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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Nacional Experimental Rómulo Gallegos
Área de Ingeniería, Arquitectura y Tecnología.
Cátedra: Estadística para Ingenieros
Estado Guárico
TEMA 8
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
PROF: ESTUDIANTES:
Ing. Luis Pimentel Balletta Génesis C.I. 23.564.910
Cepeda Luzmar C.I. 23.564.886
Ojeda Gabriel C.I. 23.564.118
Parra Arelys C.I. 24.237.067
Sección 1
San Juan de los Morros, Febrero 2015
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ÍNDICE
Introducción -----------------------------------------------------------------------------
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ----------------------------------------
Distribución Normal -------------------------------------------------------------------
Campana de Gauss ------------------------------------------------------------------
Variable Aleatoria Continua ---------------------------------------------------------
Cálculo del Área bajo la Curva -----------------------------------------------------
Clasificación Estándar Z -------------------------------------------------------------
Distribución Binomial -----------------------------------------------------------------
Distribución de Poisson --------------------------------------------------------------
Variables Discretas -------------------------------------------------------------------
Conclusión ------------------------------------------------------------------------------
Referencias Bibliográficas ----------------------------------------------------------
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INTRODUCCIÓN
Una distribución de probabilidad es una representación de todos los
resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con
cada uno.
Así mismo, una distribución de probabilidad indica toda una gama de
valores que pueden representarse como resultado de un experimento, una
distribución de probabilidad es similar a la distribución de frecuencias relativas.
Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un
evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la
prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos
futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son
fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de
distribución de probabilidades.
En este sentido, se estudiara de manera ágil a continuación los diversos
tipos de distribución probabilística, se caracterizará cada distribución, y se
estudiara diversos métodos de cálculo de dichas distribuciones.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
En teoría de la probabilidad y estadística, una distribución de
probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como
resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la
probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una
herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un
escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de
diversos fenómenos naturales.
Distribución Normal
La distribución normal es una distribución de probabilidad de variable
continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales y
que describe los datos que se agrupan en torno a un valor central. Todo
proceso en el que solo existan causas aleatorias de variación sigue una ley de
distribución normal. La importancia de esta distribución radica en que permite
modelar numerosos fenómenos naturales (de ahí que se la denomine “normal”),
sociales y psicológicos; también puede obtenerse en los procesos industriales si
los procesos se llevan a un estado en el que solo existen causas comunes de
variación.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es
simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se
conoce como curva de distribución normal, también denominada campana de
Gauss.
De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno,
sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño
experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea
conocido como método correlacional.
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La distribución normal también es importante por su relación con la
estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más
simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen
el modelo de la normal son:
caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos;
caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
nivel de ruido en telecomunicaciones;
errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
etc.
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia
estadística, como lo es la distribución muestral de las medidas muéstrales es
aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se
extrae la muestra no es normal. Además la distribución normal es la más
extendida en estadística y muchos test estadísticos están basados en una
supuesta "normalidad". En probabilidad, la distribución normal aparece como el
límite de varias distribuciones de probabilidad, continuas y discretas.
Campana de Gauss
Llamada Campana de Gaussen honor del renombrado científico alemán
Carl Friedrich Gauss; es una representación gráfica de la distribución normal de
un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando
un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado
parámetro.
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Aunque la campana de Gauss lleva el nombre del genio de las
matemáticas Carl Friedrich Gauss , realmente la distribución normal la
descubrió y publico por primera vez Abraham Moivre (por eso en algunos libros
se llama la distribución de Moivre – Gauss) en un artículo que reprodujo en la
segunda edición de su obra “The Doctrine of Chance” como aproximación de la
distribución normal para valores grandes de n. Este resultado fue ampliado por
Pierre – Simon de Laplace en su libro “Teoría analítica de las probabilidades”.
El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con
profusión cuando analizaba fenómenos astronómicos y algunos autores le
atribuyen un descubrimiento independiente del de DeMoivre.
El nombre de "campana" se lo dio Esprit Jouffret que uso este término
(superficie campana) por primera vez.
La función gaussiana es una función definida por la expresión:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑒−
𝑥−𝑏 2
2𝑐2
Donde a, b y c son constantes reales (a> 0).
Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística
correspondiendo, en el caso de que a sea igual a 1
𝑐 2𝜋, a la función de densidad
de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza
σ2=c2.
Variable Aleatoria Continua
Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la
recta real. En el caso de una variable aleatoria continua no tiene sentido
plantearse probabilidades de resultados aislados. La probabilidad de valores
puntuales es cero.
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El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad
correspondiente a un intervalo. Así pues, dicha probabilidad se conoce
mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha
curva hay un área de una unidad.
Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para
conocer la probabilidad de un intervalo cualquiera.
Calculo del Área Bajo la Curva
No importa cuáles sean los valores de µ y σ para una distribución de
probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que
podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades.
Matemáticamente es verdad que:
1. Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población
normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de
la media.
2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población
normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar
de la media.
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3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población
normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar
de la media.
Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área bajo la
curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones de la distribución
normal de probabilidad implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2
ó 3 desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos existen tablas
estadísticas que indican porciones del área bajo la curva normal que están
contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más o
menos) a partir de la media.
Afortunadamente también se puede utilizar una distribución de
probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal.
Con esta tabla se determina el área o la probabilidad de que la variable
aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la
media. Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.
Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos
que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media
contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier
distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente
una tabla de la distribución de probabilidad normal estándar.
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Calificación Estándar Z
Puntuación Z también conocido como puntuación estándar o calificación
estándar, es el método de cálculo de cuántas desviaciones estándar en un
conjunto de datos está por encima o por debajo de la media. La distancia entre
la media y una puntuación z dada en cada distribución normal corta una
proporción de la superficie total por debajo de la curva. Puntuaciones z son
particularmente informativos cuando la distribución a las que se refieren es
normal. El estándar de calificación transformación es útil, en particular cuando
tratando de comparar las posiciones relativas de elementos de distribuciones
con diferentes medios y; o con diferentes desviaciones estándar
Z: fórmula de calificación
La puntuación estándar puede calcularse mediante la fórmula siguiente:
𝒛 =𝒙 − 𝝁
𝝈
Donde
x es una puntuación cruda para ser normalizado
μ es la media de la población
σ es la desviación estándar de la población
La puntuación cruda es por debajo de la Media cuando z es negativa. Del
mismo modo la puntuación cruda es por encima de la Media cuando z es
positiva. La cantidad representada por puntuación estándar z es la distancia
entre la puntuación cruda y la media de la población en términos de desviación
estándar.
La colección de herramientas emplea el estudio de métodos y
procedimientos utilizados para que recopilar, organizar y analizar datos para
comprender la teoría de la probabilidad y estadística. El conjunto de ideas que
pretende ofrecer la manera de hacer la implicación científica de tales como
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resultado datos resumidos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la
puntuación estándar para un determinado conjunto de datos. Con esta norma
en línea calculadora de puntuación sin esfuerzo puede hacer el cálculo de la
puntuación z para conjunto de datos.
Distribución Binomial
La distribución Binomial es un caso particular de probabilidadde variable
aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que
cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre
los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico,
esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y
tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q
= 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de
forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado
número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una
distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución
binomial de parámetros n y p, se escribe: 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)
La distribución binomial es la base del test binomial de significación
estadística. Esta distribución corresponde a la realización de un experimento
aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A,
llamado éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.
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* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba
del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces
p(A’) = 1 – p = q
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el
modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.
En general, si se tienen nensayosBernoulli con probabilidad de éxito p y
de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la
distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:
𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se
han construido tablas para algunos valores de n y p que facilitan el trabajo.
Calculo de la distribución de probabilidad binomial por tres métodos:
a) Utilización del Minitab 15.
b) Utilización de la fórmula
c) Utilización de las tablas binomiales
Por ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma
moneda 6 veces?
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𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
Donde:
P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento
p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5)
q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define como
q = 1 – p (0.50)
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tabla
binomial tómese como r)
n = número de intentos = 6
a) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando el Minitab
15.
Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el
número 2 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se
desea saber la probabilidad de que caigan exactamente dos caras). (figura
1)
- Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Binomial
En seguida aparecerá la ventana "Binomial Distribution" ("Distribucion
Binomial").
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- Seleccionar Probability
- En el campo de "Number of trials" (Número de intentos) colocar 6 (n)
- En el campo de "Event probability" colocar 0.50 (probabilidad de éxito)
- En el campo de "Input column" colocar el puntero del mouse y
automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X el cual se
selecciona con el puntero del mouse y luego presionar "Select"
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- Una vez alimentado los datos presionar "OK".
- Para obtener así el resultado.
La probabilidad de que caigan 2 caras en el lanzamiento de una moneda
6 veces es 0.234375.
Por lo tanto: 𝑷 𝟐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓
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b) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando la fórmula
𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:
𝑃 2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 =6!
2! 6 − 2 !(0.5)2(0.5)6−2
𝑃 2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 =720
2 24 0.25 (0.0625)
𝑷 𝟐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓
c) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando las tablas
binomiales.
- Para una combinación de n y p, la entrada indica una probabilidad de
obtener un valor específico de r (ocurrencia del evento).
- Para localizar la entrada, cuando p≤0.50, localizar el valor de p a lo largo del
encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente localizar n y r en el
margen izquierdo.
- Para localizar la entrada, cuando p≥0.50, localizar el valor de p en la parte
inferior de la tabla, y n y r arriba, en el margen derecho.
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Resolviendo el mismo ejemplo pero utilizando las tablas binomiales se tiene
que: p = 0.50, n = 6 y r = 2
Obteniendo resultado directo de tablas; 𝑷 𝟐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟒𝟒
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson fue descubierta por Siméon – Denis Poisson,
es una distribución de probabilidaddiscreta que expresa, a partir de una
frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado
número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se
especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy
pequeñas, o sucesos "raros".
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Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por
unidad de área, tiempo, pieza, etc:
- n° de defectos de una tela por m2
- n° de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
- n° de bacterias por c m2 de cultivo
- n° de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
- n° de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de
tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar es:
𝑃 𝑋, 𝜆 =𝜆𝑥𝑒−𝜆
𝑋!
Donde:
𝑝(𝑋) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia
de ellos es 𝜆.
𝜆 = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
𝑒 = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)
𝑋 = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que
ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada
intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área
es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro
producto dado.
Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson por tres métodos:
a) Utilización del Minitab 15.
b) Utilización de la fórmula
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c) Utilización de las tablas de Poisson
Por ejemplo:
Si un banco recibe en promedio (𝜆 =) 6 cheques sin fondo por día.
¿Cuáles son las probabilidades de que reciba:
a) cuatro cheques sin fondo en un día dado (x),
b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
(𝑒 = 2.718281828)
a) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando el
Minitab 15.
Resolviendo para:
a) 𝑥 = 4; 𝜆 = 6 cheques sin fondo por día
- Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el número
4 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se desea
saber la probabilidad de que el banco reciba 4 cheques sin fondos en un día
dado).
- Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Poisson
- En seguida aparecerá una ventana "Poisson Distribution" ("Distribución de
Poisson").
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- Seleccionar Probability
- En el campo de "Mean" (media = 𝜆 ) colocar 6 (promedio de cheques diarios
recibidos sin fondos)
- En el campo de "Input column" colocar el puntero del mouse y
automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X.
Seleccionarlo con el puntero del mouse y presionar "Select"
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- Una vez alimentado los datos presionar "OK".
- Para obtener así el resultado.
a. Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo
en un día dado es:
𝑷(𝟒 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑𝟖𝟓𝟑
(𝟏𝟑.𝟑𝟗%)
Resolviendo de igual manera para:
b. 𝑋 = 10; 𝜆 = 6 𝑥 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco
en dos días consecutivos.
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- Para obtener así el resultado.
b. Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo en
dos días consecutivos es:
𝑷(𝟏𝟎 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟒𝟖𝟑𝟕
(𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟑𝟕%)
b) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando la
fórmula.
𝑃 𝑋, 𝜆 =𝜆𝑥𝑒−𝜆
𝑋!
Resolviendo para:
a) 𝑥 = 4; 𝜆 = 6 cheques sin fondo por día y sustituyendo en la fórmula.
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𝑃 𝑋 = 4, 𝜆 = 6 =64𝑒−6
4!
𝑃 𝑋 = 4, 𝜆 = 6 =1296 × 0.0025
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𝑃 4 𝑐ℎ𝑒𝑞𝑢𝑒𝑠 sin 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = 0.133853
(13.38%)
Resolviendo de igual manera para:
b) 𝑋 = 10; 𝜆 = 6 𝑥 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco
en dos días consecutivos.
𝑃 𝑋 = 10, 𝜆 = 12 =1210𝑒−12
10!
𝑃 𝑋 = 10, 𝜆 = 12 =61917364224 × 0.000006144212
3628800
𝑷(𝟏𝟎 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟒𝟖𝟑𝟕
(𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟑𝟕%)
c) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando las
tablas de Poisson
- Valores directos para determinar probabilidades de Poisson.
- Para un valor dado de λ, la entrada indica la probabilidad de obtener un
valor específico de X
Para el mismo ejemplo, resolviendo para:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en
un día dado?
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Se tiene 𝑥 = 4; 𝜆 = 6 cheques sin fondo por día; obteniendo resultado
directo de tablas:
𝑷 𝟒 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑𝟗
(𝟏𝟑.𝟑𝟗%)
Para el mismo ejemplo, resolviendo para:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo en
dos días consecutivos?
Se tiene 𝑋 = 10; 𝜆 = 6 𝑥 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan
al banco en dos días consecutivos, obteniendo resultado directo de tablas:
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𝑷 𝟏𝟎 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟒𝟖
(𝟏𝟎.𝟒𝟖%)
Variables Discretas
Una variable discreta es una variable que sólo puede tomar valores
dentro de un conjunto numerable, es decir, no acepta cualquier valor sino
sólo aquellos que pertenecen al conjunto. En estas variables se dan de
modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. Dicho
con más rigor, se define una variable discreta como la variable que hay entre
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dos valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no
observable (potencialmente).
Como ejemplo, el número de animales en una granja (0, 1, 2, 3...). En
lógica matemática, una variable proposicional (también llamada variable
sentencial o letra sentencial) es una variable discreta que puede ser
verdadera o falsa. Las variables proposicionales son los bloques de
construcción básicos de las fórmulas proposicionales, usadas en lógica
proposicional y en lógicas superiores.
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CONCLUSIONES
La estadística es la ciencia que se trata de cuantificar la probabilidad
de la ocurrencia o el efecto de cualquier evento, sujeto, proceso, fenómeno
o interacciones resultantes. Hay que recalcar que la estadística es
solamente un medio y no el fin. En este sentido, mediante la presente
investigación se estudio Las distribuciones de probabilidad las cuales están
relacionadas con la distribución de frecuencias. De hecho, podemos pensar
en la distribución de probabilidad como una distribución de frecuencias
teórica. Una distribución de frecuencias teórica es una distribución de
probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los
resultados.
Así mismo, se observo la aplicación y manejo de las distribuciones de
probabilidad más comunes, la binomial, la de Poisson y finalmente la
distribución normal. Se investigó además de la utilización y funcionamiento
de la Minitab 15 el razonamiento, cálculo manual y por tablas como método
original como se realizaba antes de que el Minitab existiera como tal.
Así mismo, con el desarrollo de esta investigación y gracias a la
comprensión de conceptos y el manejo del programa Minitab se entendió
que es una poderosa herramienta estadística que bien aplicada podrá ser de
gran ayudar para facilitar los cálculos para la solución de problemas. Lo cual
continúa con el propósito esencial: Ahorro de costos y mejora continua en
cualquier ámbito en que nos desarrollemos.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Levin Richard I. y Rubin David S. (1997) Estadística para
Administradores. 6ta Edición. Editorial Prentice Hall. Capitulo 5.
Probabilidad II. Distribuciones, pp.232 – 264 (versión de prueba obtenida de
www.minitab.com)
www.monografias.com,http://www.monografias.com/trabajos29/distribuci
on-probabilidades/distribucion-probabilidades.shtml)
www.wkipedia.com,http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_bino
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www.wikipedia.com,http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_norm
al