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La Funcin Swebrec para Prediccin de los Finos Producto de
Tronaduras
C. Gonzlez, N. Morocho, L. Serrano
RESUMEN: La funcin Kuz-Ram ha sido tradicionalmente utilizada
para predecir la fragmentacin de
roca producto de tronaduras. Este modelo de fragmentacin ha
servido y ha dado un aporte valioso al
proceso mine-to-mill, sin embargo su limitacin principal ha sido
la de predecir los finos que aparecen
en la tronadura y pueden tener significado importante dentro del
proceso de trituracin posterior. La
funcin Swebrec se encarga de realizar la prediccin de los finos
de tronadura con un alto grado de
precisin y detalle, convirtindola en una funcin que permite
agregar valor a la cadena mine-to-mill.
PALABRAS CLAVES: tronadura, fragmentacin, Rosin-Ramler,
Kuznetsov, Kuz-Ram, Swebrec, KCO.
1. INTRODUCCIN
Histricamente la produccin de mineral se ha trabajado en dos
etapas distintas, los procesos
para extraer el mineral del suelo y los procesos destinados a
convertir dicho mineral en un
producto comerciable. Esto constituye uno de los mayores errores
en la minera, ya que al
tomar en cuenta ambos procesos por separado, las entidades
aparentan operar de manera
eficiente, pero al considerar la operacin como un todo,
usualmente se encuentran
funcionando muy por debajo de la mxima eficiencia. Por ejemplo,
una voladura que genere
una mayor fragmentacin de la roca traer consigo aumentos de
rendimiento en las etapas
de carga y transporte, disminucin de mantenimiento de todos los
equipos en general, menor
necesidad de fragmentacin secundaria, aumentos de produccin y
disminucin de
consumos de energa en planta.
La etapa de tronadura, dentro del proceso minero, corresponde al
primer proceso de
conminucin, es decir, reduccin de tamao del material confinado
en el macizo rocoso.
Corresponde a la etapa ms eficiente del proceso de conminucin,
tanto del punto de vista
tcnico y econmico, dado que el explosivo provee la energa ms
econmica para
fragmentar roca. El principal objetivo de esta etapa del proceso
productivo es fragmentar la
roca de tal manera que quede en un tamao adecuado para ser
cargada y transportada hacia
los botaderos o chancado primario, en donde continua el proceso
de conminucin. Por lo
tanto, las decisiones tomadas durante esta etapa impactan de
manera directa a la economa
del resto del proceso minero, por lo cual es de vital
importancia implementar ciertas medidas
que permitan obtener un producto de calidad para las siguientes
etapas del proceso
productivo.
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Los principales avances en la tronadura son la habilidad de
predecir los resultados y el
desarrollo de curvas matemticas para describir la granulometra
del material tronado. Estas
curvas o modelos matemticos, nos permiten cuantificar, al menos
desde el punto de vista
de la fragmentacin deseada, los beneficios econmicos en tronar
con mayor la potencia y
precisin respecto a los potenciales beneficios de la reduccin en
el consumo de energa
elctrica por tonelada de mineral producida y tonelaje tratado o
procesado por da.
Actualmente en la industria minera, el modelo de Kuz-Ram es la
herramienta de prediccin
de tamaos de la tronadura con mayor uso. Este modelo, en su
formulacin, es el resultado
de la combinacin de los modelos de Kuznetsov, la ecuacin de
Rosin Rammler y los ndices
de tronabilidad y uniformidad de Cunningham. La funcin de
Kuznetsov usa como variables
de entrada distintos parmetros de diseo utilizados en tronadura,
por otro lado la funcin
Rosin-Rammler es utilizada en los procesos de conminucin como
una manera de determinar
la distribucin de tamao obtenida y siendo una buena
representacin de la realidad para
granulometra fina. La combinacin de las ecuaciones de Kuznetsov
y de Rosin-Rammler da
como resultado el llamado modelo de la fragmentacin del
Kuz-Ram
Sin embargo, en los ltimos aos, se ha desarrollado una nueva
funcin de distribucin de
tamao denominada funcin Swebrec. Esta funcin, posee la habilidad
de predecir los
resultados (con una magnitud del tamao que va desde 0,5 mm hasta
500 mm) y describir
con igual exactitud la granulometra de material de las
tronaduras, el chancado y molienda.
Esta funcin ha proporcionado excelentes ajustes para cientos de
grupos de datos, llegando
a coeficientes de correlacin r2=0,995 o mejores. Cabe destacar
que la implementacin de
esta funcin no excluye al modelo de Kuz-Ram, sino que se combina
con l, proporcionando
una serie de ventajas, llegando a solucionar falencias
existentes en el modelo de Kuz-Ram.
Combinando la funcin Swebrec con el modelo Kuz-Ram, los
investigadores pueden disponer
de una potente herramienta para estudiar la fragmentacin rocosa.
Esto se debe
principalmente a que la funcin Swebrec aumenta la capacidad de
prediccin del modelo Kuz-
Ram, sobre todo dentro de los lmites ms precisos. La herramienta
se puede aplicar en la
prediccin de cualquier desviacin de la fragmentacin causada por
la curva caracterstica
de la rotura natural de la masa rocosa.
Con avances en las reas de modelamiento de la granulometra,
viene tambin la oportunidad
de optimizar y lograr beneficios grandes en productividad tanto
en las operaciones mina,
como en los procesos aguas abajo en el tratamiento de los
minerales a partir del chancador
primario.
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2. MODELO DE KUZ-RAM
El modelo Kuz-Ram presentado en esta seccin es el realizado por
Cunningham (1983) y se
ha usado extensivamente alrededor del mundo. Se basa en una
relacin simple entre los
parmetros de tronadura y el tamao medio de fragmentacin. Este
modelo gan
considerable credibilidad en el mundo despus que se encontr que
concordaba muy
estrechamente con modelos de fragmentacin basados en la teora de
crecimiento de grietas.
2.1.- Ecuacin de Rosin Rammler
La curva de Rosin Rammler ha sido generalmente reconocida, tanto
en minera como en
procesamiento de minerales por entregar una buena descripcin de
la distribucin de los
tamaos de rocas tronadas y trituradas. La curva de funcin
acumulada bajo tamao (material
retenido en un tamiz de abertura X, y Xc) se define en la
Ecuacin 1 como:
() = 1 (
)
(1)
En la ecuacin:
X = Abertura del tamiz [cm]
Xc = Tamao caracterstico [cm]
n = ndice de uniformidad (Cunningham, 1987)
La ecuacin de Rosin-Rammler se puede hacer lineal para facilidad
de la estimacin de ajuste
y de parmetros como en la Ecuacin 2:
( (1
())) = () () (2)
2.2.- Ecuacin de Kuznetsov
Esta ecuacin proporciona una estimacin del tamao medio de la
partcula de roca despus
de la tronadura:
50 = (
)0.8
1
6 (115
)
0.633
(3)
En la Ecuacin 3:
X50 = Tamao medio de los fragmentos [cm]
A= Factor de la roca
-
Vo = Volumen de roca quebrada por pozo (Burden x Espaciamiento x
Altura de Banco) [m3]
Qe = Masa explosivo cargado en el pozo [Kg]
Sanfo = Potencia relativa en peso al ANFO (ANFO = 100; TNT =
115)
2.3.- Ecuacin de Kuz-Ram
La ecuacin de Rosin- Rammler se debe adaptar a la de Kuznetsov
que entrega el tamao
medio, lo cual se expresa en la siguiente Ecuacin 4:
=50
(2)1
=50
(0.693)1
(4)
2.4.- ndice de Tronabilidad o Factor Roca
Tal vez el parmetro ms importante en el modelo Kuz-Ram es el
factor de roca. Los ltimos
desarrollos en la aplicacin del modelo usan una ligera
modificacin al ndice de Tronabilidad
de Lilly (1986) para calcular el Factor de Roca (Cunningham.
1987). Este ndice describe la
competencia de la roca asociado al proceso de tronadura. Sus
rangos tpicos van de 8 a 12
para calidades de roca de baja, buena y mejor tipo de
competencia. Es interesante notar que
la tabla que Cunningham us para calcular el factor de roca es
muy similar al ndice de
Tronabilidad usado por Lilly (1986) con la importante diferencia
de que Cunningham le dio
mayor importancia a la dureza de la roca. Cunningham (1987)
indica que en su experiencia
el lmite ms bajo para el Factor de Roca, incluso en tipos de
roca muy dbiles, es A = 8 y el
lmite superior es A = 12. La Ecuacin 5 es:
= 0.06 ( + + + ) (5)
Los parmetros y valores correspondientes para el clculo de A
vienen dados en la Tabla 1.
Tabla 1. Parmetros y rangos para clculo de A
Parmetro Descripcin Rango
A Factor de Roca 8-12
RMD Descripcin de la Masa Rocosa
Pulverulento/Quebradizo 10
Diaclasado verticalmente JF
Masiva 50
JF JPS+JPA
JPS Espaciamiento de fracturas verticales
< 0.1 m 10
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Desde 0.1 m a sobre tamao 20
Sobre tamao a tamao de diseo de perforacin asumido 50
JPA ngulo del plano de fractura
Buza hacia fuera de la cara 20
Rumbo perpendicular a la cara 30
Buza hacia dentro de la cara 50
RDI ndice de densidad de la roca 25*D 50
D Densidad de la roca [t/m3]
HF Factor de Dureza
Para E50 [GPa] UCS/5
E Mdulo de Young [GPa]
UCS Resistencia a la compresin uniaxial [Mpa]
2.5.- ndice de Uniformidad (Cunningham, 1987)
La principal contribucin de Cunningham al modelo Kuz-Ram fue el
proponer un mtodo para
estimar n en la ecuacin de Rosin-Rammler, basado en la geometra
del hoyo relacionado
con los parmetros geomtricos de la tronadura. Para el uso de slo
un explosivo se aplica
la Ecuacin 6:
= (2.2 14
) (
1+
2)
0.5
(1
) (
) (6)
En cambio, para el uso de dos explosivos se aplica la Ecuacin
7:
= (2.2 14
) (
1+
2)
0.5
(1
) (
) (( (
)) + 0.1)
0.1
(7)
En las ecuaciones 6 y 7:
B = burden (m)
S = espaciamiento (m)
D = dimetro del taladro (mm)
W = desviacin estndar de la precisin de perforacin (m)
L = longitud total de la carga (m)
H = altura del banco (m)
BCL = longitud de carga de fondo (m)
-
CCL = longitud de la carga de columna (m)
ABS = valor absoluto
3. FUNCIN SWEBREC
La funcin fue desarrollada por el investigador Finn Ouchterlony
en el Centro sueco de
Investigacin de Tronadura ubicado en la Universidad de Tecnologa
de Lule, la cual se
ubica en Estocolmo, Suecia. Su desarrollo es motivado por la
intencin de predecir con mayor
precisin los tamaos finos generados en la fragmentacin. Los
resultados de distribucin de
tamaos de fragmentos son muy buenos, y en especial en las
fracciones retenidas de tamao
finas de muestras tamizadas (magnitud del tamao que va desde 0,5
mm hasta 500 mm),
proporcionado excelentes ajustes para cientos de grupos de
datos, llegando a coeficientes
de correlacin r2=0.9970.001. Las Ecuaciones 7 y 8 que se
muestran a continuacin
describen la funcin Swebrec.
() =1
1+((
)
(
50))
; 50 0 < < (7)
() = ((
)
(
50)) ; () = 0 (50) = 1 (8)
El parmetro b es llamado por Ouchterlony como parmetro de
ondulacin de la curva, el
cual reemplaza el ndice de uniformidad n.
La particularidad de utilizar el parmetro b posiblemente viene
de la necesidad de utilizar un
parmetro que considera directamente el tamao x50 como un factor
para describir cmo se
tritura el material durante la tronadura, similar a la
trituracin en planta. El parmetro n
asume bsicamente que la geometra del banco es la que definir un
comportamiento
relativamente uniforme de la trituracin de la roca durante la
tronadura, por lo que el resultado
en la funcin Kuz-Ram produce una figura lineal. Al usar el
parmetro b se est asumiendo
correctamente que la distribucin del tamao de partculas no ser
lineal, algo que es ms
apegado a lo que se observa en la realidad, y que por lo tanto
se puede esperar que el
resultado sea una curva como la que se produce utilizando la
funcin Swebrec.
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4. MODELO KUZNETSOV-CUNNINGHAM-OUCHTERLONY (KCO)
El modelo KCO es la funcin Kuz-Ram utilizando la funcin Swebrec
reemplazando la original
funcin de Rosin-Rammler. El modelo se basa en las siguientes
ecuaciones:
() =1
1+((
)
(
50))
(9)
50 =
() 16 (
115
)
1930
0.8 (10)
() = 1 () =((2))
1
(1+1
)
; (11)
= 2 (2) (
50) (12)
= ( , )
=
=
La funcin () 1 desplaza la distribucin de tamao de los
fragmentos a valores menores
de X50 o para predecir ms finos. Este factor de desplazamiento
g(n) puede ser incorporado
tambin al modelo KCO, ya que la experiencia dicta que es una
ventaja en la prediccin de
finos.
En la seccin 7 de Anexos se presentan los resultados de una
simulacin realizada con la
funcin Swebrec para corroborar que la funcin da los resultados
que se buscan.
5. CONCLUSIONES
En la ecuacin de Rosin-Rammler lineal, si el logaritmo natural
doble del inverso de la
proporcin de material retenido en un tamiz de tamao X se grafica
contra el logaritmo
natural del tamao, la curva resultante debe ser lineal, con una
pendiente igual al ndice de
uniformidad n y con una interseccin igual a ().Grficamente se
puede ver que el
aumento del valor del tamao crtico Xc, hace a la distribucin de
tamao ms gruesa, pero
la curva permanece esencialmente paralela, por lo tanto,
variando los valores de Xc,
simplemente se hace a la distribucin de material ms gruesa o ms
fina. En general, al
aumentar la energa del explosivo (o factor de carga) y reducir
el espaciamiento, se debe
esperar mover la curva de distribucin de tamao para producir una
pila ms fina a travs del
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rango completo de tamao. Por otro lado, al aumentar el ndice de
uniformidad n, se tiene
el efecto de cambiar la pendiente de la curva. El disminuir la
pendiente significa que el material
se hace ms grueso en el extremo superior y ms fino en el
inferior de la curva de distribucin
de tamao. El cambiar n cambia por lo tanto el ancho de la
distribucin de tamao, o la
uniformidad en el tamao de la partcula producido por la
tronadura. Por lo tanto, al producir
concentraciones focalizadas de energa del explosivo, ms que una
distribucin uniforme de
energa (o sea, cambiar de un hoyo de pequeo dimetro con una
columna larga de explosivo
a un hoyo de gran dimetro con una columna corta de explosivo) se
puede esperar que baje
el valor de n ya que la regin de roca prxima a la columna corta
de carga se quebrar ms
fina, mientras que el material adyacente a la columna larga del
taco recibir poco
quebrantamiento.
La ecuacin de Kuznetsov establece que el tamao medio de partcula
de una tronadura
depende de las propiedades de la roca y del explosivo. El trmino
(V0/Q) representa el inverso
del factor de carga equivalente. La ecuacin, por lo tanto,
indica que el tamao medio de la
partcula disminuye casi linealmente con el aumento del factor de
carga. La ecuacin tambin
sugiere una dbil dependencia del peso del explosivo por hoyo.
Esto sugiere que la ecuacin
diferencia entre dimetros de hoyos grandes y pequeos. Dimetros
de hoyos pequeos
producirn una pila de material ms fino en virtud de la
distribucin mejorada de energa.
La ecuacin de Kuznetsov proporciona una estimacin del tamao
medio, o sea, el tamao
del tamiz por el cual pasa el 50% de la roca. Puesto que la
ecuacin de Rosin Rammler se
puede definir completamente por un punto de la curva y la
pendiente de la lnea, todo lo que
se necesita despus de la determinacin del tamao medio, es una
estimacin de n en la
ecuacin de Rosin Rammler y se puede calcular una distribucin
completa de tamao de la
pila.
La aplicacin del modelo ha sido extensa, aplicado tanto a datos
publicados como a
experimentales, y en general, se ha concluido que predice muy
bien los tamaos gruesos
pero es menos exacto para las fracciones ms finas (Cunningham
subraya que la exactitud
es ms importante para la fraccin gruesa (sobre tamao) que para
la fraccin fina)
La experiencia indica que la ecuacin de Cunningham para calcular
el Factor de Roca
sobreestima considerablemente el trmino. Para preservar las
tendencias para estimar el
trmino, se recomienda que la ecuacin se altere simplemente
cambiando el valor de la
constante 0.06 a 0.04. Este cambio reduce el valor estimado del
factor de roca en un tercio,
produciendo, a su vez, una mejor estimacin de la fragmentacin
que parece describir mejor
el funcionamiento de la tronadura en operaciones de tronaduras
en banco.
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La nueva funcin Swebrec reemplaza a la funcin de Rosin-Rammler
en el modelo de Kuz-
Ram, transformndolo al modelo de KCO. La funcin Swebrec posee
tres parmetros y da
buenos ajustes para distintos grupos datos de fragmentacin con
correlaciones de 2 = 0.995
o mejor, dentro de un rango de fragmentacin de los 2 a 3 ordenes
magnitud.
Como la funcin Swebrec fue construida con tendencia a predecir
finos, el uso del factor g(n)
se hace ms necesaria en el modelo en la ecuacin de X50
La expresin para Xmax es tentativa y puede ser reemplazada si
existe una mejor descripcin
de la tronadura en un macizo rocoso fracturado.
A pesar de estas incertidumbres, el modelo KCO vence dos grandes
desventajas del modelo
Kuz-Ram, la pobre capacidad de prediccin de tamaos en el rango
de los finos y el lmite
superior infinito para tamaos de bloques.
Viendo el siguiente grfico, se aprecia que la funcin Swebrec
predice de manera ms precisa
las fracciones finas de la distribucin granulomtrica.
Figura 1. Extensin del modelo Kuz Ram con la funcin Swebrec
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6. REFERENCIAS
Ochterlony F. THE SWEBREC FUNCTION, BLAST FRAGMENTATION, THE
KUZ-RAM AND CZM/TCM
MODELS, THE NBC AND CRUSHER BREAKAGE, IT ALL TIES TOGETHER,
publicacin entregada en clases
acadmicas de Tronadura de la Universidad de Chile: 1 -31
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7. ANEXOS
A continuacin se presentan los resultados de la aplicacin de la
funcin Swebrec a un set
de datos, con el fin de corroborar que la funcin arroja los
resultados que se esperan.
Tabla 2. Parmetros de entrada
Sigla Parmetro Valor Unidad
Q Explosivo por Tiro 9.24 [kg]
q Carga Especfica 0.55 [kg/m3]
sANFO Potencia en peso relativa del explosivo usado 62.2 [%]
B Burden 1.8 [m]
S Espaciamiento 2.2 [m]
d Dimetro del Hoyo 0.051 [m]
Lb Largo de la Carga 3.9 [m]
Lc Largo de la Columna Explosiva 0 [m]
Llot Largo de la Carga Total 3.9 [m]
H Altura de Banco 5.2 [m]
SD Desviacin estndar de la exactitud de perforacin 0.25 [m]
B_IS Tamao de Bloque In-situ 3 [m]
g(n) Factor de Ajuste 0.66
Factor de Ajuste (DATO) 1.00
Densidad Densidad de la Roca 2700 [kg/m3]
E Mdulo de Young 60 [GPa]
sigma_c Factor Dureza 3 [MPa]
JPS Factor Espaciamiento 50
JPA Factor de Plano de Fractura 20
RMD Rock Mass Description 70
HF Hardness Factor 0.60
Tabla 3. Clculo de parmetro n
B[m] 1.8
d[m] 0.051
SD[m] 0.25
S[m] 2.2
Lb[m] 3.9
Lc[m] 0
Ltot[m] 3.9
H[m] 5.2
n 1.17
n(DATO) 1
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Tabla 4. Clculo de parmetro A
JPS 50
JPA 20
RMD 70
RDI 17.5
HF 0.60
A 9.486
A(DATO) 1
Tabla 5. Clculo de parmetro b
xmax[cm] 2
x50[cm] 44.84
n 1.17
b 2.43
b(DATO) 1
Tabla 6. Clculo de parmetro Xmx
B_IS 3
S 2.2
B 1.8
xmax[m] 1.8
xmax(DATO)[m] 1
Tabla 7. Clculo de parmetro X50
g(n) 1.00
A 13
Q 9.24
sANFO 62.2
q 0.55
x50[cm] 44.84
x50(DATO)[cm] 1
Tabla 8. Parmetros adicionales
RMD
polvo 10
masivo 50
JF (fractura) 70
JF
JPS Sj
-
RDI 17.5
densidad [kg/m3] 2700
HF E50 0.6
E [GPa] 60
c [MPa] 3
El grfico resultante para la aplicacin de los parmetros es el
que se muestra a continuacin
para los siguientes datos de entrada:
Tabla 9. Datos de entrada
xmax[cm] 180
x50[cm] 44.84
b 2.43
n 1.17
Xc 61.30
Figura 2.- Comparacin del modelo de prediccin Kuz-Ram con el
modelo Swebrec
0.01
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1 10 100 1000P(x
) %
x [mm]
Comparacin de Distribucin Granulomtrica - Funcin Swebrec (Modelo
KCO) vs Funcin Rosin-Rammler (Modelo Kuz-Ram)
KCO
KUZ-RAM