Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 1 NĂM HỌC 2010 - 2011 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Đồng Hới, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện: Trần Xuân Bang Tổ Toán
116
Embed
Trần Xuân Bang Trường THPT Chuyên Quảng B°ơng trình đều có trình bày cách ... (tanx + cotx ) + b(tan2x + cot2x ... + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
1
NĂM HỌC 2010 - 2011
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đồng Hới, tháng 5 năm 2011
Người thực hiện: Trần Xuân Bang
Tổ Toán
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
2
Phần thứ nhất.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm trong toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT. Trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn luôn có mặt. Một tập hợp các phương trình lượng giác trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng của các trường Đại học trước đây và của Bộ giáo dục và Đào tạo từ 2002 đến nay là một món quà quý cho học sinh ôn luyện thi, cũng là một tài liệu để các thầy cô giáo tâm huyết với nghề nghiệp tham khảo. Với lý do đó tôi đã cố gắng tập hợp, sữa chữa, biên tập "Phương trình lượng giác" hơn một năm nay và đã hoàn thành ở một mức độ nhất định. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác cơ bản, mỗi phương trình đều có trình bày cách lấy nghiệm, ví dụ minh họa và các chú ý. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Với 65 phương trình có lời giải chi tiết. 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a2 + b2 > 0): Với 22 phương trình có lời giải chi tiết. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Với 13 phương trình có lời giải chi tiết. 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0: Với 9 phương trình có lời giải chi tiết. 6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d: Với 15 phương trình có lời giải chi tiết. 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0: Với 5 phương trình có lời giải chi tiết. 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1 Biến đổi về tích: Với 80 phương trình có lời giải chi tiết. 10.2 Biến đổi thẳng về phương trình lượng giác cơ bản: Với 20 phương trình có lời giải chi tiết. 10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc: Với 27 phương trình có lời giải chi tiết. 11. Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2008: Với 42 phương trình có lời giải chi tiết. 12. 26 phương trình lượng giác trong các kỳ thi chính thức Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2010.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
3
13. 95 phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng.
Phần thứ hai.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản 1.1. cosx = m. 1m : Vô nghiệm(vn)
1m : Gọi T = 1 2 30, , , , 12 2 2
Nếu m T thì chọn sao cho osc m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2x k , ( k ). Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arccos 2x m k , ( k ). VD1.
a) Phương trình cosx = 12
2 ;( )3
x k k .
b) Phương trình 3osx = - 2 ; ( )2 6
c x k k .
c) Phương trình 5 5osx = - arccos - 2 ;( )2 2
c x k k
.
d) Phương trình 10osx = -3
c : vn vì 10 13
.
Chú ý 1:
i) Phương trình osx = 0 ; ( )2
c x k k .
ii) Phương trình osx = 1 2 ;( )c x k k . 3i) Phương trình osx = - 1 2 ;( )c x k k . Chú ý 2: Phương trình osx = cos 2 ;( )c x k k . Tổng quát: Phương trình osu(x) = cosv(x) ( ) ( ) 2 ;( )c u x v x k k . VD2.
a) Phương trình 1os(2x-1) = 0 2 1 ;( )2 2 4 2
c x k x k k .
b) Phương trình 0 0 0 0 0os(x-15 ) = 1 x-15 360 x=15 360 ;( )c k k k . c) Phương trình
Nếu m T thì chọn sao cho sin m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2x k hoặc 2x k ; k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcsin 2x m k hoặc arcsin 2x m k ; k . VD1.
a) Phương trình sinx = 12
26 ( )5 26
x kk
x k
.
b) Phương trình 2
3 3sinx = - ( )42 23
x kk
x k
.
c) Phương trình
5arcsin - 225sinx = - ( ).
2 5arcsin - 22
x k
k
x k
.
d) Phương trình 11sinx = 3
: vn vì 11 13
.
Chú ý 1: i) Phương trình sinx = 0 ;( )x k k .
ii) Phương trình sinx = 1 2 ;( )2
x k k .
3i) Phương trình sinx = - 1 2 ;( )2
x k k .
Chú ý 2:
Phương trình 2
sinx = sin ( )2
x kk
x k
.
Tổng quát: Phương trình ( ) 2
sinu(x) = sinv(x) ( )( ) 2
u x kk
v x k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
5
VD2.
a) Phương trình 1sin(2x - 1) = 0 2 1 ;( )2 2
x k x k k .
b) Phương trình 0 0 0 0 0 0sin(x - 15 ) = 1 x - 15 90 360 x=105 360 ;( )k k k . c) Phương trình
0
1x - arcsin 212 31 1 sin(x - 15 ) = sin x -
3 12 3 1x - arcsin 212 3
1x = +arcsin 212 3
( )13 1x = - arcsin 212 3
k
k
kk
k
d) Phương trình
2x - x - 24 12 sin 2x - = sin x -
4 12 2x - x + 24 12
26 ( )4 29 3
k
k
x kk
x k
1.3. tanx = m.
Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 10, , 1, 33
Nếu m T thì chọn sao cho tan m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arctanx m k , k . VD1.
a) Phương trình tan x = 3 ;( )3
x k k .
b) Phương trình tan x = - 13
; ( )6
x k k .
c) Phương trình tan x = 2 arctan 2 ;( )x k k . Chú ý: Phương trình tanx = tan ;( )x k k . Tổng quát: Phương trình tanu(x) = tanv(x) ( ) ( ) ; ( )u x v x k k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
6
VD2.
a) Phương trình tan 2x = 3 2 ;( ) ;( )3 6 2
x k k x k k
b) Phương trình tan (x - 450) = - 13
0 0 0 0 045 30 180 15 180 ;( )x k x k k c) Phương trình tan (x - 450) = 2
arctan 2 +arctan 2 ;( )4 4
x k x k k
e) Phương trình tan(2x + 1) = tan600
1tan(2 1) tan 2 1 ;( )3 3 2 6 2
x x k x k k
1.4. cotx = m.
Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 10, , 1, 33
Nếu m T thì chọn sao cho cot m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcot 2 ;( )x k k VD1.
a) Phương trình cotx = 3 ;( )6
x k k .
b) Phương trình cotx = - 13
; ( )3
x k k .
c) Phương trình cotx = - 2 arcot(-2) ; ( )x k k . Chú ý: Phương trình cotx = cot ; ( )x k k . Tổng quát: Phương trình cotu(x) = cotv(x) ( ) ( ) ;( )u x v x k k . VD2.
a) Phương trình cot2x = 3 2 ;( ) ;( )6 12 2
x k k x k k .
b) Phương trình cot(x - 450) = - 13
0 0 0 0 045 60 180 15 180 ;( )x k x k k . c) Phương trình cot(x - 450) = 5
arcot - 5 +arcot - 5 ; ( )4 4
x k x k k .
e) Phương trình cot(3x - 2) = cot600
2cot(3 2) cot 3 2 ;( )3 3 3 9 3
x x k x k k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
7
2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. Dạng: ( ) 0A x B 2[ ( )] ( ) 0A x B x C . 23[ ( )] ( ) ( ) 0A x B x C x D Trong đó, ( )x là sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x). VD1. Giải phương trình cos2x + 2sin2x + sin2x = 0. HD. Phương trình đã cho
2 22cos 1 2sin 2s in2x = 0 1 sin 2 0
2 2 , ( ).2 4
x x x
x k x k k
VD2. Giải phương trình 6 6sin x cos x sin 2x . HD. Phương trình đã cho
Phương trình đã cho )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx
3sin21sin03sin7sin2 2 xxxx (loại)
26
5
26
21sin
kx
kxx ( )k
Trong khoảng ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là: 6
5;6
xx
VD66. Cho phöông trình cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m . a) Giaûi phöông trình khi m = 2. b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ; 2 HD. Phương trình đã cho 01sin)12(sin21 2 mxmx
0sin)12(sin2 2 mxmx a) Khi m = 2: Phương trình đã cho 22sin 5sin 2 0x x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
27
1 2in 62
5s nx = 2 26
x ks x
i x k
( )k
b) Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ; 2 : Đặt sinx = t. 012; tx .
Phương trình đã cho tương đương 22 (2 1) 0, [-1; 0)t m t m t 12
t
t m
Vậy ta phải có : 1; 0m 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a2 + b2 > 0) Chia hai vế cho 2 2a b .
Phương trình đã cho trở thành 2 2 2 2 2 2
s inx cosx = a b ca b a b a b
Đặt 2 2 2 2
os , sinb aca b a b
Phương trình đã cho trở thành: 2 2
os( ) cc xa b
(*)
Phương trình đã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
2
2 2 22 22 2
1 1c c a b ca ba b
.
Phương trình (*) là một phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: i) Nếu đặt 2 2 2 2
sin , osb a ca b a b
thì (*) trở thành:
2 2
sin( ) cxa b
ii) Nếu c = 0, có thể đưa phương trình đã cho về t anx ba
.
iii) Có thể đặt 2
2 2 2
2 1 2tan inx , osx , t anx2 1 1 1x t t tt s c
t t t
4i) Có thể biến đổi 2 xcosx = 2cos 1,sin 2 2sin os2 2 2x xx c . Đưa phương
trình về phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai đối với xsin , os2 2x c .
5i) Có thể chia hai vế cho a, nếu a 0: s inx cosx = b ca a
. Đặt tanba
hoặc cotba
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
28
Cũng có thể chia hai vế cho b, nếu a 0: s inx cosx = a cb b
. Đặt tanab
hoặc
cotab
.
VD1. Giải phương trình 2 22 3 cos 2sin 3 34
x x
HD. Phương trình đã cho
2 23(2cos 1) (s inx - cosx) 3
3 os2x - sin2x = 2 (1)
x
c
Cách 1. 3 1(1) os2x - sin 2 1 os 2x+ 1 ; (k )
2 2 6 12c x c x k
Cách 2. Đặt t = tanx. 2
2 22 2
2
1 23 os2x - sin2x = 2 3 2 3 3 2 2 21 1
1(2 3) 2 2 3 02 3
1t anx = tan122 3
t tc t t tt t
t t t
Cách 3. 2 23(2cos 1) (s inx - cosx) 3x
22 3 cos 2sin cosx 2 3x x osx = 0 sinx= 1c : Không thỏa. Chia 2 vế cho cos2x. Ta có:
2 22 3 2 tan (2 3)(1 tan ) (2 3) an 2 tan 2 3 01t anx = tan
122+ 3
x x t x x
Cách 4.
Đặt sin
33 tan3 os
3c
.
(1) sin os2x - cos sin2x = 2cos sin 2 13 3 3 3
2 23 2 12
c x
x k x l
Cách 5.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
29
Đặt os
63 cot6 sin
6
c
.
(1) os os2x - sin sin2x = 2sin os 2 16 6 6 6
2 26 12
c c c x
x k x k
Cách 6.
Chia hai vế cho 3 : 1 2os2 sin2x = 3 3
c x
Đặt os1 3cot
33 sin3
c
.
2(1) sin os2x - cos sin2x = sin sin 2 13 3 3 33
c x
.
Cách 7.
Chia hai vế cho 3 : 1 2os2 sin2x = 3 3
c x
Đặt sin1 6tan
63 os6
c
.
2(1) os os2x - sin sin2x = os os 2 16 6 6 63
c c c c x
.
VD2. Giải phương trình 2 2(sin x cos x) cos x 3 cos 2x . HD. Phương trình đã cho
22 sin 2x 2 2cos x 3 cos2x 2 2 22 sin 2x ( 2 1)cos2x 3 2 phöông trình voâ nghieäm vì a b c . VD3. Giải phương trình 33sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x . HD. Phương trình đã cho
33sin3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1
2x k1 3 1 1 18 9sin 9x cos9x sin 9x2 2 2 3 2 7 2x k
54 9
( k )
VD4. Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0.
HD. + Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm kx 2
.
+ Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22 tan1
cos1
, đặt t = tanx :
Ta có kxxtttt 66
tantan33)1(44334 22
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : kx 2
; ; ( )6
x k k
VD16. Giaûi phöông trình 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4. HD. Phương trình đã cho
3)2cos1(232sin
25)2cos1(5 xxx
72sin52cos7 xx
VD17. Giải phương trình x x2 32 cos 3 cos2 0
4
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
34
Phương trình đã cho tương đương:
x x
x x x x
31 cos 2 3 cos2 02
1 sin2 3 cos2 0 sin2 3 cos2 1
xsin 2 sin3 6
x k x k
x k x k
2 23 6 4
5 72 2
3 6 12
( )k
VD18. Giải phương trình x xsin3 3 cos3 1 . HD.
Phương trình đã cho tương đương: x x x1 3 1sin3 cos3 sin 3 sin2 2 2 3 6
x k x k
x k x k
23 23 6 6 3
5 7 23 2
3 6 18 3
( )k
VD19. Giải phương trình xx
x
22 3 cos 2sin2 4
12 cos 1
HD.
Điều kiện: x x k1cos 22 3
, ( )k
Phương trình đã cho tương đương:
x x x x x x2 3 cos 1 cos 2 cos 1 sin 3 cos 0 tan 32
x x ktan 33 , ( )k
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của pt là: x k4 23
, ( )k .
VD20. Giải phương trình x x23sin2 2cos 2 . HD. Phương trình đã cho tương đương: Pt x x3 sin 2 (1 cos2 ) 2 x x3 sin2 cos2 1
xsin 2 sin6 6
x x3 1 1sin 2 cos22 2 2
x kx k
x kx k
2 26 6
2 2 36 6
( )k .
VD21. Giải phương trình osx + 3 s inx + 1 = 0c
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
35
HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 3 1c o s s i n2 2 2
1c o s c o s s in s i n3 3 2
2c o s ( ) c o s ( )3 3
2 ( )3
2
x x
x x
x
x kk
x k
VD22. Giải phương trình sin 2 3 cos 2 2x x . HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 3sin 2 cos 2 12 2
x x cos sin 2 sin cos 2 13 3
x x
sin 2 13
x
; ( )12
x k k .
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0.
Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x - 4 ) 2t và
2 1sin x cos2
tx
Phương trình đã cho trở thành at + b2 12
t + c = 0 bt2 + 2at + 2c - b = 0.
MR: f(sinx + cosx, sinxcosx) = 0.
Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x - 4 ) 2t và
2 1sin x cos2
tx
VD1. Giải phương trình :
sin 2x 2(sin x cosx) 2 0
HD. Đặt
t sin x cosx 2 cos x
4. Đieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh :
2 t 1t 2t 2 1 0
t = -1- 2(loai)
Suy ra
x k21cos x x k2 (k )4 4 4 x k22
2
VD2. Giải phương trình 2(sin x cos x) tgx cot gx . HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
36
sin x cos x2(sin x cos x)cos x s inx
2(sin x cos x)sin x cos x 1
ñaët t sin x cosx 2 cos x4
. Đieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh : 3 2t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2
Suy ra
cos x 1 x k2 ; (k )
4 4
VD3. Giải phương trình 3 3sin x cos x sin 2x sin x cos x . HD. Phương trình đã cho (sin x cosx)(1 sin x cos x) 2sin x cosx sin x cos x
Đặt
2t 1 t sin x cos x 2 cos x sin x cos x4 2
. Đieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh :
3 2 2 t 1
t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1t 2(loaïi)
.
Suy ra
x k21cos x x k2 (k )24 4 42 x k2
VD4. Giải phương trình 1 1 10cos x sin x
cos x sin x 3 .
HD. Phương trình đã cho
1 10(sin x cos x) 1sin x cos x 3
Đặt
2t 1 t sin x cos x 2 cos x sin x cos x4 2
.
Đieàu kieän: t 2 . Phöông trình trôû thaønh :
3 2 23t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0
t = 2(loaïi)
2 19 2 19 t = cos(x )3 4 3 2
2 19 t = (loaïi)3
2 19 x ar cos k2 ; (k )4 3 2
VD5. Giải phương trình 3(cot gx cos x) 5(tgx sin x) 2
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
37
HD. Ñieàu kieäncos x 0sin x 0
Phương trình đã cho
3(cot gx cos x 1) 5(tgx sin x 1) 0cos x sin x3 cosx 1 5 sin x 1 0sin x cos xcosx sin x cos x sin x sin x sin x cos x cosx3 5 0
sin x sin x
cos x sin x cosx sin x 0 (1)3 5(cos x sin x cos x sin x) 0 3 5sin x cos x (2)
sin x cos x
Đặt
2t 1t sin x cos x 2cos x t 2,sin x cos x4 2
2 t 1 2(1) t 2t 1 0
t 1 2 (loaïi)
1 2 1 2cos(x ) x arccos k2 ; (k )4 42 2
3 5 3 3(2) tan x x arctan k , (k )
sin x cos x 5 5
VD6. Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0.
HD. Phương trình đã cho 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2 t 2 ), phương trình trở thành:
3t2 – 10t + 30 = 0 3( )13
t loai
t
sinx + cosx = 13
sin 24 6
x
Giải ra ta được:
2arcsin 24 6
3 2arcsin 24 6
x k
x k
(k ) .
VD7. Giải phương trình 3 os5x - 2cos3x + sin5x = 0c . HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
38
3 1os5x + sin 5 os3x cos 5x - os3x2 2 6
125x - 3 2 (k ).6
48 4
c x c c
x kx k
x k
VD8. Với những giá trị nào của m thì phương trình sau vô nghiệm: 2sin2x + msin2x = 2m HD. Phương trình đã cho msin2x - cos2x = 2m - 1 (1)
Phương trình (1) vô nghiệm khi chỉ khi 2 20
1 (2 1) 43
mm m
m
Cách 2. Phương trình đã cho 2sin2x + 2msinxcosx - 2m = 0 (2) * cosx = 0 là nghiệm chỉ khi m = 1. * cosx 0 m 1 : (2) 2tan2x + 2mtanx - 2m(1 + tan2x) = 0 (1 - m)tan2x + mtanx - m = 0 (3) Phương trình (3) vô nghiệm khi chỉ khi m2 +4m(1 - m) < 0 4m - 3m2 < 0.
VD9. Giải phương trình sin2x - cos2x = 23
.
HD. Phương trình đã cho 6sin2x - 3coss2x = 7: vn do 62 + (-3)2 = 45 < 49 = 72.
VD10. Giải phương trình xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 HD. Phương trình đã cho tương đương xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3
xxxxxx 4cos6sin236cos
214cos26sin36cos
6cos 6 cos 4 6 4 23 3
30 5
x kx x x x k
x k
( )k
VD 11. Giải phương trình 3 18sinxcosx sinx
HD. ĐK : sin 0sin 2 0
cos 0 2x kx x kx
Phương trình đã cho xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
39
1 3 6cos sin cos3 cos cos32 2 3
12 2
x kx x x x x
x k
( )k
VD12. Giải phương trình xxxx sin3cos)cos3(sin3 . HD. Phương trình đã cho
xxxxxxxx cos23sin
213cos
213sin
23cos3sin3cos3sin3
3 26 3 4sin 3 sin
56 3 3 224 56 3
x x k x kx x
x kx x k
( )k
VD13. Giải phương trình 02cos12)sin(cos122sincossin xxxxxx . HD. Phương trình đã cho 012)cos(sin122sincossin xxxxx
sin cos 0 (1)12(sin cos ) sin 2 12 0 (2)
x xx x x
(1) kx 4
, ( )k
(2) xxtttt
tt cossin113
1013122
sin 2 02
kx x , ( )k .
Vậy phương trình có nghiệm là ; , ( )4 2
kx k x k .
5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0.
Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và
21sin x cos2tx
.
Phương trình đã cho trở thành at + b21
2t + c = 0 bt2 - 2at - 2c - b = 0.
MR. f(sinx - cosx, sinxcosx) = 0.
Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và
21sin x cos2tx
.
VD1. Cho phương trình s in 2 x 4 ( c o s x s in x ) m a) Giaûi phöông trình treân khi m 4 b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình treân coù nghieäm?
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
40
a) Khi m 4 , phöông trình coù daïng : s in2x 4(cos x sin x) 4 (1 sin 2x) 4(cos x sin x) 3 0
2(cos x sin x) 4(cosx sin x) 3 0
cos x sin x 1 x 2k2 cos x 1 (k ) 24cos x sin x 3 (vn) x 2k
b) 2s in2x 4(cos x sin x) m (cos x sin x) 4(cosx sin x) m 1 0 (1)
Ñaët :
21 tt cos x sin x 2 cos x t 2,sin x cos x4 2
.
2(1) t 4t m 1 0 Neáu / 5 m 0 m 5 phöông trình voâ nghieäm Neáu / 5 m 0 m 5 phöông trình coù hai nghieäm
/1
/2
t 2
t 2 2 (loaïi)
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi chỉ khi: / / /
12 t 2 2 2 2 2 2 6 4 2 6 4 2
6 4 2 5 m 6 4 2 1 4 2 m 1 4 2 .
VD2. Giải phương trình: 2sin 2 s inx 2cos 02xx
HD. Phương trình đã cho sin 2x sin x cos x 1 0
Đặt
t sin x cosx 2 sin x
4, t 2 , sin2x = 1 - t2.
Phöông trình trôû thaønh :
2 t 0
1 t t 1 0t 1
Suy ra:
cos x 1 x k24 4 (k )3x kcos x 044
VD3. Giải phương trình 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 =0
HD. Phương trình đã cho tương đương 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0 (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
41
cos 1 (1)2sin cos 2(sin cos ) 1 0 (2)
xx x x x
(1) x = k2, k
Giải(2), đặt t = sinx – cosx (- 2 t 2 ). Phương trình (2) trở thành:
t2 – 2t – 2 = 0 1 3( )
1 3
t loai
t
Với t = 1 - 3 , giải ra ta được:
2 6arcsin 24 2
5 2 6arcsin 24 2
x k
x k
(k )
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:
2
2 6arcsin 24 2
5 2 6arcsin 24 2
x k
x k
x k
(k ).
VD4. Tìm nghiệm của phương trình 1 + cosx + cos2x = sinx + sin2x + sin3x thỏa
mãn điều kiện 32 2
x .
HD. Ta có:
32 2
x
323 6 2 02 603
2 233 22 2 3 32 2
x xx xxx
xx xx
(*)
Phương trình đã cho tương đương 2cos2x + cosx = 2sin2xcosx + 2sinxcosx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
42
osx = 0 (1)4sinxcosx + (sinx - cosx) = 1 (2)c
(1) 2x k
Với (2): Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và
21sin x cos2tx
.
(2) trở thành 2(t2 - 1)+ t = 1 2t2 + t - 3 = 0 t = 1
2 24 4 2
3 224 4
x k x k
x kx k
( k )
Với (*) ta có x = 2 .
VD5. Giải phương trình
4sin27cos2sin3sin2sin32cos8 xxxxxx .
HD. Phương trình đã cho 072sin3)sin(cos8sincos xxxxx
sin cos 0 (2)8(cos sin ) 3sin 2 7 0 (3)
x xx x x
(2) kx 4
, ( )k .
(3) : Đặt t = 2 2cos sin ; ( 2) 1 sin 2 sin 2 1 (4)x x t t x x t
(3) 32
322
0483 2
t
t
ttt , thay vào (4):
sin2x =
kx
kx
95arcsin
2
95arcsin
21
95 ( )k .
VD6. Giải phương trình 02cos2sinsin 23 xxx . HD. Phương trình đã cho
0)1cossincos)(sincos1( xxxxx
2
2
01cossincossin1cos
kx
kx
xxxxx
( )k
VD7. Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin 22 xxxxxxx . HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
43
012)cos(sin12cossin0cossin
012)cos(sin12cossincossin
xxxxxx
xxxxxx
2
4
kx
x ( )k .
VD8. Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin 2 xxxxxx . HD. Phương trình đã cho 0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin 2 xxxxxx
012sin2cossin1sin
012sin2cossin1sin0)1(sin2sin21sincos1sin1sin
xxxx
xxxxxxxxxx
VD9. Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin xxxxx . HD. Phương trình đã cho 0sincossincos1cossin 22 xxxxxx
Giải (2): Đặt t = sinx +cosx ( 2t ) ; 12sin2sin1 22 txxt (3)
(2) 01.12
12
tt 0233 tt 0)2)(1( 2 ttt
12
1
t
tt
thay vào (3) thì sin2x = 0 2kx , ( )k
6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d. Cách 1. Hạ bậc. Phương trình tương đương:
1 os2 1 os2 1 sin 2
2 2 2( ) os2 sin 2
c x c xa b c x d
b a c x c x d a b
Cách 2.
Xét cosx = 0, nếu a = d thì x = 2
k là nghiệm.
Chia 2 vế của phương trình cho cosx 0, ta có:
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
44
atan2x + b + ctanx = d(1 + tan2x) VD1. Giải phương trình 2 26sin sin x cos os 2x x c x . HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 6tan2x + tanx - 1 = 2(1 + tan2x)
2t anx 1
44 tan t anx 3 0 ( )3 3t anx arctan4 4
x kx k
x k
VD2. Giải phương trình 2 22sin 3sin x cos 5 os 1x x c x HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 2tan2x -3 tanx + 5 = 1 + tan2x
2tan 3t anx + 4 0 x : vn. VD3. Giải phương trình 6sin2x +sinxcosx - cos2x = 2. HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 6tan2x - tanx - 1 = 2(1 + tan2x)
4tan2x - tanx - 3 = 0 t anx = - 1
4 ( ).3 3tanx = arctan4 4
x kk
x k
VD4. Tìm các nghiệm thuộc đoạn [0; ] của phương trình: 2 24sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x . HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 4tan2x + 6 3 tanx - 2 = 4(1 + tan2x)
3 tanx = 1 1t anx = , ( ).63
x k k
VD5. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau luôn có nghiệm : msin2x - (2m + 1)sinxcosx + (m + 1)cos2x = 0. HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 thỏa phương trình chỉ khi m = 0 cosx 0 thì m 0, phương trình tương đương: mtan2x - (2m + 1)tanx + m + 1 = 0 Thấy ngay phương trình này luôn có nghiệm tanx = 1. VD6. Giải phương trình x x x2 23sin 2sin 2 7 cos 0 . HD. Phương trình đã cho x x x x2 23sin 4sin .cos 7cos 0 (*) + Với xcos 0 , ta thấy không thoả PT (*) + Với xcos 0 , chia 2 vế của PT (*) cho x2cos , ta được:
(*) x x23 tan 4 tan 7 0 x
x
tan 17tan3
x k
x k
47arctan3
( )k
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
45
VD7. Giải phương trình x x x2 234sin sin 2 cos 02
.
HD. Phương trình đã cho x x x x2 24sin 3sin .cos cos 0 (*) + Với xcos 0 thì (*) xsin 0 (vô lí) xcos 0 không thoả (*) + Với xcos 0 . Chia 2 vế của (*) cho x2cos , ta được:
(*) x x24 tan 3 tan 1 0 x
x
tan 11tan4
x k
x k
41arctan4
( )k
Vậy PT có nghiệm: x k x k1; arctan
4 4
VD8. Giải phương trình x x x2 25sin 4sin 2 6 cos 2 . HD.
x x x2 25sin 4sin 2 6 cos 2 x x x x2 23sin 8sin .cos 4 cos 0 (1) + Với xcos 0 , ta thấy không thoả (1) + Với xcos 0 , chia 2 vế của (*) cho x2cos , ta được:
(1) x x23 tan 8 tan 4 0 x
x
tan 22tan3
x k
x k
arctan( 2)2arctan3
( )k .
VD9. Giải phương trình 2 24sin 2sin 2 2cos 1x x x HD. Phương trình đã cho tương đương:
2 23sin 4sin cos cos 0x x x x
*) cos 02 x x m không thỏa phương trình.
**) cos 02 x x m .
Phương trình đã cho x x23tan 4 tan 1 0
tan 14 ( )1 1tan arctan3 3
x kxk
x x k
.
VD10. Giải phương trình x x x x2 2sin sin cos 4 cos 1 0 . HD. + Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho + Với cosx 0, ta có: Phương trình đã cho tương đương:
x x22 tan tan 3 0 x kx
x x k
tan 143 3tan arctan2 2
( )k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
46
VD11. Giaûi phöông trình cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 HD. + cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm kx 2
.
+ 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22 tan1
cos1
, đặt t = tanx
Ta có : kxxtttt 2arctan2tan2)1(331 22 , ( )k VD12. Giaûi phöông trình cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 HD. + cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm kx 2
.
+ 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos , ddawtj tanx = t. Ta có : kxxtttt 2arctan2tan2)1(331 22 , ( )k
HD. + Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm kx 2
.
+ Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22 tan1
cos1
, đặt t =
tanx :
Ta có kxxtttt 66
tantan33)1(44334 22
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : kx 2
; ; ( )6
x k k
VD14. Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x. HD. Phương trình đã cho 12sin32cos12sin3sincos 22 xxxxx
3
cos3
2cos212sin
232cos
21
xxx
VD15. Giaûi phöông trình 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4. HD. Phương trình đã cho
3)2cos1(232sin
25)2cos1(5 xxx
72sin52cos7 xx 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0. Xét cosx = 0, sinx = 1. Chia hai vế của phương trình cho cos3x, ta có phương trình bậc ba của tanx.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
47
VD1. Giải phương trình 3sin x 2 sin x4
(*) .
HD. Ta coù 2 sin x sin x cos x4
, phương trình đã cho:
3 3 3 312 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cos x)4 4 2 2
x4xxx2xx22
1 33 sin)cos(sinsin)cos(sin(*)
: coù ta cos cho trình phöôngcuûa veá haiChia . trình phöôngmaõn thoûa khoângcos 0x0x 3 3 2 2(tan 1) 4 tan (1 tan ) (tan 1)(3 tan 1) 0 tan 1
(k )4
x x x x x x
x k
VD2. Giải phương trình xxxx 2coscossintan . Cách 1.
+ ĐK: mx 2
.
Phương trình đã cho xxxx 32 coscossinsin (1). + cosx = 0 không thỏa (1) . + cosx 0, chia hai vế (1) cho cos3x được :
2tan (1 tan ) tan 1 tan 14
x x x x x k , ( )k
Cách 2. Phương trình đã cho xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin kxxx
41tan1tan3 , ( )k
VD3. Giải phương trình xxx cossincos3 . Cách 1. + cosx = 0 không thỏa phương trình đã cho. + cosx 0, chia hai vế phương trình đã cho cho cos3x : )tan1()tan1(tan1 2 xxx
32
tan 0tan 2 t anx 0 tan 0
tan 2 0 (vn)x
x x x kx
, ( )k
Cách 2. 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22 xxxxxxxxx
sin 0
sin (sin 2 2) 0 sin 0sin 2 2 0 (vn)
xx x x x k
x
, ( )k
VD4. Giải phương trình 0cos2cossincos2sin3 233 xxxxx . Cách 1. + cosx = 0 không thỏa. + cosx 0, chia hai vế phương trình đã cho cho cos3x được :
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
48
0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223 ttttxxx
kx
kx
x
x
t
t
33tan
0tan
3
0 ( )k
Cách 2. Phương trình đã cho 0)cos1(cos2cossinsin3 223 xxxxx 0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222 xxxxxxxx
kx
kx
x
kx
xx
x
33tan0cos3sin
0sin ( )k
VD5. Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0. Cách 1. + cosx = 0 thì sinx = 1 không thỏa phương trình. + cosx 0 : Chia hai vế cho cos4x ta có:
4 2 t anx=1
tan 4 tan 3 0tanx=3
x x
Cách 2. Phương trình đã cho 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224 xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3 222222 xxxxxx
3tan
02cos0)sincos3(2cos 22
x
xxxx
8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0. Đặt t = tanx + cotx 2tan . t anx 1 0, 2x t t , tan2x + cot2x = t2 - 2
VD. Giải phương trình (1) )cot(sin
04gxtgx5xtg2x
2 22
HD. Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 (k )2
kx x x x
2 2(1) 2(1 cot ) 2 tan 5(tan cot ) 4 0x x x x 04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2 222 )cot(])cot[()cot()cot(
22(tan cot ) 5(tan cot ) 0x x x x (1) Ñaët 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2t x x t x x x x
2 2tan cot 2x x 42xgxtg2 22 cot
2t
2t2t4t 2 .
2 5(1) 2t 5t 0 t2
hoặc t = 0 (loại)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
49
Khi 2 25 sin cos 5 12(sin cos ) 5sin cos sin 22 cos sin 2 5
x xt x x x x xx x
1 1x arcsin - k2 5
(k )1 1x arcsin - k
2 2 5
9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 Đặt t = tanx - cotx 2tan .t anx - 1 0,x t Phương trình có nghiệm với mọi t. tan2x + cot2x = t2 + 2. Phương trình đã cho tương đương: at + b(t2 + 2) + c = 0 VD. Giải phương trình 3tan2x + 4tanx - 4cotx + 3cot2x - 13 = 0. HD. Đặt t = tanx - cotx 2tan . t anx - 1 0x t . Phương trình có nghiệm với mọi t. tan2x + cot2x = t2 + 2. Phương trình đã cho tương đương: 4t + 3(t2 + 2) - 13 = 0
3t2 + 4t - 7 = 0 t = 1 hoặc t = - 73
t = 1: 2
1 5 1 5t anx arctan2 2tan t anx - 1 0 (k )
1 5 1 5t anx arctan2 2
x kx
x k
t = 73
:
2
7 85 7 85t anx arctan6 63 tan 7 t anx - 3 0 (k )
7 85 7 85t anx arctan6 6
x kx
x k
10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1. BiÕn ®æi vÒ tÝch.
VD1. Giải phương trình: 1 12 2 sin x
4 sin x cosx
.
HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x .
2 sin xsin x cos x 42 2 sin(x ) 2 2 sin x
4 sin x cos x 4 sin x cos x
sin(x ) 0 x k12 sin x 2 0 4 44 sin x cos x 2sin x cos x 1 sin 2x 1
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
50
x k4 x k ; (k )
4x k
4
thỏa điều kiện.
VD2. Giải phương trình cos4x sin x sin 7x cos2x . HD. Phương trình đã cho
cos 4x cos2x sin 7x sin x 2 cos3x cos x 2sin 4x cos3x
3x kcos3x 0 2sin 4x cos x sin 4x sin x
2
x k x k6 3 6 3
24x x k2 x k (k )2 10 5
24x x k2 x k2 6 3
VD3. Giải phương trình s inx 2 cosx cos2x 2sin x cos x 0 . HD. Phương trình đã cho
2s inx 1 2sin x 2 cos x(1 sin x) 0
s inx 1s inx 1
(1 s inx)(2sin x 2 cos x 1) 0 1sin x2(sin x cos x) 14 2 2
x 2k2
1x arcsin 2k (k )4 2 2
3 1x arcsin 2k4 2 2
.
VD4. Giải phương trình 4 6cos x sin x cos2x . HD. Phương trình đã cho
4 6 4 4 6 4cos x sin x cos x sin x sin x sin x 0
4 22
s inx 0sin x(sin x 1) 0 x k
1 sin x 0 (vn); ( )k
VD5. Giải phương trình x 3x x 3x 1cos x.cos .cos sin x.sin .s in2 2 2 2 2
.
HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
51
1 1 1cos x(cosx cos2x) sin x(cos x cos2x)2 2 2
2
2
cos x cos x cos2x sin x cos x sin x cos2x 1cos x cos2x sin x cos2x sin x sin x cos xcos2x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(cos2x sin x) 0
2 2(cos x sin x)(1 2sin x sin x) 0 (cosx sin x)(2sin x sin x 1) 0
x k4
tgx 1 x k22sin x 1 (k )
x k21sin x 62 5x k2
6
VD6. Giải phương trình 6 616(sin x cos x 1) 3sin 6x . HD. Phương trình đã cho
VD16. Giải phương trình 4 41 2(sin cos )x x . HD. Phương trình đã cho
2 4 2 4sin 2sin 2cos cosx x x x 2 2 2 2 2 2
2 2 2
sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2
os2 ( os sin ) 0 os 2 0 os2 0 ; (k )4 2
x x x x x x x x
c x c x x c x c x x k
Cách 2. 4 4 2 2 2 2 2
2 2
1 2(sin cos ) 1 2((sin os ) 2sin cos )1 2 sin 2 os 2 0.
x x x c x x xx c x
VD17. Giải phương trình 0x5x33 44 cossin 0x5xx21330x5x133 442422 cos)coscos(cos)cos(
1x22
0x3x212
0x3x4
0xx6x822
2
224
coscos
)cos(cos
coscoscoscos
cos x 0x k , 2x k2 x k , x k ;(k )1 2 3 2 6cos2x
2
VD18. Giải phương trình 3 sin x 2 cos x 2 3 tan x . HD. ĐK: cos 0x . Phương trình đã cho 3tan x cos x 2 cos x 2 3tan x cos x(3 tan x 2) 2 3 tan x . Ñaët : t tan x
22 x arctan k3 tan x 2 0 tan x (k )33cos x 1 cos x 1 x 2k
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
55
VD19. Giải phương trình 34 cos x 3 2 sin2x 8cosx HD. Phương trình đã cho
3 24 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 2 cos x(2 cos x 3 2 sin x 4) 0
2 22 cos x(2sin x 3 2 sin x 2) 0 cos x 0,sin x 2 (vn),sin x2
3x k ,x 2k ,x 2k ;2 4 4
( )k
VD20. Giải phương trình 8 8 6 62(sin x cos x) sin x cos x HD. Phương trình đã cho
8 6 6 82cos x cos x sin x 2sin x 6 2 6 2 6 6cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos 2x
6 6 6
x mcos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 4 2 x m ; (m )4 2tan x 1sin x cos x tan x 1 x k
4
VD21. Giải phương trình 8 8 10 10 5s in x cos x 2(sin x cos x) cos2x4
.
HD. Phương trình đã cho 10 8 8 8 52 cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0
4
8 2 8 2
8 8
5cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 04
5cos x cos2x sin x cos2x cos2x 04
8 88 8
cos2x 05cos2x cos x sin x 0 54 sin x cos x 1 vo â nghieäm4
kx4 2
, ( k )
VD22. Giải phương trình 32 cos x cos2x sin x 0 . HD. Phương trình đã cho
3 2 22 cos x 2 cos x 1 sin x 0 2 cos x(1 cos x) (1 sin x) 0 (1 sin x)(cos x sin x)(cos x sin x 2) 0 (1 sin x)(cos x sin x) 0
x k2sin x 1 2 (k )tan x 1 x k
4
VD23. Giải phương trình 9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8 .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
56
HD. Phương trình đã cho 29sin x 6 cos x 6sin x cosx 1 2sin x 8
22sin x 9sin x 7 6 cos x(sin x 1) 0(sin x 1)(2sin x 7) 6 cos x(sin x 1) 0
sin x 1(sin x 1)(2sin x 6 cos x 7) 0
2sin x 6 cos x 7 (vn)
x 2k ; (k )2
VD24. Giải phương trình 4cosx 2 cos2x cos4x 1 . HD. Phương trình đã cho
24 cosx 2 cos2x 1 cos 4x 4 cos x 2 cos2x 2 cos 2x 2 cos x 0
4 cos x 2 cos2x(1 cos2x) 4 cos x 4 cos2x cos xcos2x cos x 1
cos x 0 x k2
2
cos x 1cos x 1cos2x 1 2 cos x 1 1
cos2x cos x 1cos x 1 cos x 1
(vn)cos2x 1 cos2x 1
cos x 1 x 2k ; (k )
VD25. Giải phương trình 2sin x sin x sin x cos x 1 (1) HD. Ñieàu kieän :sin x 0
2 21 1(1) sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x cos x4 4
2 21 1sin x cos x sin x cos x1 1 2 2sin x cos x1 12 2 cos x sin x 1sin x cos x2 2
22 2
cos x 0cos x 0 cos x 0
sin x sin x 1 0sin x cos x sin x 1 sin x
sin x 0cos x sin x 1 cosx sin x 1 cos x 1
cos x 01 5x arcsin k21 5sin x (vì sin x 0) 2
2 x 2kx 2k
(k )
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
57
VD26. Giải phương trình 1 1 1
cos x sin 2x sin 4x .
HD. Ñieàu kieän :sin 4x 0 1 1 1 1 1 1
cos x sin 2x sin 4x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x cos2x
22sin x cos2x cos2x 1 0 2sin x cos2x 1 cos2x 2sin x cos2x 2sin x sin x 0 (loaïi)
2kx x 2kcos2x sin x cos x 6 3 2
2
VD27. Giải phương trình 2 2 2sin x cos 2x cos 3x . HD. Phương trình đã cho
2 2 2 2sin 4x sin 2x sin 2x 0 2sin 2x cos2x sin 2x 0 sin 2x(2 cos2x 1) 0
ksin 2x 0 x2 (k )1cos2x x 2k2 3
.
VD42. Giải phương trình 3sin x sin 2x sin 3x 6 cos x . HD. Phương trình đã cho
2 3 32sin x cos x 3sin x 4sin x 6 cos x
3 2 2tan x 2 tan x 3 tan x 6 0 (tan x 2)(tan x 3) 0x arctan 2 kt anx 2
(k )x kt anx 3
3
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
62
VD43. Xaùc ñònh a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông : 2 cosx cos2x 1 cos2x cos3x 24 cos x cos3x a cosx (4 a)(1 cos2x) HD. 2 22 cos x cos2x 1 cos2x cos3x cos3x cos x 2cos x cos3x cos x 2cos x
cosx 0 cos x 1/ 2 24 cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)
2 3 24 cos x (4 cos x 3cos x) acos x 2(4 a) cos x 3 24 cos x (4 2a) cos x (a 3)cosx 0 cos x(2 cos x 1)(2 cos x a 3) 0
cos x 01cos x2a 3cos x
2
Hai phöông trình töông ñöông khi chỉ khi:
a 3 12
a 1a 3 1 a 52a 3 a 30
2 a 4a 3 1
2 2
VD44. Giải phương trình 24 cos x cos3x 6 cos x 2(1 cos2x) . HD. Phương trình đã cho
2 3 24 cos x (4 cos x 3cos x) 6 cos x 4 cos x 3 24 cos x 3cos x 0 cos x(4 cos x 3) 0 cos x 0 x k
2
; (k )
VD45. Giải phương trình
3sin x 2 sin x (1)4
.
Ñaët : t x x t4 4
3 3 2(1) sin t 2 sin t sin t sin t cos t sin t(1 cot t) sin t cos t
4
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
63
cost 0 cost 0cos t(1 sin t cos t) 0
sin t cos t 1 sin 2t 2 (vn)
t k x k ; (k )2 4
Cách 2. Ta coù :
2 sin x sin x cos x
4
3 2(1) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x
2 2
(sin cos )(1 2sin cos ) 4sincos 3sin 2sin cos 2sin cos 0
x x x x xx x x x x x
2 2cos (2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (2 cos 2 ) sin (cos 2 2) 0x x x x x x x x
cos 2 2 (vn)(2 cos 2 )(cos sin ) 0 (k )
tan 1 4x
x x x x kx
Cách 3.
3
3
3
3 2 2 3
1 sin x 2 sin x (s inx cos x) 2 sin x4 2
(s inx cos x) 4 sin xsin x 3 sin x cos x 3 sin x cos x cos x 4 sin x 0 (2)
cosx = 0 s inx 1 : Không thỏa (2) Chia hai vế của phương trình cho cos3x. Ta có phương trình:
3 2 2
3 2
tan x 3 tan x 3 tan x 1 4 t anx(1 tan x) 03tan x 3 tan x tan x 1 0
t anx 1 x k ; (k ).4
VD46. Giải phương trình 6 6 13cos x sin x8
HD. Phương trình đã cho 2cos2x(2 cos 2x 13cos2x 6) 0
kcos2x 0 x4 2cos2x 6 (vn)
x k1cos2x 62
( )k .
VD47. Giải phương trình cos3x - cosx - sinx = 0. HD. cos3x - cosx - sinx = 0 2 2cos ( os 1) s inx 0 cos ( sin ) s inx 0x c x x x .
VD48. Giải phương trình cos2x + 1 + sin2x = 2 sinx + cosx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
64
HD.
2 2 2
cos2x + 1 + sin2x = 2 sinx + cosx
cos x - sin + (sinx cos ) = 2 sinx + cosx (*)x x
Điều kiện: s inx cos 0 (1)cos s inx 0 (2)
xx
(*) sinx + cosx cosx - sin + sinx cos - 2 = 0
sinx + cosx 0 (3)
cosx - sin + sinx cos - 2 0 (4)
x x
x x
(3) thỏa (1) và tương đương với tanx = - 14
x k , nhưng do (2) nên ta có
24
x k .
(4) cosx-sinx + cosx+sinx = 2 (*)
Mặt khác cosx-sinx + cosx+sinx 2cosx-sinx cosx+sinx) 4cos 4 2x
Nên (*) cosx-sinx = cosx+sinx sinx 0 thỏa (1) và (2) Suy ra x = k .
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho: 24
x k , x = k ; ( )k
VD49. Giải phương trình cos2x + 1 - sin2x = 2 sinx - cosx HD. Tương tự VD50. Chú ý 1 - sin2x = (sinx - cosx)2. VD50. Giải phương trình 2cos3x - cos2x + sinx = 0. HD. 2cos3x - cos2x + sinx = 0
3 2 2
2
2cos 2cos 1 s inx = 0 2cos (cos 1) (1 sin ) 02(1 sin )(cos 1) (1 s inx) 0
x x x x xx x
VD51. Giải phương trình 4cosx+ cos4x + 2cos2x + 1 = 0 HD. 4cosx+ cos4x + 2cos2x + 1 = 0 4cosx + 2cos2x + 1 + cos4x = 0 4cosx + 2cos2x + 2cos22x = 0 4cosx + 2cos2x(1 + cos2x) = 0 4cosx + 4cos2x.cos2x = 0 VD52. Giải phương trình 2(tanx - sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0. HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho
2sin 3cos (2sin 3cos ) 5 0cos s inx
x x x xx
2 22sin 3cos (2sin 3cos )sin x cos 5sin cos 0x x x x x x x 2 22sin 3sin cos 3cos 2sin cos (2sin 3cos )sin x cos 0
s inx(2sin 3cos ) cos (2sin 3cos ) (2sin 3cos )sin x cos 0x x x x x x x x x
x x x x x x x x
VD53. Giải phương trình cos3x + sin3x = sinx - cosx.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
65
HD.Phương trình đã cho 3 2 3 2os cos s inx(sin 1) 0 os cos s inxcos 0c x x x c x x x cosx(cos2x - sinx cosx + 1) = 0. Cách khác. Phương trình đã cho tương đương xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin
Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:
1 2 3 4 53 5 7; ; ; ;
4 4 4 4x x x x x
VD58. Giải phương trình 3cosx - sin2x = 3 cos2x + 3 sinx HD. 3cosx - sin2x = 3 cos2x + 3 sinx
3cosx - 3 sinx = sin2x + 3 cos2x
3 ( 3 cosx - sinx) = sin2x + 3 cos2x
(Loại)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
67
3 1 1 33 cos s inx sin 2 os22 2 2 2
3 cos sin 2 3 cos 2sin cos6 3 6 6 6
x x c x
x x x x x
VD59. Tìm nghiệm của phương trình 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 thuộc [ 0 ; ]. HD. Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x
sinxcosx + 1 = 0 sin2x + 2 = 0 vô nghiệm. VD78. Giải phương trình x x x3 3cos sin cos2 . HD. Phương trình đã cho x x x x3 3 2 2cos sin cos sin x x x x x x x x x x2 2(cos sin )(cos cos sin sin ) (cos sin )(cos sin ) x x x x x x(cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0 x x x x(cos sin )(1 cos )(sin 1) 0
x x
xx
sin cos 01 cos 0sin 1 0
x k
x k k
x k
42 ( )
22
VD79. Giải phương trình xx
x x
2cos 2(1 sin )sin cos(7 )
.
HD. Phương trình đã cho xx
x x
21 sin 2(1 sin )sin cos
(*)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
74
Điều kiện: x x x msin cos 04
(1)
(*) x x x(1 sin )(1 3sin 2 cos ) 0 xx x
sin 1 (2)3sin 2 cos 1 (3)
(2) x k22
(thoả (1))
(3) x x3 2 1sin cos13 13 13
x1sin13
(với 2 3sin ; cos13 13
)
x k
x k
1arcsin 213
1arcsin 213
x k
x k
1arcsin 213
1arcsin 213
(thoả (1))
Vậy PT có nghiệm: x k22
.
x k x k1 1arcsin 2 ; arcsin 213 13
(với 2 3sin ; cos13 13
)
VD80. Giải phương trình 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4x x x x HD. Phương trình đã cho tương đương
VD8. Giải phương trình 1xx2 coscos HD. Phương trình đã cho
2xx31xx321
coscos)cos(cos (1)
Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (1)
3
cos 1cos 1cos 1 2 ; (k ).
cos3 1 4cos 3cos 1xx
x x kx x x
VD9. Giải phương trình 1xx2 2 cos (1)
Vì 1x2 cos vaø 11x 2 neân (1) 2 01 1
0cos 2 1cos 2 1xx
xxx
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 0 VD10. Giải phương trình 2xx3 coscos (1) HD. Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (1)
3
cos 1cos 1cos 1 2 ; (k )
cos3 1 4cos 3cos 1xx
x x kx x x
VD11. Giải phương trình 2 2cos x 2 cos x tan x 1 0 HD. Phương trình đã cho
2 2 cos x 1
(cosx 1) tan x 0tan x 0
cos 1cos 1 2 ;(k )
sin 0x
x x kx
VD12. Giải phương trình 2 24sin x 2 3 tan x 3tan x 4 sin x 2 0 HD. Phương trình đã cho 2 24sin x 4sin x 1 3 tan x 2 3 tan x 1 0
2 2
1sin x (1)2(2sin x 1) ( 3 tan x 1) 01tan x (2)3
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
85
x k2
6(1) (k )5x k2 6
theá vaøo (2) ta coù nghieäm
2k6
x thỏa.
Vậy nghiệm của phương trình là:
2k6
x ; ( k ).
VD13. Giải phương trình 2x 2x sin x 2 cos x 2 0 HD. Phương trình đã cho
2 2 2x 2xsin x sin x cos x 2 cos x 1 0 2 2 sin sin
( sin ) (cos 1) 0cos 1 2
2 sin 2 sin 0 00
2
x x x xx x x
x x kk k
xx k
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình là: x = 0
VD14. Giải phương trình 2xcos2x 1
2
HD. Phương trình đã cho 2 2
2 x 0x x(1 cos2x) 0 2sin x 0 x 0sin x 02 2
VD15. Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm . Cho phöông trình : 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m . HD.
4 4 6 6 2
2 2 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m1 34 1 sin 2x 4 1 sin 2x sin 2x m2 4
2 24t 3t m (t sin 2x 0 t 1) . Ñaët :
2 / / 3 3 9f(t) 4t 3t f (t) 8t 3; f (t) 0 t f8 8 16
Laäp baûng biến thiên của hàm số f(t) treân ñoaïn 0;1 ta coù : f(0) 0 ; f(1) 1
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 9 m 116
.
VD16. Cho phöông trình : 2 2cos 4x cos 3x asin x a) Giaûi phöông trình treân khi a 1 b) Xaùc ñònh tham soá a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x treân khoaûng
0;12
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
86
a) 2 2 2 1 cos6x 1 cos2xcos 4x cos 3x asin x 2 cos 2x 1 a2 2
2 34 cos 2x 2 1 4 cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)
3 2 2a(t 1) 4t 4t 3t 3 (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3) Khi a 1 phöông trình trôû thaønh :
2 k(t 1) (t 1)(4t 3) t 1 cos2x 1 2x k x 2
b) 2 2 2cos 4x cos 3x asin x a(t 1) (t 1)(4t 3) (*) (t cos 2x) 3 3x 0; 0 x 0 2x cos2x 1 t 1
12 12 6 2 2
2 / 3 3(*) a 4t 3 f(t) f (t) 8t 0 vôùi t ;1 vaø f 0 ; f 1 12 2
Laäp baûng biến thiên của f(t) treân khoaûng 3 ;12
ta thaáy phöông trình coù nghieäm
khi 0 a 1 .
VD17. Giải phương trình 8 8 217sin x cos x cos 2x16
.
HD. Phương trình đã cho 4 4 2 4 4 217(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x
16
22 4 2 21 2 171 sin 2x sin 2x cos 2x (*) . Ñaët : t sin 2x 0 t 1
2 16 16
22 2 2t 1 (loaïi)t 2 17 1(*) 1 t (1 t) 2t t 1 0 sin 2x
t 1/ 22 16 16 2
21 2sin 2x 0 cos 4x 0 4x k x k2 8 4
VD18. Giải phương trình x22tgx31 sin (1) . Ñaët tgxt
3 2 22
4(1) 1 3 3 1 0 ( 1)(3 2 1) 01
1 14
tt t t t t t tt
t tgx x k
VD19. Cho phöông trình :6 6
2 2
cos x sin x 2 m tg2 xcos x sin x
a) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm.
b) Giaûi phöông trình khi 1m8
HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
87
6 6 6 6
2 2
cos x sin x cos x sin x 2m sin 2x2mtg2x (*)cos2x cos2xcos x sin x
. Ñieàu kieän : cos2x 0
6 6 2 23cos x sin x 2m sin 2x 1 sin 2x 2m sin 2x sin 2x 8m sin 2x 4 0 (1)4
2 22 /
2
t sin 2x ( 1 t 1)4 3t 3t 4(1) 3t 8mt 4 0 8m f(t) f (t) 0, t ( 1;1)
VD21. Cho phöông trình : 5 5 24 cos xsin x sin x cosx sin 4x m (1) . Bieát x laø moät nghieäm cuûa (1). Haõy giaûi phöông trình (1) trong tröôøng hôïp ñoù . HD.
4 4 2 2
2
4sin x cos x(cos x sin x) sin 4x m 2sin 2x cos2x sin 4x msin 4x sin 4x m 0 (1)
Vì x laø nghieäm cuûa phöông trình (*) neân x cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (1). Nghóa laø : sin 4x sin 4 0 vaäy töø (1) m 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
88
Vaäy phöông trình trôû thaønh :
2
kxsin 4x 0 4sin 4x sin 4x 0 (k )ksin 4x 1 x
8 4
VD22. Xaùc ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm : 6 6sin x cos x a sin 2x
HD.
6 6 2 23sin x cos x a sin 2x 1 sin 2x a sin 2x 4 3sin 2x 4a sin 2x (1)4
Ñaët : t sin 2x 0 t 1 . 2(1) 3t 4at 4 0 (2) Thấy ngay, phöông trình (2) luoân luôn coù hai nghieäm thoûa maõn ñieàu kieän
1 2t 0 t . Nhö vaäy, phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (2) coù nghieäm thoûa maõn:
22
1 2
2 2
2a 4a 12t t 1 1 4a 12 3 2a3
3a 1a24
4a 12 9 12a 4a
VD23. Giải phương trình 1 3 tan x 2sin 2x (1)
HD. Ñaët : t tan x .
2 3 22
4t (1) 1 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t 1 01 t
2(t 1)(3t 2t 1) 0 t 1 x k4
VD24. Giải phương trình tan x 2 cot 2x sin 2x (1) . HD. Ñieàu kieän : sin 2x 0 . Ñaët : t tan x
22 2 2 2
2 2
1 t 2t 1 2t(1) t 2. t 1 tan x 1 sin x cos x2t t1 t 1 t
kcos2x 0 (thoûa maõn ñieàu kieän) x ; (k )
4 2
VD25. Giải phương trình tanx + tan2x + tan3x + cotx +cot2x + cot3x = 6 HD.
Cách 1. Điều kiện 2
x k .
Phương trình đã cho tương đương 2 2
2 2
t anx(1 t anx tan ) cot (1 cot cot ) 6
1 t anx tan 0,1 cot cot 0; t anx 0,cot 0.2
x x x x
x x x x k x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
89
Theo Cauchy :
2 2 2 2 3 3
3 3
t anx cot 2 (1)tan cot 2 (2) t anx cot tan cot tan cot 6 (4)tan cot 2 (3)
xx x x x x x xx x
Phương trình đã cho tương đương dấu đẳng thức ở (4) xảy ra, khi chỉ khi các dấu
đẳng thức ở (1), (2), (3) đồng thời xảy ra t anx cot 0x ; (k ).4
x k
Cách 2. Đặt t = tanx + cotx. VD26. Giải phương trình 3 2 3 2(1 ) 2(1 )x x x x HD. Do 1 - x2 0 - 1 x 1. Đặt x = cost, 0;t Ptrình đã cho 3 3cos sin 2 sin cost t t t 3(cos sin ) 3sin cos (sin cos ) 2 sin cost t t t t t t t (1)
Đặt sint + cost = X 2 1cos , 2,sin cos
4 22X Xx X t t
.
(1) 2 2
3 1 13 22 2
X XX X 3 22 3 2 0X X X
2( 2)( 2 2 1) 0X X X 2, 2 1X X . Nhưng 2 2, 1 2X X X .
Để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;2
, điều kiện cần và đủ
là phương trình (2) có í nhất một nghiệm t [0;1] 3t2 - 2t = m + 3 có ít nhất một nghiệm t [0; 1]. Đặt f(t) = 3t2 - 2t (0 t 1) Vẽ dồ thị (C) của hàm y = f(t) (0 t 1).
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
91
f 1 13 3
Từ đồ thị suy ra, để phương trình 3t2 - 2t = m + 3 có ít nhất một nghiệm t [0; 1], điều kiện cần và đủ là
1 103 1 23 3
m m
Đề 2. Giải phương trình 4 4sin x + cos x 1 1 = cotx - 5sin2x 2 8sin2x
HD. Điều kiện: sin2x 0
Phương trình đã cho 2 21 2in cos 1 1os25 2 8x x c x
2 9os 2 5 os2 0
49os2 1( )2 2 2 ;( )1 3 6cos 22
c x c x
c x vnx k x k k
x
Đề 3. Giải phương trình 2
44
(2 - sin 2x)sin3xtan x + 1 = cos x
.
HD. Điều kiện: cos 0 sinx 1 Phương trình sin4x + cos4x = (2 - sin22x) sin3x
2 211 sin 2 2 sin 2 sin 32
x x x
2 22 sin 2 2 sin 2 .2sin 3x x x
sin3x = 12
( thoả mãn điều kiện)
3 2
653 26
x k
x k
218 3 ( )5 218 3
kxk
kx
.
Đề 4. Giải phương trình tanx + cosx - cos2x = sinx(1 + tanx.tan x2
).
HD.
y
1
y = m+3 13
23
13
x
O 1
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
92
Điều kiện:
1cos0cos
02
cos
0cos
xx
xx
Ta có: sin sin
21 tan tan 12 cos cos
2
xxxx xx
xxx
xx
xx
xxxx
cos1
2coscos
2cos
2coscos
2sinsin
2coscos
Phương trình 2 sintan cos coscos
xx x xx
cosx(1 - cosx) = 0. Do điều kiện cosx ≠ 0 nên phương trình cosx = 1
x = 2k, (k ).
Đề 5. Cho phương trình 2sinx + cosx+1sinx-2cosx+3
a (2)(a là tham số)
a) Giải phương trình (2) khi a = 13
.
b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm. HD.
a) a = 13
, ta có: 31
3cos2sin1cossin2
xxxx
Dễ thấy sinx – 2 cosx +3 > 0; x Phương trình đã cho tương đương:
1 + 2k ≠ 4 + 8n Điều này luôn đúng vì 1 + 2k là số lẻ, 4 + 8n là số chẵn, vậy điều kiện (1) thoả mãn, điều kiện (2):
sinx = sin
48 k > 0
Tập nghiệm (1) được biểu diễn bởi 8 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác, trong đó có 4 điểm thuộc nửa trên của đường tròn thoả mãn điều kiện sinx > 0, vậy tập nghiệm của phương trình là:
x = n28 , x = 3
n28 ,
Hình 23
x 0
y
O 8
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
94
x = n28
5 , x = n28
7 .
Năm 2003 Đề 1. Giải phương trình: 3 - tanx (tanx + 2 sinx) + 6cosx = 0 HD. Điều kiện: cosx 0.
Đề 3. Giải phương trình 3cos4x - 8 cos6x + 2cos2x + 3 = 0 HD. Phương trình 3(1 + cos 4x) - 2cos2 x(4cos4 x - 1) = 0 6 cos2 2x - 2cos2 x (2cos2 x + 1) (2cos2x - 1) = 0 6 cos2 2x - 2cos2 x (2cos2 x + 1) . cos2x = 0 cos2x [3cos2x - cos2 x (2cos2 x + 1)] = 0
Với điều kiện ấy phương trình tương đương với: (1 - sin2x) (cosx - 1) = 2(sinx + sosx) (1 + sinx0 (1 + sinx) [(1 - sinx)(cosx - 1)- 2(sinx + cosx)]=0
s inx 1 s inx 1(1 cos )(1 s inx) 0 cos 1x x
(thoả mãn điều kiện)
2
42
x kk Z
x k
Đề 6. Giải phương trình 2cos 4cot x t nxsin 2
x xax
HD. Điều kiện: sin2x 0 cos2x 1
Với điều kiện đó phương trình cos s inx os4s inx cos sinx.cos
x c xx x
2os2 os4 2cos 2 os2 1 0c x c x x c x
os2 1:
1os2 , ( )2 3
c x vn
c x x k k
Năm 2004 Đề 1. Giải pt: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx HD. Với cosx = 0: không thỏa mãn pt. Với cosx ≠ 0: chia hai vế cho cos3x ta được: 4tan3x + 4 = 1 + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)
23 sin 2 os2x + sin4x + 1 = 0 2 2 s inxcosx + 4sinx + 2sin 0x c x s inx( 3 os + sinx + 2) 0c x
s inx = 0
3 osx + sinx + 2 = 0c
x = k
(k )7x= 26
k
Đề 3. Giải phương trình: 2 2 2(2sin x 1) tan 2x 3(2cos x -1) = 0 HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
102
ĐK: os2x 0c . Phương trình đã cho tương đương với:
2 2 os2xtan 2 3 os2x = 0 tan 2 06 2
c x c x x k , (k )( thoả điều kiện)
Đề 4. Giải phương trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 HD. Phương trình đã cho tương với 2 2cos x - sin x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 (sinx - cosx)(cosx - sinx + 1) = 0
t anx = 1s inx - cosx = 0 41cos x + osx - sinx + 1 = 0
4 2 4 4
x k
c x k
4( )
2
x k
x k k
x k
Đề 5. Giải phương trình: 3 3 2cos x sin x 2sin x 1 HD. Phương trình tương đương (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) - cos2x = 0 (sinx + cosx)(1 - sinxcosx - cosx + sinx) = 0 (sinx + cosx)(1 - cosx)(1 + sinx) = 0
4
2
22
x k
x k
x k
(k )
Đề 6. Giải phương trình: 3 24sin x 4sin x 3sin 2x 6cosx 0 HD. Phương trình đã cho 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 4sin2x(sinx + 1)+ 6cosx(sinx + 1) = 0 (sinx + 1)(4sin2x + 6cosx) = 0
2
s inx = -1x= - 2s inx = -1 1 2osx = - (k )
222cos 3 osx - 2 = 0 x = 2osx = 2 (VN) 3
kc
x c kc
Năm 2007
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
103
Đề 1. Giải phương trình : 1 1sin 2x sin x 2cot g2x2sin x sin 2x
HD. Phương trình đã cho tương đương: cos22x cosxcos2x = 2cos2x và sin2x 0
2
cos2x 0
2 cos x cosx 1 0(vn) cos2x = 0
2x k x k ,(k )
2 4 2.
Đề 2. Giải phương trình: 22cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3cosx) HD. Phương trình đã cho tương đương: 2 cos 2x 3 sin 2x 3(sin x 3 cos x)
1 3 1 32 2 cos2x sin2x 6 sinx cosx2 2 2 2
2 2 cos 2x 6 cos x3 6
1 cos 2x 3cos x3 6
22 cos x 3cos x6 6
cos x 06
3cos x (loaïi)6 2
k3
2xk26
x , (k ).
Đề 3. Giải phương trình: 2x3cos2
42xcos
42x5sin
HD. Phương trình đã cho tương đương với:
2x3cos2
2x
42sin
42x5sin
2x3cos2
2x
43sin
42x5sin
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
104
3x 3x2 cos x sin 2 cos4 2 2 2
2x3cos2
2x3cos
4xcos2
3xcos 02
2cos x4 2
3x k2 2
3x k24 4
2x k3 3
x k2 (k )2
x k2.
Đề 4. Giải phương trình: gxcottgxxsinx2cos
xcosx2sin
.
Điều kiện: s in2x 0 HD. Phương trình đã cho tương đương:
xsinxcos
xcosxsin
xcosxsinxsinx2sinxcosx2cos
xcosxsinxcosxsin
xcosxsinxx2cos 22
cos x cos2x 22 cos x cos x 1 0
1cos x ( cosx 1 : loaïi vì sin x 0)2
2k3
x , (k ).
Đề 5. Giải phương trình: 1xcos12
xsin22
HD. Phương trình đã cho tương đương:
112
sin12
x2sin2
1sin 2x sin
12 12 2
12
cos6
sin212
sin4
sin12
x2sin
125sin
12cos
12x2sin
52x k2
12 12 k72x k2 12 12
x k
4 kx k
3
Đề 6. Giải phương trình: (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
105
HD.
Đặt: t = tanx 2t1t2x2sin
. Phương trình (1) trở thành:
2
2 t1 t 1 1 t1 t
2 21 t t 1 (t 1)(1 t )
2t 1 01 t t 1 (1 t )
t 1 t 0 .
Do đó (1) tanx = 0 hoặc tanx = –1
x = k hoặc x = 4
+ k, (k )
Cách khác Phương trình đã cho tương đương: (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx (hiển nhiên cosx = 0 không là nghiệm) cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1
tanx = -1 hoặc cos2x = 1 x = 4
+ k hoặc x = k, (k ).
Năm 2008
Đề 1. Giải phương trình: tanx – cotx = 4cos22x HD. Điều kiện: sin x. cos x 0. Phương trình đã cho :
2 2s inx osx 2 os2x4 os 2 4 os 2 0cosx sinx sin2x
c cc x c x
1os2x 2 os2x 0 os2x(1+sin4x)=0sin2x
c c c
c os 2 x =0 4 2x k
sin4x = -1 8 2
x k
So với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:
4 2
8 2
x k
x k
( k ).
Đề 2. Giải phương trình: π π 2sin 2x - = sin x - + 4 4 2
.
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
106
Phương trình đã cho sin(2 ) sin sin( )4 4 4
x x
2sin( )cos sin( )4 4
x x x
sin( )(2cos 1) 04
x x
sin( ) 04
(2cos 1) 0
x
x
4
23
x k
x k
4 (k )2
3
x k
x k
Đề 3. Giải phương trình π π 12sin x + - sin 2x - = 3 6 2
.
HD. Phương trình đã cho:
2
2
3 1 1sin 3 cos sin 2 cos 22 2 2
1 1sin 3 cos 3 sin cos (1 2sin )2 2
(sin sin ) ( 3 cos 3 sin cos ) 0
x x x x
x x x x x
x x x x x
(1 sin )(sin 3 cos ) 0
1 sin 0 (1)
sin 3 cos 0 (2)
x x x
x
x x
(1) sin 1 22
(2) sin( ) 0 , ( )3 3
x x k
x x k k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 22
x k ;3
x k , ( )k
Đề 4. Giải phương trình 2 x3sinx + cos2x + sin2x = 4sinxcos2
HD. Phương trình đã cho: 23sin 1 sin sin 2 2sin cos 1x x x x x
22sin sin 1 0x x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
107
1sin2
sin 1
x
x
26
7 26
22
x k
x k k
x k
Đề 5. Giải phương trình 4 44(sin x + cos x) + cos4x + sin2x = 0 . HD. Phương trình đã cho: 2 2 2 2 2 24(sin os ) 8sin cos 1 2sin 2 + sin2x = 0x c x x x x 24sin 2 + sin2x +5 = 0x
sin 2 1
5sin 24
[ x
x
(loại)
2 22
x k
, ( )4
x k k
Đề 6. Giải phương trình 2
2
tan t anx 2 sintan 1 2 4
x xx
.
HD. Điều kiện: cosx 0. Phương trình đã cho tương đương:
2) cos3x + sin3x = sinx - cosx §Ò110 84. Gpt: cos 2 1 sin 2 2 sin cosx x x x §Ò 111 85. 6sinx - 2cos3x = 5sin2xcosx §Ò 112 86. sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2 §Ò 113 87. Cho pt (4 - 6m)sin3x + 3(2m - 1)sinx + 2(m-2)sin2xcosx - (4m - 3)cosx = 0
1) Gpt khi m = 2
2) T×m m ®Ó pt cã ®óng mét nghiÖm thuéc [0; 4
] §ề 114
88. Cho pt: 2cosxcos2xcos3x + m = 7cos2x 1) Gi¶i pt khi m = - 7
2) X¸c ®Þnh m ®Ó pt cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm thuéc [38
;8
]
§Ò 115 89. T×m a, b ®Ó hai pt sau t¬ng ®¬ng: asin2x + 2 = 2cosx + a 2 sinx 2sin2x + cos2x + sin2x + b = 2bsinx + cosx + 1 §Ò 117
90. Gi¶i vµ biÖn luËn theo a pt: 2 2 2
2
sin 21 tan cos 2
a x ax x
§Ò 124
91. Gpt: sinx + 3 cosx = 2 cos 2 3 sin 2x x §Ò 127 92. Gi¶i vµ biÖn luËn: cosax + cos 2bx - cos(a+2b)x = 1 §Ò 129
93. Gi¶i pt: sin2x + 14
sin23x = sinxsin23x §Ò 131
94. Gi¶i pt: cos4x - cos2x + 2cos6x = 0 Đề 72
95. Gi¶i pt: 2 27 7
3sin 2 2sinlog log 2sin 2 cosx x
x xx x
Đề 125
Phần thứ ba.
KẾT LUẬN
Với một nỗ lực cá nhân, cùng với hệ thống thông tin mạng mang lại niềm đam mê, tôi đã tự thấy mãn nguyện với công việc của mình. Có thể mở rộng số lượng các Ví dụ bằng cách này hay cách khác, nhưng thời gian đã không cho phép. Trong phạm vi là một sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy, đề tài mình thực hiện có ý nghĩa thực tiễn trong mục tiêu giáo dục và đào tạo bậc học THPT. Không thể tránh khỏi những sai sót, xin được lượng thứ và xin được tỏ lòng biết ơn các ý kiến góp ý chân thành để có thể hoàn thiện hơn. Đồng Hới, tháng 5 năm 2011
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
115
TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1. Bộ đề thi TS vào các trường ĐH và Cao đẳng - NXB Giáo dục 1983 2. Đề thi vào các trường Đại học và Cao đẳng - http://Mathscope.org 3. Đề Dự bị thi vào các trường Đại học và Cao đẳng - http://Mathscope.org Mục lục 1. Phương trình lượng giác cơ bản. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. 3. Phương trình asinx + bcosx = c. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1. BiÕn ®æi vÒ tÝch 10.2. BiÕn ®æi th¼ng vÒ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n 10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi TS vào ĐH&CĐ từ 2002 đến 2010 12. Các phương trình lượng giác trong các đề chính thức thi TS vào ĐH&CĐ từ 2002 đến 2010 13. Các phương trình lượng giác trong bộ đề thi TS vào Đại học &Cao đẳng
3 7 27 35 39 43 46 47 49 49 74 81 90 107 109
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
116
ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ TOÁN.
ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HĐKH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH.