TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim - zacoeb.lecture.ub.ac.idzacoeb.lecture.ub.ac.id/files/2015/02/6-Nilai-Ekstrim-rev.1.pdf · perlu agar f(a,b) menjadi suatu nilai ekstrem f adalah

TKS 4003 Matematika II

Nilai Ekstrim (Extreme Values)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Fungsi Dua Peubah

• Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga–harga dua peubah

bebas x dan y (dari beberapa domain D), terdapat korespondensi

harga–harga tertentu, maka dikatakan bahwa z adalah fungsi dari

dua peubah bebas x dan y yang tertentu di dalam domain D.

Secara simbolis, fungsi dari dua variabel dituliskan dengan z =

f(x,y).

• Kumpulan pasangan–pasangan (x,y) dari harga–harga x dan y

untuk fungsi z = f(x,y) tertentu, disebut daerah asal atau domain

(D). Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, maka diambil D yang

berupa daerah asal mulanya (natural domain), yaitu himpunan

semua titik (x,y) pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan

menghasilkan suatu bilangan riil.

Fungsi Dua Peubah (lanjutan)

• Ilustrasi secara grafis :

f : D (x,y)D dan z = f(x,y) pada bidang S

X

Z

Y

(x,y)

Z=f(x,y) S

a b c

d

Maksimum dan Minimum

• Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum lokal

(maksimum relatif) dimana x = a jika f (a) lebih besar dari

sembarang nilai f(x) lainnya dari x sekitar a, dan dikatakan

mempunyai minimum lokal (minimum relatif) pada x = a, jika

f(a) lebih kecil dari sembarang nilai f(x) lain untuk x di sekitar a.

• Maksimum dan minimum lokal suatu fungsi ini adalah

maksimum dan minimum untuk jarak tertentu yang berdekatan,

sedangkan maksimum dan minimum absolut dari suatu fungsi

mempunyai jarak yang lebih besar lagi dan terketak pada titik

yang paling tinggi atau paling rendah dari jarak tersebut,

melebihi maksimum atau minimum lokal yang manapun.

Maksimum dan Minimum (lanjutan)

• Jadi dapat dikatakan bahwa f(x) mempunyai nilai maksimum

absolut pada nilai x = a1 dalam batas b ≤ x ≤ c, jika nilai f(x)

pada x = a1 mempunyai nilai paling tinggi, f(a1) > f(x).

• Sedangkan f(x) mempunyai nilai maksimum lokal pada dalam

batas b ≤ x ≤ c, jika nilai f(x) pada x = a2. Dengan cara yang

sama dapat pula diterangkan konsep minimum absolut dan

minimum lokal.

Maksimum dan Minimum (lanjutan)

• Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum

kurvanya berbentuk cembung ke atas (convex upward) dan

fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk

cembung ke bawah (convex downward).

• Bisa juga terjadi bahwa suatu nilai maksimum lokal dari suatu

fungsi lebih kecil dari nilai minimum lokal dari fungsi tersebut

dalam suatu jarak tersebut.

Nilai Ekstrim

• Nilai maksimum dari fungsi z = f(x,y) dicapai pada pasangan

nilai variabel-variabel bebas x dan y adalah nilai terbesar dari

fungsi f(x,y) dalam suatu lengkungan dari titik (x0,y0,0) dan nilai

minimum dari z = f(x,y) adalah nilai terkecil di lengkungan dari

titik (x1,y1,0).

• Ada beberapa batasan yang harus diperhatikan untuk mengetahui

nilai ekstrim suatu fungsi, yaitu :

1. Fungsi z = f(x,y) mempunyai nilai maksimum di (x0,y0) jika

terdapat bilangan-bilangan positif S1 dan S2 , sehingga

berlaku : ∀ (x,y) ∈ H = { (x,y) | |x-x0|< S1, (x,y) | |y-y0| <

S2 } berlaku f(x0,y0) ≥ f(x,y).

Nilai Ekstrim (lanjutan)

2. Fungsi z = f(x,y) mempunyai nilai minimum jika f(x0,y0) ≤

f(x,y).

3. Jika fungsi z = f(x,y) di (x0,y0) mencapai nilai maksimum atau

minimum, maka fungsi z = f(x,y) mencapai nilai ekstrim dan

titiknya disebut dengan titik ekstrim.

4. Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan dan jika T

adalah titik pada permukaan. Jika berlaku 𝐝𝐳

𝐝𝐱𝐓 = 𝟎 dan

𝐝𝐳

𝐝𝐲𝐓 = 𝟎, maka T disebut titik stasioner pada permukaan.

Nilai Ekstrim (lanjutan)

i. Jika Δ > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) adalah nilai maksimum

lokal f.

ii. Jika Δ > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) adalah nilai minimum

lokal f

iii. Jika Δ > 0, maka f(a,b) adalah bukan suatu nilai ekstrem f.

iv. Jika Δ = 0, maka uji ini tak berkeputusan.

Nilai Ekstrim (lanjutan)

• Pandang f suatu fungsi dua peubah yang kontinu dalam suatu

daerah segi empat terbuka H di bidang xy, jika (a,b) suatu titik-

dalam di dalam H dan jika fx(a,b) dan fy(a,b) ada, maka syarat

perlu agar f(a,b) menjadi suatu nilai ekstrem f adalah fx(a,b) =

fy(a,b) = 0 atau ∇f (a,b) = 0.

• Pandang f suatu fungsi dua peubah yang kontinu yang

mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu juga

dalam suatu daerah segi empat terbuka H di bidang xy. Misalkan

(a,b) suatu titik dalam H dengan ∇f (a,b) = 0, dan jika Δ =

fxx(a,b)fyy(a,b) – fxy2(a,b), maka :

Contoh

Suatu tangki logam dengan atasnya terbuka memuat 256 kaki kubik

cairan. Tentukan ukuran tangki tersebut yang memerlukan bahan

seminimum mungkin pada pembuatannya?

Penyelesaian :

Contoh (lanjutan)

Syarat batas :

Contoh (lanjutan)

Substitusi (1) ke (2) :

Contoh (lanjutan)

Dimensi dan Kebutuhan Bahan :

Latihan

• Suatu talang terbuka yang penampangnya suatu trapesium

sama kaki akan dibuat dari selembar panjang logam

dengan lebar 12 inchi, dengan cara menekuk untuk

membuat sisi-sisinya. Tentukan sudut alas talang itu dan

kedua sisinya agar muatan talang dapat maksimum!

• Tentukan ukuran suatu kotak segi empat terbuka atasnya

yang mempunyai volume maksimum apabila luas

permukaan 48 m2!

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!