UNIDAD DIDCTICA : LMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONESMster Universitario de Profesorado de Educacin Secundaria Obligatoria, Bachillerato, Formacin Profesional y Enseanza de Idiomas (Esp: Matemticas)UNIVERSIDAD DE GRANADA CURSO 2009/2010
Este trabajo fin de mster ha sido elaborado por: D. Jos Antonio Fernndez Plaza. Bajo la supervisin de: D. Luis Rico Romero.
A mi familia, profesores y compaeros que me han ayudado durante mi etapa universitaria.
Tended a ser un poco aprendices de todo, para vuestro bien, y maestros en algo, para bien de los dems. (Pedro Puig Adam) La buena didctica es aquella que deja que el pensamiento del otro no se interrumpa y que le permite, sin notarlo, ir tomando buena direccin. (Enrique Tierno Galvn)
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0. FUNDAMENTACIN TERICA DE LA UNIDAD DIDCTICA..... 1. ANLISIS DE CONTENIDO...... 1.1. DESARROLLO HISTRICO DEL TEMA..1.3. SISTEMAS DE REPRESENTACIN....
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1.2. ESTRUCTURA CONCEPTUAL. 12 15 20 1.4. FENOMENOLOGA DEL TEMA Y MODELIZACIN..
2. ANLISIS COGNITIVO... 2.1. EXPECTATIVAS 2.2. EJEMPLIFICACIN DE TAREAS DESDE LOS OBJETIVOS Y LAS COMPETENCIAS... 2.3. ERRORES Y DIFICULTADES PREVISIBLES EN EL DESARROLLO DE LA UNIDAD DIDCTICA..... 3. ANLISIS DE INSTRUCCIN.................................................. 3.1. GRADOS DE COMPLEJIDAD DE LAS TAREAS. 3.2. RECURSOS Y MATERIALES DIDCTICOS....
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4. DESARROLLO DE LA U.D: LMITES Y CONTINUIDAD. 4.1. CONTENIDOS ESPECFICOS DE LA UNIDAD DIDCTICA.. 4.2. SECUENCIACIN Y ORGANIZACIN DE LAS TAREAS DE LA U.D. GESTIN DEL AULA.. 4.3. DESARROLLO DE LA SECUENCIA DE TAREAS DE LA U.D...
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5. EVALUACIN DE APRENDIZAJES DE LA U.D. 6. ATENCIN A LA DIVERSIDAD...
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7. BIBLIOGRAFA...61
ANEXO I: MODELO DE EVALUACIN DE LA U.D......63 ANEXO II: ANLISIS DE ALGUNAS TAREAS QUE INTERVIENEN EN LA U.D SEGN LOS INDICADORES USUALES.. 65
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0. FUNDAMENTACIN TERICA DE LA UNIDAD DIDCTICA. Se define el Currculo como el conjunto de objetivos, competencias bsicas, contenidos, mtodos pedaggicos y criterios de evaluacin de cada una de las enseanzas reguladas. (LOE, Ttulo preliminar, Captulo III, Artculo 6)
La planificacin del currculo escolar se realiza desde dos niveles de responsabilidad; el primero a nivel poltico y administrativo, que le corresponde al Estado y a la comunidad autnoma, en este caso, Andaluca; y el segundo a nivel profesional que le corresponde a la administracin educativa y a m como futuro docente. En otras palabras, el Estado y el Parlamento andaluz deciden en la redaccin de leyes qu elementos conceptuales y culturales deben ser objeto de trabajo escolar y los docentes debemos decidir de qu manera vamos a trabajar en nuestros centros y aulas dichos elementos. (LOE, Ttulo V, Captulo II, Artculo 120)
Los elementos bsicos que integran el currculo sobre los que hay que tomar decisiones previas en una programacin de la enseanza son los siguientes: 1. Objetivos y competencias bsicas. Metas de progresiva dificultad que se marca a los alumnos en funcin de su nivel de competencia y en funcin de los resultados del aprendizaje que se debe esperar de ellos. 2. Contenidos. Elementos conceptuales y culturales que se van a ensear: conceptos, procedimientos y actitudes. 3. Metodologa. Modelos de enseanza, enfoques prcticos, actividades y tareas concretas que se van a realizar. 4. Evaluacin. Proceso, criterios e instrumentos previstos para la valoracin de los resultados obtenidos, en relacin con la consecucin de los objetivos y de la adquisicin de las competencias bsicas.
Existen tres niveles de concrecin curricular caracterizados por las tomas de decisiones sobre los elementos bsicos del currculo objetivos, competencias bsicas en su caso, contenidos, secuencia, metodologa y evaluacin-: Aspectos bsicos del currculo y enseanzas mnimas. Es el primer nivel de concrecin. Corresponde a los poderes legislativos y de gobierno del estado. Dado que las comunidades autnomas tienen competencias plenas en materia educativa, corresponde
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en Andaluca, por tanto, al parlamento andaluz, que elabora las leyes educativas bsicas y a la administracin educativa andaluza que las desarrolla mediante decretos y normas. Proyecto educativo. Es el segundo nivel de concrecin. Corresponde al centro escolar, a su profesorado organizado en equipos educativos y departamentos didcticos, y al alumnado y las familias que tienen representacin en los rganos colegiados de control y gobierno del centro. Programacin de aula. Es el tercer nivel de concrecin. Corresponde al docente elaborar la programacin de aula y las unidades didcticas que la integran.
El estudio del currculo se puede abordar desde cuatro dimensiones (Cultural, Cognitiva, Formativa y Social) que a su vez se descomponen en cuatro niveles (Planificacin para los profesores, Sistema educativo, Disciplinas acadmicas y teleolgico) (L. Rico).
Por tanto, esta unidad didctica se ubica en el nivel de planificacin para los profesores, tomando decisiones sobre contenido (dimensin cultural), objetivos y competencias (dimensin cognitiva), metodologa (dimensin formativa) y evaluacin (dimensin social)
La estructura de esta unidad didctica se basa en la teora del anlisis didctico, que consta de: 1. Anlisis de contenido (Estructura conceptual, desarrollo histrico, sistemas de representacin y fenomenologa). 2. Anlisis cognitivo (Objetivos y competencias, errores y dificultades, Oportunidades de aprendizaje). 3. Anlisis de Instruccin (Diseo y secuenciacin de tareas, materiales y recursos). 4. Anlisis de la evaluacin (Instrumentos y criterios de evaluacin).
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1. ANLISIS DE CONTENIDO. 1.1 DESARROLLO HISTRICO DEL TEMA. La evolucin histrica del concepto de lmite se puede dividir en tres grandes etapas, que se diferencian bsicamente por la concepcin de lmite que subyace en ellas aunque la separacin no siempre sea ntida. En la larga evolucin del concepto (desde la matemtica griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la nocin, que se utiliza de forma implcita desde la poca griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros ms generales.
PERIODO CLSICO (EUDOXO DE CNIDO Y ARQUMEDES (S. V A.C) Aparece en esta etapa una idea muy intuitiva del proceso del paso al lmite. Se basa en la nocin de infinito potencial, la falta de un sistema de numeracin adecuado y la discretizacin). Dentro de los mtodos que se usaron se destaca:
Mtodo de exhaucin. Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilizacin ms conocida la hizo Arqumedes en la cuadratura de la parbola. El mtodo se aplicaba al clculo de reas de figuras, volmenes de cuerpos, longitudes de curvas, tangentes a las curvas, etc. Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que sta vaya aproximndose a la magnitud buscada.
Por ejemplo para estimar la superficie del crculo se inscriben y circunscriben polgonos regulares de n lados cuya superficie se conoce (en definitiva es la de n tringulos issceles) luego se duplica el nmero de lados de los polgonos inscritos y circunscritos hasta que la diferencia queda bastante pequea. Arqumedes hall la superficie del crculo con este mtodo llegando a polgonos de noventa y seis lados. Otros autores que no he mencionado pero tienen importancia en esta etapa son: Zenn (Paradojas que ponen de manifiesto la diferencia entre continuo y discreto), Aristteles (Que trabaja con la nocin de infinito actual en su metafsica) y Hern (Dio mtodos de cuadraturas)
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REVOLUCIN CIENTFICA (DESDE KEPLER (S. XVI) HASTA NEWTON Y LEIBNITZ (S. XVIII)) Esta etapa se caracteriza por la utilizacin de mtodos matemticos para dar respuesta a problemas fsicos, aunque se detect falta de cuidado en la formalizacin rigurosa de los conceptos matemticos y procedimientos involucrados. Algunos de los problemas fsicos que se trataron fueron: Dada la frmula del espacio en funcin del tiempo, obtener la velocidad y aceleracin en cualquier instante o recprocamente, dada la aceleracin o velocidad obtener la frmula del espacio Obtencin de la tangente a una curva. En ptica es necesario conocer la normal a una curva y en el estudio del movimiento la direccin de la tangente. Aparecen problemas de definicin de tangentes en general (cuando surgen nuevas curvas) pues la definicin de tangente como recta que toca en un slo punto o deja a un lado la curva slo sirve para algunas cnicas. Estudio de mximos y mnimos de una funcin, relacionado con el movimiento de los planetas, el movimiento de proyectiles, etc. Estudio de centros de gravedad y atraccin gravitatoria. Los mtodos que aparecen a continuacin fueron el germen del anlisis infinitesimal y surgieron motivados por las exigencias de la mecnica, de la astronoma y de la fsica. El lgebra aport las herramientas necesarias para que algunos de estos mtodos se desarrollaran, destacando el mtodo de las coordenadas, que facilit el estudio de las curvas. Sin embargo, estos mtodos funcionaban de forma separada y no se tena conciencia de su generalidad; faltaba algo que les armonizara y adems les diera ese carcter de universalidad. Mtodo de los infinitsimos de Kepler (1571-1630). Era utilizado para resolver problemas de medidas de volmenes o reas como los que aparecen en Nova stereometria doliolum vinatorum (1615).La base del mtodo consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeas, de reas o volmenes conocidos. Galileo utilizar un mtodo semejante para mostrar que el rea encerrada bajo la curva tiempovelocidad es el espacio. Mtodo de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647). Fue utilizado para determinar reas de figuras planas y volmenes de cuerpos. Cavalieri representaba estos objetos mediante una
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superposicin de elementos cuya dimensin era una unidad menor que aquella a evaluar. Lo hace en su libro Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635). Mtodo de Fermat para buscar extremos de curvas. Lo aplic a las parbolas e hiprbolas de Fermat y consiste en considerar que en una cumbre o en un valle de la curva, cuando es pequeo, los valores de la funcin f(x) y f(x+) estn tan prximos que se pueden tomar iguales. El mtodo consiste en hacer f(x+)=f(x), dividirlo por y tomar =0. Si bien no habla de lmite, est bastante cerca. Mtodo de las tangentes. Fermat enva a Mersenne en 1637 una memoria que se titula Sobre las tangentes a las lneas curvas donde parece plantear un mtodo para calcular tangentes en un punto de cualquier curva, si bien slo lo utiliza con la parbola. En un intento de clarificar dicho mtodo, Descartes crea el suyo propio segn reza en la carta que enva a Mersenne en Mayo de 1638 y, as, considera que la curva y su tangente en un punto coinciden en un entorno pequeo de dicho punto. Lo que pretende es dibujar la recta tangente en el punto P=(x, f(x)) y, para ello, calcula la subtangente utilizando un criterio de semejanza de tringulos. En la prctica, para obtener los segmentos necesarios se consideraba f(x+)-f(x), se divida por y se tomaba =0, lo que equivale a hallar el lmite funcional en la abscisa del punto P. Pero Fermat no usa el concepto de lmite ni el de derivada debido a que no calcula la pendiente de la recta tangente, slo la subtangente. Mtodo de Barrow (1630-1677). Su mtodo es muy semejante al de Fermat, pero en l aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los x y y actuales.
NEWTON Y LEIBNITZ. Newton (1648-1727) es el creador de la teora de las fluxiones, un mtodo de naturaleza geomtrico-mecnica para tratar de forma general los problemas del anlisis infinitesimal. Propone el mtodo de las fluxiones, expuesto en la obra Methodus fluxionum et serierum infinitorum (publicada en 1736), donde se estudian las magnitudes variables, introducidas como abstraccin de las diferentes formas del movimiento mecnico continuo denominadas fluentes. Todas las fluentes son variables dependientes y tienen un argumento comn, el tiempo. Despus se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, que se denominan fluxiones. La teora de fluxiones resuelve dos problemas: la determinacin de la relacin entre fluxiones, conocidas la relacin entre fluentes y el recproco, dada la relacin entre fluxiones, encontrar las fluentes. Para resolver estos problemas aplic sendos mtodos basados en el uso de cantidades infinitamente pequeas. En 1704 en su obra Tractatus quadratura curvarum,8
explicita el mtodo de las "razones primeras y ltimas", en la que el incremento de la variable se "desvanece", lo cual despert bastantes crticas de rigor en la comunidad matemtica.
Leibnitz (1646-1716), por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemtica, contribuye al nacimiento del anlisis infinitesimal con su teora sobre las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razn entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeas estas diferencias. Usa una notacin que perdura actualmente, pero no aclara lo que, para l significa infinitamente pequeo. Para peor, a veces habla de "infinitamente, infinitamente pequeo". La concepcin que subyace en esta etapa es una concepcin geomtrica de lmite puesto que se trabaja en problemas de ndole geomtrica. La nocin de lmite en realidad se encuentra implcita, y se ve una evolucin de su estatus, pasando de ser una nocin que ni siquiera se explicita como til al ser una herramienta para resolver problemas. Ahora bien, esta idea de lmite como aproximacin sin ms no basta. Por una parte, la aproximacin tiene que ser indefinida, es decir, tiene que existir la posibilidad de tomar aproximaciones cada vez mejores, cosa que se consigue en todos los mtodos revisados, pero hasta Newton esta posibilidad no se plasma claramente en el hecho de que los objetos se han de aproximar ms que cualquier diferencia dada, lo cual implica que el lmite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles.
PASO A LA FUNDAMENTACIN DEL ANLISIS INFINITESIMAL (SEGUNDA MITAD DEL S.XVIII)
Utilizando infinitsimos pequeos y grandes, que surgen de la teora de las razones primeras y ltimas de Newton, los matemticos de la poca obtienen solucin para muchos de sus problemas. La dificultad ms importante para el desarrollo del anlisis infinitesimal era la necesidad de extender las operaciones del anlisis a un mayor nmero de funciones, para lo que se requera una idea clara de dependencia funcional y, para ello, fue necesario investigar el significado del concepto de funcin y sus manipulaciones algebraicas. Los matemticos del siglo XVIII, que se preocuparon de la fundamentacin del anlisis, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices msticos, no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de lmite.
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Euler (1707-1743) toma como punto de partida el clculo diferencial de Leibnitz y el mtodo de fluxiones de Newton y los integra en una rama ms general de las matemticas, que, desde entonces, se llama Anlisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. Se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la funcin continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales.
D'Alembert (1717-1783) crea la teora de los lmites al modificar el mtodo de las primeras y ltimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopdie, DAlembert escribe la siguiente definicin de lmite: Se dice que una cantidad es lmite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera ms que cualquier cantidad dada por pequea que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jams sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su lmite sea absolutamente inasignable. En esta definicin las variables son montonas y el lmite unilateral, es decir, la magnitud que se aproxima no le puede superar, y as, aunque la aproximacin es objetiva no se puede tener un control completo de la misma.
Lagrange (1736-1813) trabaj con desarrollos de funciones en series de potencias Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podan evitar los lmites y continu haciendo desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas necesitaba del concepto de lmite.
SIGLO XIX Y PRINCIPIOS DEL SIGLO XX. ARITMETIZACIN DEL ANLISIS. A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran nmero de matemticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construccin de la teora de lmites como base del anlisis matemtico y una reconstruccin radical de este ltimo, en la que fueron determinantes la clarificacin del concepto de funcin, la aparicin de nuevos problemas matemticos y fsicos. De estos matemticos destaco a: Cauchy (1789-1857). Retoma el concepto de lmite de D'Alembert, rechazando el planteamiento de Lagrange, prescinde de la geometra, de los infinitsimos y de las velocidades de cambio, dndole un carcter ms aritmtico, ms riguroso pero an impreciso. La definicin de lmite que propone Cauchy (1821) es la siguiente:10
, cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de l en tan poco como queramos, este ltimo valor se llama el lmite de todos los dems
La nocin de lmite dada por Dalembert es ms objetiva que la de Cauchy, ya que en sta aparece el trmino "tanto como queramos" que la subjetiviza. Define adems infinitsimos como una cantidad variable que converge a cero. Bolzano (1781-1848) da una definicin de continuidad basada en la de lmite. De hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de lmite. Weierstrass (1815-1897) contribuy con notoriedad a la aritmetizacin del anlisis, dando una definicin satisfactoria del concepto de lmite. Weierstrass critic la expresin "la variable se acerca a un lmite" puesto que, segn l, esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una formulacin mtrica, puramente esttica, definicin bastante cercana a la que se utiliza hoy en da. Esta definicin, que aparece en la obra de su discpulo Heine Elemente, es la siguiente: "Si, dado cualquier , existe un n0, tal que para 0
