PHÉP ĐẾM NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU TOÁN RỜI RẠC 1
PHÉP ĐẾM
NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU
TOÁN RỜI RẠC
1
2
NỘI DUNG
1.Giới thiệu
2.Các định lí
3.Ứng dụng
4.Ví dụ & bài tập
5.Kết luận
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
3
Giới Thiệu Nguyên L ý
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Nguyên lý chuồng bồ câu được dùng rất nhiều trong
thực tế:
“Trong một lớp có 40 học sinh thì luôn có ít nhất
4 người bằng điểm nhau” (thang điểm 10 và điểm là số
nguyên)
“Nhốt 5 con thỏ trong 4 cái chuồng thì có một cái
chuồng có ít nhất 2 con thỏ”
4
Giới Thiệu Nguyên L ý
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Nguyên lí chuồng bồ câu được cho được Johann
Dirichlet phát biểu lần đầu tiên vào năm 1834 dưới
tên “Schubfachprinzip”
5
Vài Nét Về Dirichlet
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Dirichlet tên đầy đủ là Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet (1805-1859)
Ông sinh ra tại Düren (Đức) và học tại đại học Bonn và
từng công tác đại học Berlin. Ông được xem là người
đầu tiên đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm số:
6
Vài nét về Dirichlet
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Các định lý mang tên Định lý Dirichlet:
Định lý Dirichlet về cấp số cộng
Định lý Dirichlet về xấp xỉ diophantine
Định lý Dirichlet về phần tử đơn vị
7
Vài nét về Dirichlet
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
(1805-1859)
8
Nguyên lý chuồng bồ câu
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Định Lý 1:
“Nếu xếp m đối tượng vào n cái hộp và m > n
thì có ít nhất một cái hộp chứa từ 2 đối tượng
trở lên”
9Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Ví dụ:
Có 10 con bồ câu nhưng lại chỉ có 9 ô thì có ít
nhất một ô có 2 con bồ câu
Nguyên lý chuồng bồ câu
10Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Định Lý 2:
“Nếu xếp N đối tượng vào k cái hộp thì tồn tại
ít nhất một cái hộp chứa N/k đối tượng.”
N/k là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc
bằng N/k.
Nguyên lý chuồng bồ câu
11Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Ví dụ:
- Trong lớp có 43 sinh viên nên có ít nhất 4 sinh viên
sinh cùng một tháng.
( 4 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 43/12)
- Nếu lấy 20 trái cam chia cho 9 người thì có một
người được từ 3 trái trở lên
Nguyên lý chuồng bồ câu
12Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Định Lý 3:
“Một dãy số có n2+1 số thực khác nhau thì bao
gồm trong nó ít nhất một dãy số có n+1 số mà dãy
đó tăng dần hoặc giảm dần.”
Nguyên lý chuồng bồ câu
13Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Ví dụ:
Dãy số số sau có 10 số khác nhau : 10, 17, 8, 4, 12,
15, 18, 9, 7, 1
Nên dãy trên có ít nhất một dãy có 4 số mà dãy đó
tăng dần hoặc giảm dần.
10, 12, 15, 18 là dãy tăng dần…
Nguyên lý chuồng bồ câu
14
Ứng Dụng
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Nguyên lý chuồng bồ câu được vận dụng rất nhiều trong thực tế.
Nhờ nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng
chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp
tìm vật cụ thể.
Ví dụ:
Trong toán học: chứng minh sự tồn tại của một số chia hết 2011
mà các chữ số đều bằng 1
15
Ứng Dụng
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Trong thực tế:
- Trong 64 người thi ít nhất có 2 người sinh ra ở
cùng 1 tỉnh.
- Nếu bạn bắn rơi n con bồ câu với m lần bắn
(m < n) thì có ít nhất một lần bạn bắn rơi hơn một con
bồ câu.
- Được sử dụng trong một số trò ảo thuật…
16
Một số Ví Dụ
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
1)
Chứng minh rằng nếu có 101 người có chiều cao khác
nhau đang xếp thành một hàng thì luôn tìm được 11
người trong hàng xếp theo mà 11 người này đang xếp
theo chiều cao tăng dần hoặc giảm dần.
17
Một số Ví Dụ
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Bài giải
Xem chiều cao của 101 người là một dãy 101 số khác
nhau.
Ta có: 101 = 102 + 1
Theo định lý 3 ta có trong dãy 101 số trên có một dãy 11
số (10 + 1) mà dãy đó tăng dần hoặc giảm dần (đpcm)
18
Một số Ví Dụ
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
2) Chứng minh rằng trong số 12 số tự nhiên bất kỳ có
thể chọn hai số có hiệu chia hết cho 11.
Bài giải:
Khi chia 12 số bất kỳ cho 11 ta sẽ có mỗi số có
một số dư trong 11 số dư: 0, 1, 2,…, 10. Do đó theo
nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất hai số có cùng
số dư. Hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 11.
19
Một số Ví Dụ
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
3) Có 5 đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với
mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời
gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu
bằng nhau .
20
Một số Ví Dụ
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Bài giải:
Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là 0, 1, 2, 3,
4. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu 4
trận và một người chưa đấu trận nào => có tối đa 4 loại
số trận đã đấu.
Vận dụng nguyên lý chuồng bồ câu ta có ít nhất có 2
người có cùng số trận đã đấu.
21
Một số Ví Dụ
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
4) CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn
chữ số 1 chia hết cho 2007.
Bài giải:
Xét 2008 số gồm toàn chữ số 1. Theo nguyên lý
chuồng bồ câu sẽ tồn tại 2 số khi chia cho 2007 cùng
số dư.
22
Một số Ví Dụ
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Giả sử số a = 11…1(có m chữ số 1)
b = 11…1(có n chữ số 1)
(m > n)
a – b = 11…1 .10n (có m - n chữ số 1)
Vì a và b có cùng số dư khi chia cho 2007 nên a –b
chia hết cho 2007
mà 10n không chia hết cho 2007
nên 11…1(có m - n chữ số 1) chia hết cho 2007(đpcm)
23
Bài Tập
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
1 .CMR: tồn tại một số tự nhiên: 0<x <17sao cho
(25x - 1) chia hết cho 17
2. Chứng minh trong n người (n≥2) thì luôn có ít
nhất 2 người có số người quen (trong số n người)
giống nhau .
24
Bài Tập
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
3. Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi
đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác
có tỉ số diện tích 2:3. CMR trong số 13 đường
thẳng đó, có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một
điểm.
25
Hướng Dẫn Bài Tập
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Câu 1:
Sử dụng phương pháp phản chứng.
(giả sử không có số x nào thỏa yêu cầu => không có
2 số x sao cho (25x-1) khi chia 17 có cùng số dư (ở
đây sử dụng phương pháp chứng minh gián tiếp) từ
đó suy ra 25x chia hết cho 17 (vô lý)).
26
Hướng Dẫn Bài Tập
Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm
Câu 2:
Có thể tham khảo ví dụ 3
Câu 3:
Chỉ ra 4 điểm mà các đường thẳng đi qua nó sẽ
chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là
2:3