T´opicosdeMecˆanicaQuˆantica Maria da Concei¸ c˜aoRuivo Departamento de F´ ısica da FCTUC 2007/2008 Conte´ udo 1 Momento Angular 1 1.1 Introdu¸ c˜ao ............................. 1 1.2 Momento Angular Orbital .................... 2 1.3 Momento Angular Intr´ ınseco - Spin ............... 7 1.4 Momento Angular - Formalismo Gen´ erico ............ 8 1.5 O Spin ............................... 13 2 Teoria de Perturba¸c˜oes Independente do Tempo 16 2.1 Introdu¸ c˜ao ............................. 16 2.2 Descri¸ c˜aodoM´ etodo para estados n˜ao degenerados. ..... 17 2.3 Corre¸ c˜oes de primeira ordem ................... 19 2.4 Correc¸ c˜oes de segunda ordem `a energia ............ 21 2.5 Teoria de perturba¸ c˜oes independentes do tempo para n´ ıveis degenerados ............................ 23 3 Teoria de Perturba¸c˜oes Dependentes do Tempo 26 3.1 Formula¸ c˜ao do problema ..................... 26 3.2 Resolu¸ c˜ao aproximada da equa¸ c˜aodeScrh¨odinger ....... 28 3.3 Probabilidade de transi¸ c˜ao de primeira ordem ......... 30 3.4 Probabilidade de transi¸ c˜ao para uma perturba¸ c˜aoconstante no tempo ............................. 31 3.5 Transi¸ c˜ao para um cont´ ınuo de estados ............. 32 0
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T´opicos de Mecˆanica Quˆantica - Universidade de Coimbra1 Momento Angular 1.1 Introdu¸c˜ao O momento angular desempenha, como sabemos, um papel importante em Mecˆanica Cl´assica.
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Uma vez que as funcoes proprias de H0 estao normalizadas a unidade a
equacao anterior e satisfeita se igualarmos a zero os coeficientes das diferentes
potencias de λ.
Isso conduz a um sistema de equacoes, mas, para os nossos objectivos,
basta-nos analisar a primeira:
(0) < k|k >(1) + (1) < k|k >(0) = 0 (19)
20
que conduz a:
∑
n[(0)< k|n >(0) cn
(1) + cn(1)∗ (0) < n|k >(0) ] = 0. (20)
Devido a condicao de ortogonalidade das funcoes proprias de H0, esta equacao
conduz a ck(1) + ck
(1)∗ = 0, o que significa que ck(1) e um imaginario puro,
podendo, por exemplo, escrever-se na forma ck(1) = i γ. A funcao de onda
pode entao escrever-se:
|k > = |k >(0) (1 + i γ λ) + λ∑
n6=k
Vnk
Ek(0) − En
(0)|n >(0) (21)
Uma vez que λ e um parametro muito pequeno podemos admitir que
1 + i γ λ ≃ eiγλ. Por conseguinte c(1)k contribui apenas para um factor de
fase. Uma vez que a funcao de onda e determinada a menos de um factor de
fase, podemos fazer este coeficiente igual a zero.
Em resumo, a introducao de correccoes de primeira ordem para o calculo
de funcoes proprias e valores proprios, conduzem, respectivamente, aos seguintes
resultados:
|k > = |k >(0) + λ∑
n6=k
Vmk
Ek(0) − Em
(0)|n >(0) (22)
Ek = E(0)k + λVkk (23)
2.4 Correccoes de segunda ordem a energia
O processo a seguir para calcular correccoes de segunda ordem e paralelo
ao anterior, conquanto um pouco mais complicado. Em muitos problemas e
suficiente calcular correcoes de primeira ordem a funcao de onda e de primeira
e de segunda ordem a energia. Vejamos como se calculam as as correccoes
de segunda ordem a energia.
21
Para o efeito vamos fazer uso da terceira equacao do sistema de equacoes
(8)
H0 |k >(2) + V |k >(1) = Ek(0) |k >(2) + Ek
(1) |k >(1) + Ek(2) |k >(0) (24)
e, tal como fizemos para |k >(1), vamos desenvolver |k >(2) na base das
funcoes proprias de H0:
|k >(2) =∑
ncn
(2) |n >(0) (25)
e substituimos na terceira equacao do sistema atras referido:
H0
∑
ncn
(2) |n >(0) + V∑
ncn
(1) |n >(0)
= Ek(0)
∑
ncn
(2) |n >(0) + Ek(1)
∑
ncn
(1) |n >(0) + Ek(2) |k >(0) . (26)
Multiplicamos escalarmente a esquerda por |k >(0)m :
∑
ncn
(2) En(0) δmn +
∑
ncn
(1)Vmn = Ek(0)
∑
ncn
(2) δmn + Ek(1)
∑
ncn
(1) δmn +Ek(2) δmk
(27)
Analisando esta equacao (de facto temos aqui uma equacao matricial,
isto e , um sistema de equacoes, tantas quantos os valores possıveis de m)
verificamos que para m = k:
c(2)k E
(0)k +
∑
ncn
(1) Vkn = Ek(0) c
(2)k + Ek
(1) ck(1) + Ek
(2) (28)
que conduz a:
Ek(2) =
∑
n6=k
Vnk Vkn
Ek(0) − En
(0)(29)
Teremos, finalmente, a seguinte expressao para a energia com correcoes
de segunda ordem:
Ek = E(0)k + λVkk + λ2
∑
n6=k
Vnk Vkn
Ek(0) − En
(0)(30)
22
2.5 Teoria de perturbacoes independentes do tempo
para nıveis degenerados
Em muitos casos de interesse fısico alguns nıveis de energia de um hamiltoni-
ano simples sao degenerados. E o que acontece sempre que o hamiltoniano e
invariante sob uma transformacao de simetria, tais como reflexao ou rotacao
espacial, por exemplo. E tambem frequente que haja nıveis de energia muito
proximos, embora nao degenerados. Estas situacoes apresentam um prob-
lema relativamente ao calculo da energia em segunda ordem. Sabemos que,
para que a expansao da funcao de onda e dos valores proprios do hamiltoni-
ano faca sentido e seja util, e necessario que a serie convirga rapidamente,
caso contrario o calculo torna-se muito pesado. Ora, se tivermos nıveis de-
generados ou muito proximos, os termos de segunda ordem para a energia:
λ2∑
k 6=n
|Vkn|2
E(0)K − E
(0)n
(31)
tem contribuicoes infinitas ou excessivamente grandes. E, por conseguinte,
necessario desenvolver tecnicas que nos permitam lidar com estas situacoes.
Passamos a descrever o metodo para o caso de dois nıveis degener-
ados.
Vamos considerar um sistema com dois nıveis degenerados, k = 1, k = 2.
Se a perturbacao levantar a degenerescencia da energia em primeira ordem
o calculo das correccoes de segunda ordem a energia ja nao apresentara os
problemas atras referidos. Comecemos por usar, em vez da base:
|k >(0), k = 1, 2, 3, 4, ... (32)
a base
|ψ1 > |ψ2 >, |3 >(0), |4 >(0), ... (33)
23
onde:
|ψi >= aij|j >, i, j = 1, 2 (34)
Vamos impor duas condicoes relativamente a matriz:
A =(
a11 a12
a21 a22
)
(35)
Por um lado ela tera de ser unitaria, por forma a garantir a ortonor-
malizacao dos kets |ψ1 > e |ψ2 > (desta forma a nova base continuara
a ser ortonormal); por outro lado tera que diagonalizar a perturbacao V
no subespaco degenerado. Se esta ultima condicao nao for satisfeita a de-
generescencia tera que ser levantada em segunda ordem. Definido a matriz,
B =(
V11 V12
V21 V22
)
(36)
com Vij =(0)< i|V |j >(0) , i, j = 1, 2, a segunda condicao sera garantida
se ABA+ for diagonal. Teremos, pois, que resolver uma equacao de valores
proprios do tipo:
B
(
α
β
)
= b
(
α
β
)
(37)
α e β designam agora genericamente os coeficientes de expansao dos kets no
subespaco degenerado. A condicao det(B − b) = 0 conduz a equacao:
(V11 − b) (V22 − b) − |V12|2 = 0 (38)
que tem as raızes:
b± =1
2[V11 + V22 ±
√
(V11 − V22)2 + 4|V12|2 ] (39)
tgθ =2|V12|
V11 − V22
(40)
que implica:
b+ =1
2[V11(1 + secθ) + V22(1 − secθ)] (41)
24
b− =1
2[V11(1 − secθ) + V22(1 + secθ)] (42)
Passemos a determinacao dos vectores proprios. Da equacao de valores
proprios (eq. 37), extraımos:
α
β= − V12
V11 − b(43)
De onde resulta:α+
β+= − tgθ
1 − secθ= cotg
θ
2(44)
α−β− = − tgθ
1 + secθ= −tg
θ
2(45)
Atendendo a condicao de ortonormalizacao de |ψ1 > e |ψ2 >, podemos fixar:
|ψ1 >= cosθ
2|1 >(0) +sin
θ
2|2 >(0) (46)
|ψ2 >= −sinθ
2|1 >(0) +cos
θ
2|2 >(0) (47)
Por este processo calculamos a correccao de primeira ordem a energia para
nıveis degenerados e fixamos a base que nos permite calcular as correccoes a
funcao de onda e a energia em ordens mais elevadas. Esse calculo faz-se de
forma analoga ao exposto anteriormente para o caso de estados nao degenera-
dos. O metodo e facilmente generalizado para outras ordens degenerescencia.
25
3 Teoria de Perturbacoes Dependentes do
Tempo
3.1 Formulacao do problema
Estudamos, ate agora, problemas em que o hamiltoniano do sistema nao
depende explicitamente do tempo. Contudo, na natureza aparecem-nos fre-
quentemente sistemas quanticos em que o hamiltoniano tem uma dependencia
temporal explıcita . E, por conseguinte, necessario aprender a resolver a
equacao de Schodinger dependente do tempo nestes casos, de forma a poder
saber qual a evolucao temporal do sistema, conhecido o seu estado inicial. A
Teoria de Perturbacoes Dependente do Tempo e um metodo de aprox-
imacao que nos permite lidar com estas situacoes. O pressuposto basico do
metodo consiste em admitir que o hamiltoniano se pode separar em duas
partes, uma das quais nao depende explicitamente do tempo e cuja equacao
de valores proprios se supoe resolvida, e outra que depende do tempo e pode
ser tratada com uma perturbacao, no sentido que foi indicado no capıtulo
anterior.
Normalmente, estamos interessados em calcular a probabilidade de transicao
do sistema, incialmente num estado estacionario do hamiltoniano nao per-
turbado, para outro estado estacionario do referido hamiltoniano, devido a
accao de uma perturbacao. Exemplos concretos sao a ionizacao ou excitacao
de um atomo por accao de um campo electrico externo, processos de colisao,
etc.
Formulemos o problema de uma forma mais explıcita:
i) Para t ≤ 0 o sistema esta num estado proprio do hamiltoniano H0,
que designaremos por |k >i. H0 e um hamiltoniano discreto e nao
degenerado, que nao depende explicitamente do tempo, cujos estados
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proprios e valores proprios, que satisfazem, naturalmente, a equacao de
valores proprios,
H0 |n >= En |n > (48)
sao conhecidos.3
ii) No instante t = 0 e ”ligado”um potencial externo que depende explici-
tamente do tempo e que vamos admitir poder ser tratado como uma
perturbacao. O hamiltoniano do sistema pode escrever-se na forma:
H = H0 + λV (t) (49)
onde λ e um parametro pequeno (λ ≪ 1), tal como anteriormente.
No instante generico, t ≥ 0 o sistema estara num estado |ψ(t) >, que e
solucao da equacao de Schrodinger dependente do tempo,
i h∂ |ψ(t) >
∂t= H |ψ(t) > (50)
sujeita a condicao inicial |ψ (t = 0) > = |i >.
iii) pretendemos calcular a probabilidade de que o sistema , estando ini-
cialmente no estado proprio de H0, |i >, se encontre no instante t ≥ 0
num outro estado proprio de H0, |f >. Essa probabilidade de transicao
e, por definicao:
Pfi = | < f |ψ (t) > |2 (51)
Tudo se resume, por conseguinte, a resolver a equacao de Schrodinger
dependente do tempo [ESDT].
3De notar que estes podem ter sido obtidos mediante a resolucao exacta da equacao devalores proprios (se isso for possıvel) ou por meio de um metodo aproximado, como, porexemplo, a Teoria de Perturbacoes Independente do Tempo.
27
3.2 Resolucao aproximada da equacao de Scrhodinger
Uma vez que o hamiltoniano nao perturbado, H0, nao depende explicitamente
do tempo, sabemos que a solucao da ESDT:
i h∂ |φ >
∂ t= H0 |φ > (52)
pode escrever-se:
|ψ (t) > =∑
n
cn |n > e−ih
En t (53)
O nosso ponto de partida vai ser admitir que a equacao da ESDT com o
hamiltoniano verdadeiro (eq.3) tem solucoes da forma:
|ψ (t) > =∑
n
cn (t )|n > e−ih
En t (54)
onde cn (t) designa coeficientes a determinar.
Substituindo esta expressao na eq. 3 obtemos:
[ H0 + λV (t) ]∑
n
cn (t )|n > e−ih
En t =
= i h∑
n
(dcn
dt|n > e−
ih
En t − i
hcn(t) En |n > e−
ih
En t ) (55)
Multiplicando esta equacao escalarmente a direita por |m >, facilmente
se obtem:
i hdcm
dt= λ
∑
n
cn (t ) Vmn (t)ei ωmn t (56)
onde Vmn (t) = (< m|V (t)|n > ) e h ωmn = Em − En.
Resolver o sistema de equacoes condensado nesta expressao e equivalente
a resolucao da ESDT. Se conseguirmos resolver este sistema de equacoes
teremos a solucao exacta dessa equacao. O nosso objectivo e , no entanto,
28
procurar solucoes aproximadas. Tendo em conta que o parametro λ e pe-
queno, vamos desenvolver cm(t) em serie de potencias de λ e admitimos que
a serie converge rapidamente:
cm (t) = cm(0) (t) + λ cm
(1) (t) + λ2 cm(2) (t) + ... (57)
Substituindo na equacao (9) e igualando os coeficientes de iguais potencias
de λ obtemos:
i hdcm
(0)
dt= 0
i hdcm
(1)
dt=
∑
n
cn(0) (t ) Vmn (t)ei ωmn t
i hdcm
(2)
dt=
∑
n
cn(1) (t ) Vmn (t)ei ωmn t
........................................... (58)
Podemos, por conseguinte, sabido cm(0) (t), obter, por integracoes suces-
sivas, todos os outros coeficientes.
Para determinar cm(0) (t) vamos utilizar a primeira equacao do sistema
anterior e a condicao inicial. Da equacao dcm(0)
dt= 0 resulta que cm
(0) (t) e
uma constante. Da condicao inicial |ψ (t = 0) > = |i >, resulta:
|i > =∑
n
cn(0) |n > =⇒ cn(0) = δni (59)
Atendendo ao facto de cn(0) (t) ser constante e a expansao dada pela eq.7,
facilmente concluimos que cn(0) (t) = δni.
Teremos, por conseguinte,
i hdcm
(1)
dt=
∑
n
δni Vmn (t)ei ωmn t, (60)
29
de onde resulta:
cm(1) (t) = − i
h
∫ t
0Vmi(t
,) ei ωmi t, dt,. (61)
Este coeficiente da-nos a correcao de primeira ordem. Introduzindo cm(1) (t)
na terceira equacao e integrando iremos obter a correccao de segunda ordem
e assim sucessivamente. Vamos limitar-nos a calcular correccoes de primeira
ordem.
3.3 Probabilidade de transicao de primeira ordem
Substituindo a expressao dada pela eq. 13 na definicao da eq. 4 teremos:
Pfi(1)(t) = |
∑
n
cn (t) e−ih
Ent < f |n > |2 = λ2 |cf (t)|2 (62)
A probabilidade de transicao de um estado |i > para um estado |f >, com
f 6= i, em primeira ordem, sera dada por:
Pfi(1) (t) =
λ2
h2 |∫ t
0Vfi(t
,) ei ωfi t, dt, |2 , (63)
com Vfi (t) = < f |V (t) |i > e h ωfi = Ef − Ei. Se definirmos V = λV a
expressao vira naturalmente,
Pfi(1) (t) =
1
h2 |∫ t
0Vfi (t
,) ei ωfit,
dt, |2 (64)
30
Figura 1: Probabilidade de transicao em funcao da frequencia
3.4 Probabilidade de transicao para uma perturbacao
constante no tempo
Consideremos uma perturbacao que, durante o intervalo de tempo em que
actua, se mantem constante. Neste caso os coeficientes c(1)f (t) vem simples-
mente da forma:
c(1)f (t) = − i
hVfi
∫ t
0ei ωfi t, dt, = −1
hVfi
eiωfit − 1
ωfi
, (65)
vindo a probabilidade de transicao:
Pfi(1) (t) =
4
h2 |Vfi|2sin2 (
ωfit
2)
ωfi2
. (66)
Se representarmos graficamente Pfi(1) (t) em funcao de ωfi (ver figura 1)
verificamos que e uma funcao oscilante com um pico pronunciado em ωfi = 0
(notar que limα→0sin2 α
α2 = 1).
Lembrando que h ωfi = Ef −Ei verificamos, face a este resultado, que ha
uma ressonancia em torno do estado inicial, isto e, sao favorecidas transicoes
para estados muito proximos em energia do estado inicial. Isto nao e mais
do que uma manifestacao do princıpio da conservacao da energia – a energia
do estado inicial e quase conservada.
31
3.5 Transicao para um contınuo de estados
.
Regra de Ouro de Fermi
Na pratica as transicoes dao-se frequentemente para um contınuo de es-
tados finais proximos em energia e nao para um unico estado discreto. Nao
se poe entao o problema de calcular a probabilidade de transicao para um
unico estado final. As previsoes relativas a uma medida devem fazer intervir
uma soma sobre um certo grupo de estados finais possıveis.
Vejamos um exemplo concreto:
Consideremos a difusao por um dado potencial de uma partıcula (inicial-
mente livre) sem spin e de massa m. Podemos desenvolver o estado generico
ψ (t) na base das funcoes proprias do operador quantidade de movimento.
O detector que regista a chegada da partıcula final emite um sinal logo que
chega uma partıcula de quantidade de movimento pf (energia Ef =p2
f
2m).
No entanto, o detector tem uma certa abertura angular. Ele regista, por
conseguinte, todas as partıculas com quantidade de movimento no interior
de um angulo solido dΩf , ou, se quizermos falar em termos de energia, com
uma energia compreendida no intervalo dEf .
Para analisar este tipo de problemas vamos introduzir a definicao de den-
sidade de estados finais. Designando genericamente por dNf o numero de
estados finais na gama de energias dEf , definimos a densidade de estados
finais como ρ (Ef ) =dNf
dEf, ou seja o numero de estados finais por unidade
de energia. A probabilidade de transicao para esse contınuo de estados, em
primeira ordem, sera entao dada por:
Pfi(1) (t) =
∫
D (Ef )dNf |c(1)
f |2 4
h2
∫
D (Ef )ρ (Ef ) |Vfi|2
sin2 ωfit
2
ω2fi
dEf (67)
32
Admitindo que a densidade de estados finais, bem como a perturbacao, sao
constantes, poderemos escrever:
Pfi(1) (t) =
4
hρ (Ef ) |Vfi|2
∫ +∞
−∞
sin2 ωfit
2
ω2fi
dωfi (68)
De notar que, ao transformar o integral da eq.19 no da eq.20 se tem em conta
a forma especıfica da funcao integranda, que, como podemos ver na figura 1,
tem um maximo pronunciado para ωfi = 0 e tende duma forma oscilatoria
rapidamente para zero. Este integral e conhecido 4 e conduz a:
Pfi(1) (t) =
2π t
hρ (Ef ) |Vfi|2 (69)
Normalmente estamos interessados em calcular a probabilidade de transicao
por unidade de tempo:
Tfi(1) (t) =
2π
hρ (Ef ) |Vfi|2 (70)
Esta expressao e conhecida por Regra de ouro de Fermi e e de grande