MA TRẬN ĐỊNH THỨC HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH · Bài giảng Toán Cao Cấp C – NCS. Trần Văn Hoan 7 1 2 5 8 34 4 5 17 26 12 3 6 15 24 BA . c. Nếu 34 00 A ,

Bài giảng Toán Cao Cấp C – NCS. Trần Văn Hoan

1

Chương I

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1.1. Ma trận

1. Khái niệm về ma trận

Ma trận là một bảng chữ nhật gồm m n phần tử

được sắp thành m dòng, n cột theo một thứ tự nhất định

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

......

...

...

21

22221

11211

Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên

cho ma trận: A, B, C, . . ..

Ta nói ija là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận.

Đôi khi ta viết tắt ma trận trên là: ij( )m na .

( )m n

M

là tập hợp tất cả những ma trận cấp m n

trên .

Ví dụ. Với 2 3

1 2 3( )

4 5 6A M

thì 11 12

1, 2,a a

Với 3 2

1 4

2 5 ( )

3 6

B M

thì 11 12

1, 4,a a

2. Các loại ma trận thƣờng gặp


2

Ma trận cấp n n được gọi là ma trận vuông cấp n.

Các phần tử ii ( 1, , )a i n lập nên đường chéo của nó.

( )n

M là tập hợp tất cả những ma trận vuông cấp n trên

.

Ma trận tam giác trên là ma trận có tất cả các phần tử

phía dưới đường chéo bằng 0.

11 12 1

22 2

...

0 ...

. . ... .

0 0 ...

n

n

mn

a a a

a a

a

Ma trận tam giác dưới là ma trận có tất cả các phần tử

phía trên đường chéo bằng 0.

11

21 22

1 2

0 ... 0

... 0

. . ... .

...m m mn

a

a a

a a a

Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử

ngoài đường chéo bằng 0

11

22

0 ... 0

0 ... 0

. . ... .

0 0 ... nn

a

a

a


3

Nhận xét. Ma trận A là ma trận chéo khi và chỉ khi

vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác

dưới.

Ma trận đơn vị là ma trận chéo có tất cả các phần tử

trên đường chéo bằng 1, kí hiệu n

I .

Ví dụ. 2

1 0

0 1I

, 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

.

Ma trận 0 là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0, kí

hiệu là 0m n

hay 0.

Ví dụ. 3 4

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

3. Phép toán về ma trận

a. Sự bằng nhau

Cho hai ma trận ij( )m nA a và ij( )m nB b .

Ta nói A B nếu ij ij, ,a b i j .

Ví dụ. Tìm , ,x y z để 1 1 3 4 1

2 1 1 2 2

x y

x z y z

Giải

Ta có hệ phương trình


4

1 3 4 1

2 1 1 2

2 2 2

x y x

x y y

z z z

b. Phép chuyển vị ma trận

Cho ij

( )m n

A a

. Ta gọi tA là ma trận chuyển vị của

ma trận A nếu ji

( )t

n mA a

. Cụ thể nếu

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

. . ... .

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

thì

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

. . ... .

...

m

mt

n n mn

a a a

a a aA

a a a

Nếu tA A , tức là ij

( , 1,2, , )ji

a a i j n thì A

được gọi là ma trận đối xứng.

Nếu tA A , tức là ij

( , 1,2, , )ji

a a i j n thì A

được gọi là ma trận phản đối xứng.

Ví dụ.

1 2

4 5

3 6

A

thì 1 2 3

4 5 6

tA

c. Phép cộng

Cho hai ma trận ij( )m nA a và ij( )m nB b .

Tổng của hai ma trận A và B được định nghĩa bởi:

ij ij( )

m nA B a b

.

Như vậy để tính ij ij

( )m n

A B a b

thì:


5

A và B cùng cấp.

Cộng phần tử ở các vị trí tương ứng.

Ký hiệu: ( )A B A B và được gọi là hiệu của A

và B.

Ví dụ.

1 0 2 3 2 1 4 2 1

2 1 3 1 4 2 1 5 5

1 0 2 3 2 1 2 2 3

2 1 3 1 4 2 3 3 1

d. Phép nhân ma trận với một số

Cho ij

( )m n

A a

và k R . Phép nhân k với A được

định nghĩa bởi ij ij

. ( ) ( )m n m n

k A k a ka

.

Ma trận ( 1)A được kí hiệu là A và được gọi là ma

trận đối của A.

Ví dụ. Nếu 1 0 3

2 3 4A

thì

2 0 62

4 6 8A

và

1 0 3

2 3 4A

.

e. Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận ij( )m kA a và ij( )k nB b .

Tích của hai ma trận A và B được định nghĩa bởi:

ij. ( )

m nC A B c

, với

ij 1 1 2 2. . .

i j i j in njc a b a b a b .


6

Như vậy để tính .C A B thì:

Số cột của A bằng số dòng của B.

Phần tử thứ (ij) của .A B bằng dòng i của A nhân

với cột j của B.

Ví dụ.

a. Cho 1 1 2

2 0 3A

và

1 0 2

3 2 1

1 2 0

B

. Tìm AB.

Ta có:

1 0 21 1 2

3 2 12 0 3

1 2 0

1.1 ( 1).3 2.1 1.0 ( 1).( 2) 2.2 1.2 ( 1).1 2.0

2.1 0.3 3.1 2.0 0.( 2) 3.2 2.2 0.1 3.0

0 6 1

5 6 4

AB

b. Nếu 3 4

1 2A

,

1 2

4 5

3 6

B

thì không thể nhân A

với B vì số cột của A không bằng số dòng của B. Trong

khi đó:


7

1 2 5 83 4

4 5 17 261 2

3 6 15 24

BA

.

c. Nếu 3 4

0 0A

, 0 2

0 6B

thì:

3 4 0 2 0 30

0 0 0 6 0 0AB

và

0 2 3 4 0 0

0 6 0 0 0 0BA

.

Nhận xét

Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.

Nếu AB = 0 không suy ra A = 0 hoặc B = 0.

Ví dụ. Tìm m, n, p trong các trường hợp sau

a. 2 3 4m n pA B C b. 2 3 4p m nA B C

Giải

a. 2 3 4m n pA B C

Áp dụng điều kiện nhân được suy ra: 2n

Theo quy tắc nhân: 2 3 2 2 3 3 4m n m m pA B A B C C

Do đó: 4m và 3p

b. 2 3 4p m nA B C

Áp dụng điều kiện nhân được suy ra: 3p

Theo quy tắc nhân: 2 3 3 4 2 4 m nA B C C

Do đó: 2m và 4n


8

f. Lũy thừa ma trận

Cho ( )n

A M . Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một

ma trận thuộc ( )n

M , ký hiệu kA và được xác định như

sau : 0 1 2 1; ; ; ; .k k

nA I A A A AA A A A .

Như vậy : k

k

A A A

Ví dụ. Cho 1 3

0 1A

. Tính 2A , 3A từ đó suy ra 100A .

Giải

Ta có 21 3 1 3 1 6

0 1 0 1 0 1A AA

Suy ra: 3 21 6 1 3 1 9

0 1 0 1 0 1A AAA A A

Dự đoán: 1 3

0 1

nn

A

, với n nguyên dương bất kì.

Chứng minh công thức trên đúng bằng phương pháp

quy nạp.

Với 1n công thưc đúng

Giả sử công thức đúng với n k , nghĩa là

1 3

0 1

kk

A

Ta cần chứng minh công thức đúng với 1n k


9

Ta có:

11 3 1 3 1 3 3 1 3( 1)

0 1 0 1 0 1 0 1

k kk k k

A A A

Vậy công thức trên đúng với mọi n nguyên dương.

Do đó: 1001 3.100 1 300

0 1 0 1A

Ví dụ. Cho các ma trận

0 1

1 2A

, 1 2 5

1 1 3B

,

2 0 5

1 1 2C

Hãy tìm các ma trận sau

a. 3 3A A b. 3t tB A B

c. ( )A B C d. ( )tB C A

Giải

a. 3 3A A

Ta có:

30 1 0 1 0 1

( )1 2 1 2 1 2

A AA A

1 2 0 1 2 3

2 3 1 2 3 4

0 33

3 6A


10

Suy ra:

32 3 0 3 2 0 1 0

3 2 23 4 3 6 0 2 0 1

A A I

b. 3t tB A B

Ta có:

1 1

2 1

5 3

tB

, suy ra

1 1 1 10 1

2 1 1 41 2

5 3 3 1

tB A

;

1 1 3 3

3 3 2 1 6 3

5 3 15 9

tB

Do đó:

1 1 3 3 2 2

3 1 4 6 3 7 1

3 1 15 9 12 8

t tB A B

c. ( )A B C

Ta có:

1 2 5 2 0 5 1 2 10

1 1 3 1 1 2 0 0 5B C

Do đó:

0 1 1 2 10 0 0 5( )

1 2 0 0 5 1 2 20A B C


11

d. ( )tB C A

Ta có:

1 2 5 2 0 5 3 2 0

1 1 3 1 1 2 2 2 1B C

Suy ra

3 2

( ) 2 2

0 1

tB C

Do đó:

3 2 2 10 1

( ) 2 2 2 61 2

0 1 1 2

tB C A

g. Đa thức ma trận

Cho ( )n

A M và 1

1 1 0( ) m m

m mf x a x a x a x a

là một đa thức bậc m trên i . Khi đó ta định

nghĩa 1

1 1 0( ) m m

m m nf A a A a A a A a I

và ta gọi

( )f A là đa thức theo ma trận A.

Ví dụ. Cho 2 3

1 1A

và 2( ) 3 2 2f x x x .

Tính ( )f A .

Giải. Ta có 2

7 9

3 4A

,

2

2( ) 3 2 2f A A A I .


12

Suy ra :

7 9 2 3 1 0 27 33( ) 3 2 2

3 4 1 1 0 1 11 16f A

1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận,

ma trận dạng bậc thang

1. Phép biến đổi 1: Hoán vị 2 dòng

213

021

302

21 dd

213

302

021

2. Phép biến đổi 2: Nhân một dòng với một số khác

không

213

302

021

1 12d d

213

302

042

Nhận xét. Phép biến đổi này thường được sử dụng để

đơn giản hay đổi dấu một dòng.

3. Phép biến đổi 3: Cộng một dòng với một dòng

khác đã nhân với một số khác không

213

302

021

2 1 2( 2)d d d

213

340

021

Nhận xét. Phép biến đổi này thường được sử dụng để

biến đổi một phần tử trên ma trận thành số 0.


13

Định nghĩa. Cho , ( )m n

A B M

. Ta nói A tương

đương dòng với B, ký hiệu A B , nếu B có được từ A

qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó.

4. Ma trận dạng bậc thang

Định nghĩa

Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu thỏa

mãn hai điều kiện:

Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không

Với hai dòng khác không, phần tử khác không đầu

tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần

tử khác không đầu tiên của dòng trên.

Ví dụ.

1 3 5 2 3

0 0 7 4 2

0 0 0 2 7

0 0 0 0 0

A

,

1 2 3 4

0 0 1 2

0 1 0 5

0 0 0 0

B

A là ma trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang

Định lý

Mọi ma trận khác không đều có thể đưa được về dạng

bậc thang sau một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Ví dụ. Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang


14

a.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A

b.

1 3 2 0 5

2 6 9 7 12

2 5 2 4 5

1 4 8 4 20

B

c.

4 3 5 2 3

8 6 7 4 2

4 3 8 2 7

8 6 1 4 6

C

d.

3 1 3 2 5

5 3 2 3 4

1 3 5 0 7

7 5 1 4 1

D

Giải

a.

3 2 32 1 2

3 1 2

( 2)( 4)

( 7)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

4 5 6 0 3 6 0 3 6

7 8 9 0 6 12 0 0 0

d d dd d d

d d dA

b.

2 1 2

3 1 3

4 1 4

22

1 3 2 0 5 1 3 2 0 5

2 6 9 7 12 0 0 5 7 2

2 5 2 4 5 0 1 6 4 15

1 4 8 4 20 0 1 6 4 15

d d dd d d

d d dB

4 3 4

2 3

1 3 2 0 5

0 1 6 4 15

0 0 5 7 2

0 0 0 0 0

d d d

d d


15

c.

2 1 2

3 1 3

4 1 4

2

2

4 3 5 2 3 4 3 5 2 3

8 6 7 4 2 0 0 3 0 4

4 3 8 2 7 0 0 3 0 4

8 6 1 4 6 0 0 9 0 12

d d dd d d

d d dC

3 2 3

4 2 43

4 3 5 2 3

0 0 3 0 4

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

d d d

d d d

d. 1 3

3 1 3 2 5 1 3 5 0 7

5 3 2 3 4 5 3 2 3 4

1 3 5 0 7 3 1 3 2 5

7 5 1 4 1 7 5 1 4 1

d dD

2 1 23 2 3

3 1 3

4 1 4 4 1 4

335 2

2 2

1 3 5 0 7 1 3 5 0 7

0 8 12 2 16 0 8 12 2 16

0 12 23 3 31 0 0 5 0 7

0 16 34 4 48 0 0 10 0 16

d d dd d d

d d d

d d d d d d

4 3 42

1 3 5 0 7

0 8 12 2 16

0 0 5 0 7

0 0 0 0 2

d d d

1.3. Hạng của ma trận


16

1. Định nghĩa.

Cho ij

( )m n

A a

. Khi đó số dòng khác không của ma

trận dạng bậc thang của A được gọi là hạng của ma trận

A, ký hiệu là r(A).

2. Cách tìm hạng của ma trận

Đưa ma trận về dạng bậc thang.

Hạng của ma trận là số dòng khác 0.

Ví dụ. Tìm hạng của ma trận

a.

1 1 2 3

2 2 8 10

3 3 10 13

A

b.

1 3 2 0 5

2 6 9 7 12

2 5 2 4 5

1 4 8 4 20

B

c.

1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1

3 4 3 4 3 4

5 5 6 7 5 5

C d.

2 1 11 2

1 0 4 1

11 4 56 5

2 1 5 6

D

Giải

a.

2 1 2

3 1 3 3 2 3

23

1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3

2 2 8 10 0 0 4 4 0 0 4 4

3 3 10 13 0 0 4 4 0 0 0 0

d d dd d d d d d

A

Vậy r(A) = 2.


17

b.

2 1 2

3 1 3 4 3 4

4 1 4 2 3

22 2

1 3 2 0 5 1 3 2 0 5 1 3 2 0 5

2 6 9 7 12 0 0 5 7 2 0 1 6 4 15

2 5 2 4 5 0 1 6 4 15 0 0 5 7 2

1 4 8 4 20 0 1 6 4 15 0 0 0 0 0

d d dd d d d d d

d d d d dB

Vậy r(B) = 3.

c.

2 1

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1

3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

5 5 6 7 5 5 5 5 6 7 5 5

d d

2 1 22 2

3 1 3

4 1 43 3

123 3

15

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 3 0 3 0 3 0 1 0 1 0 1

0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1

0 5 1 3 0 5 0 5 1 3 0 5

d d dd d

d d d

d d dd d

3 2 3 3 4

4 2 45

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

d d d d d

d d d

Vậy ( ) 3r C

d. ( ) 2r D

Ví dụ. Biện luận theo tham số m hạng của ma các ma trận

sau


18

a.

2 1 3 4 2 8

1 0 1 1 0 0

3 4 2 4 1 1

5 5 5 8 3

A

m

b.

1 2 3 4 5

4 6 8 9 10

5 8 11 13 16

10 16 22 26

B

m

Giải

a.

1 2

2 1 3 4 2 8 1 0 1 1 0 0

1 0 1 1 0 0 2 1 3 4 2 8

3 4 2 4 1 1 3 4 2 4 1 1

5 5 5 8 3 5 5 5 8 3

d dA

m m

2 1 2 2 1 2

3 1 2 3 1 2

4 1 2 4 1 2

2 23 3

5 5

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 2 2 8 0 1 1 2 2 8

0 4 1 1 1 1 0 4 1 1 1 1

0 5 0 3 3 0 5 0 3 3

d d d d d dd d d d d d

d d d d d d

m m

3 2 3 4 3 4

4 2 4

4

5

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 2 2 8 0 1 1 2 2 8

0 0 5 7 7 33 0 0 5 7 7 33

0 0 5 7 7 40 0 0 0 0 0 7

d d d d d d

d d d

m m

Với 7 0 7m m thì ( ) 3r A

Với 7 0 7m m thì ( ) 4r A


19

b.

2 1 2

3 1 3

4 1 4

4510

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

4 6 8 9 10 0 2 4 7 10

5 8 11 13 16 0 2 4 7 9

10 16 22 26 0 4 8 14 50

d d dd d dd d dB

m m

3 2 3

4 3 44 2 4 ( 30)2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

0 2 4 7 10 0 2 4 7 10

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 30 0 0 0 0 0

d d dd m d dd d d

m

Vậy ( ) 3,r B m

1.4. Ma trận đảo

1. Định nghĩa

Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại

một ma trận B vuông cấp n sao cho: . .A B B A I .

Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của

ma trận A, ký hiệu là A-1

.

Ví dụ. Cho 3 5

1 2A

. Khi đó 12 5

1 3A

2. Cách tìm ma trận đảo

Lập ma trận mở rộng ( | )A I

Biến đổi ma trận ( | )A I về dạng ( | )I B

Nếu biến đổi được về dạng ( | )I B thì A là ma trận

khả đảo và 1A B .


20

Nếu không biến đổi được về dạng ( | )I B (nghĩa là

ma trận bên trái có xuất hiện dòng không) thì ma trận A

không khả đảo.

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

a.

2 2 3

1 1 0

1 2 1

A

b.

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

B

Giải

a.

1 2

2 3

2 2 3 1 0 0 1 1 0 0 1 0

| 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1

1 2 1 0 0 1 2 2 3 1 0 0

d dd d

A I

2 1 2

3 1 3 3 2 32 4

1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

0 4 3 1 2 0 0 0 1 1 6 4

d d dd d d d d d

1 2 1

3 2 2 3 3

1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 4 3

0 1 0 0 5 3 0 1 0 1 5 3

0 0 1 1 6 4 0 0 1 1 6 4

d d dd d d d d


21

Vậy 1

1 4 3

1 5 3

1 6 4

A

.

b.

1 2 3 4 1

0 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0( | )

1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1

d d d d dB I

2 2 1

3 3 11 1

4 4 1

1 1 1 11 1 1 13 3 3 33 3 3 3

1 2 1 113 3 3 33

1 1 2 13 3 3 3

1 1 1 23 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

d d dd d d

d dd d d

1 2 3 4 1

2 1 1 13 3 3 3

1 2 1 13 3 3 3

1 1 2 13 3 3 3

1 1 1 23 3 3 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d d d d d

2 2

3 3

4 4

2 1 1 13 3 3 3

1 2 1 13 3 3 3

1 1 2 13 3 3 3

1 1 1 23 3 3 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d dd dd d


22

Vậy

2 1 1 13 3 3 3

1 2 1 13 3 3 31

1 1 2 13 3 3 3

1 1 1 23 3 3 3

A

.

1.5. Định thức

1. Khái niệm về định thức

Cho ma trận vuông cấp n, ij

( )n

A a . Xét phần tử ij

a .

Nếu bỏ đi hàng i, cột j của ma trận A thì ta được một ma

trận vuông cấp n – 1 của A ứng với phần tử ij

a , kí hiệu là

ijM .

Người ta gọi định thức của ma trận vuông A là một số,

ký hiệu det A A và được xác định như sau:

Nếu A là ma trận vuông cấp 1, 11

( )A a thì

11det A a .

Nếu A là ma trận vuông cấp 2, 11 12

21 22

a aA

a a

thì

11 12

11 22 12 21 11 11 12 12

21 22

deta a

A a a a a a M a Ma a

.

Ví dụ. Tính các định thức

a. 3 5

12 10 222 4


23

b. 2 2os sin

os sin 1sin os

cc

c

Nếu A là ma trận vuông cấp 3,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

thì

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 12

31 32 33

det

a a a

A a a a a M a M a M

a a a

Ví dụ. Tính định thức của các ma trận

a.

222

013

121

b.

500

310

423

Giải

a.

1 2 11 0 3 0 3 1

3 1 0 1. 2. 1.2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 12 8 2

b.

3 2 41 3 0 3 0 1

0 1 3 3. ( 2). 4. 150 5 0 5 0 0

0 0 5

Cách tính định thức như trên được gọi là cách khai

triển theo dòng thứ nhất.


24

Một cách tổng quát, nếu A là ma trận vuông cấp n

thì

11 12 1

21 22 2 1

11 11 12 12 1 1

1 2

...

...det ( 1)

. . ... .

...

n

n n

n n

n n nn

a a a

a a aA a M a M a M

a a a

Để biễu diễn dấu thuận tiện đặt ij ij

( 1)i jA M và gọi

ijA là phần bù đại số của phần tử

ija . Khi đó:

11 12 1

21 22 2

11 11 12 12 1 1

1 2

...

...det

. . ... .

...

n

n

n n

n n nn

a a a

a a aA a A a A a A

a a a

2. Tính chất. Cho ma trận A vuông

Tính chất 1. Chuyển vị ma trận, định thức không

đổi: tA = A

Ứng dụng. Ta có thể khai triển định thức theo cột 1

thay vì dòng 1 như công thức trên.


25

Ví dụ. Ta có thể tính

3 2 4

0 1 3

0 0 5

bằng cách khai triển theo

cột 1 vì cột 1 có nhiều số 0 nhất,

như vậy

3 2 41 3

0 1 3 3. 150 5

0 0 5

Tính chất 2. Hoán vị 2 dòng (hay 2 cột), định thức đổi

dấu : 'A = - A

Ứng dụng.

Ta có thể khai triển định thức theo một dòng hay

một cột bất kì

Định thức có hai dòng hay hai cột như nhau thì

bằng 0

Ví dụ. Tính định thức của ma trận:

1 2 3 4

0 0 4 3

3 4 1 2

0 0 3 2

A

Cách 1. Khai triển theo dòng 2

1 2 3 41 2 4 1 2 3

0 0 4 34 3 4 2 3 3 4 1

3 4 1 20 0 2 0 0 3

0 0 3 2

A .


26

Khai triển tiếp theo dòng 3 các định thức trong vế phải

ta được

1 2 1 2

4.(2) 3.3 4.2.( 2) 3.3.( 2) 23 4 3 4

A

Cách 2. Khai triển theo cột 1

1 2 3 40 4 3 2 3 4

0 0 4 34 1 2 3 0 4 3

3 4 1 20 3 2 0 3 2

0 0 3 2

A .

Khai triển tiếp theo cột 1 các định thức trong vế phải ta

được

4 3 4 34. 3.2 4.( 1) 3.2.( 1) 2

3 2 3 2A

Tính chất 3. Nếu nhân 1 dòng (hay một cột) với số

0 thì 'A = A

Ứng dụng.

Nếu các phần tử của một dòng (hay một cột) có

thừa số chung, thì ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài

dấu định thức.

Một định thức có hai dòng (hay hai cột) tỉ lệ với

nhau thì bằng 0


27

Tính chất 4. Nếu một dòng (hay một cột) được viết

thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định

thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần .

............

...

............

............

...

............

............

...

............

21212211 nnnn bbbaaabababa

Tính chất 5. Nếu thay một dòng bằng chính nó cộng

với một dòng khác đã nhân với một số không đổi thì định

thức không đổi.

Ứng dụng. Ta có thể sử dụng phép biến đổi này để

biến một dòng hay một cột của định thức có nhiều số 0

nhất, sau đó khai triển định thức theo dòng hay cột đó.

Tính chất 6. Ma trận tam giác, ma trận chéo có định

thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

Chú ý. Thường dùng các tính chất sau để tính định

thức của một ma trận

i) Nếu i jd dA B

thì B A

ii) Nếu :i id dA B thì B A

iii) Nếu :i i jd d d

A B

thì B A

Ví dụ. Tính định thức của các ma trận


28

a.

1 2 2 2

2 1 2 2

2 2 1 2

2 2 2 1

A

b.

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

A

c.

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

1 4 10 20

A

d.

1 1 2 1

2 3 5 0

3 2 6 2

2 1 3 1

A

Giải

a.

1 2 2 2

2 1 2 2

2 2 1 2

2 2 2 1

A

Cộng dòng 1 với các dòng còn lại (tính chất 5) ta

được

1 2 2 2 7 7 7 7

2 1 2 2 2 1 2 2

2 2 1 2 2 2 1 2

2 2 2 1 2 2 2 1

A

Dòng 1 có thừa số chung là 7 nên ta đưa 7 ra ngoài

định thức


29

7 7 7 7 1 1 1 1

2 1 2 2 2 1 2 27

2 2 1 2 2 2 1 2

2 2 2 1 2 2 2 1

A

Trừ lần lượt các dòng 2, 3, 4 với dòng 1 để được

cột 1 có nhiều phần tử là 0

2 1 2

3 1 3

4 1 4

22

2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 0 1 0 07 7 7.( 1)( 1)( 1) 7

2 2 1 2 0 0 1 0

2 2 2 1 0 0 0 1

d d dd d d

d d dA

b.

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

A


30

1 2 3 4 1

2 1 2

3 1 3

4 1 4

23

4

1 2 3 4 10 10 10 10 1 1 1 1

2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 110

3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3

1 1 1 11 2 1 1 2 1

0 1 2 110 10. 1 2 1 10. 0 4 0

0 1 2 13 2 1 0 4 4

0 3 2 1

10.( 4)( 4) 160

d d d d d

d d dd d d

d d d

A

c.

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

1 4 10 20

A

2 1 2

3 1 3

4 1 4

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 0 1 2 3

1 3 6 10 0 2 5 9

1 4 10 20 0 3 9 19

d d dd d dd d d

A

2 1 2

3 1 3

23

1 2 3 1 2 31 3

2 5 9 0 1 3 13 10

3 9 19 0 3 10

d d dd d d


31

d.

1 1 2 1

2 3 5 0

3 2 6 2

2 1 3 1

A

2 1 2

3 1 3

4 1 4

232

1 1 2 1 1 1 1 1

2 3 5 0 0 1 1 2

3 2 6 2 0 1 0 1

2 1 3 1 0 3 7 1

d d dd d dd d d

A

2 1 2

3 1 331 1 2 1 1 2

1 31 0 1 0 1 3 19

4 73 7 1 0 4 7

d d dd d d

3. Ứng dụng định thức tìm ma trận đảo

a. Điều kiện khả đảo

Ma trận A khả đảo A 0

b. Công thức ma trận đảo

t

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

...

............

...

...

1

21

22221

11211

1

Trong đó ij

A là phần bù đại số của phần tử ij

a .

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau


32

a.

1 2 1

0 1 1

1 2 3

A

b.

0 1 3

1 0 1

2 1 0

B

Giải

a. Ta có: 1

1 2 1

0 1 1 2 0,

1 2 3

A A .

11

1 11

2 3A ; 12

0 11

1 3A ; 13

0 11

1 2A

21

2 14

2 3A ; 22

1 12

1 3A ; 23

1 20

1 2A

31

2 11

1 1A ; 32

1 11

0 1A ; 33

1 21

0 1A

Do đó: 1

1 1 1 1 4 11 1

4 2 0 1 2 12 2

1 1 1 1 0 1

t

A

b. Ta có: 1

0 1 3

1 0 1 5 0,

2 1 0

B B .

11

0 11

1 0B ; 12

1 12

2 0B ; 13

1 01

2 1B

21

1 33

1 0B ; 22

0 36

2 0B ; 23

0 12

2 1B


33

31

1 31

0 1B ; 32

0 33

1 1B ; 33

0 11

1 0B

Do đó: 1

1 2 1 1 3 11 1

3 6 2 2 6 35 5

1 3 1 1 2 1

t

B

Áp dụng. Cho A là một ma trận khả đảo và B là một

ma trận có cấp thích hợp. Tìm ma trận X sao cho:

a. AX B

b. XA B

Cách giải

a. 1 1 1 1( ) ( )AX B A AX A B A A X A B

1 1 1 1( )A A X A B IX A B X A B

b. 1 1 1 1( ) ( )AX B XA A BA X AA BA

1 1XI BA X BA

Ví dụ. Tìm ma trận X trong các trường hợp sau

a. 2 5 4 6

1 3 2 1X


34

b.

3 4 61 1 2

0 1 10 1 2

2 3 4

X

Giải

a. Phương trình có dạng 1AX B X A B

Mà 13 5

1 2A

Do đó: 13 5 4 6 2 23

1 2 2 1 0 8X A B

b. Phương trình có dạng 1XA B X BA

Mà 1

1 2 2

2 0 3

2 1 3

A

Do đó:

1

1 2 21 1 2 7 4 11

2 0 30 1 2 2 2 3

2 1 3

X BA

1.6. Hệ phƣơng trình tuyến tính

1. Định nghĩa


35

Hệ phương trình dạng:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............................................

...

...

2211

22222121

11212111

(1)

Trong đó 1 2, , ,

nx x x là các ẩn,

ij, ja b là các hằng

số được gọi là hệ phương trình tuyến tính (m phương

trình, n ẩn).

Ma trận

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

. . ... .

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

được gọi là ma trận

hệ số.

Ma trận

111 12 1

221 22 2

1 2

...

...

. . ... .

...

n

n

m m mn m

ba a a

ba a aA

a a a b

được gọi là ma

trận hệ số mở rộng.

Cột

1

2

m

b

bB

b

được gọi là cột hệ số tự do.


36

Chú ý rằng, hệ phương trình (1) có thể cho dưới dạng

ma trận như sau

1 1

2 2

n m

x b

x bA

x b

, với A là ma trận hệ số.

Nhận xét. Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

trên các dòng của một hệ phương trình tuyến tính ta được

hệ mới tương đương với hệ đã cho.

2. Nghiệm của hê phƣơng trình tuyến tính

Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một

bộ số gồm n số 1 2

( , , , )n

c c c sao cho khi thay vào

1 2( , , , )

nx x x các phương trình được nghiệm đúng.

3. Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phƣơng trình

tuyến tính – Định lý Kronecker-Capelli

Cho hệ phương trình (1), ta có:

( ) ( )r A r A : Hệ phương trình vô nghiệm.

( ) ( )r A r A n : Hệ phương trình có một nghiệm

duy nhất.

( ) ( )r A r A r n : Hệ phương trình có vô số

nghiệm và các nghiệm phụ thuộc ( )n r tham số.

4. Hệ phƣơng trình Cramer

a. Định nghĩa


37

Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính

có số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận

hệ số khác không.

b. Cách giải hệ phƣơng trình Cramer

Phƣơng pháp Cramer

Cho hệ phương trình Cramer:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............................................

...

...

2211

22222121

11212111

Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: 1 2

( , , , )n

x x x ,

với :

; ( 1, , )i

i

Ax i n

A

Trong đó, Ai là ma trận suy từ ma trận A bằng cách

thay cột i bằng cột B.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 1

6

3 2 1

x x x

x x x

x x x

b.

1 2 3

1 2

1 3

1

2 0

4 0

x x x

x x

x x

Giải


38

a. Ta có:

2 3 1

1 1 1 23 0

3 1 2

A , và hệ phương trình

có 3 phương trình 3 ẩn nên là hệ Grammer.

1

1 3 1

6 1 1 23

1 1 2

A ; 2

2 1 1

1 6 1 46

3 1 2

A ;

3

2 3 1

1 1 6 69

3 1 1

A

Vậy nghiệm là 1 2 3( , , ) (1;2;3)x x x .

b. Ta có:

1 1 1

2 1 0 7 0

4 0 1

A

, và hệ phương trình có

3 phương trình 3 ẩn nên là hệ Grammer.

1

1 1 1

0 1 0 1

0 0 1

A ; 2

1 1 1

2 0 0 2

4 0 1

A

; 3

1 1 1

2 1 0 4

4 0 0

A

Vậy nghiệm là 1 2 3

1 2 4( , , ) ; ;

7 7 7x x x

.

Phƣơng pháp ma trận đảo

Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận: AX B .

Khi đó nghiệm duy nhất của hệ phương trình là: 1X A B .


39

Ví dụ. Giải hệ phương trình

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2 9

2 3 14

3 4 16

x x x

x x x

x x x

b.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4

2 4 4

3 9 2

x x x

x x x

x x x

Giải

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2 9

2 3 14

3 4 16

x x x

x x x

x x x

Hệ có ba phương trình và ba ẩn và

2 3 2

det( ) 1 2 3 6 0

3 4 1

A

nên hệ là hệ Gramer.

Với 1

14 5 131

10 4 86

2 1 1

A

Do đó 1

14 5 13 9 21

10 4 8 14 36

2 1 1 6 2

X A B

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

1 2 3( , , ) (2,3, 2)x x x .

b.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4

2 4 4

3 9 2

x x x

x x x

x x x

Hệ có ba phương trình và ba ẩn và


40

1 1 1

det( ) 1 2 4 2 0

1 3 9

A nên hệ là hệ Gramer.

Với 1

3 3 1

5 34

2 2

1 11

2 2

A

Do đó 1

3 3 14 2

5 34 4 3

2 22 1

1 11

2 2

X A B


1 2 3( , , ) (2,3, 1)x x x .

5. Giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp Gauss

Từ định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến

tính, ta có phương pháp tổng quát sau để giải một hệ

phương trình được gọi là phương pháp Gauss.

Bƣớc 1. Lập ma trận hệ số mở rộng ( | )A A B

Bƣớc 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa

ma trận A về dạng bậc thang.


41

Bƣớc 3. Căn cứ vào hạng của A và A để kết luận về

số nghiệm của hệ phương trình. Cụ thể như sau:

Nếu ( ) ( )r A r A thì hệ vô nghiệm

Nếu ( ) ( )r A r A n thì hệ có duy nhất nghiệm

Nếu ( ) ( )r A r A r n thì hệ có vô số nghiệm

phụ thuộc vào ( )n r tham số

Bƣớc 4. Tìm nghiệm (nếu có) của hệ phương trình dựa

vào dạng bậc thang của ma trận hệ số mở rộng

Ví dụ. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 4 11

2 3 3

2 1

x x x

x x x

x x x

b.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 2 7

2

2 3 3 11

4 7

x x x

x x x

x x x

x x x

Giải

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 4 11

2 3 3

2 1

x x x

x x x

x x x

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang

2 1 2

3 2 3

2

11 111 3 4 1 3 4

2 1 3 3 0 7 11 25

2 1 1 0 0 41 4

d d d

d d dA


42

Ta có ( ) ( ) 3r A r A n nên hệ phương trình có duy

nhất nghiệm.

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

1 2 3 1

2 3 2

33

3 4 11 1

7 11 25 2

1 4 4

x x x x

x x x

xx


1 2 3( , , ) (1,2, 1)x x x

b.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 2 7

2

2 3 3 11

4 7

x x x

x x x

x x x

x x x


2 1 2

3 1 3

4 1 4

42

4

2 21 1 1 1 1 1

4 2 1 7 0 6 3 15

2 3 3 0 5 511 15

4 1 1 0 5 57 15

d d dd d d

d d dA

3 2 3

4 3 4

6 5

21 1 1

0 6 3 15

0 0 15 15

0 0 0 0

d d d

d d d


nhất nghiệm.


43


1 2 3 1

2 3 2

33

2 1

6 3 15 2

1 15 15

x x x x

x x x

xx


1 2 3( , , ) (1,2, 1)x x x

Ví dụ. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau

a.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

10

2 6

2 3 3 2 0

3 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

b.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1

2 2 2

2 3 2 3 3

3 4 3 4 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

c.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

4 2 3 7

2 5

2 3 3 3

4 5 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

d.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5 13

4 6 14

6 9 2 13

2 3 2 4 9

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Giải

a.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

10

2 6

2 3 3 2 7

3 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x



44

2 1 2

3 1 3

4 1 4

3 33 2 3

4 2 4

2

3

1

3

14

2

1 1 1 1 10 1 1 1 1 10

1 2 1 1 6 0 1 2 0 4

2 3 3 2 7 0 1 5 0 13

3 1 1 1 0 0 4 2 4 30

1 1 1 1 10

0 1 2 0 4

0 0 3 0 9

0 0 10 4 46

d d dd d d

d d d

d dd d d

d d dd

A

4 4

4 3 35

1 1 1 1 10

0 1 2 0 4

0 0 1 0 3

0 0 5 2 23

1 1 1 1 10

0 1 2 0 4

0 0 1 0 3

0 0 0 2 8

d

d d d


nhất nghiệm.


1 2 3 4 1

2 3 2

33

44

10 1

2 4 2

3 3

4 2 8

x x x x x

x x x

xx

xx

Vậy nghiệm của hệ là: 1 2 3 4

( , , , ) (1,2,3,4)x x x x


45

b.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1

2 2 2

2 3 2 3 3

3 4 3 4 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:

2 1 2

3 1 3

4 1 4

3 2 3

4 2 4

2

3

1 1 1 1 1 1 1 1 11

1 2 1 2 2 0 1 0 11

2 3 2 3 3 0 1 0 11

3 4 3 4 4 0 1 0 11

1 1 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

d d dd d d

d d d

d d d

d d d

A

Ta có, ( ) ( ) 2 4r A r A n nên hệ phương trình có

vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số.


1

1 2 3 4 2

32 4

4

1 1;( , )

1

x

x x x x xR

xx x

x

Vậy nghiệm của hệ là:

1 2 3 4( , , , ) ( ,1 , , ); , .x x x x


46

c.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

4 2 3 7

2 5

2 3 3 3

4 5 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x


2 1

4 2 1 3 7 1 1 1 2 5

1 1 1 2 5 4 2 1 3 7

2 3 3 1 3 2 3 3 1 3

4 1 1 5 1 4 1 1 5 1

d dA

2 1 2

4 1 4

3 1 3

44

2

1 1 1 2 5 1 1 1 2 5

0 6 3 11 13 0 6 3 11 13

0 5 5 3 7 0 5 5 3 7

0 5 5 3 19 0 0 0 0 12

d d dd d d

d d d

Ta có ( ) ( )r A r A nên hệ phương trình vô nghiệm

d.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5 13

4 6 14

6 9 2 13

2 3 2 4 9

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x


2 1 2

3 1 3

4 1 4

23

2 3 4 5 13 2 3 4 5 13

4 6 1 1 14 0 0 9 11 40

6 9 1 2 13 0 0 13 13 52

2 3 2 4 9 0 0 2 9 22

d d dd d d

d d dA


47

3 23 2 3

3 1 3 4 2 4

1

913

2 2

2 3 4 5 13 2 3 4 5 13

0 0 1 1 4 0 0 1 1 4

0 0 9 11 40 0 0 0 2 4

0 0 2 9 22 0 0 0 7 14

d dd d d

d d d d d d

3 34 3 4

4 4

1

2

1

7

2 3 4 5 13 2 3 4 5 13

0 0 1 1 4 0 0 1 1 4

0 0 0 1 2 0 0 0 1 2

0 0 0 1 2 0 0 0 0 0

d dd d d

d d

Ta có, ( ) ( ) 3 4r A r A n nên hệ phương trình

có vô số nghiệm phụ thuộc vào 1 tham số.


1

1 2 3 4

23 4

34

4

3 5

2 3 4 5 13 2

4 ;( )

2 2

2

xx x x x

xx x

xx

x

Vậy nghiệm của hệ là:

1 2 3 4

3 5( , , , ) ( , ,2, 2); .

2 2x x x x

Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của các hệ phương

trình sau


48

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

1

mx x x

x mx x

x x mx

b.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 1

2 4 2

7 4 11

4 8 4 16 0

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x

c.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 4 5

2 2 3 3

1

3 3 4 6

5 2 5 7 9

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x m

d.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2

2 2 0

2 3

3 2 3

5 3

x x x x

x x x x

x x x x

x x m

Giải

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

1

mx x x

x mx x

x x mx

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:

1 3 2 1 2

3 1 3

3 2 3

2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1

0 1 1 0

0 0 2 1

d d d d d

d md d

d d d

m m m

A m m m m

m m m m m

m

m m

m m m

Nếu 22 0m m , ta có hai trường hợp:

1m thì

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

A


49

suy ra ( ) ( ) 1 3r A r A n . Hệ phương trình có vô số

nghiệm phụ thuộc 2 tham số.

Suy ra, hệ phương trình đã cho tương đương với:

1

1 2 3 2

3

1

1 ;( , )

x

x x x x R

x

2m thì

1 1 2 1

0 3 3 0

0 0 0 3

A

suy ra ( ) 2 ( ) 3r A r A . Hệ phương trình vô nghiệm.

Nếu 22 0 1; 2m m m m , ta có

( ) ( ) 3r A r A n . Hệ phương trình có duy nhất nghiệm.

b.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 1

2 4 2

7 4 11

4 8 4 16 1

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x m


1 2

2 1 1 1 1 1 2 1 4 2

1 2 1 4 2 2 1 1 1 1

1 7 4 11 1 7 4 11

4 8 4 16 1 4 8 4 16 1

d dA

m m

m m


50

2 1 2

3 1 3 2 3 2

4 1 4 3 2

22

4

1 2 1 4 2 1 2 1 4 2

0 3 3 7 3 0 1 3 7 8

0 5 3 7 2 0 3 3 7 3

0 0 0 0 7 0 0 0 0 7

d d dd d d d d d

d d d d d

m

m

m m

3 2 33

1 2 1 4 2

0 1 3 7 8

0 0 6 14 3 21

0 0 0 0 7

d d dm

m

m

Nếu 7m thì ( ) 3 ( ) 4r A r A hệ phương trình

vô nghiệm

Nếu 7m thì ( ) ( ) 3r A r A và ma trận hệ số

mở rộng của phương trình:

1 2 1 4 2

0 1 3 7 1

0 0 6 14 0

0 0 0 0 0

A

Do đó hệ phương trình tương đương với

1

1 2 3 4

2

2 3 4

3

3 4

4

52 4 2

1 3 7 1 ( )

7 6 14 0

3

xx x x x

xx x x

xx x

x

Vậy nghiệm của hệ phương trình với 7m là:

1 2 3 4

( , , , ) ( 5 ,1,7 ,3 ); .x x x x


51

c.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 4 5

2 2 3 3

1

3 3 4 6

5 2 5 7 9

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x m


1 2

2 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 3

3 1 1 3 7 6 3 1 1 3 7 6

5 0 2 5 4 9 5 0 2 5 4 9

d dA

m m

2 1 2

3 1 3 2 3 2

4 1 4

23

5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 3 3 0 1 1 0 1 1 0 0 1

0 2 4 0 1 2 0 2 4 0 1 2

0 5 7 0 2 4 0 5 7 0 2 4

d d dd d d d d d

d d d

m m

3 2 3 4 3 4

4 2 4

2 2

5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

0 0 6 0 1 0 0 0 6 0 1 0

0 0 12 0 2 9 0 0 0 0 0 9

d d d d d d

d d d

m m


vô nghiệm

Nếu 9m thì ( ) ( ) 3r A r A và

1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1

0 0 6 0 1 0

0 0 0 0 0 0

A


52

Do đó hệ phương trình tương đương với:

1 2 3 4 5

2 3

3 5

1

1

6 0

x x x x x

x x

x x

1

2

3

4

5

8

1

( , )

6

x

x

x

x

x


1 2 3 4

( , , , ) ( 8 , 1, , ,6 ); , .x x x x

d.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2

2 2 0

2 3

3 2 3

5 3

x x x x

x x x x

x x x x

x x m


2 1 2

3 1 3

4 1 4

23

5

1 1 2 2 0 1 1 2 2 0

2 1 1 1 3 0 1 5 5 3

3 2 1 1 3 0 1 5 5 3

5 3 0 0 0 2 10 10

d d dd d d

d d dA

m m

3 2 3 3 4

4 2 42

1 1 2 2 0 1 1 2 2 0

0 1 5 5 3 0 1 5 5 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

d d d d d

d d d m

m


53


vô nghiệm

Nếu 6m thì ( ) ( ) 2r A r A và

1 1 2 2 0

0 1 5 5 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

A

Do đó hệ phương trình tương đương với:

1

1 2 3 4 2

32 3 4

4

3 3 3

2 2 0 5 5 3( , )

5 5 3

x

x x x x x

xx x x

x


1 2 3 4( , , , ) (3 3 3,5 5 3, , ); , .x x x x

1.7. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất

1. Định nghĩa

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất

nếu có các hệ số tự do đều bằng 0 .


54

0...

............................................

0...

0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Dạng ma trận: AX = 0

2. Nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính thuần

nhất

a. Nghiệm tầm thƣờng: Hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0, 0,…, 0) gọi là nghiệm

tầm thường.

b. Nghiệm không tầm thƣờng

Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành

phần khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường.

Hệ có nghiệm không tầm thường r(A) < n ( số

ẩn số )

Nếu A là ma trận vuông thì: Hệ có nghiệm không

tầm thường khi và chỉ khi det 0A .

Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng

quát, nó phụ thuộc một số tham số. Nếu các tham số lấy

các giá trị cố định thì ta được nghiệm riêng .

3. Hệ nghiệm cơ bản

Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì

các nghiệm này có thể biểu diễn được qua một hệ nghiệm

riêng cố định, gọi là hệ nghiệm cơ bản.


55

Ví dụ. Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

tuyến tính

a.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

5 0

2 3 0

3 8 0

x x x x

x x x x

x x x x

b.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 0

4 5 0

3 2 3 0

x x x x

x x x x

x x x x

c.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0

2 4 2 0

2 4 2 0

4 8 2 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

d.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 6 9 3 6 0

2 0

2 5 3 0

2 4 2 2 2 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

Giải

a.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

5 0

2 3 0

3 8 0

x x x x

x x x x

x x x x

Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang

2 1 2

3 1 33

1 1 5 1 1 1 5 1

1 1 2 3 0 2 7 4

3 1 8 1 0 2 7 4

d d dd d dA

3 2 3

1 1 5 1

0 2 7 4

0 0 0 0

d d d

Suy ra ( ) 2 4r A . Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc

hai tham số:


56

1

1 2 3 4

2

2 3 4

3

4

3

2

75 0( , )

3 2 7 4 0

x

x x x xx

x x x

x

x

Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình:

1 2 3 4

3 7( , , , ) ( , 2 , , ), ,

2 3

3 7 ( , , ,0) ( , 2 ,0, )

2 3

3 7 ( , ,1,0) ( 1, 2,0,1)

2 3

x x x x

Do đó hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình là:

1 2

3 7( , ,1,0); ( 1, 2,0,1)

2 3u u .

b.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 0

4 5 0

3 2 3 0

x x x x

x x x x

x x x x



57

2 1 2

3 1 3

2 23 2 3

3

1

86

1 2 1 1 1 2 1 1

1 4 1 5 0 6 0 6

3 2 1 3 0 8 2 0

1 2 1 1 1 2 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 8 2 0 0 0 2 8

d d dd d d

d dd d d

A


một tham số:

1

1 2 3 4

2

2 4

3

3 4

4

32 0

0 ( , )4

2 8 0

xx x x x

xx x

xx x

x


1 2 3 4( , , , ) (3 , , 4 , ),

(3,1, 4,1)

x x x x

Do đó nghiệm cơ bản của hệ phương trình là:

(3,1, 4,1).u

c.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0

2 4 2 0

2 4 2 0

4 8 2 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x


58


1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 4 2 1 0 0 6 3 0 0 6 3

1 2 4 2 0 0 6 3 0 0 0 0

4 8 2 1 0 0 6 3 0 0 0 0

A

Suy ra ( ) 2 4r A . Hệ pt có vô số nghiệm phụ

thuộc hai tham số:

1

1 2 3 4 2

33 4

4

2

2 2 0( , ).

6 3 0

2

x

x x x x x

xx x

x


1 2 3 4( , , , ) ( 2 , , ,2 ), ,

( 2,1,0,0) (0,0,1,2)

x x x x

Do đó hệ nghiệm cơ bản là:

1 ( 2;1;0;0)u và 2 (0;0;1;2)u .

d.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 6 9 3 6 0

2 0

2 5 3 0

2 4 2 2 2 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x



59

3 6 9 3 6 1 2 1 1 1

1 2 1 1 1 3 6 9 3 6

1 2 5 1 3 1 2 5 1 3

2 4 2 2 2 2 4 2 2 2

1 2 1 1 1 1 2 1 1 1

0 0 6 0 3 0 0 6 0 3

0 0 4 0 2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A


ba tham số:

1

2

1 2 3 4 5

3

3 5

4

5

12

2

2 0 1( , , ).

6 3 0 2

x

x

x x x x xx

x x

x

x



60

1 2 3 4 5

1 1( , , , , ) ( 2 , , , , ), , ,

2 2

1 1 ( 2,1,0,0,0) (1,0,0,1,0) ( ,0, ,0,1)

2 2

x x x x x

Do đó hệ nghiệm cơ bản là:

1 ( 2;1;0;0;0)u , 2 (1;0;0;1;0)u , 3

1 1( ;0; ;0;1)

2 2u

BÀI TẬP

1.1 Cho

1 2

1 3

3 4

A ;

0 1

3 2

2 3

B ;

2 3

1 2

4 1

C

a. Tính (A+B)+C; A+(B+C)

b. Tính 3A – 2B; (3 )tA ; (3 2 ) tA B

c. Tính tA B ; ( ) tA B C

1.2 Cho

3 5 7

2 1 0

4 3 2

A ;

3 5 7

2 1 0

4 3 2

A

a. Tính (3 ) tA B ; 3A B ;

b. Tính AB; BA; (2 )tA B ; tB A ; 2 4A B ; 2 2B A

1.3 Cho các ma trận

1 0 1 2

3 2 1 0

1 2 3 1

A

và

2 1 0 1

0 2 3 2

1 3 2 1

B

Tìm các ma trận sau:


61

C = 2A – 3B , D = 3At + B

t , E = A

t.B .


2 1 0

1 1 3

3 0 2

A

và

0 1 1

1 2 3

2 0 1

B

Tìm các ma trận sau:

C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI – B

2 , F = AB – BA.

1.5 Cho các ma trận :1 1

0 1A

và 1 1

1 1B

Tìm ma trận sau

a. nA , n nguyên dương b. 100B


2 1 3

0 1 2A

,

2 1

0 2

1 1

B

, 1 1

0 1C

a. Tính AB, ABC

b. Tính (AB)3, nC với n

1.7 Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang


62

a.

1120

0100

3021

b.

12963

8642

4321

c.

10862

13611

1252

1231

d.

3 21 0 9 0

1 7 1 2 1

2 14 0 6 1

6 42 1 13 0

e.

1 1 0 3 1

1 1 2 1 0

4 2 6 3 4

2 4 2 4 7

f.

3133426

072142

22171

03171

1.8 Tìm hạng của các ma trận

a.

28112

71524

42312

b.

3133426

072142

22171

03171

c.

0 4 10 1

4 8 18 7

10 18 40 17

1 4 17 3

d.

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3


63

e.

032

1050

713

541

420

f.

1 3 5 1

2 1 3 4

5 1 1 7

7 7 9 1

g.

1 2 3 4

1 3 0 1

2 4 1 8

1 7 6 9

0 10 1 10

h.

1 0 0 1

0 1 1 2

1 1 1 1

4 2 3 1

3 1 2 0

i.

1 2 4 5 2

2 3 1 1 3

0 1 7 9 1

1 3 11 14 3

j.

1 3 2 0 5

2 6 9 7 12

2 5 2 4 5

1 4 8 4 20

1.9 Biện luận theo tham số thực m hạng của các ma trận

sau:

a.

1 7 2 4

1 17 4 10

4 3 3 1

3 1 2 m

b.

1 2 3 4 5

4 6 8 9 10

5 8 11 13 16

10 16 22 26 m

c.

1 0 2 1 0

2 1 1 2 2

1 1 1 3 2

2 1 1 2m

d.

2 1 3 4 2 8

1 0 1 1 0 0

3 4 2 4 1 1

5 5 5 8 3 m


64

1.10 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

a.

73

21 b.

34

45

c.

53

32 d.

xx

xx

cossin

sincos

e.

432

110

643

f.

321

113

642

g.

285

132

111

h.

100

10

1 2

a

aa

i.

2 3 0

1 1 4

3 2 5

k.

1 0 1

0 0 2

1 3 1

l.

1 3 4

0 1 2

0 1 5

m.

3 2 1

1 1 2

2 2 5

1.11 Tìm ma trận X từ các phương trình sau

a. 2 5 4 6

.1 3 2 1

X

b. 2 1 1 1

.3 1 0 1

X


65

c. 3 1 2 1

.2 1 3 1

X

d. 1 1 1 1

.2 0 2 1

X

e.

1 2 3 1 0

2 6 5 . 2 1

1 3 2 0 1

X

f.

1 1 1 2 0 4

1 0 1 . 5 2 7

1 1 0 2 5 5

X

g.

1 1 1 2 0 4

2 1 0 5 2 7

1 1 1 2 5 5

X

h.

1 1 1 1 0 2

2 1 1 1 2 2

1 1 2 1 0 2

X

1.12 Tính các định thức sau đây

a.

1 2 3

2 3 1

3 1 2

b.

1 1 1

1 0 1

1 1 2


66

c.

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

d.

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

e.

1 1 1 1

1 2 3 4

1 1 3 4

1 1 1 4

f.

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 1 2

4 3 2 1

g.

1 4 2 4

2 3 3 6

3 2 1 2

4 1 1 2

h.

1 1 2 3

1 2 3 1

2 3 6 4

3 5 9 4

1.13 Giải các hệ phương trình Cramer

a.

142

52

12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b.

22

12

13

321

321

321

xxx

xxx

xxx

c.

142

02

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

d.

135

2323

4

321

321

321

xxx

xxx

xxx

e.

10

3

10432

30432

4321

432

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

f.

102212

9632

542

123

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx


67

1.14 Giải các hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2

5

3 2 1

x x x

x x x

x x x

b.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

4 2 1

2 3 4 2

x x x

x x x

x x x

c.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5

2 2 3 1

3 2 2 1

4 3 2 5

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

d.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x 2x x x 1

x 2x x x 1

x 2x x 5x 5

e.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 1

3 2 4

2 3 6

2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

f.

2 3 4

1 3 4

1 2 4

1 2 3

3 4 = 5

2 3 4

3 2 5 12

4 3 5 =5

x x x

x x x

x x x

x x x

g.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 1

2 2 1

3

2 3 1

x x x

x x x

x x x

x x x

h.

375554

243333

02

12

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

i.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5 13

6 9 2 13

4 6 14

2 3 2 4 9

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

j.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 5

3 6 13

3 2 1

12 2 2 10

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x


68

1.15 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

a.

042

042

02

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b.

0662

033

02

321

321

321

xxx

xxx

xxx

c.

023

02

02

431

4321

421

xxx

xxxx

xxx

d.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 0

2 0

4 5 8 0

x x x x

x x x x

x x x x

e.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 3 4

2 0

2 4 0

2 5 0

0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

f.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 3 0

3 5 6 4 0

4 5 2 3 0

3 8 24 19 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

1.16 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham

số m

a. 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2

2 1

7 5

x x x x m

x x x x m

x x x x m

b. 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2

2 5 2 2 2 1

3 7 3 3 1

x x x x m

x x x x m

x x x x

c. 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 1

2 4 2

7 4 11

4 8 4 16 1

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x m

d. 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 4

2 3

2 2 2 3

2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x m

MA TRẬN ĐỊNH THỨC HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH · Bài giảng Toán Cao Cấp C – NCS. Trần Văn Hoan 7 1 2 5 8 34 4 5 17 26 12 3 6 15 24 BA . c. Nếu 34 00 A ,

Documents