diferenciación en el Dominio Z

inf sup; :TZ

n za x n X ROC a r z a ra

( ) ; 0TZ X znx n z ROC ROC ROC

z

Propiedades Transformada Z

Antitransformada Z

Cálculo directo

Integración en contorno C en sentido antihorario

ROC C y z=0

ROC zi simples

C

Im {Z}

Re {Z}

Transformada Z

Antitransformada Z

Cálculo directo

1

1

1

1 ( )2

( )

( )

ii

i

n

C

n

z zpolos simples z en C

ni

z zi

h n H z z dzj

residuos H z z

z z H z z

1( ) n

CH z z dz1( ) nH z z dz( )

Transformada Z

Antitransformada Z

Expansión en Serie de Potencias

División de polinomios en orden creciente o decreciente Por inspección se determina la antitransformada

1 10 1 1 00

1 10 1 1 0

0

... ...( )

... ...

Mk

k M MM Mk

N N NN Nk

kk

b zb b z b z b z b z bH za a z a z a z a z aa z

Transformada Z

Expansión en Series de z-k

División de polinomios en orden decreciente

: ksi ROC p z

1 1 20 0 1 211 10 1 0 1

11

11

... ...

... ... ...

... ...

... ... .....

M NM N

M NM N

M NM N

M NM N

b b z b z a a z a z a zb d z d z d z c c z

e z e z e z

e z f z f z

Antitransformada Z Transformada Z

Expansión en Series de z-k

Por inspección se determina la antitransformada

10 1 1 2

0 1 210 1

10 1 0 1 2

...( ) ...

...

( ) ... ; ; ;...; ;...

MM

NN

Z

k

b b z b zH z c c z c za a z a z

H z c c z c c c c h n


Expansión en Series de z+k

División de polinomios en orden creciente 2 10 2 1 0

10 1

0

0

... ...

... ... ...

... ...

... ... .....

M NM N

M M N N M N MM M N M N M N

M NM N

M NM N

b z b a z a z a z ab z d d z c z c z

e e z

f f z

: ksi ROC z p


Expansión en Series de z+k

Por inspección se determina la antitransformada

11 0 1

1 111 0

11 1

...( ) ... ...

...

( ) ... ...; ; ;...;0

MM N M N M

M N M N M NNN

ZN M N M

M N M N M N M N

b z b z bH z c z c z ca z a z a

H z c z c z c c h n


Expansión en Serie de Potencias Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias

( )0 0

0

( )( )( )!

n n

n

H v vn

vH v


Expansión en Serie de Potencias Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias

Para eso se calculan las derivadas y se evaluan en v=v0

0' '

'' '0

'0

( )

( ) ( )

( )

)

)

(

(

H

H H

H H

H v v

v v

v v

( )0 0

0

0 0 0 00 0 0

'' 2 ( )'

( )

( )(

( )( )

) ( )( )( ) ( )( ) ... ...2 !

!

n n

n

k k

H v vH vn

v v v vv v v

v

H v H vH H vk


Serie de Potencias Si v0=0 Si v=z-1

( '' 2 ))

0

('(0) 0 0( ) 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) .. ...

2 !!.

kn kn

n

v H v H vH Hk

HH v vn

( ) '' 2' 1

0

( ) '' ( )'

0

(0) (0) (0)( ) (0) (0) ... ...! 2 !

(0) (0) (0)( ) (0); (0); ;...; ;...! 2 !

kn n k

n

n n kZ

n

H z H z H zH z H H zn n

H z H HH z H H h nn k


Expansión en fracciones simples Grados de los polinomios: N(z)=M y D(z)=N

Si M N → división previa para reducir el grado Si M<N y no zi de orden s 1 → cálculo directo Si M<N y zi de orden s 1 → cálculo separado

10 10

10 1

0

...( )

...

Mk

k MMk

N NNk

kk

b zb b z b zH za a z a za z


Expansión en fracciones simples

Si M N → división previa para reducir el grado

donde R(z)< D(z)

10 1 1

0 110 1

... ( ) ( )( ) ...

... ( ) ( )

MM M N

M NNN

b b z b z N z R zH z c c z c za a z a z D z D z


Expansión en fracciones simples Si M<N y no zi de orden s 1 → cálculo directo

11

1

( )1

:1 1 :

M k

kk

nTZ k k kk

nk k k k

AH zp z

A p u n si ROC p zAp z A p u n si ROC z p


Expansión en fracciones simples Polos complejos conjugados ↔ residuos complejos conjugados

10 1

1 1 1 20 1 21 1

k k

k k

A A b b zp z p z a a z a z


0 0

0 0

0 0

0

0

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

N M

k kk k

TZ TZ

N Mk k

k kk k

N Mk k

k kk k

Mk

kkN

kk

k

a y n k b x n k

a Y z z b X z z

Y z a z X z b z

b zY zH zX z a z

Análisis de sistemas LIT Transformada Z

FIR IIR

M ceros y 1 polo de orden M

N polos y 1 cero de orden N

M ceros y N polos no triviales

M

k

kMk

M

M

k

kk zb

zzbzH

00

1)(

N

k

kNk

N

N

k

kk za

zb

za

bzH

0

0

0

0)(

N

k

kk

M

k

kk

za

zbzH

0

0)(

MA (Promediador Móvil)

AR (Autoregresivo)

ARMA (Promediador Móvil Autoregresivo)


Transferencia H(z)

Transformada Z Análisis de Sistemas LIT

h[n]

n

entrada salida {.}

x[n]

n

y[n]

n

X(z)

Im{z}

Re{z}

Y(z)

Im{z}

Re{z}

H(z)

Re{z}

Im{z}

estable

causal

-1 1

-1 1

-1 1

inestable

anticausal no causal

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1


:1 ( )ROC z H z es SE

: ( )ROC a z H z es SC

1

1

1 ( ) ( ) j

M

sj s

Nz ek

k

z cROC z H e H z

z p

Estabilidad

Causalidad

Respuesta espectral


Transformada Z unilateral

Transformada

0( ) n

nTZ x n X z x n z

:ROC a z

Región de convergencia

Transformada Z

Teorema del Valor Final

Propiedades

Retardo temporal

Avance Temporal 1

( ) ; 0kTZ

k n

nx n k z X z x n z k

1

0( ) ; 0

kTZk n

nx n k z X z x n z k

11 ( )

n zlím x n lím z X z

Transformada Z

Salida

Propiedades

Transferencia

Entrada

0;1;...;k

B zH z con polos p k N

A z

( )( ) 0;1;...;( ) k k

Q zX z con polos q p k LN z

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Q z B zY z X z H zN z A z

Transformada Z

Propiedades

Salida

1 11 1

1 1

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1

N Lk k

k kk kN L

n nk k k k

k k

A QB z Q zY z X z H zA z N z p z q z

y n A p u n Q q u n

Transformada Z

Respuesta Respuesta Natural forzada

Propiedades

Salida

0 1

0 1

0

1

1

11 0

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

( ) ( )1

kn

M Nk k

k kk k

M Nk k

k kk k

M Nk k

k kk k

Nk

k

n

k

n

kn

Y z b X z z a Y z z

Y z b X z z a Y z

b X z z a zN zB zY z

z y n z

X zA z A za

y n z

z

Transformada Z

Propiedades

Salida

1 11 1

1 1

( )1 1

N Lk k k

k kk kN L

n nk k k k k

k k

A D QY zp z q z

y n A D p u n Q q u n

Transformada Z

Respuesta Respuesta natural forzada

(ZS + ZI)

1

1

( )

M

s

sN

k

k

z cH z

z p

1

1

( )

Mj

sj s

Nj

k

k

e cH e

e p

1 1( )

M Nj j j

s ks k

H e e c e p

Módulo Es la relación entre los productos

de las distancias del círculo unitario ej a cada cero y a cada polo

Fase Es la resultante de las fases de los

vectores que van de los ceros y polos al número complejo ej


zt Computa y grafica la Transformada Z en dB de una transferencia

Sintaxis

Transformada Z

zplane Grafica el mapa de polos y ceros en el plano Z

Sintaxis

Transformada Z

impz Computa la respuesta al impulso de un sistema discreto

Sintaxis

Transformada Z

Transformada Z - indico.ictp.itindico.ictp.it/event/a11204/session/56/contribution/34/material/0/... · Transformada Z Transformada Antitransformada ^`>@ f>@ f ()¦ n n TZ xn Xz xnz^`>@

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