1 Introdu¸ c˜ ao A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equa¸ c˜ oes diferencias lineares com coeficientes constantes, ou seja, equa¸ c˜ oes da forma ay 00 + by 0 + cy = f (t), para a, b, c ∈ R Para isso, a equa¸ c˜ ao diferencial ´ e inicialmente transformada pela transformada de Laplace numa equa¸ c˜ ao alg´ ebrica. Depois resolve-se a equa¸ c˜ ao alg´ ebrica e finalmente transforma-se de volta a solu¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao alg´ ebrica na solu¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao diferencial inicial. A transformada de Laplace de uma fun¸ c˜ ao f : [0, ∞) → R ´ e definida por L(f )(s)= F (s)= Z ∞ 0 e -st f (t)dt. para todo s ≥ 0 em que a integral acima converge. Representaremos a fun¸ c˜ ao original por uma letra min´ uscula e a sua vari´ avel por t, e a sua transformada de Laplace pela letra correspondente mai´ uscula e a sua vari´ avel. Por exemplo, as transformadas de Laplace das fun¸ c˜ oes f (t), g(t)e h(t) ser˜ ao representadas por F (s), G(s)e H (s), respectivamente. Exemplo 1. A transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f : [0, ∞) → R definida por f (t)=1 ´ e dada por F (s)= Z ∞ 0 e -st 1 dt = e -st -s fl fl fl fl ∞ 0 = lim T →∞ e -sT -s - e -s0 -s =0 - e -s0 -s = 1 s , para s> 0. Exemplo 2. Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f : [0, ∞) → R definida por f (t)= e at ´ e dada por F (s)= Z ∞ 0 e -st e at dt = Z ∞ 0 e -(s-a)t dt = e -(s-a)t a - s fl fl fl fl ∞ 0 =0- e -(s-a)0 a - s = 1 s - a , para s > a.
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Transformada de Laplace - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~daniel/sem2_06/translapla.pdf · uma letra min¶uscula e a sua vari¶avel por t, e a sua transformada de Laplace pela letra ... Observando
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1 Introducao
A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equacoes diferencias lineares com
coeficientes constantes, ou seja, equacoes da forma
ay′′ + by′ + cy = f(t), para a, b, c ∈ R
Para isso, a equacao diferencial e inicialmente transformada pela transformada de Laplace
numa equacao algebrica. Depois resolve-se a equacao algebrica e finalmente transforma-se
de volta a solucao da equacao algebrica na solucao da equacao diferencial inicial.
A transformada de Laplace de uma funcao f : [0,∞)→ R e definida por
L(f)(s) = F (s) =
∫
∞
0
e−stf(t)dt.
para todo s ≥ 0 em que a integral acima converge. Representaremos a funcao original por
uma letra minuscula e a sua variavel por t, e a sua transformada de Laplace pela letra
correspondente maiuscula e a sua variavel. Por exemplo, as transformadas de Laplace das
funcoes f(t), g(t) e h(t) serao representadas por F (s), G(s) e H(s), respectivamente.
Exemplo 1. A transformada de Laplace da funcao f : [0,∞)→ R definida por f(t) = 1
e dada por
F (s) =
∫
∞
0
e−st 1 dt =e−st
−s
∣
∣
∣
∣
∞
0
= limT→∞
e−sT
−s− e−s0
−s= 0− e−s0
−s=
1
s, para s > 0.
Exemplo 2. Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da funcao
f : [0,∞)→ R definida por f(t) = eat e dada por
F (s) =
∫
∞
0
e−st eat dt =
∫
∞
0
e−(s−a)t dt =e−(s−a)t
a− s
∣
∣
∣
∣
∞
0
= 0−e−(s−a)0
a− s=
1
s− a, para s > a.
Exemplo 3. Seja a uma constante real. Vamos determinar a transformada de Laplace
das funcoes f : [0,∞)→ R dada por f(t) = cos at e g : [0,∞)→ R dada por g(t) = sen at.
Para isso, vamos calcular a transformada de Laplace da funcao
h : [0,∞)→ R definida por h(t) = eiat.
H(s) =
∫
∞
0
e−st eiat dt =
∫
∞
0
e−(s−ia)t dt =e−(s−ia)t
−(s− ia)
∣
∣
∣
∣
∞
0
= limT→∞
e−sT (cos aT + i sen aT )− e−(s−ia)0
−(s− ia)= 0− e−(s−ia)0
ia− s
=1
s− ia, para s > 0.
Calculamos a acima a transformada de Laplace de
h(t) = eiat = cos at + i sen at = f(t) + ig(t)
H(s) = L(h)(s) =
∫
∞
0
e−st (cos at + i sen at) dt = L(f)(s) + iL(g)(s) = F (s) + iG(s)
Comparando a parte real (imaginaria) do lado direito com a parte real (imaginaria) do
lado esquerdo da igualdade obtemos
F (s) = Re{ 1
s− ia} = Re{ s + ia
(s− ia)(s + ia)} =
s
s2 + a2, para s > 0
G(s) = Im{ 1
s− ia} = Im{ s + ia
(s− ia)(s + ia)} =
a
s2 + a2, para s > 0.
Exemplo 4. Seja n um inteiro positivo. Vamos calcular a transformada de Laplace da
funcao f : [0,∞)→ R dada por fn(t) = tn, para n = 0, 1, 2, . . .
Fn(s) =
∫
∞
0
e−st tndt =tnest
−s
∣
∣
∣
∣
∞
0
− n
−s
∫
∞
0
e−st tn−1dt
=n
s
∫
∞
0
e−st tn−1dt =n
sFn−1(s)
Aplicando-se recursivamente a formula obtida obtemos
Fn(s) =n(n− 1)
s2Fn−2(s) =
n(n− 1) . . . 1
snF0(s)
mas F0(s) =1
se a transformada de Laplace da funcao constante 1, ou seja, F0(s) = 1
s.
Assim, a transformada de Laplace de fn(t) = tn, para n = 0, 1, 2, . . . e
Fn(s) =n!
sn+1, para s > 0.
Para calcular a transformada de Laplace de outras funcoes vamos usar as propriedades
que apresentamos a seguir.
Teorema 1 (Linearidade). Se a transformada de Laplace de f(t) e F (s), para s > a1,
e a transformada de Laplace de g(t) e G(s), para s > a2, entao para constantes α e β
L(αf + βg)(s) = αL(f)(s) + βL(g)(s) = αF (s) + βG(s), para s > max{a1, a2}.
Teorema 2 (1o. Teorema de Deslocamento). Seja a uma constante. Se a transfor-
mada de Laplace da funcao f : [0,∞) → R e F (s), para s > c, entao a transformada de
Laplace da funcao
g(t) = eatf(t)
e
G(s) = F (s− a), para s > a + c
Exemplo 5. Sejam a e b constantes. Usando o Teorema anterior obtemos que a trans-
formada de Laplace de f : [0,∞)→ R dada por f(t) = ebt cos at e dada por
F (s) =s− b
(s− b)2 + a2, para s > a.
Exemplo 6. Sejam a e b constantes. Usando o Teorema anterior obtemos que a trans-
formada de Laplace de f : [0,∞)→ R dada por f(t) = ebt sen at e dada por
F (s) =a
(s− b)2 + a2, para s > a.
Exemplo 7. Seja a um constante e n um inteiro positivo. Usando o Teorema anterior
obtemos que a transformada de Laplace de f : [0,∞)→ R dada por f(t) = eat tn e dada
por
F (s) =n!
(s− a)n+1, para s > a.
Exemplo 8. Seja a uma constante. Pelo Teorema anterior a transformada de Laplace
do cosseno hiperbolico de at, f(t) = cosh at =eat + e−at
2, e dada por
F (s) =1
2
1
s− a+
1
2
1
s + a=
s
s2 − a2, para s > |a|.
Exemplo 9. Seja a uma constante. Pelo Teorema anterior a transformada de Laplace
do seno hiperbolico de at, f(t) = senh at =eat − e−at
2, e dada por
F (s) =1
2
1
s− a− 1
2
1
s + a=
a
s2 − a2, para s > |a|.
Exemplo 10. Se a transformada de Laplace de uma funcao f(t) e
F (s) =s + 3
s2 − 3s + 2
entao vamos determinar a funcao f(t). Para isso vamos decompor F (s) em fracoes parci-
ais. O denominador de F (s) tem duas raızes reais s = 1 e s = 2. Assim,
F (s) =s + 3
(s− 1)(s− 2)=
A
s− 1+
B
s− 2,
em que A e B sao constantes a determinar. Multiplicando F (s) por (s−1)(s−2) obtemos
s + 3 = A(s− 2) + B(s− 1) = (A + B)s + (−2A−B)
Comparando os termos de mesmo grau obtemos
1 = A + B e 3 = −2A−B
de onde obtemos que A = −4 e B = 5. Assim,
F (s) =s + 3
(s− 1)(s− 2)= −4
1
s− 1+ 5
1
s− 2
e a funcao cuja transformada e F (s) e
f(t) = −4et + 5e2t.
Exemplo 11. Se a transformada de Laplace de uma funcao f(t) e
F (s) =s− 3
s2 + 4s + 4
entao vamos determinar a funcao f(t). O denominador de F (s) tem somente uma raiz
real, s = 2. Podemos reescrever F (s) da seguinte forma
F (s) =s− 3
(s + 2)2=
s + 2− 5
(s + 2)2=
s + 2
(s + 2)2+
−5
(s + 2)2=
1
s + 2− 5
1
(s + 2)2.
Observando a Tabela na pagina 20, usando o 1o. Teorema do deslocamento e o Teorema
da Linearidade vemos que a funcao cuja transformada de Laplace e F (s) e dada por
f(t) = e−2t − 5e−2tt.
Exemplo 12. Se a transformada de Laplace de uma funcao f(t) e
F (s) =s− 2
2s2 + 2s + 2
entao vamos determinar a funcao f(t). Completando quadrados podemos reescrever F (s)
da seguinte forma
F (s) =s− 2
2s2 + 2s + 2=
s− 2
2[s2 + s + 1]=
s− 2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]
=s + 1/2− 5/2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]=
s + 1/2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]− 5/2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]
=1
2
s + 1/2
(s + 1/2)2 + 3/4− 5
4
1
(s + 1/2)2 + 3/4
=1
2
s + 1/2
(s + 1/2)2 + 3/4− 5
2√3
√3/2
(s + 1/2)2 + 3/4
Observando a Tabela na pagina 20, usando o 1o. Teorema do deslocamento e o Teorema
da Linearidade vemos que a funcao cuja transformada de Laplace e F (s) e dada por
f(t) =1
2e−t/2 cos
(√3
2t
)
− 5
2√3e−t/2sen
(√3
2t
)
.
2 Solucao de Problemas de Valor Inicial
Dizemos que uma funcao f : [0,∞) → R e seccionalmente contınua ou contınua
por partes se f(t) e contınua em [0,∞) exceto possivelmente em um numero finito de
pontos, nos quais os limites laterais existem.
Teorema 3 (Derivacao). (a) Suponha que f : [0,∞) → R seja derivavel com f ′(t)
seccionalmente contınua. Entao
L(f ′)(s) = sF (s)− f(0),
em que F (s) e a transformada de Laplace de f(t).
(b) Suponha que f : [0,∞) → R seja derivavel duas vezes com f ′′(t) seccionalmente
contınua. Entao
L(f ′′)(s) = s2F (s)− sf(0)− f ′(0),
em que F (s) e a transformada de Laplace de f(t).
Exemplo 13. Seja a uma constante. Seja f(t) = t sen at. Vamos determinar F (s).
f ′(t) = sen at + at cos at
f ′′(t) = 2a cos at− a2t senat = 2a cos at− a2f(t)
Assim, aplicando-se a transformada de Laplace e usando o Teorema anterior obtemos
s2F (s)− sf(0)− f ′(0) = 2as
s2 + a2− a2F (s)
Assim,
F (s) =2as
(s2 + a2)2
Exemplo 14. Seja a uma constante. Seja f(t) = t cos at. Deixamos como exercıcio
mostrar que
F (s) =s2 − a2
(s2 + a2)2
Exemplo 15. Vamos resolver o seguinte problema de valor inicial
y′′ + 2y′ + 5y = 4e−t cos 2t, y(0) = 1, y′(0) = 0
Aplicando-se a transformada de Laplace a equacao acima obtemos
(
s2Y (s)− sy(0)− y′(0))
+ 2 (sY (s)− y(0)) + 5Y (s) = 4s + 1
(s + 1)2 + 4
Substituindo-se os valores y(0) = 1 e y′(0) = 0 obtemos
(
s2 + 2s + 5)
Y (s) = 4s + 1
(s + 1)2 + 4+ s + 2
=4s + 4 + (s + 2)(s2 + 2s + 5)
s2 + 2s + 5
=s3 + 4s2 + 13s + 14
s2 + 2s + 5
Assim,
Y (s) =s3 + 4s2 + 13s + 14
(s2 + 2s + 5)2
Como o denominador tem somente raızes complexas, para decompor Y (s) em fracoes