CHƯƠNG 1 XÁC SUT 1.1 Không gian m¤u và bi‚n cL 1.1.1 Phép thß Trong thüc t‚ có nhi•u thí nghi»m có th” lp đi lp l/i nhi•u lƒn trong cùng mºt đi•u ki»n như nhau nhưng chúng ta không th” bi‚t ch›c ch›n k‚t qu£ s‡ x£y ra khi thüc hi»n thí nghi»m đó. Nhœng thí nghi»m đó ta gi là phép thß ng¤u nhiên (hay gi t›t là phép thß). Nói chung, 1 phép thß ph£i tha mãn 2 đi•u ki»n: - Có th” lp vô h/n lƒn; - K‚t qu£ cıa mØi lƒn thüc hi»n phép thß là hoàn toàn ng¤u nhiên. Ví d 1.1. - Gieo mºt con xúc x›c. Mc dù làm đi làm l/i nhi•u lƒn nhưng mØi lƒn tung l/i cho ta k‚t qu£ nói chung là khác nhau. Các k‚t qu£ cıa mºt thí nghi»m ng¤u nhiên là ng¤u nhiên. - Hi tháng sinh cıa mºt sinh viên đưæc chn ng¤u nhiên. - Đo chi•u cao cıa mºt sinh viên đưæc chn ng¤u nhiên. 1.1.2 Không gian m¤u. T“p t§t c£ các k‚t qu£ có th” x£y ra cıa mºt phép thß đưæc gi là không gian m¤u. Kí hi»u không gian m¤u là Ω. Ví d 1.2. Khi tung mºt đng xu, có hai k‚t qu£ có th” x£y ra: xu§t hi»n mt s§p (S) hoc xu§t hi»n mt ngœa (N). Không gian m¤u trong trưng hæp này là Ω= {S ; N }. Ví d 1.3. Gieo mºt con xúc x›c. N‚u ta quan tâm đ‚n sL ch§m xu§t hi»n trên mt ngßa cıa con xúc x›c thì không gian m¤u s‡ là Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CHƯƠNG1
XÁC SUẤT
1.1 Không gian mẫu và biến cố
1.1.1 Phép thử
Trong thực tế có nhiều thí nghiệm có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong cùng một điều
kiện như nhau nhưng chúng ta không thể biết chắc chắn kết quả sẽ xảy ra khi thực hiện thí
nghiệm đó. Những thí nghiệm đó ta gọi là phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử). Nói
chung, 1 phép thử phải thỏa mãn 2 điều kiện:
- Có thể lặp vô hạn lần;
- Kết quả của mỗi lần thực hiện phép thử là hoàn toàn ngẫu nhiên.
Ví dụ 1.1.
- Gieo một con xúc xắc. Mặc dù làm đi làm lại nhiều lần nhưng mỗi lần tung lại cho ta kết
quả nói chung là khác nhau. Các kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên là ngẫu nhiên.
- Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên.
- Đo chiều cao của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên.
1.1.2 Không gian mẫu.
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu. Kí
hiệu không gian mẫu là Ω.
Ví dụ 1.2. Khi tung một đồng xu, có hai kết quả có thể xảy ra: xuất hiện mặt sấp (S) hoặc
xuất hiện mặt ngữa (N). Không gian mẫu trong trường hợp này là Ω = S;N.
Ví dụ 1.3. Gieo một con xúc xắc. Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện trên mặt ngửa
của con xúc xắc thì không gian mẫu sẽ là
Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6.
1
TS. Lê Văn Dũng
Nhưng nếu ta chỉ quan tâm đến sự suất hiện mặt chẵn hay mặt lẻ thì không gian mẫu sẽ là
Ω = chẵn; lẻ.
Ví dụ 1.4. Đo chiều cao của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học (đơn vị:
mét).
Ω = x ∈ R|x > 0.
Ví dụ 1.5. Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học.
Ω = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
1.1.3 Biến cố.
1. Định nghĩa
Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Biến cố chỉ có 1 phần tử được
gọi là biến cố sơ cấp.
Ta nói một biến cố xảy ra khi thực hiện phép thử nếu kết quả của thực hiện phép thử rơi
vào biến cố đó.
Ví dụ 1.6. Cho không gian mẫu tuổi thọ (năm) của một thiết bị điện tử là Ω = x ∈ R : x ≥
0. Biến cố thiết bị điện tử bị hỏng trước 5 năm là A = x ∈ R : 0 ≤ x < 5.
Ví dụ 1.7. Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học.
- Biến cố sinh viên đó sinh vào tháng chẵn là
A = 2,4,6,8,10,12.
- Biến cố sinh viên có tháng sinh 32 ngày là ∅.
- Biến cố sinh viên có tháng sinh bé hơn 32 ngày là Ω.
Biến cố rỗng (∅) gọi là biến cố không thể, không gian mẫu (Ω) gọi là biến cố chắc chắn.
2. Các phép toán trên biến cố
Cho 2 biến cố A và B của không gian mẫu Ω.
a) Giao:
A ∩ B (còn có kí hiệu là: A.B), là biến cố xảy ra khi đồng thời hai biến cố A và B cùng xảy
ra.
2
Giáo trình xác suất thống kê
Nếu hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra thì ta nói rằng A và B xung khắc và kí
hiệu A ∩B = ∅.
A ∩B = ω ∈ Ω : ω ∈ A và ω ∈ B.
b) Hợp:
A ∪B, là biến cố xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
A ∪B = ω ∈ Ω : ω ∈ A hoặc ω ∈ B.
c) Hiệu:
A\B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra .
Ω\B = B được gọi là biến cố đối của B. Nếu B xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại.
A = ω ∈ Ω : ω 6∈ A,
A\B = A ∩B = ω ∈ A và ω 6∈ B.
Biểu đồ Ven minh họa biến cố giao, biến cố hợp và biến cố đối.
Ví dụ 1.8. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, kí hiệu A là biến cố xạ thủ 1 bắn trúng
mục tiêu, B là sự kiện xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu. Hãy biểu diễn qua A và B các biến cố
sau:
a) Cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu.
b) Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu.
c) Có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu.
d) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu.
Ví dụ 1.9. Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, khi đó có thể xuất hiện mặt 1chấm, 2
chấm, 3 chấm,..., 6 chấm.
+ Không gian mẫu Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6.
+ biến cố sơ cấp 1, 2, 3, 4, 5, 6
+ biến cố A = số chấm của mặt xuất hiện bé hơn 4 = 1; 2; 3
+ biến cố B = xuất hiện mặt chẵn = 2; 4; 6
Tìm các biến cố A ∪B, A ∩B, A.
Ví dụ 1.10. Đo chiều cao một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học (đơn vị: mét)
Ω = R+ = x ∈ R|x > 0.
3
TS. Lê Văn Dũng
Với
A = x|1, 5 ≤ x < 1, 7 và B = x|1, 6 < x < 1, 8.
Tìm A ∪B, A ∩B, A, A ∩B.
1.2 Xác suất biến cố
Xác suất của một biến cố là một số thuộc đoạn [0; 1] dùng để đo lường khả năng xảy ra
biến cố đó. Xác suất của một biến cố càng lớn thì khả năng xảy ra biến cố đó càng cao.
1.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển
Định nghĩa. Cho không gian mẫu Ω gồm n biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra bằng nhau
và A là một biến cố. Xác suất biến cố A kí hiệu là P (A), được tính bằng công thức
P (A) =|A||Ω|
.
trong đó, |A| là số phần tử của A.
Ví dụ 1.11. Một hộp đựng 3 viên bi xanh (X1, X2, X3) và 2 viên bi đỏ (D1, D2), các viên
bi này giống nhau hoàn toàn về kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi.
Không gian mẫu: Ω = X1, X2, X3, D1, D2
Biến cố lấy được viên bi xanh: A = X1, X2, X3.
Xác suất lấy được viên bi xanh?
Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:
1) 0 ≤ P (A) ≤ 1;2) P (∅) = 0, P (Ω) = 1;3) Nếu E1 và E2 không thể đồng thời xảy ra (E1 ∩ E2 = ∅) thì
P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2);
Tổng quát: Nếu E1, E2, ..., En đôi một xung khắc thì
P (E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = P (E1) + P (E2) + ...+ P (En);
4) P (E) + P (E) = 1.
Ví dụ 1.12. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Các viên bi đồng
chất, giống nhau hoàn toàn về kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác
suất các biến cố sau:
4
Giáo trình xác suất thống kê
a) A: lấy được 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 2 bi vàng.
b) B: lấy được 3 bi xanh.
c) C: lấy được ít nhất 4 bi đỏ.
d) D: lấy được ít nhất 1 bi vàng.
Giải. |Ω| = C515.
a) |A| = C14C
25C
26 suy ra P (A) =
200
1001≈ 0, 2.
b) |B| = C34C
21 suy ra P (B) =
20
273≈ 0, 073.
c) |C| = C45C
110 + C5
5 suy ra P (C) =226
3003≈ 0, 075.
d) |D| = C59 suy ra P (D) = 1− P (D) = 1− 6
143≈ 0, 985.
1.2.2 Định nghĩa xác suất bằng tần số tương đối
Nếu không gian mẫu Ω là một tập vô hạn hoặc hữu hạn nhưng các biến cố sơ cấp không
đồng khả năng thì ta không thể áp dụng công thức tính xác suất cổ điển. Giả sử phép thử C
có thể thực hiện lặp đi lặp lại vô hạn lần trong một điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n
lần thực hiện phép thử C có kn lần xuất hiện biến cố A thì tỉ số fn(A) = knn được gọi là tần số
tương đối xuất hiện biến cố A trong n lần thực hiện phép thử. Người ta nhận thấy rằng khi
số phép thử tăng ra vô hạn thì tần số tương đối fn(A) dao động rất ít xung quanh 1 hằng số.
Hằng số đó được định nghĩa là xác suất của biến cố A.
Như vậy, với n đủ lớn ta có P (A) ≈ fn(A) = knn .
1.2.3 Mô hình xác suất hiện đại
Cho không gian mẫu Ω có hữu hạn hoặc vô hạn biến cố sơ cấp. Ta chỉ xét một lớp F các
tập con của Ω thỏa mãn 3 điều kiện:
(1) ∅ ∈ F ;
(2) Nếu A ∈ F thì A ∈ F ;
(3) Nếu A1, A2, ...., An, ... ∈ F thì⋃∞n=1An ∈ F .
Lớp F như vậy được gọi là σ-đại số các tập con của Ω.
Một hàm tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
(1) Với mọi A ∈ F , 0 ≤ P (A) ≤ 1;
(2) P (Ω) = 1;
5
TS. Lê Văn Dũng
(3) Nếu A1, A2, ..., An, ... ∈ F đôi một không giao nhau (Ai ∩ Aj = ∅ với mọi i 6= j) thì
P (
∞⋃n=1
An) =
∞∑n=1
P (An).
Khi đó, mỗi phần tử của F được gọi là biến cố và P (A) gọi là xác suất xảy ra biến cố
A.(Ω,F , P ) được gọi là không gian xác suất.
1.3 Đại số tổ hợp
1.3.1 Quy tắc nhân
Nếu một công việc được thực hiện qua k bước.
Bước 1 có n1 cách thực hiện,
Bước 2 có n2 cách thực hiện,
...
Bước k có nk cách thực hiện.
Khi đó, có n1 × n2 × ...× nk cách thực hiện công việc đó.
Ví dụ 1.13. Một lớp có 17 sinh viên nam và 13 sinh viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
hai sinh viên gồm 1 nam và một nữ?
Ví dụ 1.14. Một đoàn tàu có 5 toa, mỗi toa có ít nhất 3 chổ trống. Có bao nhiêu cách xếp
3 hành khách lên đoàn tàu đó?
1.3.2 Hoán vị
Số cách sắp xếp n phần tử vào n vị trí sao cho mỗi vị trí có đúng 1 phần tử là n!.
1.3.3 Tổ hợp
Số cách lấy ra k phần tử khác nhau từ một tập n phần tử là
Ckn =n!
k!(n− k)!(0 ≤ k ≤ n).
Ví dụ 1.15. Một lớp học có 17 sinh viên nam và 13 sinh viên nữ.
a) Chọn ngẫu nhiên 3 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 nam và 1 nữ?
6
Giáo trình xác suất thống kê
1.4 Công thức cộng xác suất
Cho A và B là hai biến cố bất kì, ta có
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Ví dụ 1.16. Một lớp có 20 sinh viên, trong đó có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12 sinh viên
biết tiếng Pháp và 7 sinh viên biết cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên.
Tìm xác suất sinh viên đó biết ít nhất 1 ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp.
Giải. Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên
biết tiếng Pháp.
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB) = 0, 75.
1.5 Xác suất có điều kiện
Xét ví dụ: Ở một lớp học phần môn Triết gồm 17 sinh viên nam và 13 sinh viên nữ. Trong
số đó có 12 sinh viên nam và 11 sinh viên nữ thi qua môn Triết.
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, xác suất sinh viên đó thi qua môn Triết là 23/30.
Nhưng nếu chọn ngẫu nhiên một sinh viên nam thì xác suất sinh viên đó thi qua môn Triết
sẽ là 12/17.
Rõ ràng 2 xác suất trên không bằng nhau. Để phân biệt 2 xác suất trên ta kí hiệu A là biến
cố sinh viên đó thi qua môn Triết, B là điều kiện sinh viên được chọn là sinh viên nam. Khi
đó P(A/B)=12/17 được gọi là xác suất của biến cố A với điều kiện B.
Chú ý rằng
P (A/B) =|A ∩B||B|
=|A ∩B|/|Ω||B|/|Ω|
=P (A ∩B)
P (B).
Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0, xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu P (A/B),
xác định bởi
P (A/B) =P (A ∩B)
P (B).
Ví dụ 1.17. Một hộp đựng 20 bóng đèn tốt, 7 bóng đèn sẽ hỏng sau 1 giờ sử dụng và 3 bóng
đèn hỏng. Lấy ngẫu nhiên một chiếc sử dụng thấy rằng nó không phải là bóng đèn hỏng.
Tính xác suất đó là chiếc bóng đèn tốt.
7
TS. Lê Văn Dũng
Giải. Gọi A là biến cố lấy được bóng đèn tốt, B là biến cố lấy được bóng đèn không phải là
bóng đèn hỏng.
P (A/B) = 20/27 ≈ 0, 74.
Ví dụ 1.18. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người hút thuốc là 60%, tỉ lệ người vừa hút thuốc
vừa bị viêm phổi là 35%. Chọn ngẫu nhiên một người của vùng dân cư đó thấy người này
hút thuốc. Tìm xác suất để người này bị viêm phổi.
Giải. Gọi A là biến cố người được chọn hút thuốc, B là biến cố người được chọn bị viêm
phổi. Xác suất để người này bị viêm phổi là
P (B/A) =P (A ∩B)
P (B)=
0, 35
0, 6≈ 0, 583.
1.6 Công thức nhân xác suất
P (A ∩B) = P (A/B)P (B) = P (B/A)P (A)
Ví dụ 1.19. Một hộp đựng 4 chiếc bút mới và 6 chiếc bút cũ. Mỗi ngày lấy ngẫu nhiên một
chiếc ra sử dụng, cuối ngày trả bút đó lại hộp. Tính xác suất
a) Sau 3 ngày sử dụng hộp còn đúng 1 bút mới.
b) Sau 2 ngày sử dụng hộp còn đúng 3 bút mới.
Giải. Kí hiệu Ak là biến cố ngày thứ k lấy được bút mới.
a) P (A1A2A3) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2) =4
10.
3
10.
2
10= 0, 24.
b)
P ((A1Ac2) ∪ (Ac1A2)) = P (A1A
c2) + P (Ac1A2)
= P (A1)P (Ac2/A1) + P (Ac1)P (A2/Ac1)
=4
10.
7
10+
6
10.
4
10= 0, 52.
8
Giáo trình xác suất thống kê
Ví dụ 1.20. Trong 1 trường đại học có 40% sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viên học
tiếng Pháp, trong số sinh viên học tiếng Anh có 55% sinh viên học tiếng Pháp. Chọn ngẫu
nhiên 1 sinh viên, biết sinh viên đó học tiếng Pháp. Tính xác suất để sinh viên đó học tiếng
Anh.
Giải. Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên
biết tiếng Pháp.
P (A/B) =P (A).P (B/A)
P (B)=
0, 4.0, 55
0, 3≈ 0, 733.
1.7 Các biến cố độc lập
Ta có thể hiểu hai biến cố A và B độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này
không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia. Tức là,
P (A/B) = P (A) hoặc P (B/A) = P (B).
Khi đó, nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì từ công thức nhân xác suất suy ra
P (A ∩B) = P (A)P (B).
Định nghĩa 1.1. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu
P (A ∩B) = P (A)P (B).
Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2. Một tập hữu hạn các biến cố T = A1;A2; ..., An (n ≥ 2) được gọi là độc
lập nếu k (2 ≤ k ≤ n) biến cố bất kì An1 , An2 , ..., Ank của T ta có
P (An1 .An2 ...Ank) = P (An1)P (An2)...P (Ank).
Từ định nghĩa trên suy ra: nếu các biến cố A1;A2; ..., An độc lập thì
P (A1.A2...An) = P (A1)P (A2)...P (An).
Định lý 1.3. Nếu A và B độc lập thì A và Bc, Ac và B, Ac và Bc là những cặp biến cố độc
lập.
9
TS. Lê Văn Dũng
Ví dụ 1.21. Hộp I có 3 bi đỏ và 7 bi xanh; hộp II có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên
từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tìm xác suất để
a) lấy được hai viên bi cùng màu đỏ.
b) lấy được 1 bi xanh và 1 bi đỏ.
Giải. Kí hiệu A là lấy từ hộp I được viên bi màu đỏ, B là lấy từ hộp II được viên bi màu đỏ.
a) A và B độc lập nên xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là
P (AB) = P (A).P (B) =3
10.
6
10= 0, 18.
b) P (ABc ∪ AcB) = P (A)P (Bc) + P (Ac)P (B) = 0, 54.
1.8 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
1.8.1 Hệ đầy đủ
Một hệ gồm n biến cố E1, E2, . . . , En được gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện
(1) Ei ∩ Ej = ∅ nếu i 6= j (hai biến cố bất kì khác nhau không thể đồng thời xảy ra);
(2) E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ En = Ω (chắc chắn có ít nhất 1 biến cố xảy ra).
Từ định nghĩa hệ đầy đủ ta suy ra: nếu E1, E2, . . . , En là hệ đầy đủ thì
P (E1) + P (E2) + ...+ P (En) = 1.
Ví dụ 1.22. Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên.Kí hiệu
E1 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa xuân (gồm các tháng 1,2,3);
E2 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa hạ (gồm các tháng 4,5,6);
E3 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa thu (gồm các tháng 7,8,9);
E4 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa đông (gồm các tháng 10,11,12);
Khi đó E1, E2, E3, E4 là hệ đầy đủ.
Ví dụ 1.23. Một hộp đựng 5 bi xanh và 6 bi đỏ và 7 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Hãy
chỉ ra một số hệ đầy đủ.
10
Giáo trình xác suất thống kê
1.8.2 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
Định lý 1.4. Giả sử Ei; 1 ≤ i ≤ n là một hệ đầy đủ sao cho P (Ei) > 0, A là biến cố bất
kì. Khi đó
(i) P (A) = P (E1)P (A/E1) + P (E2)P (A/E2) + ...+ P (En)P (A/En).
(ii)Nếu thêm điều kiện P (A) > 0 thì
P (Ei/A) =P (Ei)P (A/Ei)
P (A)
=P (Ei)P (A/Ei)
P (E1)P (A/E1) + P (E2)P (B/E2) + ...+ P (En)P (A/En).
Ví dụ 1.24. Hộp I đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ và 2 bi vàng, hộp II đựng 5 bi xanh 2 bi đỏ và
3 bi vàng. Từ hộp I lấy ngẫu nhiên ra một viên bi bỏ vào hộp II sau đó từ hộp II lấy ngẫu
nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra lần 2 là 2 bi xanh.
Giải. Gọi E là biến cố viên bi lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là bi xanh, A là biến cố 2 viên bi
lấy lần 2 là 2 viên bi xanh
P (A) = P (E)P (A/E) + P (Ec)P (A/Ec) =4
9.C26
C211
+5
9.C25
C211
=2
9≈ 0, 22.
Ví dụ 1.25. Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất. Phân xưởng I sản xuất 50% sản phẩm,
phân xưởng II sản xuất 30% sản phẩm, phân xưởng III sản xuất 20% sản phẩm. Biết rằng tỉ
lệ phế phẩm do phân xưởng I, phân xưởng II, phân xưởng III sản xuất ra tương ứng là 2%,
1% và 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm.
b) Giả sử sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I
sản xuất.
Giải. Kí hiệu E1, E2, E3 lần lượt là các biến cố sản phẩm lấy ra là của phân xưởng I, II và
III. E1, E2, E3 là hệ đầy đủ.
a) Kí hiệu A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Theo công thức xác suất toàn phần:
P (A) = P (E1).P (A/E1) + P (E2)P (A/E2) + P (E3)P (A/E3)
= 0, 5.0, 02 + 0, 3.0, 01 + 0, 20, 03 = 0, 019.
b) P (E1/Ac) =
P (Ac/E1).P (E1))
P (Ac)=
0, 98.0, 5
1− 0, 019≈ 0, 4995.
11
TS. Lê Văn Dũng
Ví dụ 1.26. Một công ty sử dụng hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm
của máy I là 3% và của máy II là 2%. Số lượng sản phẩm do máy I sản xuất là 2/3 và máy
II sản xuất là 1/3 tổng sản phẩm của công ty. Tính tỉ lệ phế phẩm của công ty đó.
Giải. Đáp án: 2, 7%.
1.9 Công thức Bernoulli
Định lý 1.5. Cho Ω là không gian mẫu của phép thử C và A là một biến cố thỏa mãn
P (A) = p ∈ (0; 1).
Thực hiện liên tiếp n lần độc lập phép thử C, xác suất có đúng k lần xuất hiện biến cố A
là
pn(k) = Cknpk(1− p)n−k.
Ví dụ 1.27. Tung 10 lần một con xúc xắc cân đối đồng chất.
a) Tính xác suất có đúng 6 lần xuất hiện mặt một chấm
b) Tính xác suất có ít nhất 9 lần xuất hiện mặt một chấm.
b) Tính xác suất có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt một chấm.
Giải. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung xúc xắc, p = P (A) = 1/6.
a) p10(6) = C610(
1
6)6(
5
6)4 ≈ 0, 0022.
b) p10(k ≥ 9) = C910(
1
6)9(
5
6)1 + (
1
6)10 ≈ 8.10−7.
c) p10(k ≥ 1) = 1− p10(k = 0) = 1− (5
6)10 ≈ 0, 84.
Định lý 1.6. Cho n ∈ Z, n ≥ 1 và p ∈ (0; 1). Hàm số
pn(k) = Cknpk(1− p)n−1 với k ∈ 0, 1, 2..., n
đạt giá trị lớn nhất tại
k =
[(n+ 1)p] nếu (n+ 1)p 6∈ Z(n+ 1)p− 1 và (n+ 1)p nếu (n+ 1)p ∈ Z
Ví dụ 1.28. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là 0, 6. Cho xạ thủ này bắn độc
lập 20 phát vào mục tiêu. Tìm số lần bắn trúng mục tiêu có xác suất xảy lớn nhất.
Giải. (n + 1)p = 21.0, 6 = 12, 6 6∈ Z nên số lần bắn trúng mục tiêu có xác suất lớn nhất là
k = 12.
12
CHƯƠNG2
BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1 Định nghĩa
Xét ví dụ: Tung đồng thời 2 con xúc xắc. Gọi X là tổng số chấm trên mặt xuất hiện của
hai con xúc xắc.
Ta có không gian mẫu Ω = (m;n) : m,n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Khi đó X = m+ n.
X chính là hàm số X : Ω → R và mỗi lần thực hiện phép thử (tung xúc xắc) sẽ cho ta một
giá trị của X hoàn toàn ngẫu nhiên. Ta gọi X là biến ngẫu nhiên. Ta có định nghĩa sau.
Cho Ω là không gian mẫu của phép thử C. Mỗi ánh xạ X : Ω→ R được gọi là biến ngẫu
nhiên (mỗi lần thực hiện phép thử C cho một giá trị ngẫu nhiên của X).
- Nếu X có miền giá trị là tập hữu hạn x1, x2, ..., xn hoặc tập đếm được x1, x2, ..., xn, ...
thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
- Nếu X có miền giá trị là một khoảng trên trục số thì X được gọi là biến ngẫu nhiên
liên tục.
Ví dụ 2.1. Tung một con xúc xắc, gọi X là "Số chấm xuất hiện". Miền giá trị của X là
1; 2; 3; 4; 5; 6 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Ví dụ 2.2. Gọi X (mét) là chiều cao của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học.
X có miền giá trị (0; 2, 5) nên X là biến ngẫu nhiên liên tục.
2.2 Biến ngẫu nhiên độc lập
Cho n biến ngẫu nhiên X1, ..., Xn xác định trên cùng một không gian mẫu. Ta nói X1, ..., Xn
độc lập nếu với mọi a1, ..., an ∈ R ta có các biến cố X < a1, ..., X < an độc lập.
2.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc
2.3.1 Bảng phân phối xác suất
Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị E = x1, x2, ..., xn, .... Bảng số
X x1 x2 ... xn ...P P (X = x1) P (X = x2) ... P (X = xn) ...
13
TS. Lê Văn Dũng
được gọi là bảng phân phối xác suất của X.
Hàm số
f(x) = P (X = x) =
P (X = xk) nếu x = xk, k = 1, 2, ...
0 nếu x 6∈ E
được gọi là hàm mật độ của X.
Ví dụ 2.3. Một hộp đựng 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ, các viên bi giống nhau hoàn toàn
về kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, gọi X là số bi xanh có trong 2
viên bi lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải.
X 0 1 2P 0, 1 0, 6 0, 3
Chú ý. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1, x2, ..., xn, ... thì∑k
P (X = xk) = 1.
2.3.2 Hàm phân phối xác suất
1. Định nghĩa
Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1, x2, ..., xn, .... Hàm số
F (x) = P (X < x) =∑xi<x
P (X < xi), x ∈ R
được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Ví dụ 2.4. Tìm hàm phân phối của X trong Ví dụ 2.3.
Giải.
F (x) =
0 nếu x ≤ 0
0, 1 nếu 0 < x ≤ 1
0, 7 nếu 1 < x ≤ 2
1 nếu x > 2.
14
Giáo trình xác suất thống kê
2. Tính chất
Hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên rời rạc X có các tính chất sau:
(1) 0 ≤ F (x) ≤ 1; limx→−∞ F (x) = 0;limx→+∞ F (x) = 1.
(2) Nếu x1 ≤ x2 thì F (x1) ≤ F (x2).
(3) Không liên tục trên R.(4) Nếu a < b thì P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a).
2.3.3 Các số đặc trưng
1. Kì vọng (giá trị trung bình)
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X x1 x2 ... xn...P p1 p2 ... pn...
với pk = P (X = xk)
Kì vọng của X, kí hiệu E(X), xác định bởi
E(X) =∑k
xkpk.
Ví dụ 2.5. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất
Lấy phần thân là các số 7, 8, 9, ..., 24, khi đó ta được biểu đồ Thân - Lá như sau:
36
Giáo trình xác suất thống kê
3.3.4 Bar chart
Bar chart thường được dùng để mô tả mối tương quan giữa 2 biến lượng.
Ví dụ 3.6. Bảng số liệu mô tả mối tương quan giữa mức độ béo phì và nhóm tuổi:
Nhóm tuổiĐộ béo phì Dưới 50 50-59 60-69 Trên 69Bình thường 11 22 26 19
Mập 11 23 30 21Béo phì 8 7 10 12
Khi đó, ta có biểu đồ Bar chart:
3.3.5 Box plot
Boxplot là một cách mô tả tứ phân vị của mẫu số liệu dưới dạng biểu đồ hộp. Boxplot
rất hữu dụng khi cần so sánh nhiều nhóm số liệu.
Ví dụ 3.7. Ta có một mẫu số liệu về hàm lượng nước ngầm trong đất (%) như sau:
7,5 9,0 9.3 10,4 10,4 10,6 10,7 11,6 12,1 12,8.
37
TS. Lê Văn Dũng
Khi đó ta có tứ phân vị của mẫu số liệu: Q1 = 9, 225%;Q2 = 10, 5%;Q3 = 11, 725%.
Box plot của mẫu số liệu:
38
CHƯƠNG4
ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
4.1 Mẫu ngẫu nhiên
ChoX là một biến ngẫu nhiên xác định trên 1 tổng thể cần nghiên cứu. Giả sử x1;x2; ...;xnlà một mẫu số liệu của biến ngẫu nhiên X. Ta có thể xem xi là một giá trị của biến ngẫu
nhiên Xi, (i = 1, 2, ..., n) với X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác
suất với X.
Mẫu ngẫu nhiên là một bộ gồm các biến ngẫu nhiên X1, X2, ..., Xn độc lập cùng
phân phối xác suất với đại lượng ngẫu nhiên X.
Do đó, nếu x1;x2; ...;xn là mẫu số liệu gồm n giá trị của biến ngẫu nhiên X thì ta có thể
xem mẫu số liệu là một giá trị của mẫu ngẫu nhiên X1;X2; ...Xn.
4.2 Ước lượng điểm
4.2.1 Ước lượng điểm và hàm ước lượng
Ước lượng điểm của tham số θ là một giá trị t chỉ phụ thuộc vào mẫu số liệu
x1, x2, ..., xn. Nói cách khác, t là một hàm n biến số:
t = h(x1, x2, ..., xn).
Ví dụ 4.1. x, s2, s lần lượt là các ước lượng điểm của E(X), V ar(X) và σ(X).
Ví dụ 4.2. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(n; p) và k là một giá trị quan
sát được của X. Khi đó f = k/n là một ước lượng điểm của p.
Vì x1;x2; ...;xn có thể xem là giá trị của biến ngẫu nhiên X1;X2; ...Xn nên t lại chính là một
giá trị của đại lượng ngẫu nhiên T = h(X1, X2, ..., Xn). T = h(X1, X2, ..., Xn) gọi là hàm ước
lượng.
39
TS. Lê Văn Dũng
Ước lượng không chệch
Hàm ước lượng T = h(X1, X2, ..., Xn) được gọi là ước lượng không chệch đối với tham số
θ nếu E(T ) = θ. Ngược lạị, ta gọi T là ước lượng chệch và E(T ) − θ gọi là độ chệch của ước
lượng.
Ước lượng không chệch của kì vọng và phương sai
Giả sử X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất
với biến ngẫu nhiên X với E(X) = µ, V ar(X) = σ2. Khi đó
X =X1 +X2 + ...+Xn
nlà ước lượng không chệch của µ.
S2 =1
n− 1
n∑i=1
(Xi −X)2 là ước lượng không chệch của σ2.
Chú ý rằng ta có S∗2 =1
n
n∑i=1
(Xi −X)2 là một ước lượng có chệch của σ2 với độ chệch −σ2
n.
Ước lượng không chệch tham số p của phân phối A(p)
Giả sử X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất
với biến ngẫu nhiên X có phân phối A(p). Khi đó P =X1 +X2 + ...+Xn
nlà
một ước lượng không chệch của tham số p.
4.3 Ước lượng khoảng kì vọng của phân phối chuẩn
Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ;σ2) có kì vọng E(X) = µ chưa biết, ước lượng khoảng
cho µ có dạng k < µ < l.
Với α ∈ (0; 1) khá bé cho trước, giả sử ta xác định được các biến ngẫu nhiên K và L sao
cho
P (K < µ < L) = 1− α.
Khi đó với mỗi giá trị k của K và l của L ta có được một ước lượng khoảng của µ là k < µ < l.
α gọi là mức ý nghĩa, 1− α gọi là độ tin cậy của ước lượng.
40
Giáo trình xác suất thống kê
4.3.1 X ∼ N(µ;σ2) với σ2 đã biết
Phân vị của phân phối chuẩn tắc
Cho α ∈ (0; 1) và Z ∼ N(0; 1). Ta gọi giá trị u(1− α) là phân vị mức α của phân phối chuẩn
tắc Z nếu P (Z ≥ u(1− α)) = α, tương đương với Φ(u(1− α)) = 0, 5− α.Các phân vị u(1− α) được cho ở bảng II.
Định lý 4.1. Nếu X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với
biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(µ, σ2) thì biến ngẫu nhiên
X − µσ/√n
có phân phối chuẩn tắc N(0, 1).
Giả sử X1, X2,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với X ∼ N(µ;σ2)
với µ chưa biết và σ2 đã biết. Theo Định lí 4.1 ta có
P (−u(1− α
2) <
X − µσ/√n< u(1− α
2)) = 1− α
⇔ P
(X − u(1− α
2)σ√n< µ < X + u(1− α
2)σ√n
)= 1− α.
Vì vậy:
Nếu x1, x2, ..., xn là một mẫu số liệu của biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ;σ2) với σ2
đã biết, thì với độ tin cậy 1− α, ước lượng khoảng của µ là
x− u(1− α
2)σ√n< µ < x+ u(1− α
2)σ√n,
trong đó u(1− α2 ) tra ở Bảng II.
41
TS. Lê Văn Dũng
Ví dụ 4.3. Trọng lượng (kg) sản phẩm của công ty A có phân phối chuẩn N(µ;σ2) với σ = 1
(kg). Chọn ngẫu nhiên 25 sản phẩm người ta tính được trung bình mẫu x = 50, 1 (kg). Với
độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng trọng lượng trung bình của sản phẩm công ty A.