Text Book: Elementary Theory of Structures, 2 References

Dr. Qais Abdul Mageed Theory of Structures (2008-2009)

Page 1

Text Book: Elementary Theory of Structures, 2nd Edition, by: YUAN-YU HSIEH References:

1. Elementary Structural Analysis, by: NORRIS, WILBAR UTKU. 2. Statically Indeterminate Structures, by: CHU-KIA WONG. 3. Indeterminate Structural Analysis, by: KINNEY

First Semester:

4. Stability and Determinacy of Structures: 4.2. Stability and Determinacy of Beams. 4.3. Stability and Determinacy of Trusses. 4.4. Stability and Determinacy of Frames. 4.5. Stability and Determinacy of Composite Structures.

5. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams: 5.2. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Frames. 5.3. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Arched

Frames. 5.4. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Composite

Structures.

6. Statically Determinate Trusses: 6.2. Types of Trusses. 6.3. Stability and Determinacy of Complex Trusses. 6.4. Examples on Solving and Analyzing Trusses.

7. Influence Lines for Statically Determinate Structures: 7.2. Influence Lines for Statically Determinate Beams. 7.3. Maximum Effect of a Function due to external loading: 4.2.1. Due to Concentrated loading. 4.2.2. Due to Distributed loading.

• Distributed Dead Load. • Distributed Live Load (occupying any length of the structure). • Distributed Live Load (of a specific length).

4.3. Influence Lines for Girders with Floor Systems. 4.4. Influence Lines for Statically Determinate Frames. 4.5. Influence Lines for Girders in Trusses. 4.6. Influence Lines for Statically Determinate Composite Structures. 4.7. Maximum Effect of a Function due to Multiple External Moving Loads.

5. Absolute Maximum Moment for Simply Supported Beams.


Page 2

6. Elastic Deformation of Structures (Deflection & Rotation). 6.1. Conjugate Beam Method. 6.2. Deflection of Beams and Frames. 6.2.1. Unit-Load Method (Virtual Work Method). 6.3. Deflection and Rotation of Trusses. 6.4. Deflection and Rotation of Composite Structures.

Second Semester:

1. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Structures: 1.1. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Trusses.

• Trusses with Double Diagonal System. • Trusses with Multiple Systems.

1.2. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Portals. 1.3. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Frames.

• Frames Subjected to Vertical Loads Only. • Frames Subjected to Lateral Loads Only.

2. Symmetry and Anti-Symmetry of Structures. 3. Analysis of Statically Indeterminate Structures by the Method of

Consistent Deformations.

4. Fixed End Moments of some Important Beams with Constant EI.

5. Analysis of Statically Indeterminate Beams and Rigid Frames by the Slope-Deflection Method.

5.1. Analysis of Statically Indeterminate Beams by the Slope-Deflection Method.

5.2. Analysis of Statically Indeterminate Rigid Frames without joint translation by the Slope-Deflection Method.

5.3. Analysis of Statically Indeterminate Rigid Frames with One Degree of Freedom of joint translation by the Slope-Deflection Method.

6. Analysis of Statically Indeterminate Beams and Rigid Frames by the

Moment Distributed Method. 6.1. Fixed-End Moments. 6.2. Stiffness, Distribution Factor and distribution of External Moment Applied

to a Joint. 6.3. Distributed Moment and Carry-Over Moment 6.4. Analysis of Statically Indeterminate Rigid Frames with One Degree of

Freedom of joint translation by the Moment Distributed Method.


Page 3

R R R90o

R2R1

F.B.D Link 1

Link 2

Ry

Rx

θ R

θ R

M Rx

M

Ry

Review:

1) Roller: One unknown element.

رد الفعل يكون عمودياً على السطح(2 Degree of Freedom)

2) Link or strut: One unknown element.

(Two Degree of Freedom) 3) Hinge: Two unknown elements.

(One Degree of Freedom)

4) Fixed: Three unknown elements.

(Zero Degree of Freedom)


Page 4

1. Stability and Determinacy of Structures: 1.1. Stability and Determinacy of Beams.

(r) = no. of reactions (c) = The total no. of equations of conditions. (Where: c=1 for an internal hinge, c=2 for an internal roller and c=0 for beams without internal connection) (c + 3) = The total no. of the equilibrium equations. The beam is set to be:

3cr +<Unstable

R2

R1

R1 R2

R2

R1

R3 R1 R3 R2

0c,3r ==But Unstable

0c,3r ==Stable & Determinate

R2

R1

R5 R7R4 R6

R3

2m,575323c7

2c,7r

=>=+=+>

==

Stable & Indeterminate to the 2nd degree

• if ( )

3cr +=Determinate if Stable• if ( )

3cr +>Indeterminate if Stable• if ( )

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: ( )3crm +−=


Page 5

1.2. Stability and Determinacy of Trusses.

(b) = no. of bar elements of truss (r) = no. of reactions (j) = no. of joints. The truss is set to be:

j2rb <+Unstable

87

8j2,7rb

4j,5b,2r

<

==+

===

(Unstable)

12j2,12rb

6j,9b,3r

==+

===

Stable & Determinate

3m

14j2,17rb

7j,13b,4r

=

==+

===

Stable & Indeterminate to the 3rd degree

• if ( )

j2rb =+Determinate if Stable• if ( )

j2rb >+Indeterminate if Stable• if ( )

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: ( ) ( )j2rbm −+=


Page 6

1.3. Stability and Determinacy of Frames.

(b) = no. of frame members (r) = no. of reactions (j) = no. of joints. (c) = The total no. of equations of conditions. (Where: c=1 for an internal hinge, c=2 for an internal roller and c=0 for beams without internal connection) (c = no. of members connected at joint – 1) The frame is set to be:

cj3rb3 +<+Unstable

• if ( )

cj3rb3 +=+Determinate if Stable• if ( )

cj3rb3 +>+Indeterminate if Stable• if ( )

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: ( ) ( )cj3rb3m +−+=

Frame b r j c 3b+r 3j+c Classification

10 9 9 0 39 27

Indeterminate to the 12th

degree

10 9 9 6 39 33

Indeterminate to the 6th degree

Unstable


Page 7

1.4. Stability and Determinacy of Composite Structures.

(E) = no. of equilibrium equations (U) = no. of unknowns The structure is set to be:

EU <Unstable

• if ( )

EU =Determinate if Stable• if ( )

• Indeterminate if Stable if ( ) EU >

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: EUm −=

Composite Structure U E Classification

10 10 Determinate

11 9 Indeterminate to the 2nd degree

2. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams: Sign convention:

• N: Axial Force (tension +ve, compression –ve) • V: Shear Force (turning structure clockwise +ve, counter clockwise –ve) • M: Bending Moment (compression outside of structure and tension inside

+ve, otherwise –ve)

2.1. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Frames.


Page 8


Page 9


Page 10

2.2. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Arched Frames.


Page 11


Page 12

2.3. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Composite

Structures.


Page 13


Page 14

١

2

3

4

5

Link

Link

Link

Hinge

Link

3. Statically Determinate Trusses: 3.1. Types of Trusses.

A truss may be defined as a plane structure composed of a number of

members joined together at their ends by smooth pins so as to form a rigid

framework. Each member in a truss is a two-force member and is subjected

only to direct axial forces (tension or compression).

A rigid plane truss can always be formed by beginning with three bars

pinned together at their ends in the form of a triangle.

Common trusses may be classified according to their formation as simple,

compound and complex.

• Simple Truss: ( المسنم البسيط )

A simple truss is formed by a basic triangle; each new joint is connected to

the basic triangle by two new bars.

• Compound Truss: ( المسنم المرآب )

A compound truss is formed from two or more simple trusses connected

together as one rigid framework either by three links neither parallel nor

concurrent, or by a link and a hinge.


Page 15

• Complex Truss: ( المسنم المعقد )

The truss which is neither simple nor compound is called a complex truss.

h1

h2

g

3.2. Stability and Determinacy of Complex Trusses.

h1

h2

g

For the shown complex truss there are two cases:

1. If h1=h2=h, then the truss is unstable. 2. If h1≠h2, then the truss is stable.

3.3. Examples on Solving and Analyzing Trusses.


Page 16


Page 17

4. Influence Lines for Statically Determinate Structures:


Page 18


Page 19


Page 20


Page 21

4.1. Influence Lines for Statically Determinate Beams.


Page 22


Page 23

4.2. Maximum Effect of a Function due to external loading:


Page 24


Page 25


Page 26

4.3. Influence Lines for Girders with Floor Systems.


Page 27


Page 28


Page 29

4.4. Influence Lines for Statically Determinate Frames.


Page 30


Page 31


Page 32


Page 33


Page 34


Page 35


Page 36

4.5. Influence Lines for Girders in Trusses.


Page 37


Page 38

4.6. Influence Lines for Statically Determinate Composite Structures.


Page 39

4.7. Maximum Effect of a Function due to Multiple External Moving Loads.


Page 40


Page 41


Page 42

5. Absolute Maximum Moment for Simply Supported Beams.


Page 43


Page 44


Page 45


Page 46

)Conjugate Beam Method(المشتقة أو المرتفقةطريقة العارضة ة ذه الطريق تخدام ه ن اس ذه الغرض م ستخدم ه شائية ت وارض الإن ي الع دوران ف و لحساب الهطول وال ه

:ريقة للاسباب التاليةالط

ة المسلطة نتيجة الحقيقي الدوران والهطول للمنشأ التعامل مع تحويل )١ ال الحقيقي ه الأحم ى علي إل

وى ه و القص والعز التعامل مع ق شأ الأصلي مسلط علي شأ مشتق من المن ة م لمن ال المرن الأحم

. الناتجة من التغيرات الحاصلة للمنشأ الحقيقي

.ائي مع قوى القص والعزوم أسهل من تعامله مع التكاملات الرياضيةتعامل المهندس الإنش )٢

ة )٣ ه في عملي الطرق الأخرى تجد تغير واحد من التغيرات الحاصلة للمنشأ ولمقطع واحد معين من

ر من مقطع شأ ولاآث واحدة ، بينما باستخدام هذه الطريقة يمكن ايجاد التغيرات الحاصلة في المن

.في عملية واحدة

ة ) ١(ذنا على سبيل المثال العارضة المبينة في الشكل فلو أخ في أدناه و المسلط عليها حمل مرآز في النهاي

ى ) (الحرة ساوياً إل ة الحرة م EI8(والتي سبق أن حسبنا الهطول في النهايwl 4

P ( ة ا بطريق نقوم بتحليله س

).( Conjugate Method

dxx

x

y

w

A B

RA=wl/2

MA=wl2/2

2wlM

2

A =

wl/2 Shear Force Diag.

Bending Moment Diag.

EI8wl 4

B =Δ

عارضة محملة بحمل منتظم–) ١(شكل

Curvature :في أي نقطة من العارضة يمكن حسابه من المعادلة التالية) (ات سابقة أن التغير نعلم من دراس

EIM

dxyd2

2

−=

:بأن الميل أو الدوران في أي نقطة من العارضة يمكن حسابه من المعادلة التاليةأيضاً ونعلم


Page 47

θθ ≈= tandxdy

:يليوهكذا للتغيرات الصغيرة نسبياً نجد ما

EIM

dxyd

dxddxdy

2

2

−==

=

θ

θ

:وباجراء عملية التكامل نحصل على

∫−= EIMθ dx ------ (1)

dx(بالقيمة ) θ(الآن بتعويض dy

( : ∫−==EIM

dxdy

θ dx

dxEIMdxdy ∫−== θ dx

:ثم نكامل مرة أخرى نحصل على

∫∫∫ −== dxEIMdxy θ dx ------ (2)

ين الحمل ، ) ١(من العارضة في الشكل ) dx(والآن بأخذ شريحة بعرض ات ب والتي بالإمكان آتابة العلاق

: قوى القص وعزم الإنحناء آما يلي

∫−=⇒−=⇒−= wVdxwdVwdxdV dx

∫∫∫ −==⇒=⇒= dxdxwdxVMdxVdMVdxdM

: عليه فعلى مقطع من العارضة فإن

------ (٣) ∫−= wV dx

dx ------ (4) ∫∫∫ −== dxwdxVM


Page 48

دينا سميها ل عارضة والآن لنفرض ان ل ة ن ا نفس ) Conjugate beam ( العارضة المرتفق طول والتي له

شكل ي ال لية ف ة الأص ة و) ١(العارض ا محمل ى با لكنه ساوي إل رن الم ل الم (لحم

(w) per unit length

(a)

(b) (Conjugate Beam)

EI2wl 2

EI6wl

3l

EI2wlttansulRe

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

MB

A B

( ) l4/3

ΔBl

A B

المرتفقةالعارضة والعارضة الأصلية -) ٢(شكل

EIM

ي ) ين ف ا مب وآم

فقة والتي نرمز ، فإن المصطلحات التكاملية لقيم القص وعزم الإنحناء لمقطع العارضة المرت ) b٢-(الشكل

w(لها VM ( على التوالي يمكن ايجادها من خلال تبديل قيم) ادلات ) (و ) ة ) ٤(و ) ٣(في المع بالقيم

)EIM

:آما يلي)

∫−= dxEIMV ------ (5)

∫∫−= dxdxEIMM ------ (6)

اً ) ٢(و ) ١(مع المعادلات ) ٦(و ) ٥(بمقارنة المعادلات ستنتج وفق ه ن ة نجدها متشابهة وعلي شروط معين ل

:ملائمة للعارضة المرتفقة مايلي

V=θ دوران) ( .١ ل أو ال ين المي ل مع ة بحم لية المحمل ة الأص ن العارض ين م ع مع لمقط

)Actual Beam ( ون ساوياًيك ة م ص لقيم ة الق ة المرتفق ى العارض ع عل نفس المقط ل

)Conjugate Beam (والمحملة بالحمل المرن.


Page 49

My = ول)( .٢ ة الهط لية المحمل ن العارضة الأص ين م ع مع ينلمقط ل مع Actual ( بحم

Beam ( ون ساوياًيك ة م اء لقيم زم الإنحن ة ع ة المرتفق ى العارض ع عل نفس المقط ل

)Conjugate Beam (والمحملة بالحمل المرن.

ة .٣ اً للعارضة الأصلية) Conjugate Beam(ان العارضة المرتفق ة تمام Actual (مطابق

Beam ( تم إجراء . من حيث الطول ا في أعلاه يجب أن ي اط التي بيناه ولغرض تحقق النق

دِث بحيث ) Conjugate Beam(تغييرات على المساند ونقاط الإرتباط للعارضة المرتفقة يُحْ

ه ذي تحدث ل أو الهطول ال سجماً مع المي ا بحيث يكون من اء فيه الأجزاء قوة قص وعزم إنحن

ة في الجدول ). Actual Beam(لها في العارضة الأصلية النظيرة رات مبين ذه التغيي ) ١(ه

:والتي يمكن تلخيصها بما يلي

Fixed End Free End

Simple End Simple End Interior Connection Interior Support

ضة المرتفقة التغييرات الواجب إجراؤها لتحويل العارضة الأصلية إلى العار–) ١(جدول

Actual Beam Conjugate beam (Subjected to applied Load) (subjected to Elastic Load)

00

==

Δθ

0M

0V

=

=Free End Fixed End

00

≠≠

Δθ

0M

0V

≠

≠Fixed End Free End

00

=≠

Δθ

0M

0V

=

≠ Simple End Simple End (hinge or roller) (hinge or roller)

00

=≠

Δθ

0M

0V

=

≠ Interior Connection Interior Support (hinge or roller) (hinge or roller)

00

≠≠

Δθ

0M

0V

≠

≠ Interior Support Interior Connection (hinge or roller) (hinge or roller)

Sign Convention( الإشارات المتفق عليها:)

ة سرى للعارضة مع فرض : تم إتباع الفرضية التالي ة الي ة تكون في النهاي نقطة الأصل للعارضة المحمل

ي الهطول الموجب وبذلك فإن موجب إلى اليمين ) x(اتجاه الهطول إلى الأسفل موجباً و إتجاه هطول يعن

.دوران مقطع العارضة باتجاه عقرب الساعةي يعنوالدوران الموجب إلى الأسفل


Page 50

):Conjugate Beam Method(خطوات الحل بطريقة العارضة المرتفقة

.للمنشأ الأصلي المعطى) BMD(نستخرج مخطط العزم )١

.نرسم العارضة المرتفقة بنفس طول العارضة الأصلية مع إحداث التغييرات اللازمة للمساند )٢

زم )٣ ط الع ذ مخط ن خ) BMD(نأخ وة م ة ) ١(ط ى العارض سلط عل ل الم ه الحم لاه ونجعل أع

.المرتفقة بحيث يكون العزم الموجب قوة الى الأسفل والعزم السالب قوة الى الأعلى

ة في )٤ لحساب االدوران في مقطع معين من العارضة الأصلية نستحرج القص للعارضة المرتفق

.ذلك المقطع

ة في لحساب الهطول في مقطع معين من العارضة الأص )٥ زم للعارضة المرتفق ستحرج الع لية ن

.ذلك المقطع

:المرتفقة من العارضات الأصليةضات رالعاآيفية اشتقاق أدناه بعض الأمثلة على

Actual Beam Conjugate beam

ba b a

b a c b a c

l l

l l

l l

l l

(Subjected to applied Load) (subjected to Elastic Load)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

ي ) ة ف ا مبين سلط عليه ل الم ع الحم ة م تها المرتفق د عارض نج كل ي ش ة ف ى العارضة المبين ع إل ١(نرج

.( b- ٢(الشكل


Page 51

)Δ ( رة للعارضة الأصلية ة الح ي النهاي ون الهطول ف ه يك ي ) Actual BeamB(وعلي زم ف ساوياً للع م

:والذي يمكن حسابه آما يلي) B(ند نقطة في النهاية المسندة ع) Conjugate Beam(العارضة المرتفقة

B

EI8wl

EI8wl

EI24wl3l

43

EI6wlM

4

B

443

B

=

==×=

Δ

-): Conjugate Beam Method(أدناه أمثلة محلولة بطريقة العارضة المرتفقة

1) Using the (Conjugate Beam Method), find ( ) for the loaded beam shown

below:

BΔ

(b) S.F.D

(c) B.M.D

(a) Actual Beam x

y

RA=P

MA=Pl P

l

A B

EI3Pl 3

B =Δ

-Pl

P

)٣(شكل

x

y

RA=P

MA=Pl

l

A B(d) Conjugate Beam

Pl/EI

l/3 2/3l

-: ات الحلخطو


Page 52


ا )٢ ساند ونحمله ة للم نرسم العارضة المرتفقة بنفس طول العارضة الأصلية مع إحداث التغييرات اللازم

ى وة ال زم الموجب ق بالحمل المرن المحسوب من مخطط العزم للعارضة الأصلية ، بحيث يكون الع

).٣(مقدار ثابت آما مبين في الشكل ) EI(الى الأعلى مع فرض ان الأسفل والعزم السالب قوة

:.نجد محصلة الحمل المسلط على العارضة المرتفقة آما يلي )٣

( )

EI2Pl

EIPll

21ttansulRe

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

[ ساوية * سافة م د م صلة تبع l2/3[المح

[ ]3/l

ساوية سافة م ة أو م ى للعارض ة اليمن ن النهاي ع

.عن النهاية اليسرى للعارضة

ة )٤ ي نقط ول ف ساب الهط ك ) B(لح ي تل ة ف زم للعارضة المرتفق ستحرج الع لية ن ن العارضة الأص م

.النقطة

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== l

32

EI2PlM

2

BBΔ

EI3Pl 3

B =Δ (Down)

رضةمكان أقصى هطول في العا : نتبع مايلي لحساب

دوره أقصى هطول للعارضة الأصلية يكون في مكان أقصى عزم في العارضة المرتفقة والذي ب

.ي قيمة القص فيه مساوية للصفر يكون في المكان الذ

2) Find the absolute maximum deflection in portion AB using the Conjugate

Beam Method.

(EI constant)

-: خطوات الحل


ا )٢ ساند ونحمله ة للم نرسم العارضة المرتفقة بنفس طول العارضة الأصلية مع إحداث التغييرات اللازم

ى وة ال زم الموجب ق بالحمل المرن المحسوب من مخطط العزم للعارضة الأصلية ، بحيث يكون الع

.مقدار ثابت آما مبين في الشكل) EI( مع فرض ان الأسفل والعزم السالب قوة الى الأعلى

الجزء AB من :.العارضة المرتفقة آما يلينجد محصلة الحمل المسلط على )٣


Page 53

( )

EIPL

EIPLL2

21ttansulRe

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

]المحصلة تبعد مسافة مساوية * ]3/L23/L ] أو مسافة مA عن ساوية .B عن [

. ) A ( للعارضة المرتفقة نأخذ العزوم حولBلحساب )٤ المسندرد الفعل في مساوية للصفر

) 0MB=∑

( ) ( )

EI3PL

EI3PL2

L21R

0L2RL231

EIPL

23

A

A

2

=×=

=×−×

دوره يكون أقصى هطول للعارضة الأصلية يكون في مكان أقصى عزم في العارضة المرتفقة والذي ب

.A من المفصل xنفرضه على مسافة (اوية للصفرفي المكان الذي قيمة القص فيه مس

L3

2x

0EI3

PLxEI2

Px21V

2

=

=−=

A B C

2L L

P

P23 P

21

PL

B.M.D

EI3PL2

EIPL2

EIPL

Conjugate Beam

A B C

EIPL


Page 54

)

)EI39

PL4EI39

PL6EI39

PL2EI33

PL2EI39

PL2M

L3

2EI3

PL3

L3

2

EI4

L3

2Px

EI3PL

3x

EI4PxM

33333

max

2

2

22

max

−=−=−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=−=

)EI39

PL4M3

max −=

6. Elastic Deformation of Structures (Deflection & Rotation).


Page 55


Page 56


Page 57


Page 58


Page 59


Page 60


Page 61


Page 62


Page 63


Page 64


Page 65


Page 66


Page 67

Text Book: Elementary Theory of Structures, 2 References

Documents