Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es ) 1 TEMA 66. Distribuciones de probabilidad de variable continua. Distribución normal TEMA 66. Distribuciones de probabilidad de variable continúa. Distribución Normal. 1. Introducción. 1.1 Histórica. Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la propia civilización. La humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre del clima, de las cosechas y otros aspectos de medio que lo rodea, así como buscar los efectos que los regulan para tratar de reducir las probabilidades que generan efectos negativos. El origen de la probabilidad desde un punto de vista matemático se cree que surge con los juegos de azar. Así en el Egipto antiguo ( 3500 aC) se tiene constancia de la existencia de juegos de azar practicado con objetos de hueso, siendo estos los predecesores de los dados actuales. También los egipcios construyeron dados con marcas como los actuales. Se suele aceptar como el comienzo de la teoría matemática de la probabilidad con Fermat y Pascal, matemáticos franceses del siglo XVIII. Estos lograron calcular la probabilidad exacta para ciertos juegos de azar relacionados con los dados. Desde este momento la teoría de la probabilidad ha sido constantemente desarrollada y aplicada a más diversos campos de estudio. 1.2. Espacio de probabilidad. En este tema se usará la concepción matemática de la Teoría de Probabilidad sin tener en cuenta las concepciones filosóficas que la soportan. Para usarla tenemos en cuenta los tres elementos fundamentales que forman un espacio de probabilidad: • Ω el espacio muestral, que es conjunto de todos los resultado posibles distintos de un experimento aleatorio. • S es el conjunto de todos los sucesos que se dan sobre Ω (técnicamente es un σ- álgebra de sucesos sobre Ω): 1) Ω∈S 2) Si A∈S A c ∈S 3) Si A y B∈S A∪B∈S • ℘ es la función de probabilidad que refleja la regularidad estadística del experimento; es una función real definida sobre S, ℘: S → ℝ, que satisface los siguientes axiomas: 1) ℘(A)≥0, ∀A∈C 2) ℘(Ω)=1 3) (){} 1 1 1 , n n n n n n A A A ∞ ∞ ≥ = = ℘ =℘ ∀ ∑ U ,A n sucesos incompatibles dos a dos (A i ∩A j =∅, ∀ i≠j) Notar que independientemente del concepto probabilístico a partir del cual se calcule la probabilidad (Laplace, experimental o subjetiva) han de cumplir estos requisitos. Con estos elementos se trata el problema de formalizar la idea intuitiva de que la “información” aportada por el hecho de que haya ocurrido un suceso B, ha de ser recogida cambiando el espacio de probabilidad de partida.
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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1
TEMA 66. Distribuciones de probabilidad de variable continua. Distribución normal
TEMA 66. Distribuciones de probabilidad de variable
continúa. Distribución Normal.
1. Introducción.
1.1 Histórica.
Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la propia civilización. La
humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre del clima, de las cosechas y otros
aspectos de medio que lo rodea, así como buscar los efectos que los regulan para tratar de
reducir las probabilidades que generan efectos negativos.
El origen de la probabilidad desde un punto de vista matemático se cree que surge con los
juegos de azar. Así en el Egipto antiguo ( 3500 aC) se tiene constancia de la existencia de
juegos de azar practicado con objetos de hueso, siendo estos los predecesores de los dados
actuales. También los egipcios construyeron dados con marcas como los actuales.
Se suele aceptar como el comienzo de la teoría matemática de la probabilidad con Fermat
y Pascal, matemáticos franceses del siglo XVIII. Estos lograron calcular la probabilidad exacta
para ciertos juegos de azar relacionados con los dados. Desde este momento la teoría de la
probabilidad ha sido constantemente desarrollada y aplicada a más diversos campos de
estudio.
1.2. Espacio de probabilidad.
En este tema se usará la concepción matemática de la Teoría de Probabilidad sin
tener en cuenta las concepciones filosóficas que la soportan. Para usarla tenemos en
cuenta los tres elementos fundamentales que forman un espacio de probabilidad:
• Ω el espacio muestral, que es conjunto de todos los resultado posibles distintos de
un experimento aleatorio.
• S es el conjunto de todos los sucesos que se dan sobre Ω (técnicamente es un σ-
álgebra de sucesos sobre Ω):
1) Ω∈S
2) Si A∈S Ac∈S
3) Si A y B∈S A∪B∈S
• ℘ es la función de probabilidad que refleja la regularidad estadística del experimento; es
una función real definida sobre S, ℘: S → ℝ, que satisface los siguientes axiomas:
1) ℘(A)≥0, ∀A∈C
2) ℘(Ω)=1
3) ( ) 1
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,n n n n
nn
A A A∞ ∞
≥==
℘ = ℘ ∀
∑U ,An sucesos incompatibles dos a dos (Ai∩Aj=∅, ∀ i≠j)
Notar que independientemente del concepto probabilístico a partir del cual se calcule
la probabilidad (Laplace, experimental o subjetiva) han de cumplir estos requisitos.
Con estos elementos se trata el problema de formalizar la idea intuitiva de que la
“información” aportada por el hecho de que haya ocurrido un suceso B, ha de ser
recogida cambiando el espacio de probabilidad de partida.
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TEMA 66. Distribuciones de probabilidad de variable continua. Distribución normal
2. Variable aleatoria continúa.
Definición: Sea el espacio probabilístico (Ω, S, ℘) un espacio de probabilidad que
modeliza los posibles resultados de un experimento aleatorio, una variable aleatoria es una
aplicación que asigna a cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio un valor
real. Es decir X es una variable aleatoria si se cumple.
X: Ω ℝ
A X(A)
Definición: sea el espacio probabilístico (Ω, S, ℘) un espacio de probabilidad, una variable
aleatoria es continua cuando la imagen de X, X(Ω), puede tomar todos los valores dentro de un
intervalo, no siendo por tanto valores discretos.
Ejemplo: Lanzar un objeto, si suponemos que la distancia es inferior, pongamos que a 100
m, entonces la variable X asigna a cada suceso que puede ocurrir la distancia desde el
lanzamiento, siendo X(Ω)=[0,100].
3. Función distribución.
El objetivo es asociar a cada variable aleatoria una función real que contiene toda la
información sobre la probabilidad del experimento aleatorio. No podemos en la probabilidad
continua asignar un valor de probabilidad a cada valor de X (como hicimos en la discreta), pues
al haber infinitos valores de X la probabilidad puntual es nula.
Definición: sea X una variable aleatoria sobre el espacio probabilístico (Ω, S, ℘), se llama
función distribución de la variable aleatoria X a la aplicación F definida de la siguiente forma:
F: ℝ ℝ
t F(t)=p(X≤t)
Propiedades:
1. F es una función definida creciente: si a<b F(a)≤F(b).
2. F es una función continua por la derecha, es decir )()(lim aFxFax
=+→
3. Asíntota horizontal en x=1: 1)(lim =∞→
xFx
4. 0)(lim =−∞→
xFx
5. 0≤F(x)≤1
6. p(a<x<b)=F(b)-F(a).
Nota: Por lo general F no siempre es continua por la izquierda ni estrictamente creciente.
Teorema: si F es una función real que cumple las 4 propiedades entonces puede
encontrarse un espacio de probabilidad (Ω, S, ℘) y una variable aleatoria X sobre este espacio
donde F es la función distribución de X.
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