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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL (42)

ESTRUCTURA II SECCION VIRTUAL

“ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS”

Prof. Asesor: Bachiller: Ing. Lorenzo Mantilla Villarroel Orlando C.I. 21.347.424

MATURIN, MAYO DE 2014

2

INDICE

Pag.

INTRODUCCIÓN................................................................................1

DESARROLLO....................................................................................2

1) Definición de Estructuras Estáticamente Indeterminadas..................2

1.1) Estructuras Hiperestáticas Básicas...........................................3

1.2) Grado de Indeterminación Estática (GIE) o Grado de

Hiperestaticidad.....................................................................4

2) Equilibrio......................................................................................6

2.1) Definición de Equilibrio Estático.............................................6

2.2) Definición de Equilibrio Dinámico...........................................7

2.3) Ecuaciones básicas de equilibrio............................................8

2.4) Ecuaciones alternas de equilibrio...........................................9

2.5) Estabilidad y determinación externas...................................10

2.6) Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras

planas..............................................................................10

2.7) Estabilidad y determinación interna.....................................11

2.8) Armaduras.........................................................................11

2.9) Marcos y pórticos...............................................................14

2.10) Sistemas estructurales que combinan elementos tipo

cercha con elementos tipo viga en uniones articuladas.........15

2.11) Aplicación de las ecuaciones de Equilibrio............................16

3) Compatibilidad............................................................................17

4) Relación Fuerza-Desplazamiento..................................................22

3

5) Condiciones a satisfacer en la resolución de Estructuras

Estáticamente Indeterminadas.....................................................29

6) Métodos Generales de Análisis de Estructuras Estáticamente

Indeterminadas...........................................................................30

6.1) Método de flexibilidades en el cálculo de estructuras

estáticamente indeterminadas......................................................31

6.1.a) Pasos en la solución de las Estructuras

Hiperestática aplicando el método de flexibilidades.......37

6.2) Método de rigideces en la solución de Estructuras

indeterminadas.....................................................................40

CONCLUSIÓN...................................................................................45

BIBLIOGRAFIA................................................................................46

4

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

1

INTRODUCCIÓN

Una estructura es cualquier extensión de un medio material sólido, que

esta destinado a soportar alguna acción mecánica aplicada sobre él.

Las estructuras no se construyen solamente para que resistan, sean

estables, mantengan sus formas, soporten la agresión del medio, tengan un

aspecto estético; se construyen también, para que cumplan unas

determinadas finalidades o funciones (soporte, aislamiento, contención,

transmisión de esfuerzos,...) cuya consecución en el tiempo es lo que

condiciona, generalmente, su tipología y las características exigibles a su

comportamiento; como es el caso, específicamente de las Estructuras

Estáticamente Indeterminadas.

Debido a que es muy común encontrarse con este tipo de estructuras, e

el Ingeniero que se enfrenta al diseño de una estructura, debe ir más allá que

a la simple aplicación, por lo que debe conocer la morfología de la

estructura y las causas profundas de su comportamiento, que se pueden

determinar al realizar un análisis de la estructura.

El Análisis de Estructuras es, en un sentido amplio, el conjunto de

métodos y técnicas que permite evaluar, en primer lugar, la vialidad de las

estructuras que se diseñan y en segundo lugar, el grado de satisfacción de

los múltiples criterios de diseño.

Por lo antes expuesto, con la finalidad de conocer más sobre este tema

me propongo a desarrollar los diferentes ítems de este trabajo que

comprende: Definición de estructuras estáticamente indeterminadas,

Equilibrio, Compatibilidad, Relación fuerza-desplazamiento, Condiciones a

satisfacer en la resolución de estructuras estáticamente indeterminadas,

Métodos generales de análisis de estructura estáticamente indeterminada.

2

1) Definición de Estructuras Estáticamente Indeterminadas

- Son estructuras que necesitan más elementos de los necesarios para

mantenerse estable; la supresión de uno de ellos no conduce al colapso, pero

modifica sus condiciones de funcionamiento estático. Son también llamadas

estructuras hiperestáticas.

- Son aquellas estructuras en las que el número de restricciones de

apoyo o incógnitas de reacciones, es mayor al número de ecuaciones de

equilibrio estático disponibles para su análisis y solución, por tanto el valor

obtenido en la ecuación de grado de hiperestaticidad es mayor que cero.

Fig. 1.- Ejemplo de Estructuras Hiperestáticas

3

Mientras que una estructura es estáticamente determinada si el número

de ecuaciones de equilibrio estático es igual al número de incógnitas

presentes en dicha estructura, a diferencia de que en una estructura

hiperestática, el número de ecuaciones es menor que la cantidad de

incógnitas el sistema es hiperestático y se requerirá de otras ecuaciones

adicionales. Si el número de ecuaciones es mayor que la cantidad de

incógnitas el sistema es inestable y corresponderá a un mecanismo.

Fig. 2.- Estructura Isostática

Fig. 3.- Estructura Hiperestática

1.1) Estructuras Hiperestáticas Básicas

Son estructuras conformadas por un elemento de tipo barra y nodos en

sus extremos, los cuales presentan cierto grado de indeterminación debido a

la cantidad mayor de incógnitas que de ecuaciones de equilibrio. Es la

3 incógnitas (R1, R2, MA)

3 Ecs. ( Fv, FH, M)

3 incógnitas (R1, R2,R3, MA)

3 Ecs. ( Fv, FH, M)

4

estructura hiperestática más simple a partir de la cual se pueden configurar

estructuras más complejas.

1.2) Grado de Indeterminación Estática (GIE) o Grado de

Hiperestaticidad

Es número de fuerzas redundantes de la estructura, es decir, el número

de fuerzas incógnita independientes que no pueden determinarse mediante

las ecuaciones de equilibrio de la estructura, dado que el número de

incógnitas estáticas excede el número total de ecuaciones de equilibrio

disponibles.

El número de fuerzas redundantes no varía para una misma estructura,

aunque sí variará la selección que se haga de éstas de entre todas las fuerzas

incógnitas.

Llamamos:

B = número de barras

N = número de nudos

tb = número de desconexiones totales en extremo de barra

R = número de reacciones

El número total de incógnitas estáticas se obtiene sumando las

incógnitas externas (reacciones) y las incógnitas internas (esfuerzos de

extremo de barra).

Dado que una barra perteneciente a una estructura plana tiene 2

extremos (i,j) y 3 esfuerzos en cada uno de ellos (axil, cortante y flector: Fxi,

Fyi, Mi, Fxj, Fyj, Mj), el número total de incógnitas estáticas será:

5

Número total de incógnitas estáticas: 6B + R

El número total de ecuaciones de equilibrio se obtiene sumando las

ecuaciones de equilibrio en nudo y en barra, que son 3 respectivamente en el

caso de estructuras planas. A éstas hay que sumarle una ecuación por cada

desconexión total en extremo de barra, ya que aporta una condición de

esfuerzo nulo en la dirección de la desconexión.

Número total de ecuaciones de equilibrio: 3N + 3B + Dtb

El GIE se obtiene descontando del número total de incógnitas estáticas

el número de ecuaciones de equilibrio, es decir, mediante la expresión:

GIE = (6B + R) – (3N + 3B + tb) = (3B + R) – (3N + Dtb)

La aplicación de esta expresión implica una modelización previa de la

estructura, separando nudos y barras y asignando a cada extremo de éstas

sus condiciones de vínculo, así como identificando los tipos de apoyo y sus

reacciones asociadas.

Puede utilizarse una variante de esta expresión que no necesita

modelización si se distingue entre nudos libres (NL) y apoyos (A) y se añaden

las desconexiones totales en los apoyos (DtA). Entonces:

3N = 3NL + 3A y R = 3A - DtA

Al sustituir en la expresión del GIE se obtiene esta nueva expresión que

no necesita de modelización previa:

GIE = (3B + R) – (3N + tb)= (3B + 3A- DtA) – (3NL + 3A + Dtb)

GIE = (3B) – (3NL + Dtb+ DtA)

Una estructura es hiperestática cuando el GIE >0. En ese caso el

número de ecuaciones de equilibrio es menor (< ) que el número de

incógnitas estáticas.

6

Una estructura hiperestática tiene infinitas configuraciones

estáticamente admisibles. Será, por lo tanto, estáticamente indeterminada

(para obtener la configuración estática real tendríamos que considerar las

condiciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento)

Fig. 4.- Estructura Hiperestática o Estáticamente Indeterminada

GIE = (3B) – (3NL + tb + DtA)= 15 –(9+2+2)=2

2) Equilibrio

2.1) Definición de Equilibrio Estático: Decimos que un cuerpo se

encuentra en equilibrio estático cuando permanece en estado de reposo ante

la acción de unas fuerzas externas.

El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las

partes.

7

2.2) Definición de Equilibrio Dinámico: Decimos que un cuerpo se

encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con un movimiento o

vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas no de su

soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento, motores y

en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva.

El método de equilibrio es un método general de análisis de estructuras,

ya que puede aplicarse también para resolver estructuras isostáticas.

Fig. 5.- (a)Estructura Reticulada. (b) Pieza considerada aislada.

c) Superposición de cargas sobre la pieza y momentos de extremo.

8

Consideremos una estructura reticulada de plano medio como de la

Fig.5.a.- Una pieza genérica de la estructura, tal como la AB, puede

considerarse aisladamente, considerándola como biapoyada, siempre que se

añadan a las cargas que inciden directamente sobre ella los momentos en los

extremos, MAB Y MBA, que el resto de la estructura ejerce sobre ella a través

de los nudos. (ver Fig. 5.b). Es evidente que, conocidos estos momentos de

extremidad, se pueden calcular las leyes de esfuerzos sobre las piezas y el

problema estructural queda resuelto.

2.3) Ecuaciones básicas de equilibrio

Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la

primera ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y

rotación.

y

Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones

escalares, tres de traslación y tres de rotación.

, estas tres corresponden a tres

posibles formas de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del

cuerpo y corresponden a tres grados de

libertad de rotación. En total representan seis formas de moverse, seis

grados de libertad para todo cuerpo en el espacio.

Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que

representen los tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y

una rotación:

9

2.4) Ecuaciones alternas de equilibrio

En el plano se puede verificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones

de momento y una de fuerzas o por medio de 3 ecuaciones de momento:

a) Una ecuación de traslación y dos momentos:

siempre y cuando se cumpla que los

puntos a y b no coincidan ambos con el eje Y o en una línea paralela

a Y.

Si colocamos a “a” y “b” sobre Y en ninguna de las ecuaciones

estaríamos involucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con Y.

b) Tres ecuaciones de momento:

.

Para que estas ecuaciones involucren todas las fuerzas los puntos a, b y

c no pueden ser colineales.

Para aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un diagrama

de cuerpo libre de la estructura, en el cual se representen todas las fuerzas

externas aplicadas a ella.

Las reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las

cargas varían, pero para el análisis, consideraremos los apoyos rígidos e

infinitamente resistentes. Cabe aclarar que los apoyos pueden ser elásticos,

esto es, apoyos que se pueden modelar como resortes, cuyas reacciones son

proporcionales a los desplazamientos o rotaciones sufridas.

Cuando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones, una para

el cuerpo en general que corresponde al equilibrio externo, y otra para cada

una de sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta

los apoyos (estabilidad interna).

10

2.5) Estabilidad y determinación externas

La estabilidad se logra si el número de reacciones es igual al número

de ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear, siempre

y cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas.

Las ecuaciones de equilibrio independientes corresponden a las

ecuaciones de equilibrio general mas las ecuaciones de condición adicional en

las uniones de las partes de la estructura (rótulas o articulaciones internas),

por ejemplo:

-Caso de reacciones concurrentes

No restringen la rotación generada por fuerzas externas que no pasen el

punto de concurrencia de las reacciones.

_ Caso de reacciones paralelas

No restringen el movimiento perpendicular a ellas.

2.6) Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras

planas

Si # reacciones = # ecuaciones estáticas más ecuaciones de

condición; hay estabilidad.

Si # reacciones < # ecuaciones; es inestable .

Si # reacciones > # ecuaciones; es estáticamente indeterminado o

hiperestático y su grado de indeterminación estática externa se determina

por:

GI externo = # reacciones - # ecuaciones

11

2.7) Estabilidad y determinación interna

Una estructura es determinada internamente si después de conocer las

reacciones se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las

ecuaciones de equilibrio.

Una estructura es estable internamente, si una vez analizada la

estabilidad externa, ella mantiene su forma ante la aplicación de cargas.

La estabilidad y determinación interna están condicionadas al

cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la

estructura.

Para analizar las fuerzas internas se usan dos métodos:

El método de las secciones y el método de los nudos.

En el método de los nudos se aplican las ecuaciones

(armaduras planas) a cada nudo en sucesión y en el

método de las secciones se aplican las ecuaciones

a cada una de las partes de la estructura y se

obtienen las fuerzas internas en los elementos interceptados por una línea de

corte trazada adecuadamente.

2.8) Armaduras

Este tipo de estructuras está construido por uniones de articulación,

donde cada uno de sus elementos sólo trabaja a carga axial.

Por cada nudo se tienen dos ecuaciones estáticas.

Si n es el número de nudos, m es el número de miembros y r es el

número de reacciones necesarias para la estabilidad externa tenemos:

Número de ecuaciones disponibles: 2 x n

12

número de incógnitas o fuerzas a resolver = m, una fuerza por cada

elemento, note que aquí se pueden incluir las reacciones externas necesarias

para mantener el equilibrio.

Entonces si:

2.n = m + r la estructura es estáticamente determinada internamente y

m = 2.n–r representaría la ecuación que define el número de barras mínimas

para asegurar la estabilidad interna. Esta ecuación es necesaria pero no

suficiente, ya que se debe verificar también la formación de la estructura en

general, por ejemplo al hacer un corte siempre deben existir barras de tal

manera que generen fuerzas perpendiculares entre sí (caso de corte y axial)

y posibles pares de momento resistente.

Si m > 2 n – r la armadura es estáticamente indeterminada

internamente, r sólo incluye aquellas reacciones necesarias para la

estabilidad externa ya que sólo estamos analizando determinación interna.

Ejemplos:

1.

Determinación interna: m = 13 m + r = 2n n = 8 13 + 3 = 2 x 8 Cumple r = 3

13

2.

3.

4.

- Estabilidad y determinación total en armaduras

Simplemente se aplica la ecuación:

m = 2 n – r donde r en este caso se considera el número de reacciones totales consideradas.

Para el ejemplo anterior tenemos:

m = 6 n = 4 r = 4

6 > 8 – 4

GI total es 6 – 4 = 2

14

2.9) Marcos y pórticos

Para el análisis de la determinación y estabilidad internas se usa el

método de las secciones. En este caso cada elemento trabaja como elemento

tipo viga sometido a tres fuerzas internas: Corte, Axial y Momento.

Se inicia partiendo la estructura en varias partes de tal manera que en

cada corte se solucionen las fuerzas internas de cada elemento. En el caso de

15

pórticos que formen anillos cerrados los cortes deben ser tales que aíslen

esos anillos.

2.10 Sistemas estructurales que combinan elementos tipo

cercha con elementos tipo viga en uniones articuladas.

Para la determinación interna se recomienda separar la estructura en

sus partes, hacer el diagrama de cuerpo libre de cada una y contar incógnitas

y ecuaciones disponibles.

Cada parte de la estructura debe estar en equilibrio.

La determinación y estabilidad externa se encuentran por los métodos

usados para las otras estructuras.

16

En el análisis externo tenemos:

3 reacciones, 3 ecuaciones estáticas; entonces es estáticamente

determinado y estable. Note que la estructura no necesita de sus reacciones

para mantener su forma por lo tanto no se cuentan ecuaciones de condición.

Internamente, partiendo en las uniones:

Número de incógnitas: 6. Número de ecuaciones: 9-3 de la estática

externa=6.

Estable y estáticamente determinado internamente.

Si una de las barras está sometida solamente a las fuerzas de sus

uniones, ésta barra trabaja como cercha y se eliminan dos incógnitas, pero

también sus ecuaciones de equilibrio se reducen a una sola en vez de tres.

2.11) Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

Determinación de reacciones por proporciones:

Para determinar las reacciones en vigas sometidas a cargas puntuales

podemos aplicar la siguiente regla:

Siempre la reacción de un lado será igual a la carga puntual multiplicada

por la distancia de la carga al apoyo contrario dividido la longitud del

elemento.

Para determinar las reacciones debidas a momentos siempre aplicamos

que el momento externo debe ser compensado por un par de fuerzas en los

apoyos, cuya magnitud es el momento externo dividido por la separación

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entre las fuerzas y su dirección es tal que produzca un momento contrario al

aplicado externamente. Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de

sumatoria de fuerzas verticales igual a cero.

Estas dos reglas junto con el principio de superposición nos ayudarán

bastante en la determinación de las reacciones en vigas simplemente

apoyadas.

3) Compatibilidad

El método de compatibilidad toma las fuerzas como incógnitas del

problema. Las ecuaciones de equilibrio se escriben en función del las fuerzas

aplicadas y de las reacciones. En una estructura hiperestática, el número de

reacciones o fuerzas internas desconocidas excede el número de ecuaciones

independientes de equilibrio en un número que, como hemos visto, se llama

grado de hiperestatismo. Se selecciona un conjunto de fuerzas incógnita

redundantes (reacciones o internas), se liberan las condiciones de apoyo o de

enlaces correspondientes y se suponen las fuerzas redundantes actuando

sobre la estructura como si esta fuese isostática (Estructura Isostática Base).

Se escribe entonces una ecuación de compatibilidad por cada punto donde se

ha liberado un apoyo o enlace; esta ecuación debe imponer que los

movimientos de la estructura “liberada” sean idénticos a los de la estructura

original. Estas ecuaciones se expresan en función de las incógnitas

hiperestáticas, por lo que se obtiene un sistema de ecuaciones lineales

simultáneas cuya resolución permite determinar aquellas.

18

Fig. 6: Ejemplo de estructura hiperestática

La Estructura de la Fig. 6 está formada por tres muelles lineales de

idéntica rigidez K que soportan una placa rígida. Se pretende determinar la

fuerza que soporta cada muelle si sobre la placa actúa una fuerza P

excéntrica como la dibujada.

Llamemos F1, F2 y F3, a las fuerzas que soportan cada uno de los

muelles. Las dos ecuaciones de equilibrio estático aplicables son:

1.(a) 1.(b)

En este problema se tienen tres incógnitas y solo dos ecuaciones o sea,

que el problema es una vez hiperestático. Se elige como fuerza redundante

F2. En función de ésta, las funciones de equilibrio se pueden reescribir como:

2.(a) 2.(b)

19

La Ecuación adicional necesaria para resolver el problema se obtiene

tomando en cuenta los movimientos de la estructura. Así, el desplazamiento

vertical del punto B en la placa rígida debe ser igual al alargamiento del

muelle 2.

Los dos problemas estáticamente determinados que se deben resolver

se muestran en la Fig. 7

Fig. 7 Planteamiento del método de compatibilidad

Para el primer problema, indicado en la Fig. 7 (a), despejamos de las

ecuaciones de equilibrio F1 y F3 en función de la redundante F2 y se obtiene:

3.(a) 3.(b)

20

Usando las relaciones fuerza-desplazamiento en los muelles 1 y 3 es

posible calcular sus alargamientos y, por consiguiente, los desplazamientos

verticales de los puntos A y C como:

4.(a) 4.(b)

Como la placa horizontal es rígida es posible expresar el desplazamiento

del punto B en función de los desplazamientos A y en C, como se muestra en

la figura 7(c). El desplazamiento en B es claramente el valor medio de los

desplazamientos en A y en C. Esto es:

5.(a)

El segundo problema estáticamente determinado se muestra en la Fig.

7(b). Si la estructura debe quedar bien ajustada al recombinar los dos

problemas estáticamente determinado, el desplazamiento en B en el primer

problema debe ser igual al alargamiento del elemento central en el segundo

problema.

6.(a)

21

Igualando las expresiones obtenida para B en los dos problemas (5.a y

6.a), se tienen:

7.(a)

De donde se obtienen el valor de la incógnita hiperestática F2 = P/3. F1

y F3. Se puede entonces determinar con las ecuaciones (3.a y 3.b) como:

8.(a) 8.(b)

Estas fuerzas verifican las ecuaciones de equilibrio originales. El

alargamiento de cada elemento se puede determinar muy fácilmente con la

fórmula:

9.(a)

Obsérvese que la elección de la fuerza F2 como redundante es

arbitraria. El problema puede resolverse de forma análoga tomando

cualquiera de las otras dos fuerzas como incógnita hiperestática. Nótese

22

también que se ha resuelto el problema mediante la imposición de una sola

ecuación de incompatibilidad, ya que el problema es una vez hiperestático.

4) Relación Fuerza-Desplazamiento

Un papel muy importante en el análisis estructural lo juega la relación

entre las fuerzas y los desplazamientos.

Consideremos un resorte linealmente elástico Fig. 8, sometido a la

acción de una fuerza (A), en este caso de compresión.

Fig. 8.

Como puede observarse bajo la acción (A) el resorte sufre un

desplazamiento (D) y la relación entre (A) y (D) viene expresada por la

ecuación de desplazamiento (3.1) de la siguiente manera:

D= F.A............................................................................(1.0)

Donde:

D= Desplazamiento

A= Acción

F= Flexibilidad del resorte

Según la expresión (3.1) la flexibilidad del resorte (F) se define como el

desplazamiento producido por un valor unitario de la acción (A)

La relación entre a y d también se puede expresar POR:

A = K. D..............................................................................(1.1)

23

Siendo: K = Rigidez del resorte

La rigidez del resorte es la acción necesaria para producir un

desplazamiento unitario.

Si comparamos las ecuaciones (1.0) y (1.1) se puede observar que la

relación existente entre (F) y (K) es inversa, es decir:

En una estructura linealmente elástica sujeta a una sola acción se

pueden aplicar las relaciones (1.0), (1.1), (1.2) de la siguiente manera:

Supongamos una viga simplemente apoyada, Fig. 9.a sometida a acción

de una sola fuerza (A)

El desplazamiento D mostrado en la figura consiste en una traslación

vertical hacia debajo de la viga en el punto donde actúa la fuerza (A) sobre la

viga.

Fig. 9.

y .............................(1.2)

(a)

(b)

(c)

24

En este caso, el desplazamiento D es causado por la fuerza A y a la vez

se encuentra ubicado en el punto donde actúa dicha fuerza. Fig. 9.a

La flexibilidad (f) es el desplazamiento producido por un valor unitario

de carga Fig. 9.b.

La rigidez (K) es la carga que produce un valor unitario del

desplazamiento Fig 9.c.

En el caso particular de la Fig. 9. , el valor de la flexibilidad (F) será:

Siendo:

L = longitud de la viga

EI = Rigidez a la flexión y el valor de la rigidez (K), sera:

Es conveniente observar que la flexibilidad (F) tiene y unidades de

longitud entre unidades de fuerza y la rigidez (K) tiene unidades de fuerza

entre unidades de longitud.

Consideremos el caso de la Fig. 10.a., a donde la viga continua está

sometida a la acción de un par A1 y dos fuerzas verticales A2 y A3.

(a)

(b)

25

FIG. 10.

La Fig. 10.b representa la elástica producida por las cargas que actúan

sobre la viga. Los desplazamientos D1, D2; D3 se consideran positivos por

tener los mismos sentidos de sus acciones correspondientes.

Utilizando el principio de superposición de efectos, cada uno de los

desplazamientos de la Fig. 10.b puede expresarse como la suma de los

desplazamientos producidos por las cargas A1, A2, A3 actuando por separado.

Por ejemplo:

D1 = D11, D12, D13

Siendo D11 el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A1

D12 es el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A2 y D13 es

el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A3.

De la misma manera:

D2 = D21+D22+D23

D3 = D31+D32+D33

Como se puede observar el primer subíndice corresponde al punto

donde se efectúa el desplazamiento y el segundo subíndice corresponde a la

carga bajo la cual se efectúa el desplazamiento.

(c)

(d) (d)

(e)

26

Por ejemplo: D21 es el desplazamiento producido en el punto (2) y

causado por la carga A1, siendo el punto (2) correspondiente al punto de

aplicación de A2.

Cada uno de los desplazamientos:

D11; D12; D13

D21;D22;D23

D31;D32;D33

Son desplazamientos causados por una de las cargas, así por ejemplo

D23 es un desplazamiento causado por A3 solamente y es igual a A3

multiplicado por cierto coeficiente (F) en este caso F23.

Al expresar los desplazamientos en términos de carga:

D1 = F11A1+F12A2+F13A3

D2 = F21A1+F22A2+F23A3 ……………………………………….(1.3)

D3 = F31A1+F32A2+F33A3

La expresión F11A1 representa al desplazamiento D11.

Los coeficientes F21A1 representan al desplazamiento D21 y así

sucesivamente.

Los coeficientes que multiplican a las acciones reciben el nombre de

coeficiente de flexibilidades, así por ejemplo: F11 es un coeficiente de

flexibilidad que representa el desplazamiento correspondiente a la acción A1 y

causado por un valor unitario de A1.

Al considerar el caso inverso, es decir, en lugar de expresar los

desplazamientos en función de las acciones se expresan las acciones en

función de los desplazamientos.

Tomemos la misma viga de la Fig. 10. sometida a la acción de A1, A2 y

A3. Fig. 11.

27

Fig.11

Sobre la viga continua de la Fig. 11.a actúan un par de momento A1, la

carga vertical A2 y la Carga Vertical A3. Dichas acciones se toman positivas en

las direcciones y sentidos mostrados en la Fig.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

28

La elástica producida bajo la acción de las cargas que actúan sobre la

viga está representada en la Fig. 11.b donde los desplazamientos A1, A2 y A3.

La Fig. 11.c.-, representa la viga con un desplazamiento unitario (en

este caso rotación) correspondiente A1 y los desplazamientos

correspondientes A2 y A3 son nulos. Para obtener estos desplazamientos en la

viga se requiere de restricciones artificiales adecuadas. Estas restricciones

están representadas en la Fig. 11.c.- por las restricción de rotación en A1

después de hacer rotar la viga una cantidad igual a la unidad en A1 y los

apoyos artificiales colocados en A2 y A3.

Las acciones de restricción desarrolladas por estos apoyos artificiales

son de coeficiente de rigidez (K)

Por ejemplo, K11 es la acción correspondiente a A1 y causada por una

rotación unitaria en A1 en tanto que los desplazamientos correspondientes a

A2 y A3 se mantienen nulos.

Cada coeficiente de rigidez es una reacción para la estructura fija y

tiene la misma dirección y sentido de la acción correspondiente.

Si el sentido real de una de las rigideces es opuesto al asumido, el

coeficiente tendrá un valor negativo una vez calculado

En lugar de expresar los desplazamientos en términos de las acciones

como se hizo en la ecuación 10, se pueden escribir las ecuaciones de acción

en función de los desplazamientos, por ejemplo:

A1 = K11D1 + K12D2+K13D3

A2 = K21D1 + K22D2+K23D3

A3 = K31D1 + K32D2+K33D3

Donde K11; K21; K31.......y etc. son los coeficientes de rigidez.

El coeficiente de rigidez representa una acción debida a un

desplazamiento unitario.

29

5) Condiciones a satisfacer en la resolución de Estructuras

Estáticamente Indeterminadas

Las condiciones que, en principio, debe satisfacer todo análisis

estructural son las de equilibrio y las de compatibilidad teniendo en cuenta el

comportamiento tenso-deformacional de los materiales. Generalmente, las

condiciones de compatibilidad o las relaciones tenso-deformacionales de los

materiales resultan difíciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden

adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente,

siempre que sean equilibradas y que se satisfagan a posteriori las condiciones

de ductilidad apropiadas.

Las estructuras deben satisfacer cuatro criterios básicos:

Funcionalidad: toda estructura debe servir para aquello para lo

que ha sido concebida.

Seguridad: toda estructura debe soportar las cargas a las que

se ve sometida durante su vida útil.

Economía: toda estructura debe construirse aprovechando los

recursos materiales disponibles.

Estética: toda estructura debe tener una apariencia exterior

adecuada.

30

6) Métodos Generales de Análisis de Estructuras

Estáticamente indeterminadas

Existen dos métodos generales para a analizar las estructuras

indeterminadas:

Si se analiza la estructura desde el punto de vista de la estática,

aplicaremos el método de flexibilidades y si analizamos la estructura desde el

punto de vista de la cinemática, aplicaremos el método de las rigideces.

En el método de flexibilidades, las incógnitas son las fuerzas

redundantes cuya presencia indica el grado de hiperestaticidad de la

estructura.

El sistema de ecuaciones a resolver está constituido por las ecuaciones

de compatibilidad de los desplazamientos. Debe introducirse la compatibilidad

en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas puesto que las

ecuaciones de equilibrio solas, no son suficientes para resolver el problema.

En el método de rigideces las incógnitas son los desplazamientos de las

juntas que son tantos como gados de indeterminación cinemática tenga la

estructura. El sistema de ecuaciones está constituido por las ecuaciones de

equilibrio.

Estos métodos son aplicables a toda clase de estructura y la formulación

de los dos métodos se hace mediante álgebra matricial lo cual permite

plantear el problema de una forma ideal para programación en una

computadora digital.

Debe también comprenderse que los métodos de flexibilidades y de

rigideces pueden organizarse hasta formar un procedimiento altamente

sistematizado para el análisis de una estructura. Los métodos pueden

31

aplicarse a estructuras de cualquier grado de dificultad una vez comprendidos

los conceptos básicos del procedimiento.

6.1) Método de flexibilidades en el cálculo de estructuras

estáticamente indeterminadas

Este método se basa en la indeterminación estática de la estructura. Las

incógnitas son las redundantes estáticas, siendo el grado de hiperestaticidad

de la estructura equivalente al número de redundantes estáticas. El método

de flexibilidades puede utilizarse para analizar cualquier estructura

estáticamente indeterminada.

Se asume que el material de la estructura es linealmente elástico, los

desplazamientos deben ser pequeños comparados con las dimensiones

geométricas de los miembros y que es válido el principio de superposición de

los efectos.

Los cambios de temperatura y los desplazamientos de los apoyos

producen esfuerzos en las estructuras hiperestáticas que deben ser tomadas

en cuenta.

Para explicar el método se considera el caso de la viga empotrada

apoyada (AB) sometida a la acción de una carga uniforme (w), Fig. 12.a.

Fig. 12.a

32

La viga de la Fig. (12.a), es estáticamente indeterminada de primer

grado. Se observa que está sometida a la acción de una carga

uniformemente repartida (w), por lo tanto disponemos de dos ecuaciones de

la estática y la viga tiene tres componentes de reacción: el momento, la

reacción vertical en el empotramiento (A) y la reacción vertical en el rodillo

(B). El momento en el apoyo A(MA) se tomará como la redundante estática

aunque existen otras posibilidades.

Fig. 12.b

La Fig. (12.b), representa la viga simplemente apoyada sometida a la

acción de la carga uniformemente distribuida (w) y el momento en el apoyo

A(MA).

Aplicando el principio de la superposición de efectos se somete la viga

primero a la acción de la carga uniformemente repartida (w), (Fig.12.c) y

luego a la acción de la redundante (MA), Fig. (12.d).

Fig. 12.c

Fig. 12.d

Fig. 12.e

33

La rotación en A bajo la acción de la carga uniformemente repartida (w)

está dado por la expresión:

La viga real, se supone que no tienen rotaciones en el apoyo (A) ya que

el empotramiento se lo impide, esto hace que en el apoyo (A) bajo la

condición del momento (MA) debe haber una rotación igual en módulo

pero de sentido contrario, que hace anular la rotación total y cuya expresión

será:

Igualando las dos expresiones obtenemos:

Expresa la condición de rotación en el apoyo (A) siendo ésta nula en el

empotramiento.

Una ecuación de este tipo se llama ecuación de compatibilidad por

cuanto expresa una condición relacionada con los desplazamientos de la

estructura. También se puede llamar ecuación de superposición de

efectos.

de donde

La ecuación

34

Si el número de redundantes estáticas es mayor que la unidad, el

procedimiento utilizado en el ejemplo anterior debe organizarse introduciendo

una rotación más generalizada.

Si se considera el caso de una viga donde se tiene dos redundantes

estáticas . Fig. 13.a.

Estas redundantes pueden ser escogidas de diferentes formas. Las Figs.

(13.b), (13.c), (13.d) y (13.e) , muestran cuatro posibilidades para la

escogencia de las redundantes estáticas con su correspondiente estructura

libre.

Fig.13.-

Se tomaron como redundantes el momento en C y la reacción vertical

en B.

En la Fig. 13.c de tomaron como redundantes el momento en C y el

momento flexionante interno en B, por consiguiente la estructura libre no

(13.a)

(13.b)

(13.c)

(13.d)

(13.e)

35

tiene restricción rotacional en C como tampoco la restricción de flexión en B,

por cuanto se introdujo en el punto B una articulación lisa.

La estructura libre mostrada en la Fig. (13.d) se obtiene tomando como

redundante estática la reacción vertical en B y el momento en B.

La estructura libre mostrada en la Fig. (13.e) se obtiene tomando como

redundantes la reacción vertical en A y B.

Para analizar la viga de la Fig. (13.a) tomaremos como acciones

redundantes las reacciones verticales en los apoyos A y B las cuales se

denominan R1 y R2.

Estas cargas (R1 y R2) producen los desplazamientos en la estructura

libre que llamamos D1 y D2.

Las direcciones positivas de los desplazamientos deben ser siempre las

mismas que las direcciones positivas de las redundantes a las cuales

corresponden los desplazamientos. Como se asume que las redundantes

serán positivas cuando están dirigidas hacia arriba, los desplazamientos

también serán positivos hacia arriba.

Fig.14.-

(a)

(b)

(c)

(d)

36

Los coeficientes de flexibilidad se obtienen aplicando valores unitarios a

los redundantes R1 y R2 en la estructura libre.

Para la condición R1= 1 (Fig. 14.c), el coeficiente de flexibilidad F11 es

el desplazamiento correspondiente R1 y debido a un valor unitario de R1 y el

coeficiente F21 es el desplazamiento correspondiente a R2 y debido a un valor

unitario de R1

Para la condición R2= 1 (Fig. 14.c), el coeficiente de flexibilidad F12 es

el desplazamiento correspondiente R1 y debido a un valor unitario de R2 y el

coeficiente F22 es el desplazamiento correspondiente a R2 y debido a un valor

unitario de R2.

Como los desplazamientos en los apoyos A y B son nulos en la realidad

se pueden escribir las ecuaciones de compatibilidad que serán dos, una para

el apoyo A y otra para el apoyo B:

D1+F11.R1+F12.R1=0……………………………………………………..(1.4)

D2+F21.R1+F22.R2=0

La primera de estas ecuaciones indica el desplazamiento total en A

compuesto de tres partes:

1. El desplazamiento debido a las cargas reales D

2. El desplazamiento debido a R1 : (F11.R1)

3. El desplazamiento producido por R2: (F12.R2)

37

6.1.a) Pasos en la solución de las Estructuras Hiperestáticas

aplicando el método de flexibilidades

1) Escoger una estructura isostática y estable.

2) En base a la estructura isostática, las redundantes serán las incógnitas

seleccionadas (Estructura Primaria)

3) Resolver la condición cero o sea, para la estructura isostática hallar los

desplazamientos en la dirección de los redundantes con las cargas

dadas, obteniéndose de esta manera la matriz D

4) Resolver las condiciones unitarias, es decir para la estructura isostática

con una carga R1=1 hallar los desplazamientos en la dirección de las

redundantes. Estos desplazamientos serán los coeficientes de

flexibilidad F .

5) Repetir el procedimiento para las (n) redundantes.

6) Plantear la ecuación de compatibilidad de las deformaciones en la

misma localización y dirección de las redundantes.

Siendo:

D = matriz de los desplazamientos

F = matriz de flexibilidades

R = matriz de las redundantes

D + F R = 0…………………………………………………(1.5 )

Ecuación que se utiliza cuando existen desplazamientos en algún punto

de la estructura real son nulos.

D + F R = DR ............................................(1.6)

Ecuación que se utiliza cuando existen desplazamientos en algún punto

de la estructura real.

38

7) Conocidas las redundantes (R1, R2, ......Rn) se pueden conocer los

desplazamiento o las fuerzas en cualquier punto aplicando la siguiente

fórmula:

A = A0 + Au R ............................................(1.7)

Siendo:

A = matriz de acciones correspondiente al sistema real.

A0 = matriz de acciones correspondiente al sistema en la condición

cero.

Au = matriz de acción correspondiente a la condición unitaria

Siendo: n = numero de redundantes

P = numero de casos de carga

Para “n” redundantes y un caso de carga.

R nx1 = - F -1 nx1 D nx1

Para “n” redundantes y “p” casos de carga:

R nx1 = - F -1 nx1 D nx1

Cuando se tienen además de las cargas externas los efectos de

temperatura, errores de fabricación y asentamientos de los apoyos, las

ecuaciones de compatibilidad se amplían.

Dp = Matriz de desplazamientos inducidos por las cargas externas en

la condición cero y en la dirección de las redundantes.i

Dr = Matriz de desplazamientos inducidos por cambio diferencial de

temperatura en la estructura isostática (Flexión por temperatura).

DE = Matriz de desplazamiento en el sentido de las redundantes

inducidos por errores de fabricación en la estructura isostática.

39

DQ = Matriz de desplazamientos calculada en la dirección de las

redundantes inducidos por movimiento de apoyos que no coinciden en las

redundantes (R)

DR = Matriz de desplazamientos en los apoyos y en el sentido de las

redundancias.

D = Dp + DT + DE +DQ

D nxp= F nxp R nxp DR nxp

R nxp= F -1nxp DR -D nxp

6.1.a.1) Cálculo de cerchas estáticamente indeterminadas por

el método de flexibilidades

La indeterminación de una cercha puede ser a consecuencia de apoyos

sobrantes o barra sobrantes o ambas cosas a la vez.

Las cerchas son estructuras cerradas y la indeterminación estática

comprende tanto la externa como la interna.

Esta consideración hace que las redundantes estáticas pueden ser

externas o internas o ambas a la vez, buscando siempre que la cercha en

condición isostática o cero sea estable.

Si hay apoyos sobrantes las reacciones externas sobrantes serán

tomadas como redundantes internas. Fig. 15

Siempre que se tome como redundante la fuerza axial en una barra de

la cercha, ésta debe ser cortada en una sección y reemplazada por dos

fuerzas axiales, iguales y opuestas.

40

La ecuación de condición impone que el desplazamiento relativo entre

los dos lados de la sección cortada, en la condición cero y en la condición

unitaria, debe ser nula.

Fig. 15

6.2) Método de rigideces en la solución de estructuras

indeterminadas

Tanto el método de flexibilidades como el método de rigideces

representan dos enfoques diferentes en el análisis de las estructuras.

La diferencia fundamental radica en que el método de flexibilidades

toma como incógnitas a las redundantes estáticas, mientras que el método

de las rigideces toma como incógnitas a a las redundantes cinemáticas.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Definición de las incógnitas, redundantes cinemáticas obteniendo de

esta manera la estructura primaria.

2. Condición cero

41

Restringir la estructura contra cualquier posibilidad de movimiento

dando lugar a una estructura cinemáticamente determinada, la cual se

resuelve aplicando los valores de una tabla obteniéndose de ésta

manera la matriz de fuerzas o momentos R .

3. Condiciones unitarias

Resolver las condiciones unitarias dando valores unitarios a los

desplazamientos para cada una de las redundantes y en la dirección de

las redundantes.

Las fuerzas y momentos inducidos para cada caso serán los coeficientes

de rigidez K .

4. Repetir el procedimiento para (n) redundantes.

5. Plantear la ecuación de equilibrio estático en la misma localización

y dirección de las redundantes:

D = - K -1 R

6. Conocida la matriz D pueden obtenerse por superposición las

acciones A de fuerzas o momentos en cualquier sección de una

estructura.

A = A0 + Au D

Siendo

A = Matriz de acciones en el sistema real

A0 = Matriz de acciones para la condición cero

Au = Matriz de acciones para la condición unitaria

D = Matriz de desplazamientos inducidos por las cargas reales

externas (redundante cinemática)

K = Matriz de raices o matriz correpondiente a fuerzas o

momentos en la condición unitaria y en la misma dirección y localización de

las redundantes.

42

R = Matriz correspondientes a fuerzas o momentos en la

condición cero y en la misma dirección y localización de las redundantes.

En el caso de que las acciones externas, en la misma localización y

dirección de las redundantes sean nulas, las ecuaciones de equilibrio para (n)

redundantes y (p) casos de carga son las siguientes:

R nxp + K nxn D nxp = 0 de donde:

D nxp = - K nxn R nxp

En el caso de las existencias de acciones externas en la misma

localización y dirección de las redundantes RD nxp tenemos:

R nxp + K nxn D nxp = RD nxp

D nxp = + K -1nxn RD - R nxp

Para un caso de carga, es decir, cuando p= 1 tenemos:

D nx1 = - K -1nxn R nx1 y la

D nx1 = - K -1nxn RD - R nx1

Consideremos el caso de una viga empotrada en (A) y apoyada en (B)

de longitud (L) y sometida a la acción de una carga uniformemente

distribuida (w) . Fig 16.a

La viga es cinemáticamente indeterminada de 1er. Grado, si se

desprecia la deformación axial, por cuanto el único desplazamiento posible

será el de la rotación en el apoyo B. Fig .16.b.-

43

Fig. 16.-

La Fig. 16.c.- representa una estructura cinemáticamente determinada

donde los desplazamientos son nulos. Si sobre esa viga actúa una carga

uniformemente distribuida, existe un par de momentos Mb desarrollado en el

apoyo B cuyo valor es el siguiente:

El valor del momento Mb fue tomado de la tabla (3.3) ver anexo.

Las condiciones unitarias para este caso están representadas en la Fig.

16.d, donde al darle un desplazamiento unitario a la rotación en el apoyo B,

obtenemos un valor de momento llamado coeficiente de rigidez

44

Fig.16.d.-

K con un valor de

Siendo: I = momento de inercia

E= módulo de elasticidad

Siendo el momento flector en el apoyo B nulo, la ecuación de equilibrio

estático en el mismo apoyo B será:

Si se desea calcular el resto de las incógnitas como: MA, RVA y RVB

Se aplica la formula de acciones:

A = A0 + Au D

45

CONCLUSIÓN

Estos modelos de análisis, permiten dar un gran paso en el proceso de

análisis de las estructuras, específicamente en las Estructuras Estáticamente

Indeterminadas, a las cuales enfrentaremos como futuros profesionales de la

Ingeniería Civil, obteniendo experiencia y conocimientos cada día en la

práctica del diseño y una plena comprensión del comportamiento de las

estructuras, bien sean, éstas de un simple entramado plano hasta una

estructura tridimensional de formas complejas, por lo que se debe conocer

las técnicas analíticas asociadas a los necesarios cálculos.

Además, estas técnicas habrán de ser utilizadas en el contexto de las

normativas cuya aplicación garantizará la estandarización de los métodos, el

cálculo matemático y el control de los resultados. Este conocimiento

simultaneo de los métodos y técnicas aunado a la normativa que los rige,

debe ser considerado un requisito fundamental para abordar el estudio

correspondiente a la etapa de diseño.

Por lo que es de gran relevancia la capacitación como estudiantes de

ingeniería civil en el uso y comprensión de los modelos matemáticos que

permiten resolver el cálculo estructural y determinar las solicitaciones, debido

a que como futuros Ingenieros Civiles nuestra tarea fundamental es la

concepción y ejecución de obras cuyo objeto son las de servir a la sociedad

de infraestructuras, que le permita resolver los problemas de vivienda, salud,

educación, cultura, deporte y vialidad y todas estas obras requieren de un

esqueleto que les sirva de soporte, conocido con el nombre de Estructura.

46

BIBLIOGRAFÍA

Cervera.R., M y Blanco.D,E. (2004). Mecánica de estructuras. Libro 2.Métodos de análisis. 2da. Edición Reimprimida. Edicions UPC.Barcelona-España.

http://www.uclm.es/area/ing_rural/Trans_const/MetodosAnalisis.pdf

Navarro.U.,C y Castellanos.P., J. (2009).Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. Ingeniería Estructural (2009).1ra. Edición. Universidad Carlos III de Madrid. España. Scheuren de G.,Ana (2.011).Estructuras.3ra.Edición. Universidad de los Andes. Mérida-Venezuela.