TOÁN CAO CẤP 1 · 7/3/2016 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Định nghĩa ma trận

7/3/2016

1

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Định nghĩa ma trận

• Một ma trận A cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột.

11 12 1

21 22 2

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

a a a

a a ahay A

a a a


Định nghĩa ma trận

• Ký hiệu ma trận:

• Ví dụ:

ij m nA a

1 2 7 0

4 5 7 1

0 2 8 9

A


Ma trận vuông • Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.

• Đường chéo chính gồm các phần tử:

11 12 1

21 22 2

ij

1 2

n

n

n n nn

n n

a a a

a a aA a

a a a

11 22, ,...,

nna a a


Các dạng ma trận đặc biệt 1. Ma trận không:

2. Ma trận hàng

3. Ma trận cột

4. Ma trận tam giác trên

5. Ma trận tam giác dưới

6. Ma trận chéo

7. Ma trận đơn vị

8. Ma trận bậc thang


Ma trận không

• Tất cả các phần tử đều bằng 0.

• Ký hiệu: 0 hay 0mxn

0 0 0

0 0 00 0

0 0 0

m n

7/3/2016

2


Ma trận hàng, cột

• Ma trận hàng: chỉ có một hàng

• Ma trận cột: chỉ có một cột

1

21 2 3 4 5

4

5

A B


Ma trận tam giác trên

1 2 3 41 2 3

0 0 2 10 4 5

0 0 8 90 0 6

0 0 0 4

A B

• Ma trận vuông

• Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0


Ma trận tam giác dưới

1 0 0 01 0 0

2 0 0 03 4 0

0 6 8 05 0 6

9 3 1 4

A B


• Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0


Ma trận chéo

1 0 0 01 0 0

0 0 0 0 00 4 0

0 0 8 0 00 0 6

0 0 0 4

aA B C

b


• Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

• Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0


Ma trận đơn vị

2 3 4

1 0 0 01 0 0

1 0 0 1 0 00 1 0

0 1 0 0 1 00 0 1

0 0 0 1

I I I

• Ma trận chéo

• Các phần tử chéo đều bằng 1.

• Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n


Ma trận bậc thang

• Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.

• Ma trận bậc thang:

– Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.

– Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

7/3/2016

3


Ví dụ 1

2 1 0 0

0 0 7 1

0 4 8 9

0 0 0 9

3 1 0 0 3

0 0 0 1 2

0 0 0 9 1

A

B

Không là bậc thang

Không là bậc thang


Ví dụ 2

2 1 0 0

0 4 8 9

0 0 7 1

0 0 0 0

3 1 0 0 3

0 0 3 1 2

0 0 0 9 1

C

D

bậc thang

bậc thang


Các dạng phép toán trên ma trận

1. Ma trận bằng nhau

2. Cộng hai ma trận cùng cấp

3. Nhân một số với ma trận

4. Nhân hai ma trận

5. Ma trận chuyển vị

6. Lũy thừa của một ma trận


Hai ma trận bằng nhau

• Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

1 2

4 5

2

1

4

5

a dA B

b c

a

dA B

b

c


Cộng hai ma trận

• Cộng các phần tử tương ứng với nhau

• Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

1 2

4 5

2 1

4 5

a dA B

b c

a dA B

b c


Nhân một số với ma trận

• Nhân số đó vào tất cả các phần tử

1 2 6

4 5

2 22

2 2

2 6

4 5

a dA B

b c f

aA

b c

k dk kkB

k k fk

7/3/2016

4


Ví dụ

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

)

)2 3

1 2)3 7

A B

a A B

b A B

c A B


Phép nhân hai ma trận

• Cho 2 ma trận:

• Khi này ma trận A nhân được với ma trận B

• Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau.

;m n n kA B

.m k kn mnA B C


Qui tắc nhân

• Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.

hang cotijc i j

C A B


Ví dụ • Các ma trận nào nhân được với nhau?

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

1 2

2 4 1 2 3

0 1 2 4 1

3 7

A B

C D


Định thức • Cho ma trận A vuông, cấp n.

• Định thức của ma trận A, ký hiệu:

• Đây là một số thực, được xác định như sau:

det A hay A

11 111 1

11 12

11 22 21 1221 22 2 2

det

det . .

A a thì A a

a aA thì A a a a a

a a


Định thức cấp n≥3 • Dùng phần bù đại số

• Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.

11 12 1

21 22 2

1 2

......

......

.............................

......

n

n

n n nn n n

a a a

a a aA

a a a

7/3/2016

5


4 4

3 21 0 9

1 7 1 2

2 14 0 6

6 42 1 13

A

Ví dụ • Cho ma trận:

23 23

3 21 9

2 14 6

6 42 13

M Mboû haøng 2 vaø coät 3

M23=???


Phần bù đại số

• Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau:

ij ij1 deti j

A M

ij ij1i j

A M


Khai triển định thức

• Định thức của ma trận vuông cấp n:

• Đây là khai triển theo dòng 1.

• Ta có thể khai triển dòng bất kz.

11 11 12 12 1 1det . . ...

n nA a A a A a A

1 1 2 2det . . ...

i i i i in inA a A a A a A


Ví dụ

• Tính định thức ma trận sau:

1 2 3 41 2 3

0 5 7 60 5 7

1 2 8 51 2 8

0 0 0 2

A B


Định thức cấp 3

• Ta dùng qui tắc sau:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

det . . . . . .

. . . . . .

A a a a a a a a a a

a a a a a a a a a


Ví dụ

• Tính lại định thức ma trận sau:

1 2 3 1 2 1

0 5 7 0 1 0

1 2 8 2 2 2

5 7 6 0 1 1

1 2 5 1 2 2

0 3 9 3 3

A C

m m

m

B D

m

7/3/2016

6


Tính chất của định thức

1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kz để tính định thức.

2. det(A)=det(AT)

3. det(AB)=det(A). det(B)

4. det(kA)=kndet(A)

5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu.

6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức tăng lên k lần.


Tính chất của định thức

7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp thứ 3 thì định thức không thay đổi.

8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức bằng 0.

9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.

10.Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

11.Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức


Tính chất 11

Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức

1 3 1 3 1 3

0 7 0 7 0 7

1 8 1 8 1 8

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 4 6 5 7

10 12

2 2

5 5

2

5 10 12 5 1

6 6

1

2

2 4 5

4 14

16 16

3 6 7

0 12 5


Ma trận nghịch đảo

• Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho:

• Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu: A-1

.

.n

n

AB I

B A I


Tính chất

1

1 1

11

. .n

A

AA A A I

A

i) khaû nghòch toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A

ii)

iii) Ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù)

thì duy nhaát, vaø:

A


Tính chất

1 1 1

1 1 1 1

11

1

. ;

1det

det

T

TT

AB B A

ABC C B A

A A

AA

iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì:

v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch:

vi)

7/3/2016

7


Điều kiện để ma trận khả nghịch

• Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:

det 0

det 0

nA A I

A r A n

A A

A A

i) khaû nghòch

ii) khaû nghòch

iii) khaû nghòch

iv) khoâng khaû nghòch


Cách tìm ma trận nghịch đảo

• Phương pháp Gauss – Jordan

• Phương pháp Định thức


Ma trận nghịch đảo_1

• Ta có:

• Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A.

• Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

1 1

detTA C

A

ij ij1 deti j

ijc A M


Ví dụ 1

• Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A

det ???A


Ví dụ 1

• Tìm ma trận phụ hợp của A:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 0 1 0 1

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 4

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 4

1 1 0 1 0 1

c c c

c c c

c c c


Giải phương trình ma trận

a) Xét phương trình: A.X=B

Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B

b) Xét phương trình: X.A=B

Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1

c) Xét phương trình: A.X.C=B

Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1

Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự

của phương trình.

7/3/2016

8


Kiểm tra 30’

• 1) Thực hiện phép tính

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

1 2) )2 3 )

3 7

A B

a A B b A B c A B


Kiểm tra 30’

• 2. Tính định thức

• 3. Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có):

0 1 1

1 2 2

3 3

m

D

m

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A


Ví dụ

• Giải các phương trình sau:

1 2 3 5) .3 4 5 9

3 10 5 6 4 16) . .5 2 7 8 9 10

a X

b X


Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

1. Đổi chỗ hai dòng với nhau

2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0

3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân với một số.

4. Tổng hợp:

i jd d

.i id k d

.i i jd d d

. .i i jd k d d


Ví dụ • Thực hiện phép biến đổi ma trận:

• Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A

2 2 1

3 3 1

3 3 29

2 3 28

1 2 3 4

8 7 5 3 ? ??

2 3 0 1

?? '

d d dd d d

d d d

d dA

A


Hạng của ma trận

• Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A.

• Ký hiệu: r(A) hay rank(A)

• Ma trận bậc thang của A:

A→..bdsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

7/3/2016

9


Ví dụ

• Tìm hạng của ma trận

3 21 0 9 0

1 7 1 2 1

2 14 0 6 1

6 42 1 13 0

A


Tính chất

)

)

) min ,

T

ij m n

i r A r A

ii A B thì r A r B

iii A a thì r A m n


Hệ phương trình tuyến tính

• Dạng tổng quát

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...............................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b



• Dạng ma trận

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

...................... ... ...

...

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

A X B



• Dạng ma trận

• Ma trận A gọi là ma trận hệ số.

• X: ma trận cột các ẩn số

• B: ma trận cột các hệ số tự do

• Nghiệm của phương trình là một bộ số:

Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn.

A X B

1 2 1 2, ,..., , ,...,

n nx x x c c c


Định l{ Cronecker – Capeli

Cho phöông trình:

Ñaët

ma traän boå sung cuûa ma traän A

Tìm haïng cuûa ma traän

:

:

;

A X B

A A B

A A

7/3/2016

10


Định l{ Cronecker – Capeli

i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát

ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm

iii) Heä pt voâ nghieäm

iv) Heä pt coù nghieäm

r A r A n

r A r A n

r A r A

r A r A


Ví dụ

• Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2

2 4 1

3 4 0

2 4 1

x x x

x x x

x x x

x x x


Cách giải hpt tuyến tính

• Phương pháp Gauss – Jordan

• Phương pháp Cramer

• Phương pháp ma trận nghịch đảo


Phương pháp Gauss – Jordan i) Laäp ma traän boå sung .

ii) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang

baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng.

iii) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu.

iv) Giaûi n

bdscdong

r r

A A B

A A B A A B

ghieäm töø döôùi leân treân.


Ví dụ

• Giải hệ phương trình sau:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 3 2 4 8

2 4 1 2 4 5 11) )3 4 0 4 3 2 1

2 4 1 6 7 10

x x x x y z

x x x x y za bx x x x y z

x x x x y z


Đề thi mẫu • Câu 5. Cho hệ phương trình:

• a) Giải hpt với m=1

• b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

3

2 3 0

3 2 7

x y z

x y z m R

x y mz m

7/3/2016

11


Phương pháp Cramer

• Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình

• Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do.

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

...................... ... ...

...

n

n

n n nn m n

a a a x b

a a a x b

a a a x b


Phương pháp Cramer • Ví dụ: A1

• Thay cột 1 bằng cột hệ số tự do

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

12 1

22 2

1

1

2

2

...

...

...................... ...

...

...

...

......................

...

n

n

n n nn n

n

n

n nn n

a a a b

a a a bA B

a a a b

a a

a aA

a a

b

b

b


Phương pháp Cramer Ñaët:

Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát:

Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm.

Neáu thì heä voâ nghieäm

hoaëc voâ soá nghieäm.

Ta giaûi tieáp

1 1

1

det ; det ; ...; det

) 0

) 0 0

) ... 0

n n

ii

i

n

A A A

i

x

ii

ii

baèng phöông phaùp Gauss.


Ví dụ

• Giải và biện luận hệ phương trình sau

1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

1 4

) ) 8

2 4

mx x x ax y z

a x mx x m b x by z

x by zx x mx m


Đề thi mẫu • Câu 5. Cho hệ phương trình:

• a) Giải hpt với m=1

• b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

3

2 3 0

3 2 7

x y z

x y z m R

x y mz m


Phương pháp ma trận nghịch đảo • Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số

ẩn.

• Nếu ma trận A khả nghịch thì:

.AX B

1. .AX B X A B

7/3/2016

12


Ví dụ

• Giải phương trình sau

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 1

2 3 6 1

7

x x x

x x x

x x x m


Hệ pt tuyến tính thuần nhất

• Dạng:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0

...............................................

... 0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x


Hệ pt tuyến tính thuần nhất

• Dạng:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... 0

... 0

...................... ... ...

... 0

n

n

m m mn m

a a a x

a a a x

a a a x

0A X


Định l{

• Hệ luôn có 1 nghiệm dạng:

• Đây gọi là nghiệm tầm thường của hệ.

• Nếu r(A)=n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường.

• Nếu r(A)<n thì hệ có vô số nghiệm.

1 2, ,..., 0, 0,..., 0

nx x x


Định l{

• Nếu m=n thì:

• Nếu det(A)=0 thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường.

• Nếu det(A)≠0 thì hệ có vô số nghiệm.


Ôn thi

• Tìm ma trận X biết

1 2 52 2 0

1 1 5 0 7 6

1 2 3 2 1 3

X

7/3/2016

13


Bài 1

• Cho hai ma trận:

• Tìm ma trận nghịch đảo của A.

• Tìm X biết: X.A=3B

1 2 3 1 2 1

3 2 4 3 1 0

2 1 0 2 1 1

A B


Bài 2

• Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

x x x x 0

3x x x 2x 5

5x x x 4

7x x x 3x 10


Bài 2

• Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2x y 3z 9 x y z 6

a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21

4x 7y z 5 7x y 3z 6

2x 2x x x 4

4x 3x x 2x 6c)

8x 5x 3x 4x 12

3x 3x 11x 5x 6


Bài 3

• Tìm m để ma trận sau khả nghịch

1 1

1 1

1 1 1

m

A m

m m


• Tìm m để hệ là hệ Crammer

• Giải nghiệm của hệ

Bài 4

1

1

1

mx y z

x my z

x y mz


Bài 5

• Tìm điều kiện để các hệ sau có nghiệm không tầm thường.

22x y z 0 a x 3y 2z 0

a) x y 2z 0 b) ax y z 0

5x y az 0 8x y 4z 0

7/3/2016

14


Bài 6

• Giải và biện luận theo m

mx y z 1 mx y z m

a) x my z 1 b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1

x y mz 1 x y mz 1


Bài 7

• Tìm để hệ có nghiệm duy nhất

• Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m

x y mz 1

x my z a

x (m 1)y (m 1)z b


Bài 2

• Giải và biện luận

1 2 3

1 2 3

21 2 3

2 2 2 4

3 3 3

x x mx m

m x x m x

x x x m m



MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH

KINH TẾ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Mô hình cân đối liên ngành

• Tên khác: Mô hình Input-Output Leontief

• Đặc điểm:

• 1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng

hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng hóa

phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường

hợp thứ hai ta coi mỗi tổ hợp hàng hóa theo tỉ lệ cố định đó là một mặt hàng.

• 2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi

một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định.

7/3/2016

15


Tổng cầu đối với sp mỗi ngành

- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất

- Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại

sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hàng xuất khẩu.


Mô hình I - O • Giả sử một nền kinh tế ngành gồm n ngành:

ngành 1, ngành 2, …, ngành n

• Có một phần khác của nền kinh tế (gọi là ngành

kinh tế mở) chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành

kinh tế này.

• Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i được tính theo công thức:

1 2 ; 1,2, ,i i i in ix x x x b i n


Bảng I-O

Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng

x1 x11 x12 … x1n b1

x2 x21 x22 … x2n b2

… … … … … …

xn xn1 xn2 … xnn bn

• Ta có:

• Công thức:

1 2) ) iki i i in i ik

k

xi x x x x b ii a

x

Mua của ngành 1 Bán của ngành 1


Mô hình I-O

• xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i;

• xik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian);

• bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng);

• Biến đổi (1)

1 2

1 2

1 2

; 1,2, , i i ini n i

n

x x xx x x x b i n

x x x


Mô hình I-O

• Đặt:

• Ta có mô hình I-O:

• Dạng ma trận:

ikik

k

xa tyle chi phi dau vao cua nganh k doi voi nganh i

x

1 11 1 12 2 1 1 11 12 11 1

2 21 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2

1 1 2 2 1 2

...

...

... ........................................

...

n n n

n n n

nn n n nn n n n n nn

x a x a x a x b a a ax x

x a x a x a x b x a a a xhay

xx a x a x a x b a a a

1

2

...

n n

b

b

x b

. .X A X B X A X B I A X B


Một số thuật ngữ

• A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật

• X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)

• B là ma trận cầu cuối cùng

• Chú ý:

1 2

1

1

) ... 1

) .

n

ik k k nk

i

i a a a a

ii X A X B X I A B

7/3/2016

16


Dạng bài tập

• Xác định ma trận tổng cầu X

• Xác định tổng chi phí mỗi ngành

• Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử

• Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại

• Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu cuối


Ví dụ 1 • Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất:

ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật:

• a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

• b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

0,2 0,3 0,2

0,4 0,1 0,2

0,1 0,3 0,2


Giải • a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma

trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2

• b) Ta có:

1

0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,241

0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,240,384

0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60

I A I A


Giải

• Ma trận tổng cầu:

• Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)

1

0,66 0,30 0,24 10 24,841

0,34 0,62 0,24 5 20,680,384

0,21 0,27 0,60 6 18,36

X I A B


Mô hình cân bằng thị trường

1. Của 1 loại hàng hóa

2. Của n loại hàng hóa có liên quan

Chú ý:

Hàm cung Qs, hàm cầu Qd và giá P

SQ

( , , , 0)D

a bP

Q c dP a b c d


Một loại hàng hóa

• Mô hình cân bằng thị trường:

• Giá cân bằng:

• Lượng cân bằng:

SQ

S S

D D

D

Q a bP Q a bP

Q c dP Q c dP

Q a bP c dP

a cP

b d

S D

cd adQ Q

b d

7/3/2016

17


Nhiều loại hàng hóa

• Hàm cung và hàm cầu:

• Trong đó Qsi, Qdi và Pi tương ứng là lượng cung, lượng cầu, giá hàng hóa i.

• Mô hình cân bằng:

1,2, ,Si DiQ Q i n

1 1 2 2

1 1 2 2

1,2, ,

Si io i i in n

Di io i i in n

Q a a P a P a P

Q b b P b P b P

i n


Nhiều loại hàng hóa

• Chuyển vế ta có:

• Giải hệ trên ta tìm được giá cân bằng của n hàng hóa, từ đó tìm được lượng cung và cầu cân bằng.

11 1 12 2 1 10

21 1 22 2 2 20

1 1 2 2 0

n n

n n

ik ik ik

n n nn n n

c P c P c P c

c P c P c P cc a b

c P c P c P c


Ví dụ (đề 2012)

• Cho mô hình cân bằng kinh tế:

• Trong đó Y:thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng, C: tiêu dùng; M nhập khẩu; I0: đầu tư; G0: chi tiêu chính phủ; X0: xuất khẩu; t: thuế suất

0 0 0

0,8

0,2

1

d

d

d

Y C I G X M

C Y

M Y

Y t Y


Ví dụ (đề 2012)

• A. Khi I0, t không đổi, G0 tăng 1 đơn vị, x0 giảm một đơn vị thì thu nhập cân bằng Y* thay đổi như thế nào

• B. Giả sử I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì nền kinh tế thặng dư hay thâm hụt ngân sách, thặng dư hay thâm hụt thương mại

• C. Chi I0=270; X0=340; t=0,2 tìm G0 để thu nhập cân bằng là 2100

• D. Cho I0=340; X0=300; G0=400 tìm t để cân đối được ngân sách.


Giải

• Ta có:

• Thay vào ta có mô hình:

0 0 0

0,8

0,2

1

d

d

d

Y C I G X M

C Y

M Y

Y t Y

0 0 00,8 1 0,2 1

0,8 1

0,2 1

Y t Y I G X t Y

C t Y

M t Y


Giải

• Thay vào ta có mô hình:

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0 0

0,6 1

0,8 1

1 0,6 1

0,8 1

0,8 1;

1 0,6 1 1 0,6 1

Y t Y I G X

C t Y

t Y I G X

C t Y

t I G XI G XY C

t t

7/3/2016

18


Giải • Thu nhập cân bằng:

• Ta có:

• Vậy khi G0 tăng 1 đơn vị, X0 giảm một đơn vị thay đổi thì thu nhập quốc dân cân bằng không đổi.

0 0 0*

1 0,6 1

I G XY Y

t

0 0

1 1* ' ; * '

1 0,6 1 1 0,6 1G XY Y

t t


Chú ý

• Mức thay đổi tính bằng vi phân toàn phần.

• Cho

• Ta có:

1 2 3, , ,..., nf f x x x x

1 21 2' ' ... 'nx x x ndf f dx f dx f dx


Giải

• B) Khi I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì:

• Ta có:

270 430 340

2000; 12801 0,6 1 0,2

Y C

0 0

0

30 0

0,2 0,2. 1 320 340d

NS T G tY G tham hut ngan sach

M Y t Y X co thang du


Giải

• C) Ta có:

• D) Ta có:

0 0 0 0

0

270 3402100 482

1 0,6 1 1 0,6 1 0,2

I G X GY G

t

0 0 00 400

1 0,6 1

340 400 300400 0,2

1 0,6 1

I G XtY G t

t

t tt


Chú ý

• Y: thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng

• Ta có: Yd=Y-T; trong đó T: thuế

• Ngân sách: NS=T-G

• Cân đối ngân sách khi T=G

• Khi

• t: thuế suất hay mức tăng lên của thuế khi thu nhập tăng 1 đơn vị

1dY t Y Y tY Y T


Chú ý

• Thâm hụt thương mại: (xuất – nhập)

• Nền kinh tế có thặng dư:

• Thâm hụt ngân sách: (thuế - chi tiêu CP)

0 0X M

0 0T G

0 0X M

7/3/2016

19


Hệ số co giãn

• Cho hàm số y=f(x) với x,y là các biến số kinh tế, gọi x0 là một điểm thuộc TXĐ của hàm số.

• Giá trị

được gọi là hệ số co dãn của y theo x tại x0.

Tại x0, khi đối số x thay đổi 1% thì giá trị của hàm số f(x) thay đổi một lượng xấp xỉ là

00 0

0

( )( )

( )

y

x

y xx x

y x

0( ) %y

x x


Ví dụ

• Xét hàm cầu của một loại hàng hóa D=D(p), tại mức giá p0.

• Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p0:

• Áp dụng với hàm cầu D= 6p-p2 tại mức giá p0=4 và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được. Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 2% thì cầu sẽ thay đổi như thế nào?V

00 0

0

'( )( )

( )

D

p

D pp p

D p


Giải

• Ta có:

• Ý nghĩa: Tại mức giá p0=4, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 1%. Còn nếu giá tăng 2% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 2.1%=2%.

( ) 6 2

(4) 2; (4) 8

(4) 2.4 .4 1

(4) 8

D

p

D p p

D D

D

D


Hệ số co giãn riêng

• Cho hàm số y=f(x1,x2,…,xn) với xi, y là các biến số kinh tế

• Tại điểm hệ số co giãn riêng của hàm f theo biến xi đo lượng thay đổi tính bằng % của f khi biến xi thay đổi 1% trong điều kiện các biến độc lập khác không đổi là:

•

0 0 0

0 1 2, ,...., nM x x x

0 0 0 01 2

0 0 0

1 2

, ,....,.

, ,....,i

nf ix

i n

f x x x x

x f x x x


Hệ số co giãn riêng • Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai

hàng hóa có liên quan có dạng:

• p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2.

• Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1,p2)

• Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giá của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2)

• Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và cho biết ý nghĩa của tại điểm (20,30).

2 2

1 1 2

56300 2

3dQ p p


Giải

• Ta có:

• Tại điểm (20,30) ta có:

• Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa 2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá hàng hóa 2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự, nếu giá của hàng hóa 1 không đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm 0,75%.

1 1

1 2

1 21 2

2 2 2 2

1 2 1 2

104 . ; .

5 536300 2 6300 2

3 3

d dQ Q

p p

p pp p

p p p p

1 1

1 20,4 ; 0,75d dQ Q

p p

7/3/2016

20


Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

• Mô hình cho dưới dạng:

• Trong đó:

– Y: tổng thu nhập quốc dân

– C: chi tiêu dùng dân cư

– T: thuế; I: đầu tư

– G: chi tiêu chính phủ

0 0

( ) ( 0,0 1)

( 0,0 1)

Y C I G

C a b Y T a b

T d tY d t


Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

• Mục tiêu: giải tìm Y, C, T

• Biến đổi ta có hệ:

• Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng.

0 0Y C I G

bY C bT a

tY T d


Mô hình CBTNQD _ không thuế

• Dạng:


• Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân bằng.

0 0

( 0,0 1)

Y C I G

C a bY a b

0 0Y C I G

bY C a


Mô hình CBTNQD _ có XNK

• Dạng:


• Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân bằng.

0 0Y C I G X N

C a b Y T

T d tY

0 0Y C I G

bY C a


Mô hình cân bằng hàng hóa và tiền tệ

• Mô hình IS-LM

• Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r.

• Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng dạng:

1 1 1 1 ( , 0)I a b r a b

0

1 1 1 1, 0

0,0 1

Y C I G

I a b r a b

C a bY a b


Mô hình cân bằng hàng hóa và tiền tệ

• Thay thế I, C vào ta có phương trình IS:

• Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y và lãi suất r. Giả sử

• Giả sử lượng cung tiền cố định là . Điều kiện cân bằng thị trường tiền tệ là

1 1 0

1 1 0

(1 )

Y a bY a b r G

b r a a G b Y

2 2 2 2( , 0)L a Y b r a b

0 2 2 2 2 0M a Y b r b r a Y M

7/3/2016

21


Mô hình IS-LM

• Phương trình IS:

• Phương trình LM:

• Hệ IS-LM:

• Giải hệ này ta được mức thu nhập và lãi suất cân bằng

1 1 0 (1 )b r a a G b Y

2 2 0b r a Y M

1 1 0

2 2 0

(1 )b r a a G b Y

b r a Y M


Ví dụ

• Cho

• a) Lập phương trình IS.

• b) Lập phương trình LM.

• c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền tệ.

•

0 0250 ; 4500 ; 34 15

10 0,3 ; 22 200 .

G M I r

C Y L Y r


Giải

• Phương trình IS. Ta có:

• Phương trình LM

• Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình

0 (10 0,3 ) (34 15 ) 250

15 294 0,7

Y C I G Y Y r

r Y

0 22 200 4500 200 22 4500L M Y r r Y

15 294 0,7268,72 ; 7,06.

200 22 4500

r YY r

r Y


Giải toán ma trận bằng FX570 ES

1. Nhập ma trận.

• Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán.

• Nhập kết quả vào bằng phím =,

• Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 (Dim) 2 (MatB)

• Lập lại tương tự cho MatC.


Giải toán ma trận bằng FX570 ES 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) = 3. Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1

(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1 x MatB để cho kết quả của X.


Bài tập 1

• Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận hệ số kỹ thuật:

• Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.

0,2 0,3

0,4 0,1A

7/3/2016

22


Bài tập 2 • Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ

số kỹ thuật:

• Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là 40, 40, 110

• Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx

• Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sx tương ứng.

0,4 0,1 0,2

0,2 0,3 0,2

0,1 0,4 0,3

A


Bài tập 3

• Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa như sau:

• Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành

• Lập ma trận hệ số kỹ thuật A

Ngành cung ứng sp (Out) Ngành sử dụng sp (Input)

1 2 3 B

1 20 60 10 50

2 50 10 80 10

3 40 30 20 40


Bài 4

• Cho biết hàm cung, cầu của thị trường 3 loại hàng hóa như sau:

• Xác định điểm cân bằng thị trường.

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

8 2 10 2 14 2 2

5 4 2 4 1 4 .

D D D

S S S

Q P P P Q P P P Q P P P

Q P P P Q P P P Q P P P


Bài 5

• Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi:

• trong đó I0=500 là mức đầu tư cố định; G0=20 là mức chi tiêu cố định.

• Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng.

15 0,4( )

36 0,1

o oY C I G

C Y T

T Y


Bài 6

• Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hòa

• Để các nhà sx cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1,2 phải thỏa điều kiện nào.

• Xác định giá và lượng cân bằng cho hàng hóa theo a

• Khi a tăng thì giá cân bằng của hàng hóa 1 thay đổi như thế nào.

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

18 3 12 2; 0

2 2

d d

s s

Q p p Q p pa

Q p Q ap


Bài 7

• Cho mô hình cân bằng kinh tế:

• Trong đó Y, C, I lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư và đầu tư; G0, T0 là chi tiêu chính phủ và thuế.

• A) Xác định thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư cân bằng. Khi x tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm. Vì sao?

0 0 0

0 0

;

0; 0; 0 1; ; 0; 0 1; 1

Y C I G C a b Y T I I xY

G a b bT a C x b x

7/3/2016

23


Bài 7

• B) Cho biết:

• Tính thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư cân bằng.

• Tại mức cân bằng của mô hình, tăng I0 lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng tăng bao nhiêu %?

0 0 080; 60; 85; 50 USD ; 0,3; 0,2a I G T trieu b x


Bài 8

• Cho mô hình IS-LM với

• Trong đó C, Y, I, r, G0, L, M0 lần lượt là chi tiêu của hộ gia đình, thu nhập quốc dân, đầu tư, lãi suất, chi tiêu chính phủ, lượng cầu tiền, lượng cung tiền.

• A) Xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng.

• B) Khi G0=70; M0=1500 tính Y, r.

0 00,6 35; I 65 r; G G ; 5 50 ;c Y L Y r M M


Bài 9

• Cho mô hình:

• Trong đó: Y: thu nhập quốc dân, I: đầu tư; C: tiêu dùng; L: mức cầu tiền; Ms: mức cung tiền; r: lãi suất

0 0

0 0

0 0

0; 0 1

0; 0

0, 0, 0

s

Y C I

C C aY C a

I I br I b

L L mY nr L m n

M L


Bài 9

• A) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng.

• B) Với

• Tính hệ số co giãn của thu nhập theo mức cung tiền tại điểm cân bằng và giải thích ý nghĩa của chúng.

0 0

0

0,7; 1800; 500; 800

0,6; 1000; 2000; 400s

a b C L

m n M I

TOÁN CAO CẤP 1 · 7/3/2016 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Định nghĩa ma trận

Documents