transformada de laplace

WILFRED FLORES AGUIRRE ECUACIONES DIFERENCIALES UTALCA

Transformada de Laplace

3.1 Introducción

Sea F una función continua para todo t ≥ 0, si la integral existe,

donde f ( s ) = . Entonces diremos que f ( s ) es la Transformada

de Laplace de la función F ( t ) y la denotaremos por L ( f ) en consecuencia

tenemos :

∫∞

−

0

ts td)t(Fe

L ( f ) = ∫∞

−

0

ts td)t(Fe .

La función F ( t ) se llama la transformada inversa de Laplace y se denota

por L -1( f ) = F ( t ).

Ejemplos 3.1

a.- Sea F ( t ) = 1 , t > 0

L ( F ( t )) = L ( 1 ) = = ∫∞

−

0

ts tdes1

0e

s1 ts =

∞− − , si s > 0

L ( 1 ) = s1 , si s > o

b.- Sea F ( t ) = , t > 0 tae

L ( F ( t )) = L ( ) = = tae ∫∞

−

0

atts tdeeas

10

eas

1 t)sa(

−=

∞−

− −−

114Transformada de Laplace


L ( ) = tae

as1−

, si s > a

Teorema de Linealidad 3.1

La transformada Laplace es una transformación lineal, es decir:

L ( a F ( t ) + b G ( t )) = a L ( F ( t )) + b L ( G ( t ))

Donde a y b son constantes reales o complejas.

Demostración:

L ( a F ( t ) + b G ( t )) = ∫∞

− +0

ts td])t(Gb)t(Fa[e

= ∫∫∞

−∞

− +0

ts

0

ts td)t(Gebtd)t(Fea

= a L ( F ( t ) ) + b L ( G ( t ) )

Ejemplo 3.2

Sea F ( t ) = Cosh( a t ) = 2

ee atta −+

L ( Cosh( a t ) ) = 21 L ( ) + tae

21 L ( ) tae −

= 22 ass−

si s > a.



Tabla de algunas transformadas de Laplace

F ( t )

L ( F ( t ) )

1

s1

t

2s1

t2

3s!2

tn

1ns!n

+

tae

as1−

cos ( a t )

22 ass+

Sen ( a t )

22 asa+

cosh ( a t )

22 ass−

Sinh ( a t )

22 asa−



Primer Teorema de Traslación 3.2

Si L ( F ( t )) = f ( s ) , donde s > a, entonces :

L (e F ( t ) ) = f ( s – a ) ta

Demostración

Sea f ( s ) = L ( F ( t ) ) = , luego ∫∞

−

0

ts td)t(Fe

f ( s - a ) = = ∫∞

−−

0

t)as( td)t(Fe ∫∞

+−

0

tats td)t(Fe

= = L ( F ( t ) ) ∫∞

−

0

tats td])t(Fe[e tae

luego se tiene : f ( s - a ) = L ( F ( t ) ) tae

Ejemplo 3.3

a.- Sea f ( s ) = L ( 1 ) = s1 ⇒ L ( 1 ) = f ( s - 1 ) = tae

as1−

L ( ) = taeas

1−

, si s > a

b.- Sea L ( Cos ( w t ) ) = 22 wss+

⇒ L ( Cos ( w t ) = f ( s - a) tae

L ( Cos ( w t ) = tae 22 w)as(as+−

−



Definición 3.1

Se dice que una función F ( t ) es seccionalmente continua en un

intervalo finito bta ≤≤ , si la función es continua en una cantidad

finita de subintervalos y además posee límite finito en los puntos de

división de los subintervalos.

Transformada de Laplace 118

.

F( t )

t a t1 t2

Teorema de Existencia 3.3

Sea F (t ) una función seccionalmente continua en todo intervalo finito, t ≥ 0

y que satisface teM)t(F α≤ , para todo t ≥ o, y para determinados α y M.

Entonces, la transformada de Laplace existe para toda s > α.

Demostración


Sea F ( t ) una función seccionalmente continua, entonces

es una función continua e integrable. Por otra parte podemos establecer la

siguiente relación con la transfornada de Laplace de F ( t ):

)t(Fe ts−

L ( F ( t ) ) ≤ | L ( F ( t ) ) | = | | ≤ ∫∞

−

0

ts td)t(Fe ∫∞

−

0

ts td)t(Fe

≤ = M ∫∞

α−

0

tts tdeMe ∫∞

−α−

0

t)s( tde

= M α>α−

=−α

∞

−α ssi,s

Ms

1e0

)s(

Definición 3.2

Se dice que una función F es de orden exponencial en [ 0 , ∞ [, si

existen las constantes c y α, con c > 0 tales que tec)t(F α≤ t, t > 0. ∀

Teorema 3.4

Si f es una función de orden exponencial entonces L ( F ( t ) ) = 0 ∞←s

Lim

Demostración

Como f es una función de orden exponencial, tenemos que existe c y

α, con c > 0, tal que L ( F ( t ) ) ≤ α>α−

ssi,s

M . Luego se tiene que

L ( F ( t ) ) ≤ ∞←s

Lim∞←s

Lim α>α−

ssi,s

M , y por lo tanto podemos concluir que

L ( F ( t ) ) = 0. ∞←s

Lim

Teorema 3.5 ( Segunda Propiedad de Traslación )



Sea L ( F ( t ) ) = f ( s ) y G ( T ) = at

at

0

)at(F

<

>

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

entonces L ( G ( t ) ) = )s(fe ts−

Demostración

L ( G ( t ) ) = = + ∫∞

−

0

ts td)t(Ge ∫ −a

0

ts td)t(Ge ∫∞

−

a

ts td)t(Ge

= = ∫∞

−

a

ts td)t(Ge ∫∞

− −a

ts td)at(Fe

= = ∫∞

−

0

ts td)t(Ge ∫∞

+−

0

)aU(s ud)u(Fe

= = f ( s ). ase − ∫∞

−

0

Us ud)u(Fe ase −

Ejemplo 3.4

Calcular L ( G ( t ) ) y G ( T ) =

32t

32t

0

)3

2t(Cos

π<

π>

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧ π−

Solución

L ( Cos ( t ) ) = 1s

s2 +

= f ( s ) y a = 3

2 π⇒ L ( G ( t )) =

1sse 2

3s2

+

π−

Teorema 3.6 ( Propiedad del Cambio de Escala )

Si L ( F ( t ) ) = f ( s ) entonces L ( F ( a t ) ) = a1 f (

as )

Demostración



L ( F ( a t ) ) = = ∫∞

−

0

ts td)ta(Fea1 ∫

∞ −

0

)au(s

ud)u(Fe

= a1 ∫

∞ −

0

u)as(

ud)u(Fe = a1 f (

as )

Ejemplo 3.5

Si L ( F ( t ) ) = )1s()1s2(

1ss2

2

−++− , calcular L ( F ( 2 t ) )

Solución

L ( F ( 2 t ) ) = 21 f (

2s ) =

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

12s1s

12s

2s

21

2

2

= )2s()1s(4

4s2s2

2

−++−

Teorema 3.7

Si L ( F ( t ) ) = f ( s ) entonces L ( F ) = s f ( s ) – F ( 0 ) )t(´

Demostración

L (F = = )t(´ ) ∫∞

− ′0

ts td)t(Feo

Lim→α ∫

α− ′

0

ts td)t(Fe

= o

Lim→α ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′+ ∫

α−α−

0

ts0

ts td)t(Fes)t(Fe

= o

Lim→α ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′+−α ∫

α−α−

0

tss td)t(Fes)0(F)(Fe

= = s f ( s ) – F ( 0 ) ∫∞

− ′+−0

ts td)t(Fes)0(F



En forma análoga, se puede encontrar las transformadas de Laplace para

derivadas de orden superior, como por ejemplo:

a1.- L ( ) ) = st(F ′′ 2 f ( s ) – s F ( 0 ) - )0(F′

.an,. L ( ) ) = st(F )n( n f ( s ) – sn-1 F ( 0 ) – sn-2 )0(F′ ........- )0(F 1n−

Ejemplo 3.6

Utilizar la transformada de Laplace para resolver la siguiente ecuación

defirencial :

1)0(y,0)0(ydonde,1yxd

yd2

2

=′==−

Solución

L =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− yxd

yd2

2

L ( 1 )

s2 f ( s ) - s y ( 0 ) - )0(y′ - f ( s ) = s1

s2 f ( s ) - 1 - f ( s ) = s1

f ( s ) { s2 - 1} = s1 +1 ⇒ f ( s ) =

s1

1s1

)1s(s1

−−

=−

F ( t ) = L-1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−1s1 - L-1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

s1

Teorema 3.8

Si F es una función de orden exponencial para t ∈ [ 0 , ∞ [ y a es un

número real no negativo, entonces :



L = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫t

axd)x(F

s1 L { F ( x ) } -

s1 ∫

a

0xd)x(F

Demostración

Si f es una función de orden exponencial, entonces la integral también es

una función de orden exponencial, en efecto:

a.- Si F es una función de orden exponencial, entonces existen c y α , donde

c > 0, de manera que tec)t(F α≤ .

b.- En consecuencia si estudiamos el valor absoluto de la integral obtenemos

[ ] txaxtt

a

xt

a

t

aeceecxdecxd)x(Fxd)x(F αα

α=−

α≤≤≤ ∫∫∫

luego L = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫t

axd)x(F ∫ ∫

∞−

0

t

a

ts td)x(d)x(Fe

= ∫∫∞

−∞

− +−0

ts

0

t

a

ts td)t(Fes1xd)x(fFe

s1

Como la integral es de orden exponencial se tiene que: ∫t

axd)x(F

∞→sLim 0xd)x(Fe

s1 t

a

ts =− ∫− ⇒ L =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫t

axd)x(F

s1 L { F ( x ) } -

s1 ∫

a

0xd)x(F

Corolario 3.1:

Si a = 0 entonces L = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫t

0xd)x(F

s1 L { F ( x ) }



Teorema 3.9

Si L { F ( x ) } = f( s ) entonces

L { tn F ( x ) } = ( ) ( ) )s(f1)s(fsd

d1 )n(nn

nn −=− , para n = 1,2,3....

Demostración

1.- f ( s ) = , luego ∫∞

−

0

ts td)t(Fe td)t(Fesd

d)s(fsdfd

0

ts∫∞

−=′=

= td)t(Fet0

ts∫∞

−−

= td})t(Ft{e0

ts∫∞

−−

= - L { t F ( x ) }

luego para n = 1 se tiene que L { t F ( x ) } = - )s(f′

2.- Supongamos que la propiedad se cumple para n = k, en consecuencia se

tiene : ( * ) ( ) )s(f1td})t(Ft{e )k(k

0

kts −=∫∞

−

3.- Por demostrar que:

( ) )s(f1td})t(Ft{e )1k(1k

0

1kts ++∞

+− −=∫

En efecto, si derivamos la identidad (*), tenemos:

( ) )s(f1td})t(Ft{esd

d )1k(k

0

kts +∞

− −=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫

( ) )s(f1td})t(Ft{et )1k(k

0

kts +∞

− −=−∫



( ) )s(f1td})t(Ft{et )1k(1k

0

kts ++∞

− −=∫

L { tn F( x ) } = , para n = 1,2,3.... ( ) )s(f1 )n(n−

Ejemplos 3.7

a.- Calcular L { t Sen ( a t ) } = - )s(f ′′ = - 22222 )as(as2

asa

sdd

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

b.- Calcular L { t2 Sen ( a t ) } = - )s(f ′′ = - ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 222 )as(

sa2sd

d

= 422

25234

)as(sa8a2sa8sa2

+−++

Teorema 3.10 ( División por t )

Si L { F ( t ) } = f ( s ) entonces L ∫∞

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

s

ud)u(Ft

)t(F

Demostración

Sea t

)t(F)t(G = , entonces F ( t ) = t G ( t ), en consecuencia

L { F ( t ) } = L { t G ( t ) } = (-1) sd

d ( L { G ( t ) } )

Luego f ( s ) = (-1) sd

d ( L { G ( t ) } ) ⇒ L { G ( t ) } = ∫∞

s

ud)u(F

Corolario 3.2

Si las integrales convergen entonces = ∫∞

0

ud)u(F ∫∞

0

tdt

)t(f

Ejemplo 3.8

Demuestre que 2

tdt

)t(Sen

02

2 π=∫

∞



Solución:

∫∫∞∞

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

00

2

tdt

)t(Sent1 L td

t)t(Sen 2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

L tdt

)t(Sen 2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= L { Sen∫∞

s

2 ( t ) } d t = L { ∫∞

s

))t2(Cos1(21

− } d t

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∫∞

2

22

s s4sLn

41)4s(Ln

21)s(Ln

21ud

4uu

u1

21

Luego ∫∫∞∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

02

2

0

2

sds

4sLn41td

t)t(Sen

t1

Integrando por partes se tiene :

Sea U = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +2

2

s4sLn luego sd

)4s(s8ud 2 +

−=

d v = d s entonces v = s

∫∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

02

2

sds

4sLn41 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +∫∞

∞

02

02

2

sd4s

8

s

4sLns

41

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +∞∞

002

2

)2s(arctg4

s4sLns

41

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ π+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +∞

24

s4sLns

41

02

2

= 2π

Luego 2

tdt

)t(Sen

02

2 π=∫

∞



Teorema de Lerch 3.11

Sea F ( t ) una función seccionalmente continua en cada intervalo

y de orden exponencial para t > N, entonces la Transfornada de

Laplace Inversa es única.

Nt0 ≤≤

Teorema de Linealidad 3.12 ( para Transformadas de Laplace Inversas )

Si c1 , c2 son constantes arbitrarias y f1 ( s ) , f2 ( s ) son las transformadas

de Lapace de las funciones F1 ( x ) , F ( x ) entonces:

L - 1 { c1 f1 ( s ) + c2 f2 ( s ) } = c1 L - 1 { f1 ( s ) } + c2 L - 1 { f2 ( s ) }

Ejemplo 3.9

L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

−+

9s18s4

s4s5

23 = L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2s5 + L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

3s4 - L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+9ss4

2 + L -

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+9s182

= 5 t + 2 t2 – 4 Cos ( 3 t ) + 6 Sen ( 3 t )

Teorema. 3.13 ( Primera Propiedad de Traslación para Transformadas

Inversas)

Si L - 1 { f ( s ) } = F ( t ) entonces L - 1 { f ( s-a ) } = ea t F ( t )

Ejemplo 3.10



L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

20s4s4s6

2 = L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−−

164s4s4s6

2 = L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

16)2s(4s6

2

= L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−16)2s(

8)2s(62

= 6 L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

16)2s()2s(

2 + 2 L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+− 16)2s(4

2

= 2 e2 t ( 3 Cos ( 4 t ) + Sen ( 4 t ) )

Teorema 3.14 ( Segunda Propiedad de Traslación para Transformadas

Inversas)

Si L - 1 { f ( s ) } = F ( t ) entonces L - 1 { e- a t f ( s ) } = G ( t ), donde

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

<−=

atsi0

atsi)at(F)t(G

Ejemplo 3.11

Calcular L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−

4

s5

)2s(e

Solución

L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− 4)2s(1 = 3t2 te

!31 = f ( t ), en consecuencia se tiene que:



L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−

4

s5

)2s(e

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<

>−

=

−

5tsi0

5tsi3

)5t(e 3)5t(2

Teorema 3.15 ( Cambio de Escala )

Si L - 1 { f ( s ) } = F ( t ) ⇒ L - 1 { f ( k s ) } = )kt(F

k1

Teorema 3.16 ( Transformada Inversa de la Derivada )

Si L - 1 { f ( s ) } = F ( t ) ⇒ L - 1 { f ( n ) ( s ) } = ( - 1 )n tn F ( t )

Teorema 3.17 ( Multiplicación por potencias de S)

Si L - 1 { f ( s ) } = F( t ) y F ( 0 ) = 0 ⇒ L - 1 { s f ( s ) } = F´( t )

Teorema 3.18 ( Transformada Inversa de Integrales )

Si L - 1 { f ( s ) } = F ( t ) ⇒ L - 1 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∫∞

sud)u(f =

t)t(F

Teorema 3.19 ( División por st )

Si L - 1 { f ( s ) } = F ( t ) ⇒ L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

s)s(f = ∫

t

0ud)u(f

Proposición 3.1

Si L-1 { f ( s ) } = F ( t ), demuestre que

L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2s)s(f = ∫ ∫

t

0

v

0vdud)u(F

Demostración



Sea G ( t ) = ⇒ G´ ( t ) = , luego G´´( t ) = F ( t ),

aplicando la transformada de Laplace se tiene:

∫ ∫t

0

v

0vdud)u(F ∫

t

0ud)u(F

L { G´´( t ) } = L { F ( t ) }

S2 L { G ( t ) } – s G ( o ) – G´( 0 ) = L { F ( t ) }

S2 L { G ( t ) } = L { F ( t ) } ⇒ L { G ( t ) } = 2s1 L { F ( t ) } = 2s

)s(f

L { G ( t ) } = 2s)s(f ⇒ L -1{ 2s

)s(f } = G ( t ). Luego

L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2s)s(f = ∫ ∫

t

0

v

0

vdud)u(F

Transformada de Laplace de una función Periódica 3.20

Se dice que una función es periódica de período P, ssi ∃ p, p∈ ℜ tal

que f ( t + p ) = f ( t ) para todo t perteneciente al dominio de f.

Obs. P se llama el período de la función f .

Ejemplo 3.12

a.- Sea f ( x ) = x2 , donde 0 < x < 2 π, una función periódica de

período 2 π,


-4 -2 π 4 π

π 2 π


b.- Sea f ( x ) = tg ( x ) , }n,2

)1n2({x,x ℵ∈π

−−ℜ∈∀

2π 2

π−

Teorema 3.21

Sea F una función periódica de orden exponencial con período,

entonces : L { F ( t ) } = td)t(Fee1

1 p

0

tsps ∫ −

−

Demostración

1.- Como f es una función periódica de período p, entonces se tiene que:

F( t ) = F ( t + p ) = F ( t + 2 p )=............................= F ( t + n p )

en consecuencia L { F ( t ) } = = td)t(Fe0

ts∫∞

− td)t(Fe0i

p)1i(

pi

ts∑ ∫∞

=

+− .

2.- = , donde u = t – n p, en

consecuencia y d u = d t , además como F es una

td)t(fep)1i(

pi

ts∫+

− ud)pnu(fep

0

)pnu(s +∫ +−

p)1n(tsi

pntsi

pu

0u

+=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=



función periódica se tiene la relación F ( t ) = F ( t + n p) y por lo tanto se cumple

= = td)t(Fep)1n(

pn

ts∫+

− ud)u(Fep

0

pnsus∫ −− ud)u(Feep

0

uspns ∫ −−

L { f ( t ) } = , pero S∑∫∞

=

−−

0i

pisp

0

us eud)u(Fe n = ∑ =

−n

0i

ipse = ps

)1n(ps

e1e1

−

+−

−−

aplicando limite cuando n tiende a infinito se tiene que :

psnn e11SLim

−∞→ −= ⇒ L { F ( t ) } = td)t(Fe

e11 p

0

tsps ∫ −

−.

Ejemplo 3.13

Encontrar la transformada de Laplace de la función dada por la gráfica:

a T a+ T 3T 3 a + T

La función es periódica de período T, en consecuencia se tiene la relación

L { F ( t ) } = td)t(Fee1

1 p

0

tsps ∫ −

−.

L { F( t ) } = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−∫∫ −− td)t(Fetd)t(Fe

e11 T

a

tsa

0

tssT .

L { F ( t ) } = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− ∫ − tdee1

1 a

0

tssT .

L { F ( t ) } = )e1(s

e1es1

e11

sT

saa

0

tssT −

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−− .



Teorema de Convolución 3.22

Sean F y G dos funciones seccionalmente continuas de orden

exponencial, tales que L { F ( t ) } = f ( s ) y L { G ( t ) } = g ( s ). Entonces

L = f ( s ) • g ( s ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ξξξ−∫

t

0d)(G)t(F

L - 1 { f ( s ) • g ( s ) } = ∫ ξξξ−t

0d)(G)t(F

Esta integral se llama la convolución de F y G , y se denota por F* G,

es decir ( F * G ) ( t ) = ∫ ξξξ−t

0d)(G)t(F

Observación

a.- ( F*G ) ( t ) = ( G*F ) ( t ), luego la convolución es conmutativa, en efecto

( F*G ) ( t ) = = L ∫ ξξξ−t

0d)(G)t(F - 1 { f ( s ) • g ( s ) } ( 1 )

sea u = t - ξ luego d u = - d ξ u t

t 0

0 t

( F*G ) ( t ) = ∫ ∗=−−t

0)t()FG(ud)ut(G)u(F

b.- ( F * G ) * H = F * ( G * H )

c.- ( F * G )+ ( F * H ) = F* ( G + H )

Ejemplo 3.14

a.- Encontrar la solución de la ecuación diferencial - y = g ( t ) , donde ⋅⋅

y



y ( o ) = 1, ( 0 ) = 1 ⋅

y

Solución :

Sea L { y } = f ( s ), donde L { G ( t ) } = g ( s )

L { } - L { y } = L { G ( t ) } ⇒ s⋅⋅

y 2 f ( s ) – s y ( 0 ) - ( 0 ) – f ( s ) = g ( s ) ⋅

y

f ( s ) = 1s

s1)s(g2 −

++ = 1s)s(g

2 − +

1s1−

, en consecuencia se tiene:

L - 1 { f ( s ) } = L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− 1s1 + L - 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− 1s)s(g

2

y ( t )= et + L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

•−

)s(g1s

12 , pero como

L1 )t(Sinh1s

12

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⇒ L - 1 { Sinh (t ) } =

1s1

2 −, en consecuencia

tenemos :

F*G = L - 1 { w ( s ) } L - 1 { g ( s ) } = Sinh ( t ) ∗ g ( t )

y ( t )= et + ∫ −t

0

xd)x(g)xt(Sinh

Ejercicio 3.15

Resolver la ecuación , donde y( 0 ) = 1 ∫ −⋅

−−=t

0

x2 xde)xt(y1)t(y

Solución:

∫ −⋅

−−=t

0

x2 xde)xt(y1)t(y

t2e)t(y1)t(y −⋅

∗−=



L { } = L { 1 } - L { } ⇒ s f ( s ) – y ( 0 ) = )t(y⋅

t2e)t(y −∗s1

- f ( s ) 1s

1+

,

luego f ( s ) = )1s(s

2s++ =

s2

- 1s

1+

, por lo tanto se tiene que:

y ( t ) = 2 L - 1 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

s1

- L - 1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+1s1

= 2 – te−

Ejercicio 3.16

Resolver la ecuación:

∫ ∫ =ξ′ξ−−ξξ′′ξ−−+′+′′ )t(Cosd)t(x)t(Sin2d)(x)t()t(x)t(x2)t(x

donde x ( 0 ) = 0 y x´( 0 ) = 0

Solución

)t(x)t(Sin2)t(xt)t(x)t(x2)t(x ′∗−′′∗−+′+′′ = L { Cos( t ) }

L { } + 2 L { ) } + L { x ( t ) } - L { )t(x ′′ t(x′ )t(xt ′′∗ } – 2 L { } = L )t(x)t(Sin ′∗


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+1ss

2

S2 f ( s ) – s x ( 0 ) – x´( 0 ) + 2 s f ( s ) – 2 x ( 0 ) + f ( s ) - 2s1

( s2 f ( s ) – s x ( 0 ) – x´( 0 ) ) -

1s

12 +

( s f ( s ) – x ( 0 ) ) = 1s

s2 +

, despejando f ( s ) tenemos la relación :

f ( s ) = s2)s2s()1s(

s22 −++

= 2)1s(s1+

= s1

- 2)1s(1+

- )1s(

1+

x ( t ) = 1 - t tt ee −− −


Guía Transformada de Laplace

1.- Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones: a1.- F ( t ) = 2 e-2 t a2.- F ( t ) = 5 t – 3 a3.- F ( t ) = 2 t 2 - e- t a4.- F ( t ) = 3 Cos ( t ) a5.- F ( t ) = 10 sin ( 6 t ) a6.- F ( t ) = 6 Sin ( 2 t ) - 5 Cos ( 2 t ) a7.- F ( t ) = ( t 2 + 1 ) 2 a8.- F ( t ) = 3 Cosh ( 5 t ) – 4 Sinh ( 5 t ) 2.- Calcular:

a.- L { ( 5 e 2 t - 3 ) 2 } b.- L { 4 Cos 2 ( 2 t ) } c.- L { ( Cosh2 ( 4 t ) } c.- L { 3 t 2 - t 3 + 4 e – t + 3 }

3.- Hallar L { F ( t ) } si:

a.- F ( t ) = b.- F ( t ) = 2t

2t0

4

0

>

<<

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2t

2t0

1

t2

>

<<

⎪⎩

⎪⎨

⎧

4.- Demostrar que L { t n } = 1ns!n+ , donde n = 1,2,3.........

5.- Calcular:

a.- L { t 3 e – 3 t } b.- L { e - t Cos ( 2 t ) } c.- L { 2 e3 t Sin ( 4 t ) } d.- L { ( t + 2 ) 2 e t } e.- L { e2 t ( 3 Sin ( 4 t ) – 4 Cos( 4 t ) ) } f.- L { e t Cosh ( 2 t )} g.- L { e - t ( 3 Sinh ( 2 t ) – 5 Cosh ( 2 t ) }



6.- Hallar L { F ( t ) } si: F ( t ) = ( )

1t0

1t

0

1t 2

<<

>

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

7.- Si L { F ( t ) } = )1s()1s2(

1ss2

2

−++− , hallar L { F ( 2 t ) }

8.- Si L { F ( t ) } = s

e s1

−

, hallar L { e – t F ( 3 t ) }

9.- Si L { F ( t ) } = f ( s ) encontrar L { r t F ( a t ) } 10.- Si L { F ( t ) } = f ( s ) encontrar L { F´´´ ( t ) }

11.- Verificar directamente que L = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−∫ −t

0

u2 ud)euu(s1 L { t 2 – t + e - t }

12.- Si L { F ( t ) } = f ( s ) demuestre que L ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∫ ∫t

0

t

01

1

ud)u(Ftd = 2s)s(f

13.- Demostrar que L ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −∫

−

s11Ln

s1ud

u)e1(t

0

u

14.- Demostrar que ∫ ∫∞

= =

− π=

0t

t

0u

t

4tdud

u)u(Sine

15.- Demostrar que:

a.- L { t Cos ( a t ) } = 222

22

)as(as

+−



b.- L { t Sin ( a t ) } = 222 )as(sa2

+

c.- L { t ( 3 Sin ( 2 t ) – 2 Cos ( 2 t ) ) } = 22

2

)4s(s2s128

+−+

16.- Hallar L { F ( t ) } donde :

a.- F ( t ) = b.- F ( t ) = ( )t(Cost 2 )t3(Sin)2t3t( 2 +− c.- F( t ) = t Cosh ( 3 t ) d.- F ( t ) = t Sinh ( 2 t )

17.- Demuestre que 503td)t(Sinet t3

0

=−∞

∫

18.- Demostrar que L ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ − −−

tee tbta

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

asbsLn ,

19.- Demostrar que L ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

t)tb(Cos)ta(Cos = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

22

22

asbsLn

21

20.- Encontrara L ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

t)t(Sin

21.- Demostrar que )32(Lndt

t)t4(Cos)t6(Cos

0=

−∫∞

22.- Demostrar que 2

tdt

)t(Sin

02

2 π=∫

∞

23.- Sea F ( t ) = , donde la función tiene período 4, luego 4t2

2t0

6

t3

<<

<<

⎪⎩

⎪⎨

⎧

se pide encontrar L { })t(F

24.- Sea F ( t ) = , donde la función satisface 2t1

1t0

0

t

<<

<<

⎪⎩

⎪⎨

⎧

F ( t + 2 ) = F ( t ), para t > 0, se pide encontrar L { })t(F .



25.- Demuestre que 0td)t(Sinet t

0

3 =−∞

∫

26.- Demuestre que 4

tdt

)t(Sine t

0

π=

−∞

∫

27.- Hallar L -1 { donde : })s(f

a.- f ( s ) = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

25s48s3

2 b.- f ( s ) = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+ 2)1s(s

c.- f ( s ) = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

2

s2

se d.- f ( s ) =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−

4se82

s3

28.- Demostrar que L -1 ∫ ∫ ∫=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ t

0

v

0

u

03 tdvdud)u(F

s)s(f

29.- Aplicando el Teorema de Convolución calcular:

a.- L -1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+ )1s()3s(1 b.- L -1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+ )2s()2s(12

30.- Resolver cada una de las ecuaciones diferenciales usando transformada de

Laplace. a.- 7)0(y,0)0(y,t9)t(y4)t(y =′==+′′ b.- 0)0(y,0)0(y,t125)t(y5)t(y4)t(y 2 =′==+′−′′ c.- 1)0(y,0)0(y,)t(F)t(y4)t(y =′==+′′

1t

1t0

0

1)t(Fdonde

>

<<

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

d.- 2)0(y,1)0(y,0)t(Y2)t(y)t21()t(yt =′==−′−+′′

31.- Resolver:



a.- donde y ( 0 ) = 3 , y´ ( 0 ) = - 2 , z ( 0 ) = 0 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−′′

=′+′

− tezy

tz2y

b.- ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+′+′′

=+−′−′

0yz2y

)t(Sinz2y2zy

donde y ( 0 ) = y´ ( 0 ) = z ( 0 ) = 0

32.- Una partícula se mueve sobre una recta en tal forma que su

desplazamiento X desde un punto fijo O, está dado en cualquier tiempo t por:

)t5(Sin80)t(X5)t(X4)t(X =+′+′′

a.- Si cuando t = 0 la partícula está en reposo en X = 0, hallar su

desplazamiento en cualquier tiempo t > 0. b.- Hallar la amplitud, el período y la frecuencia del movimiento después

de un largo tiempo.

33.- Una masa se mueve sobre el plano xy en tal forma que su posición ( x , y ) en cualquier tiempo está dada por:

0YKX 2

1 =+′′

0XKY 22 =+′′

Si en el tiempo t = 0 la partícula sale del reposo en ( a , b ) , hallar su

posición en cualquier tiempo t > 0. 34.- Usando transformada de Laplace demostrar que la solución de:

)tw(CosAYKtdYd 22

2=+ , Y ( 0 ) = α , Y´ ( 0 ) = β,

es )tK(SinK

)tK(CosKw

))tK(Cos)tw(Cos(A)t(Y 22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β+α+

−−

=


transformada de laplace

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