Toan 1-Chuong2

Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức

Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1

Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 12 tháng 10 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC



Chương II: Ma trận, định thức

2.1 Các phép toán trên ma trận.

2.2 Định thức.

2.3 Ma trận nghịch đảo.

2.4 Hạng của ma trận.






2.2 Định thức.








2.2 Định thức.








2.2 Định thức.








2.2 Định thức.






Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận

Định nghĩa ma trận


Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng,n cột được gọi là ma trận loại mxn.

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

(1)

hay A = (aij)mxn, i = 1, · · · ,m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột.

aij là phần tử nằm ở hàng i , cột j của ma trận.

Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j)j=1,...,n

Ma trận cột: Ma trận chỉ có một cột, A = (ai1)i=1,...,m.








A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

(1)












A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

(1)












A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

(1)









Một số khái niệm

Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.

Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.

Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji

Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.

Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.

Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.

Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.













































































Các ví dụ I

A =

(1 2 30 5 4

); có ma trận chuyển vị là At =

1 02 53 4

Ma trận vuông: B =

5 −1 03 8 20 6 4

Ma trận chéo: C =

1 0 00 4 00 0 −2

Ma trận đối xứng: D =

1 0 50 3 75 7 2

Ma trận đơn vị cấp 3: I =

1 0 00 1 00 0 1





Các ví dụ II

Ma trận hàng: E =(

x y z)

Ma trận cột: F =

xyz





Các phép tính trên ma trận

Phép cộng hai ma trận cùng loại

Cho hai ma trận cùng loại A = (aij)mxn; B = (bij)mxn. Khi đó ma

trận tổng C = A + B = (cij)mxn; trong đócij = aij + bij ; i = 1, ...,m; j = 1, ..., n

Phép nhân một ma trận với một số

Cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k . Khi đó k .A = (k .aij)mxn;i = 1, ...,m; j = 1, ..., n

Ví dụ. A =

(1 2 30 5 4

); B =

(2 0 −43 −5 2

).

Ta có: A + B =

(3 2 −13 0 6

); 2A =

(2 4 60 10 8

)











Ví dụ. A =

(1 2 30 5 4

); B =

(2 0 −43 −5 2

).

Ta có: A + B =

(3 2 −13 0 6

); 2A =

(2 4 60 10 8

)











Ví dụ. A =

(1 2 30 5 4

); B =

(2 0 −43 −5 2

).

Ta có: A + B =

(3 2 −13 0 6

); 2A =

(2 4 60 10 8

)Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC




Phép nhân hai ma trận

Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cột

Giả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1

U =(

u1 u2 ... un

); V =

v1

v2...vn

Tích của U và V được xác định:

U · V = (u1.v1 + u2.v2 + ...+ un.vn)1x1

Chú ý. Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phảibằng số hàng của B






Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cộtGiả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1

U =(

u1 u2 ... un

); V =

v1

v2...vn


U · V = (u1.v1 + u2.v2 + ...+ un.vn)1x1







Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cộtGiả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1

U =(

u1 u2 ... un

); V =

v1

v2...vn


U · V = (u1.v1 + u2.v2 + ...+ un.vn)1x1







Cho A = (aik) là ma trận loại (mxp), B = (bkj) là ma trận loại(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij) là ma trận loại mxn, trong

đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột jcủa B)

cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ...+ aip.bpj

i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n

Ví dụ Cho các ma trận

A =

(3 1 42 0 5

); B =

1 3 0 01 1 0 00 0 1 1

; Tìm ma trận C = A.B






Cho A = (aik) là ma trận loại (mxp), B = (bkj) là ma trận loại(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij) là ma trận loại mxn, trong

đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột jcủa B)

cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ...+ aip.bpj

i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n

Ví dụ Cho các ma trận

A =

(3 1 42 0 5

); B =

1 3 0 01 1 0 00 0 1 1

; Tìm ma trận C = A.B





Giải

C sẽ là ma trận loại 2x4 với các phần tử được xác định:

c11 = 3× 1 + 1× 1 + 4× 0 = 4;c12 = 3× 3 + 1× 1 + 4× 0 = 10c13 = 3× 0 + 1× 0 + 4× 1 = 4;c14 = 3× 0 + 1× 0 + 4× 1 = 4;c21 = 2× 1 + 0× 1 + 5× 0 = 2;c22 = 2× 3 + 0× 1 + 5× 0 = 6;c23 = 2× 0 + 0× 0 + 5× 1 = 5;c24 = 2× 0 + 0× 0 + 5× 1 = 5.

Ma trận tích:

C =

(4 10 4 42 6 5 5

)





Tính chất

Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại(mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thìtích A.B .C có tính chất kết hợp: A.(B .C ) = (A.B).C

Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán

Nếu A,B thỏa mãn điều kiện nhân thì At ,Bt cũng thỏa mãnđiều kiện nhân và ta có: (A.B)t = Bt .At .

Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đãkéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0

Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân vớima trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A





Tính chất










Tính chất










Tính chất










Tính chất









Định nghĩa định thứcTính chất của định thức

Định nghĩa định thức

Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A làmột số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|.

Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngi , cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.

Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j ·Dij






Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A làmột số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|.Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngi , cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.







Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A làmột số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|.Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngi , cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.






Định nghĩa định thức bằng quy nạp

a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11

b, k = 2,

A =

[a11 a12

a21 a22

]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12

c, k = 3,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13

d, k = n,

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n






a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11

b, k = 2,

A =

[a11 a12

a21 a22

]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12

c, k = 3,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13

d, k = n,

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n






a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11

b, k = 2,

A =

[a11 a12

a21 a22

]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12

c, k = 3,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13

d, k = n,

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n






a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11

b, k = 2,

A =

[a11 a12

a21 a22

]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12

c, k = 3,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13

d, k = n,

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n





Ví dụ

Tính D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3

∣∣∣∣∣∣

GiảiD = 3A11 + 1A12 + 5A13

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = 2

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ −1 1−2 3

∣∣∣∣ = 1

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ −1 2−2 4

∣∣∣∣ = 0

A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7





Ví dụ

Tính D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3

∣∣∣∣∣∣Giải

D = 3A11 + 1A12 + 5A13

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = 2

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ −1 1−2 3

∣∣∣∣ = 1

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ −1 2−2 4

∣∣∣∣ = 0

A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7





Ví dụ

Tính D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3


D = 3A11 + 1A12 + 5A13

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = 2

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ −1 1−2 3

∣∣∣∣ = 1

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ −1 2−2 4

∣∣∣∣ = 0

A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7





Ví dụ

Tính D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3


D = 3A11 + 1A12 + 5A13

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = 2

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ −1 1−2 3

∣∣∣∣ = 1

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ −1 2−2 4

∣∣∣∣ = 0

A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7





Ví dụ

Tính D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3


D = 3A11 + 1A12 + 5A13

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = 2

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ −1 1−2 3

∣∣∣∣ = 1

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ −1 2−2 4

∣∣∣∣ = 0

A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7





Ví dụ

Tính D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3


D = 3A11 + 1A12 + 5A13

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 41 3

∣∣∣∣ = 2

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ −1 1−2 3

∣∣∣∣ = 1

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ −1 2−2 4

∣∣∣∣ = 0

A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7





Tính chất

Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu cáctính chất của định thức ta ký hiệu A1,A2, ...,An là các cột củađịnh thức và ta viết D = D(A1,A2, ...,An) .

Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các địnhthức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B)

Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tíchthành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj

1 + Aj2 thì ta có

thể phân tích định thức thành tổng hai định thức:

D(A1, ..., A1

j + A2j , ...An

)= D

(A1, ..., A1

j , ..., An

)+D

(A1, ...,A

2j , ...An

)Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột rangoài dấu định thức.

D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .





Tính chất




1 + Aj2 thì ta có


D(A1, ..., A1

j + A2j , ...An

)= D

(A1, ..., A1

j , ..., An

)+D

(A1, ...,A

2j , ...An


D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .





Tính chất




1 + Aj2 thì ta có


D(A1, ..., A1

j + A2j , ...An

)= D

(A1, ..., A1

j , ..., An

)+D

(A1, ...,A

2j , ...An

)

Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột rangoài dấu định thức.

D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .





Tính chất




1 + Aj2 thì ta có


D(A1, ..., A1

j + A2j , ...An

)= D

(A1, ..., A1

j , ..., An

)+D

(A1, ...,A

2j , ...An


D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .





Tính chất

Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu.D (A1, ...,Ai , ...,Aj , ...An) = −D (A1, ...,Aj , ...,Ai , ...An)

Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không.

Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cộtkhác thì định thức bằng không,

Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính củacác cột khác thì định thức không đổi.D (A1, ..., Aj +

∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .

Tính chất 6. det (At) = det (A). Các tính chất đã phát biểutrên cột cũng đúng trên hàng.





Tính chất





∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .






Tính chất





∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .






Tính chất





∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .






Tính chất





∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .






Tính chất

Định lý khai triển

Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàngcột nào.det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ...+ ainAin; i = 1, 2, ..., n (khai triểntheo hàng i)det(A) = a1jA1j + a2jA2j + ...+ anjAnj ; j = 1, 2, ..., n (khai triểntheo cột j)

Các bước khai triển định thức:

Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý.

Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột)vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử cácphần tử còn lại.

Bước 3: Khai triển định thức theo hàng (cột) vừa chọn.





Tính chất











Tính chất











Ví dụ

Tính định thức:

D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3

∣∣∣∣∣∣

Chọn cột 1

Sử dụng phần tử a21 = −1 để khử hai phần tử còn lại của cộtmột

h2.(3) + h1 → h1

h2.(−2) + h3 → h3

Định thức sau khi biến đổi là:

D =

∣∣∣∣∣∣0 7 8−1 2 10 0 1

∣∣∣∣∣∣





Ví dụ


D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3

∣∣∣∣∣∣Chọn cột 1


h2.(3) + h1 → h1

h2.(−2) + h3 → h3


D =

∣∣∣∣∣∣0 7 8−1 2 10 0 1

∣∣∣∣∣∣





Ví dụ


D =

∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3

∣∣∣∣∣∣Chọn cột 1


h2.(3) + h1 → h1

h2.(−2) + h3 → h3


D =

∣∣∣∣∣∣0 7 8−1 2 10 0 1

∣∣∣∣∣∣Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC




Ví dụ

Khai triển định thức theo cột 1:

D = a21.A21 = (−1) (−1)2+1

∣∣∣∣ 7 80 1

∣∣∣∣ = 7




Định nghĩaVí dụ

Định nghĩa

Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1

Định lý

Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) 6= 0

Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.

3. Cuối cùng ta có A−1 =1

det (A)A.





Định nghĩa


Định lý




det (A)A.





Định nghĩa


Định lý


Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.

2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.


det (A)A.





Định nghĩa


Định lý




det (A)A.





Định nghĩa


Định lý




det (A)A.





Định nghĩa


Định lý




det (A)A.





Ví dụ

Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.

A =

1 2 −13 0 24 −2 5

Ta có:

det (A) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −13 0 24 −2 5

∣∣∣∣∣∣ = −4.Chuyển vị ma trận A ta được:

At =

1 3 42 0 −2−1 2 5





Ví dụ

Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.

A =

1 2 −13 0 24 −2 5

Ta có:

det (A) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −13 0 24 −2 5

∣∣∣∣∣∣ = −4.Chuyển vị ma trận A ta được:

At =

1 3 42 0 −2−1 2 5





Ví dụ

Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được matrận phụ hợp:

A =

4 −8 4−7 9 −5−6 10 6

Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:

A−1 =1

det (A)A =

−1 2 −17

4

−94

5

43

2

−52

3

2

Ma trận

B =

1 1 11 2 −11 0 3

có det(B) = 0 nên không có ma trận nghịch đảo.





Ví dụ


A =

4 −8 4−7 9 −5−6 10 6


A−1 =1

det (A)A =

−1 2 −17

4

−94

5

43

2

−52

3

2

Ma trận

B =

1 1 11 2 −11 0 3






Ví dụ


A =

4 −8 4−7 9 −5−6 10 6


A−1 =1

det (A)A =

−1 2 −17

4

−94

5

43

2

−52

3

2

Ma trận

B =

1 1 11 2 −11 0 3






Ví dụ


A =

4 −8 4−7 9 −5−6 10 6


A−1 =1

det (A)A =

−1 2 −17

4

−94

5

43

2

−52

3

2

Ma trận

B =

1 1 11 2 −11 0 3





Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập

Định nghĩa hạng của ma trận

Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thìcác phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấyra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k.

Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức concấp k trích từ ma trận A

Định nghĩa

Cấp lớn nhất của các định thức con khác không trích từ ma trận Ađược gọi là hạng của ma trận AHạng của ma trận A được ký hiệu là r(A)








Định nghĩa









Định nghĩa






Ví dụ

Tìm hạng của các ma trận sau:

A =

(1 2 72 4 −1

)B =

1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0

Giải

Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có:∣∣∣∣ 1 72 −1

∣∣∣∣ = −15 6= 0.

Vậy r(A) = 2

det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằngkhông. Vậy r(B) = 1.





Ví dụ


A =

(1 2 72 4 −1

)B =

1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0

Giải


∣∣∣∣ = −15 6= 0.

Vậy r(A) = 2






Ví dụ


A =

(1 2 72 4 −1

)B =

1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0

Giải


∣∣∣∣ = −15 6= 0.

Vậy r(A) = 2






Ví dụ


A =

(1 2 72 4 −1

)B =

1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0

Giải


∣∣∣∣ = −15 6= 0.

Vậy r(A) = 2






Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:

1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác






Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận

2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác






Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột

3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác






Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông

4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác






Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.

5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác






Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.

6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác






Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác





Bài tập I

Bài 1: Cho các ma trận A =

3 1 00 3 00 0 3

, J =

0 1 00 0 00 0 0

1) Chứng minh rằng A = 3J + I với I là ma trận đơn vị cấp ba.2) Tính J2 và bằng phương pháp quy nạp hãy chứng minh

rằng An = 3nI + anJ với an là một số có thể xác định được. Viếtma trận An.

Bài 2: Cho ma trận A =

0 1 0−1 2 01 0 −1

1) Tính A2 và A3. Nghiệm lại rằng ta có A3 − A2 − A + I = 0

với I là ma trận đơn vị cấp ba.2) Chứng tỏ rằng ma trận A là khả nghịch. Hãy suy ra A−1 từ

hệ thức trên.





Bài tập II

Bài 3: Tính các định thức

1)

∣∣∣∣∣∣3 0 11 2 5−1 4 2

∣∣∣∣∣∣ ; 2)

∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; 3)

∣∣∣∣∣∣1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣Bài 4: Tính các định thức

1)

∣∣∣∣∣∣a + b ab a2 + b2

b + c bc b2 + c2

c + a ca c2 + a2

∣∣∣∣∣∣ ; 2)

∣∣∣∣∣∣∣∣−a b c db −a d cc d −a bd c b −a

∣∣∣∣∣∣∣∣Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC




Bài tập III

Bài 5: Chứng tỏ rằng các ma trận sau đây là khả nghịch và tìm matrận nghịch đảo của chúng:

A =

1 1 11 2 41 3 9

; B =

1 −a 0 00 1 −a 00 0 1 −a0 0 0 1

Bài 6: Tìm hạng của các ma trận sau:

A =

1 3 −2 12 5 2 11 1 6 13−2 −6 8 10

; B =

1 −2 −5 −8−1 1 1 51 2 11 4





Bài tập IV

Bài 7: Cho ma trận A =

−m 3 5m0 1 21 0 m

a, Tìm m để A khả nghịchb, Tìm A−1 khi m = 0.


Toan 1-Chuong2

Education