Trabajo Final

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA

MATEMATICA III

FAING-EPIC

“AÑO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO”

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA

Facultad de Ingeniería

Escuela profesional de

Ingeniería Civil

INTEGRALES DOBLES Y TRIPLESDocente : Ing.

Realizado por : Verónica Llanos Mamani

Ciclo : III

Grupo : “C”

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MATEMATICA III

FAING-EPIC

TACNA – PERÚ

2015

I. INTRODUCCION

Desde el principio de los tiempos las matemáticas eran primordiales tan igual como lo es ahora solo que en la actualidad las matemáticas están siendo estudiadas a profundidad y mejor entendidas. Las matemáticas es la base de todo proceso en la vida del ser humano, en esta oportunidad daremos a conocer una parte de las matemáticas, las cuales son las integrales dobles y triples.

En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables. La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.

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1.- INTEGRALES DOBLES:

Integrales múltiples e integrales iteradas (la integral de una integral)

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra el procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.

Si la expresión ∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dydx se refiere a una integral iterada, la parte externa ∫a

b

….dx

es la integral con respecto a x de la función de x: g ( x )=∫c

d

f ( x , y )dy

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dy dx ódx dy, y por lo general se calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este

caso no existe la integral doble, ya que se tiene: ∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dydx≠∫c

d

∫a

b

f ( x , y )dxdy

1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE

Las sumas empleadas para estimar la temperatura promedio en la habitación son semejantes a las sumas de Riemann que se utilizan para definir la integral definida en una función en una variable. Para una función de dos variables; decimos: Dada una función continua f ( x , y ) definida en una región rectangular a≤ x≤b y c≤ y ≤d, construimos una suma de Riemann al subdividir la región de rectángulos más pequeños. Esto se hace subdividiendo cada uno de los intervalos a≤ x≤b y c≤ y ≤d, en n y m subintervalos iguales respectivamente, y se obtienen nxm subrectángulos.

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Cada subrectángulo tiene un área ∆ A=∆ x .∆ y, siendo ∆ x=b−an

y ∆ y=d−cm

. Para

calcular la suma de Riemann, multiplicamos el área de cada subrectángulo por el valor de la función en un punto del rectángulo y sumamos todos los números resultantes.Si elegimos el valor máximo de cada función M ij, obtenemos la suma superior:

∑i , j

M ij∆ x ∆ y. La suma inferior se obtiene al tomar el valor mínimo de cada

rectángulo Lij. Luego cualquier otra suma de Riemann satisface la siguiente relación:

∑i , j

Lij∆ x ∆ y≤∑i , j

f (x i , y j )∆ x ∆ y ≤∑i , j

M ij∆ x ∆ y

Donde (x i , y j ) es cualquier punto del ij-ésimo subrectángulo.Luego, definimos la integral definida como el límite para el número de subdivisiones n y m que tienden a infinito o lo que es equivalente, la longitud de estas subdivisiones ∆ x y ∆ y tienden a cero. Tenemos entonces la siguiente definición:

Muchas veces consideramos a dA como un rectángulo infinitesimal de longitud dx y altura dy , de modo que dA=dxdy , entonces

∬D

f dA=∬D

f ( x , y )dx dy

Supongamos que la función f es continua en D, el rectángulo a≤ x≤b , c ≤ y ≤d. Definimos la integral definida de f sobre D, como:

∬D

f dA= lim∆ x→0∆ y→0

∑i , j

f (x i , y j )∆ x∆ y

Esta integral recibe el nombre de integral doble.

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1.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles.Si f ( x , y ) y g ( x , y ) son continuas sobre la región acotada D del plano entonces.

1. Linealidad: Si a es una constante:

∬D

[af ( x , y ) ] dxdy=a∬D

f ( x , y )dxdy

2. Si f ( x , y ) y g ( x , y ) son integrables sobre D

∬D

[ f ( x , y )±g (x , y ) ] dxdy=∬D

f ( x , y )dxdy ±∬D

g ( x , y )dxdy

3. Si f ( x , y ) y g ( x , y ) son dos funciones integrables sobre D / f ( x , y )≤ g ( x , y )∀ ( x , y )∈ R entonces se verifica que

∬D

f ( x , y )dxdy ≤∬D

g ( x , y )dxdy

4. Área de un dominio plano. El área de un dominio plano D es igual a la integral de Riemann sobre R de la función unidad.

Área(D)∬D

dxdy

5. Cotas de la integral. Si m y M son respectivamente una inferior y una cota superior de la función f ( x , y ) en el dominio D, se verifica que:

m . Área(D)≤∬D

f (x , y )dxdy≤ M . Área(D)

6. Aditividad sobre dominios. Si f ( x , y ) es integrable sobre el dominio D y se considera D subdividido en los dominios D1 y D2 tales que su interior sea disjunto y su unión sea el propio dominio D, entonces f ( x , y ) es integrable tanto sobre D1 como sobre D2 y se verifica:

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∬D

f ( x , y )dxdy=∬D 1

f ( x , y )dxdy+∬D 2

f ( x , y )dxdy

1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DOBLE – TEOREMA DE FUBINI

Sea f ( x , y )una función continua y no negativa sobre S, entonces la integral doble

∬S

f ( x , y )dA , puede interpretarse como el volumen del sólido cilíndrico W, con

base S y limitado superiormente por la superficie ∑ de ecuación z=f (x , y ). La sección de W dada por el plano y= y0, con y0∈ [c ,d ], es la figura plana ABB1 A1, mostrada en la figura 6, limitada superiormente por la curva z=f (x , y ) e inferiormente por z=0.

El área de la zona rayada es: ∫a

b

f (x , y0 )dx y al tomar y0 como variable y en [c ,d ], el

área de tal sección plana será una función de y:

A ( y )=∫a

b

f ( x , y )dx (1)

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Entonces si se conoce el área A ( y ) de una sección cualquiera perpendicular al plano yz, resulta para el volumen V (W ) de W:

V (W )=∫c

d

A ( y )dy (2)

Remplazando en (2) la expresión obtenida en (1)

V (W )=∬S

f ( x , y )dxdy=∫c

d

∫a

b

f ( x , y )dxdy (3)

De manera análoga, se podría haber actuado considerando áreas de secciones de W paralelas al eje y, esto es planos dados por x=x0. Se obtendría entonces:

V (W )=∬S

f ( x , y )dxdy=∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dydx (4)

Observación: Las expresiones obtenidas en (3) y (4) se llaman integrales repetidas o iteradas.

1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS

Si la región D es rectangular el Teorema de Fubini nos dice que podemos calcular las integrales dobles como integrales iteradas sin importar el orden. Esto significa que podemos calcular una integral doble integrando respecto a una variable a la vez y en cualquier orden.

Ejemplo 1

Calcular ∬S

(2 y−4 x )dxdy, siendo S= {( x , y )∈R2/1≤x ≤3 ,0≤ y≤3 }

Teorema de Fubini (forma débil): Si f ( x , y ) es continua en S, se verifica que:

∬S

f ( x , y )dydx=∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dydx=¿∫c

d

∫a

b

f (x , y )dxdy (5)¿

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Solución:Camino 1:

∫1

3

∫0

3

(2 y−4 x )dydx=∫1

3

[ y2−4 xy ] y=0

y=3dx=∫

1

3

[ 9−12 x ] dx=9−6 x2|13=−30

Camino 2:

∫0

3

∫1

3

(2 y−4 x )dxdy=∫0

3

[2 xy−2 x2 ]x=1

x=3dy=∫

0

3

[ 4 y−16 ] dy=2 y2−16|03=−30

Ejemplo 2

Calcular la siguiente integral iterada ∫0

1

∫x2

x

dydx

Solución:

∫0

1

∫x2

x

dydx=∫0

1

y|x2

xdx=∫

0

1

(x−x2 )dx= x2

2− x3

3 |0

1

=16

Ejemplo 3

Calcular la siguiente integral iterada ∫0

π

∫0

cosθ

ρ senθdρdθ

Solución:

∫0

π

∫0

cosθ

ρ senθdρdθ=∫0

π

( 12ρ2 senθ )|

0

csoθ

dθ=12∫0

π

cos2θ senθdθ=(−16

cos2θ)|0

π

=13

Ejemplo 4

Calcular ∬R

x2

1+ y2 , siendoR=[ 0,1 ] x [ 0,1 ]

Solución:En esta función las variables se pueden separar, de modo que la integral se convierte en producto de integrales simples:

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∬R

f ( x , y )dxdy=∫0

1

x2dx∫0

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1+ y2 dy=x3

3 |0

1

. arc tgy|10= π

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2. EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA R COMO INTEGRAL DOBLE

Sea R una región acotada del plano xy, el ara de R esta dada por:

Ejemplo 01:

Determinar el área de la región limitada por la curva xy=2 y la recta x+ y=3

Solución:

Intersecando entre xy=2 y x+ y=3 se tienen los siguientes puntos de corte (1,2) y (2,1)

Luego el área de la región está dada por:

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VOLUMEN DE UN SÓLIDO

El volumen V de un sólido S limitado por, la parte superior de una superficie z=f (x , y ) positiva y la parte inferior por una región R del plano XY (ver figura), esta dado por:

Ejemplo 01:

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MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y MOMENTO DE INERCIA DE UNA “LÁMINA FINA” PLANA

Consideremos una “lámina fina”que tenga la forma de una región plana R. Supongamos que la materia está distribuida por toda la lámina con una densidad conocida.

Ejemplo :

Calcular el centro de gravedad de:

MOMENTO DE INERCIA

Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y respectivamente son:

Ejemplo:

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VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos.El volumen del sólido (S) acotado inferiormente por R R2 y superiormente por la gráfica ∈de f : R R2 → R (función no negativa en R), viene dado por:∈

Ejemplo:

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2.- INTEGRALES TRIPLES

2.1. UN EJEMPLO QUE CONDUCE AL CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE

Supóngase un cuerpo material W, que ocupa una región R cerrada y acotada en el espacio, siendo (P) ó (x,y,z) la densidad de distribución de masas en cada punto P = (x,y,z) de R. Se trata de hallar la masa de dicho cuerpo.

Para ello se efectúa una partición P de R en subregiones elementales Rk (k=1,.......,N)

De respectivos volúmenes V(Rk), siendo y

si .

En cada región elemental Rk se escoge un punto arbitrario Pk(xk,yk,zk) y se supone como aproximación que en cada Rk la densidad es constante e igual a (xk,yk,zk).La masa M(W) del cuerpo W será aproximadamente :

Intuitivamente se ve que estas aproximaciones a M (W) serán tanto mejores cuanto menor sea el diámetro d(P) de la correspondiente partición P.

Puede imaginarse la masa de W, como un cierto límite de las sumas anteriores.

En esta idea se apoya el concepto integral triple.

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No significa que una integral represente únicamente una masa. El concepto es más amplio y se utilizará en cualquier problema real cuya resolución conduzca a considerar ciertos límites de sumas como las anteriores citadas.

2.2. CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE

Es una generalización del concepto de integral doble.

o Se considera ahora una función f (x , y , z) definida y acotada en una región R cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones elementales Rk (k=1 ,....... N ) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el conjunto de tales particiones de R.

o Actuando de forma análoga a la vista para las integrales dobles, tras la elección de un punto Pk (xk , yk , zk ) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f (x , y , z) en R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de elección e:

o Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre de integral triple de f(x,y,z) en R.

Se escribe:

Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría:

Y el límite antes citado suele designarse como:

2.3. CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES INTEGRABLES

Puede demostrarse que, de forma análoga al caso de las integrales dobles, se verifica:

a) Si f (x , y , z) es continua en una región R del espacio, cerrada y acotada,

entonces f es integrable en R.

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b) También es f (x , y , z) integrable en R si, siendo acotada en tal región, es

continua en la misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida

nula, por ejemplo el conjunto de puntos de una superficie de área finita (Un

conjunto A del espacio se dice de medida nula, si puede ser recubierto con un

conjunto finito o numerable de intervalos del espacio, cuya suma de volúmenes sea

tan pequeña como se quiera).

2.4. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las

propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes de

monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los

correspondientes para las integrales dobles.

I.5. INTEGRALES TRIPLES IMPROPIAS

El concepto y definiciones son análogos a los vistos para las integrales dobles.

I.6. CALCULO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CARTESIANAS.

En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizando métodos numéricos.

Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples, se necesitarán tres integrales simples reiteradas.

De forma análoga a lo visto para las integrales dobles, puede demostrarse ahora:

2.6.1Caso en que la región R es un intervalo

“Si

y f ( x , y , z ) es integrable en , entonces :

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(1)

Pudiendo variarse el orden de integración (6 formas distintas)

2.6.2 Casos de regiones de forma especial

Sea R la región de la Figura, es

Decir:

Donde R´ es la proyección de R sobre el plano XY. (R es tal que cualquier recta paralela al eje OZ sólo cortará a la superficie frontera de R en dos puntos a lo sumo, o en un segmento).

Entonces: Si f (x , y . z) es continua en R, se verifica:

=∬R ' dxdy ∫ϕ1(x , y )

ϕ2 ( x, y )

f ( x , y , z ) dz (2)

Análogamente para las regiones R que cumplan las condiciones equivalentes respecto a los otros ejes. Habría así otras dos formas posibles, proyectando sobre los planos XZ ó YZ.

6.2.2 Si a su vez es:

Descomponiendo la integral doble de (2) extendida a , en dos integrales simples reiteradas, resulta:

(3)

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También podría haberse hecho un cambio de variables en tal integral doble sobre .

2.6.2.3. Si pudiera determinarse finalmente la sección Rz de R por cada plano perpendicular al eje OZ, a la altura z, se tendría:

(4)

Análogamente si se consideran secciones por planos perpendiculares a los otros ejes.

2.6.3 Otras regiones de integración

Si la región R no es de uno los tipos citados anteriormente, se intenta descomponerla en subregiones Ri( i=1 ,...... , n) sin elementos interiores comunes, siendo los Ri de los modelos antes citados.

Por la propiedad de la aditividad respecto a la región de integración, es:

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EJEMPLO 01:

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EJEMPLO 02:

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