CHƯƠNG 5: DẠY HỌC THỐNG KÊ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Một số bài toán tham khảo Về tổ hợp Bài 1: Thầy có 12 quyển sách khác nhau: 5 văn, 4 toán, 3 hóa. Thầy lấy 6 quyển tặng cho 6 học sinh. Hỏi: a. Có bao nhiêu cách chọn để tặng chỉ có sách văn và toán? b. Có bao nhiêu cách chọn để khi tặng vẫn còn cả ba loại sách? Giải: Lấy 6 quyển sách a. chỉ có sách văn và toán 5 sách văn và 1 sách toán : 4 . 1 4 5 5 = C C 4 sách văn và 2 sách toán : 30 . 2 4 4 5 = C C 3 sách văn và 3 sách toán : 40 . 3 4 3 5 = C C 2 sách văn và 4 sách toán : 10 . 4 4 2 5 = C C Vậy ta có 84 10 40 30 4 = + + + cách chọn. b. khi tặng vẫn còn cả ba loại sách Bước 1: giữ lại mỗi loại 1 quyển: 1 1 1 5 4 3 . . 60 CCC = Bước 2: tặng đi 4 2 4 2 4 1 1 3 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 2 4 3 4 2 4 3 2 4 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 . . . . . . . . . . . . 80 CC CC C CC CC CCC CCC CCC CCC + + + + + + + = Vậy có 60 + 80 = 140 cách chọn. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CHƯƠNG 5:
DẠY HỌC THỐNG KÊ
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Một số bài toán tham khảo
Về tổ hợp
Bài 1: Thầy có 12 quyển sách khác nhau: 5 văn, 4 toán, 3 hóa. Thầy lấy 6
quyển tặng cho 6 học sinh. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách chọn để tặng chỉ có sách văn và toán?
b. Có bao nhiêu cách chọn để khi tặng vẫn còn cả ba loại sách?
Giải:
Lấy 6 quyển sách
a. chỉ có sách văn và toán
5 sách văn và 1 sách toán : 4. 14
55 =CC
4 sách văn và 2 sách toán : 30. 24
45 =CC
3 sách văn và 3 sách toán : 40. 34
35 =CC
2 sách văn và 4 sách toán : 10. 44
25 =CC
Vậy ta có 841040304 =+++ cách chọn.
b. khi tặng vẫn còn cả ba loại sách
Bước 1: giữ lại mỗi loại 1 quyển: 1 1 15 4 3. . 60C C C =
Bước 2: tặng đi
4 2 4 2 4 1 1 3 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 24 3 4 2 4 3 2 4 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2. . . . . . . . . . . . 80C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C+ + + + + + + =
Vậy có 60 + 80 = 140 cách chọn.
1
Bài 2: Một tốp có 30 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một nhóm
6 người sao cho:
a. Có đúng 2 nữ.
b. Số nam nữ tùy ý.
Giải:
a. Có đúng 2 nữ
Chọn ra 2 nữ trong 15 nữ có 215C
Chọn ra 4 nam trong 30 nam có 430C
Vậy có 2 415 30. 2877525C C = cách chọn.
b. Số nam nữ tùy ý.
Chọn ra 6 trong 15 30 45+ = có 645 8145060C =
Vậy có 8145060 cách chọn.
Bài 3: Từ 1, 2, 3, 4, 5 lập ra các số có 3 chữ số khác nhau. Có thể lập được
bao nhiêu số sao cho:
a. Có đủ cả ba chữ số 1, 3, 5?
b. Phải có mặt chữ số 2?
c. Phải có mặt chữ số 3 và 5?
d. Số đó chia hết cho 5?
Giải:
a. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc
Khi đó: a có 3 cách chọn
b có 2 cách chọn
c có 1 cách chọn
Vậy có thể lập được 6 số có 3 chữ số mà phải có đủ cả ba chữ số 1, 3, 5.
b. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc
2
Ta xét số 2 ở ba vị trí
2a = , chọn b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
2b = , chọn a có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
2c = , chọn a có 4 cách chọn
b có 3 cách chọn
Vậy có 3.4.3 36= số thỏa mãn.
c. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc
35c chọn c có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới
3 5b chọn b có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới
35a chọn a có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới
Vậy tất cả có 3.2.3 18= số thỏa yêu cầu.
d. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc
Số chia hết cho 5 thì 5c = chỉ có 1 cách chọn duy nhất
Chọn a có 4 cách chọn
Chọn b có 3 cách chọn
Vậy có 1.4.3 12= số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 4: Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà tổng các chử số là số lẻ.
Giải
Gọi số cần tìm 1 2 3 4 5n a a a a a=
Xét các trường hợp:
- Nếu 1 2 3 4a a a a+ + + là số chẳn thì 5 1,3,5,7,9a ∈ có 5 cách chọn 5a
- Nếu 1 2 3 4a a a a+ + + là số lẻ thì 5 0,2,4,6,8a ∈ có 5 cách chọn 5a
Tóm lại 1 2 3 4, , ,a a a a tùy ý ( )1 0a ≠ bao giờ cũng có 5 cách chọn 5a .
3
Vậy có : 9 cách chọn 1a
10 cách chọn 2a
10 cách chọn 3a
10 cách chọn 4a
5 cách chọn 5a
Vậy có tất cả: 39.10 .5 45000=
Bài 5: Từ một nhóm ca sĩ có 3 nam và 5 nữ, cần cử 6 người đi công tác. Hỏi
có bao nhiêu cách lập ra 6 người đó sao cho:
a) Có nữ
b) Có đúng 2 nữ
c) Có cả nữ và nam
d) Có ít nhất 2 nữ
Giải
a) Số cách lập ra 6 người trong đó có nữ:1 5 2 4 3 33 5 3 5 3 5. . . 28C C C C C C+ + =
b) Số cách lập ra 6 người trong đó có đúng 2 nữ:
Chỉ chọn ra 2 đúng 2 nữ mà chỉ có 3 nam nên không thể chọn ra được
ở trường hợp này.
c) Số cách lập ra 6 người trong đó có cả nam và nữ : 68C
d) Số cách lập ra 6 người trong đó có ít nhất 2 nữ:
1 5 2 4 3 33 5 3 5 3 5. . . 28C C C C C C+ + =
4
Bài 6:. Tìm số hạng âm của dãy 4
4
2
143
4n
nn n
Ax
P P+
+
= −
Giải:
Điều kiện: 2
n
n
∈ ≥
¥
Ta có:
( )( )
( ) ( )
( )
44
2
2
4 !143 143
4 ! 2 ! 4 !
3 4 143
! 4 !1
4 28 95!
nn
n n
nAx
P P n n n
n n
n n
n nn
+
+
+= − = −
+
+ += −
= + −
nx âm khi và chỉ khi 24 28 95 0n n+ − <
Suy ra : 5
22
n≤ < hay 2n =
Bài 7: Tìm x thỏa mãn: 4
3 41
24
23x
xx x
A
A A −+
=− .
Giải:
Điều kiện của phương trình 4x ≥ .
Ta có 4
3 41
24
23x
xx x
A
A A −+
=−
!24( 4!)
( 1)! ! 23( 2)! 4!( 4)!
xx
x xx x
−⇔ =+ −− −
( 1)( 2)( 3) 241 23( 1) ( 1) ( 1)( 2)( 3)24
x x x x
x x x x x x x
− − −⇔ =+ − − − − −
23 ( 1)( 2)( 3) 24 ( 1)( 1) ( 1)( 2)( 3)x x x x x x x x x x x⇔ − − − = + − − − − −
5
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 1)x x x x x x x⇔ − − − = + −
( 2)( 3) 1x x x⇔ − − = +
2 6 5 0x x⇔ − + =
1 loai
5
x
x
=⇔ =
Vậy 5x = .
Bài 8: Rút gọn: 1 2
1 1 12
1
p nn n n n
p nn n n
C C C Cp n
C C C− −+ +…+ +…+
Giải:
Ta có : 1
!( )! !
1!
( 1)!( 1)!
pnp
n
nC n p p
p p n pnC
n p p
−−= = − +
− + −
, với mọi 0 p n≤ ≤ . Vì thế
nên
10 0 0 0
( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
2 2
pn n n nnp
p p p pn
C n n n np n p n p n n
C −= = = =
+ += − + = + − = + − =∑ ∑ ∑ ∑
Bài 9: Tìm hệ số của 3x trong khai triển 151
( )xx
+ .
Giải:
Ta có 15 3 1515 15
2 215 15
15
0 0
1( )
k kk k k
k k
C x C xxx
x− −
= =+ = =∑ ∑
Vậy hệ số của 3x là 715C .
6
Về xác suất
Bài 1: Tính xác suất trúng giải nhất, nhì (chỉ sai một số) khi mua vé số gồm
4 chữ số.
Hướng dẫn:
1. A= biến cố để trúng giải nhất.
Không gian mẫu Ω , 410 10000Ω = =
Chỉ có một kết quả để trúng một giải nhất: 1AΩ =
1( ) 0,0001
10000AP A
Ω= = =
Ω
2. B = Biến cố để trúng giải nhì.
Giả sử tờ vé số: abcd .
Để trúng giải nhì thì phải giống nhau 3 chữ số
Khi đó: Tờ vé số giải nhì , , ,abct abtd atcd tbcd
Mỗi trường hợp có 9 khả năng nên ta có: BΩ = 9.4=36 trường hợp để
trúng giải nhì
36( ) 0.0036
10000AP A
Ω= = =
Ω
Bài 2: Tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong bộ tulukho 52
quân có 1 bộ.
Hướng dẫn:
Không gian mẫu 552, CΩ Ω =
Gọi A=biến cố chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong bộ tulukho 52 quân có 1
bộ1 113 48. 624A C CΩ = =
7
552
624( ) 0,00024AP A
C
Ω= = ≈
Ω
Bài 3: Cho ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50. Gọi A là
biến cố số được chọn là số nguyên tố, B là biến cố số được chọn bé hơn 4.
Tính ( ) ( )BPAP , .
Giải:
Ta có:
50...,,3,2,1=Ω
47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2=Ω A
3,2,1=ΩB
Suy ra
( ) 3,050
15 ==Ω
Ω= AAP
( ) 06,050
3 ==Ω
Ω= BBP .
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương bé hơn 9. Tính xác suất để số
được chọn
a/ chia hết cho 3;
b/ là số nguyên tố.
Giải:
Ta có: 8,7,6,5,4,3,2,1=Ω
a/ Gọi A là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3”
Ta có:
6,3=Ω A
⇒ ( ) 25,08
2 ==Ω
Ω= AAP
8
b/ Gọi B là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”
Ta có:
7,5,3,2=ΩB
⇒ ( ) 5,08
4 ==Ω
Ω= BBP .
Bài 5: Danh sách lớp được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Hà có số thứ tự là 12.
Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Tính xác suất để Hà được chọn, Hà không được
chọn, bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hà.
Giải:
Ta có: 30...,,3,2,1=Ω
Gọi A , B , C lần lượt là các biến cố “Hà được chọn”, “Hà không được
chọn”, “Bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hà”
Ta được:
12=Ω A
12\Ω=ΩB
11,...,3,2,1=ΩC
Suy ra
( )30
1=Ω
Ω= AAP
( )30
29=Ω
Ω= BBP
( )30
11=Ω
Ω= CCP .
Bài 6: Gieo 2 con súc sắc. Gọi A là biến cố tổng số chấm trên mặt 2 con súc
sắc bé hơn hoặc bằng 7, B là biến cố có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt
9
6 chấm. Hãy mô tả không gian mẫu; hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A,