Transf de Calor (1)

MODELACIÓN MATEMÁTICA

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería

MÉTODOS NUMÉRICOS EN CONDUCCIÓN DE CALOR

Karol Cascavita, I.M, MSc. Modelación MatemáticaUniversidad Nacional de Colombia

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CONTENIDO

1. Mecanismos de transferencia de calor: Conducción.

1.1. Conservación de la energía en sólidos.

2. Mecanismos de transferencia de calor: Convección

MÉTODOS NUMÉRICOS EN CONDUCCIÓN DE CALOR

EL MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

1. Descripción Método de las Diferencias Finitas

2. Modelado de un problema de conducción de calor 1D

2.1. Solución de E.D. por diferencias finitas.

3. Solución por el método de las diferencias finitas: Modelo Transitorio.

4. Método Iterativo Jacobi.


Mecanismos de Transferencia de

Calor

Convección Conducción

Transferencia de energía calorífica entre dos sistemas, basado

en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de

materia.

Radiación

1. TIPOS DE MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR: CONDUCCIÓN


Principio de conservación :La ley de la conservación de la energía establece que el cambio de la energía interna de un volumen de control es igual a la entrada y la salida de la energía que atraviesan sus fronteras.

Para un volumen de control (VC), el balance de masa se expresa de la siguiente manera:

Suponiendo:Régimen transitorio

1.1. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN SÓLIDOS

en sal

EE

tE

x

z

E

t

y


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Se tiene, por conservación de energía:

En el dominio del tiempo:

Mediante el balance de energía se tiene que el cambio de energía interna, se define por:

Para la generación de volumen de control:

1.1. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA-SÓLIDOS

x

z

E

t

y


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Por conservación de energía, remplazando la masa (m=rVol):

El volumen se define por:

Al dividir por el término del volumen y reordenando, se obtiene:


x

z

E

t


Para transferencia de Calor en la dirección X se tiene:

Ley de Fourier

Por ley de Fourier:

Remplazando :


= Conductividad térmica(Cte. de proporcionalidad)


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Para X:

Análisis en las otras direcciones:

Ecuación de Calor

Asumiendo k, independiente de T: Finalmente:

Difusividad



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ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN: Transporte

en la frontera

generación Acumulación

Estado estable con generación:

Ecuación de Poisson

Estado transitorio sin generación:

Ecuación de Calor con f=0

Estado estable sin generación:

Ecuación de Laplace

Asumiendo conductividad Constante

1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR


Se parte de una análisis de conservación de energía de donde:

donde la ley de Fourier establece que

Por lo tanto los flujos de calor en las fronteras son:

Por otra parte el término es un término de generacióndado por :

10

0

CONDUCCIÓN 1D-EST. ESTACIONARIO: NODO INTERNO


11

1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR


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Mecanismos de Transferencia de Calor

Convección

Mecanismo de transferencia de energía ocasionada por el movimiento macroscópico de

un fluido

Conducción Radiación

2. TIPOS DE MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR: CONVECCIÓN


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Convección

Libre Forzada



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Ley de Enfriamiento de Newton:

Donde h es el coeficiente de transferencia de Calor por convección, tiene por unidades:

h

Propiedades del Fluido

Viscosidad, Conductividad

Térmica, densidad

Régimen de Flujo

Laminar, turbulento

Superficie SólidaAspereza,

Configuración Geométrica


MODELACIÓN MATEMÁTICA

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería

MÉTODOS DE LAS DIFERENCIAS FINITAS


1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)

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Métodos Usados en transferencia de Calor:

Diferencias Finitas

Volumen de Control

Análisis por

Nodos

Elementos Finitos

Análisis por

Grupos de

Nodos Asociado

s

Características del Método MDF:

• Surge de la expansión de la serie de Taylor en torno a una punto especifico de una función definida.

• Remplaza las cantidades diferenciales por diferencias suficientemente pequeñas.


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• Surge como un método para la solución de ecuaciones diferenciales (bien comportadas), basado en la discretización de un dominio de solución continuo (elementos finitos y volúmenes finitos).

Discretización E.D.

Discretización de ecuaciones en forma integral

Diferencias Finitas

Volúmenes Finitos

• Su origen radica en el truncamiento de la serie de

Taylor:



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x x x xxx

( )f x

Definición de derivada:

Diferencias finitas hacia adelante:

Diferencias finitas hacia atrás:

Diferencias finitas centradas:



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Representación nodal

en función del tiempo y

la distancia.

Aplicando el concepto para el estado unidimensional tenemos:


y

Karol

Es confusa la notación. Aqui se usa el índice i para el tiempo. Y mas tarde se usa n. Esto parece mas la notación para un problema 2D. Así que prefiero que todas las ecuaciones que son unidimensionales no tengan el indice i, para que sea mas claro.


20

Representación en

diferencias finitas

Error de truncamient

o

D.F hacia delante

(FFD)



21

D.F hacia atrás (BFD)

Representación en

diferencias finitas


o



22

En algunos casos es necesario tener un error de truncamiento de

un orden mayor a (x)1, para lo cual se puede plantear una

representación adicional realizando la diferencia entre las dos

representaciones anteriores (FFD, BFD):

D.F centradas (CFD)

Representación en

diferencias finitas


o



23

Para los diferenciales de orden superior, se puede mostrar que:

D.F de alto orden y

exactitud



24

Para los diferenciales de orden superior, se puede mostrar que:

D.F de alto orden y

exactitud



En Resumen:

25

D.F hacia atrás (BFD):

D.F hacia delante

(FFD)



26

En Resumen:

D.F centradas de primer orden

(CFD)


D.F centradas de Segundo orden

(CFD)


27

En Resumen:


Representaciones D.F centradas de

Segundo orden


Sea la ecuación de la aleta estacionaria:

Donde se ha hecho un cambio de variable de la

forma:

Además las condiciones de frontera están dados

por :

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2. MODELADO DE UN PROBLEMA DE CONDUCCIÓN DE CALOR 1D : EC. DE LA ALETA


Sea la ecuación de la aleta estacionaria:

Se discretiza la ecuación diferencial por medio de D.F de tipo

centrado(CDS) con lo cual se obtiene:

2.1. SOLUCIÓN DE E.D. POR DIFERENCIAS FINITAS

Esta ecuación se aplica únicamente a

los nodos internos. Los nodos externos

no tienen definido alguno de los nodos

vecinos (Sea para el nodo=1 o

para el nodo=N) pero en ellos se

especifica alguna condición de

frontera, con lo cual se determina el

problema.


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Se reorganiza el sistema de

ecuaciones obtenido en una

forma conveniente para su

generalización.

Donde . Los términos

conocidos son escritos a la

derecha del igual. 5 ecuaciones y 6 incógnitasEn forma matricial:



31

La ecuación restante se obtiene expresando la segunda condición

de borde en términos de diferencias finitas centradas:



32

Matrix tridiagonal simétrica



33

Sin embargo, aprovechando la exactitud de las CFD, se puede

escribir:

Obsérvese como el nodo 8 es ficticio, generado para poder

expresar la derivada de en el extremo de la aleta. Si este es el

caso una ecuación más se puede escribir al conjunto de las cinco

expresiones obtenidas anteriormente:

son entonces 7 ecuaciones y 7 incógnitas …



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3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO

Sea la ecuación de calor unidimensional de la aleta en estado transitorio:

La discretización de la ecuación diferencial parcial parabólica planteada anteriormente podría plantearse como:

Note como el cambio temporal en la energía en el nodo i esta asociado con la energía en los nodos i-1, i, i+1 en el tiempo n.

Este esquema temporal hacia delante se denomina comúnmente Forward-Euler o esquema explícito.

2

2

t x


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Aunque dicha discretización puede plantearse en los siguientes términos:

Note como el cambio temporal en la energía en el nodo i esta asociado con la energía en los nodos i-1, i, i+1 en el tiempo n+1.

Este esquema temporal hacia delante se denomina comúnmente Backward-Euler o esquema implícito.



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Por supuesto cualquiera de las dos discretizaciones son válidas, no obstante es de esperarse que un planteamiento que incorpore las dos consideraciones anteriores, permita alcanzar una mayor exactitud.

Note como el cambio temporal en la energía en el nodo i está asociado con la energía en los nodos i-1, i, i+1 en el tiempo n y n+1.

Este esquema temporal hacia delante se denomina comúnmente Crank-Nicolson o esquema semi-implícito.



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En términos generales, esta discretización temporal puede ser escrita como:

Evaluando la anterior ecuación para el nodo i :

Esta formulación permite obtener un planteamiento explícito, implícito o semi-implícito en el tiempo, tal como se muestra a continuación:



Planteamiento Totalmente Explícito

38

Tomando un valor , se encuentra un planteamiento totalmente explícito (Backward-Euler) y condicionalmente estable, el cual se expresa como:



Planteamiento Totalmente Implícito

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Tomando un valor , se encuentra un planteamiento totalmente implícito (Forward-Euler) e incondicionalmente estable, el cual se expresa como:



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Tomando un valor , se encuentra un planteamiento semi-implícito

(Crank-Nicolson), el cual se expresa como:

Planteamiento Totalmente Semi -Implícito



41

Considerando la malla mostrada en la figura, para un problema con condiciones de borde de Dirichlet, el esquema explícito empleado para el cálculo de los valores nodales en el tiempo 2, arroja las siguientes ecuaciones:

Ejemplo: Planteamiento Explicito



42

Ejemplo: Planteamiento Explicito



43

Considerando el mismo problema, el esquema implícito empleado para el cálculo de los valores nodales en el tiempo 2, arroja las siguientes ecuaciones:

Ejemplo: Planteamiento Implícito



44

La solución de este sistema de ecuaciones (4x4) permite el cálculo de los valores nodales para el tiempo 2. Una vez conocidos estos valores se puede repetir el procedimiento para calcular los valores nodales para los tiempos siguientes.

En forma matricial este sistema de ecuaciones se puede escribir como:




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Observe que la matriz [A] es simétrica, tridiagonal y además diagonal dominante. De este modo el sistema de ecuaciones puede ser solucionado empleando por ejemplo el método iterativo de Jacobi.




4. MÉTODO ITERATIVO JACOBI

La matriz [A] se puede descomponer como la suma de una matriz diagonal y otra matriz [C]:

De modo que el sistema de ecuaciones ahora se puede escribir como:

o en otras palabras:


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Dado que [C] es una matriz de menos peso que la matriz diagonal de [A], una primera aproximación a [q ] puede hacerse eliminando este término, de modo que:

Así, con esta primera aproximación, se puede incorporar la matriz [C] al cálculo, de modo que una mejor aproximación para [q] está dada por:

Repitiendo este procedimiento se configura un método iterativo para la solución del sistema de ecuaciones:

4. MÉTODO ITERATIVO JACOBI

Transf de Calor (1)

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