Observación General: la mayoría de las integrales que no requieran ningún análisis con respecto al Cálculo Vectorial se resolverán usando un sistema algebraico por computadora o tablas de integrales y sólo aparecerá su resultado. Ejercicio 13.2.12. Evalúe la integral de línea, donde C es la curva dada. + + := ,= ,= ,0≤≤1 Solución. Se expresa todo en términos de t = ,= ,= , = 2, = 3 , = 2 ( )(2 ) + ( )(3 ) + ( )(2 ) = (2 + 3 + 2 ) = (2 + 5 ) = 1 2 + = 1 2 +1= 3 2 Ejercicio 13.3.5. Determine si F es un campo vectorial conservativo. De ser así, halle una función f tal que F = ∇. ! (, ) = " # $!+ " % &! Solución. Sean ’(, ) = " # y ((, ) = " % . Si )* )+ = ), )- , entonces, F es conservativo. .’ . = " # ≠ " % = .( . Entonces F no es conservativo. Ejercicio 13.3.19. Determine si la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalúe la integral. tan + 3"4 C es cualquier trayectoria de (1, 0) a (2, 5/4). Solución.
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Observación General: la mayoría de las integrales que no requieran ningún análisis con respecto al Cálculo Vectorial se resolverán usando un sistema algebraico por computadora o tablas de integrales y sólo aparecerá su resultado.
Ejercicio 13.2.12. Evalúe la integral de línea, donde C es la curva dada.
Ejercicio 13.3.5. Determine si F es un campo vectorial conservativo. De ser así, halle una función f tal que F = ∇�.
!(�, �) = �"#$!+ �"%&! Solución.
Sean '(�, �) = �"# y ((�, �) = �"% . Si )*)+ =
),)-, entonces, F es conservativo.
.'
.� = �"# ≠ �"% = .(.�
Entonces F no es conservativo.
Ejercicio 13.3.19. Determine si la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.
� tan ��
�� + �3"4 ���
C es cualquier trayectoria de (1, 0) a (2, 5/4).
Solución.
Sea !(�, �) = tan �$!+ �3"4 �&! Sean '(�, �) = tan � y ((�, �) = �3"4 � ; entonces, como
.'
.� = 3"4 � = 3"4 � = .(.�
Este campo es conservativo. Así que la integral es independiente de la trayectoria, ya que, las integrales de línea para campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria.
Como F es un campo vectorial conservativo, existe una función f tal que = 8�. Se tiene que
(�, �) = ∇�(�, �) = .�.� $!+
.�
.� &! = tan �$! + �3"4 �&!
Entonces 9:9% = tan � y
9:9# = �3"4 � ; de modo que
�tan ��� = ��;<� + = ��3"4 � ��
Así �(�, �) = ��;<� ; entonces, por el Teorema Fundamental para Integrales de Línea:
� tan ��� + �3"4 ��� = � =2, 54> − �(1,0) = 2 tan 54 − 1 tan 0 = 2 − 0 = 2�
Ejercicio 13.4.5. Compruebe el teorema de Green utilizando un sistema algebraico por computadora con el fin de evaluar la integral de línea y la integral doble.
� 25 ? √254 � ?54 �8 � √2� Ejercicio 13.6.26. Evalúe la integral de superficie ∬ ! ∙ �r!v para el vector de
campo F dado y la superficie orientada S. En otras palabras, calcule el flujo de F a lo largo de S. Para superficies cerradas, utilice la orientación positiva (hacia afuera).
!��, �, �� � �$!� �� ? ��&!� �ml! S es la superficie del tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
Solución.
Figura 2. Región vista por un observador en el primer octante.
Figura 3. Región vista por un observador desde el origen.
Sean r�: B;4;D;3E�"DCKD�"B�B;<K� � � � � � 1�, r :B;4;D;�E""3�á3K�D""B�B;<K��, r�:B;4;D;�E""3�á3K�D"�B;<K��, r�: B;4;D;�E""3�á3K�D""B�B;<K��.
Como la superficie 1 está dada por � � ���, �) = 1 − � − �, se puede considerar x y y como parámetros y utilizar la siguiente ecuación: