8/18/2015 1 18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses Capítulo VII Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Teste de Hipóteses Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica
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Teste de Hipóteses - Jorge Teófilo · 8/18/2015 3 18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses 7.1 Introdução O teste de hipótese é outra técnica para se
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Capítulo VII
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Teste de Hipóteses
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Introdução
Conceitos fundamentais
Testes de significância
VII – Teste de Hipóteses
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Introdução
Conceitos fundamentais
Testes de significância
VII – Teste de Hipóteses
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.1 Introdução
O teste de hipótese é outra técnica para se fazer
inferência estatística.
Na técnica do intervalo de confiança, o objetivo é se
aproximar do parâmetro populacional desconhecido.
No teste de hipótese, como o próprio nome indica,
formula-se uma hipótese quanto ao valor do parâmetro
populacional, e por meio dos elementos amostrais faz-se
um teste que indicará a aceitação ou a rejeição da
hipótese formulada previamente.
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Introdução
Conceitos fundamentais
Testes de significância
VII – Teste de Hipóteses
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.2 Conceitos Fundamentais
Hipótese estatística:
• É uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional,
ou quanto a natureza da distribuição de probabilidade de uma
variável populacional.
Exemplos:
- A altura média da população brasileira é 1,65 m, isto é:
H: μ = 1,65 m;
- A variância populacional dos salários da empresa A é $30002:
H: σ2 = 30002;
- A distribuição de probabilidade das alturas dos moradores de
Belém é normal.
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7.2 Conceitos Fundamentais
Teste de hipótese:
• É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese
estatística com base nos elementos amostrais.
Tipos de hipóteses:
• Hipótese nula (Ho): É a hipótese estatística a ser testada
(expressa em igualdade);
• Hipótese alternativa (H1): É dada por uma desigualdade.
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7.2 Conceitos Fundamentais
Tipos de hipóteses:
• Exemplos:
Ho: μ = 50,5 kg Origina um teste bicaudal.
H1: μ ≠ 50,5 kg
Ho: μ = 50,5 kg Origina um teste unicaudal à direita.
H1: μ > 50,5 kg
Ho: μ = 50,5 kg Origina um teste unicaudal à esquerda.
H1: μ < 50,5 kg
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7.2 Conceitos Fundamentais
Tipos de erro
• Erro tipo I: Rejeição de uma hipótese quando ela é, de fato,
verdadeira.
• Erro tipo II: Aceitação de uma hipótese quando ela é, de fato,
falsa.
Ho verdadeira Ho falsa
Aceitar Ho Decisão correta (1 – α) Erro tipo II (β)
Rejeitar Ho Erro tipo I (α) Decisão correta (1 – β)
- A probabilidade α do erro tipo I é denominada “nível de
significância” do teste.
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7.2 Conceitos Fundamentais
Tipos de erro:
• O tomador de decisão deseja reduzir ao mínimo as probabilidades
dos dois tipos de erro.
• Entretanto, isso é uma tarefa muito difícil, pois para uma amostra de
determinado tamanho, a probabilidade de se incorrer em um erro
tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade do erro tipo I
e vice-versa.
• A redução simultânea dos erros poderá ser atingida pelo aumento do
tamanho da amostras.
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismo dos erros
• Testar Ho: μ = 20 contra H1: μ > 20;
• Sabe-se que a variância populacional é igual a 16 (σ2 = 16), e que
a amostra tem 16 elementos (n = 16), ou seja:
20:H
16n1620:H
1
2
o
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismo dos erros:
20
• Para valores amostrais de próximos de 20 a hipótese Ho poderá
ser aceita; entretanto, como H1: μ > 20, deve existir um limite
crítico à direita para valores de . Assim: x
x
• Como é o estimador de μ, que por hipótese vale 20, tem-se: x
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• A área cinza à direita de corresponde à probabilidade de rejeitar
Ho: μ = 20, quando esta hipótese é verdadeira; ou seja, a área
representa α (probabilidade de cometer o erro tipo I).
cx
μ = 20 cx
Região de aceitação
para Ho: μ=20
Região de rejeição
para Ho: μ=20
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Para encontrar o limite crítico ( ) deve-se estabelecer o nível de
significância do teste (probabilidade máxima com a qual se
sujeitaria a correr o risco de um erro tipo I → α);
• Aqui será admitido α = 5%;
• Em seguida, passa-se da distribuição normal das médias para a
distribuição normal padrão.
cx
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
μ = 20 cx
α = 5%
Z
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
64,21x
16
4
20x64,1ou
n
xZ
)1,0(NZn
;Nx
c
cc
d2d
• Regra da decisão para Ho:
64,21xquandoHAceitar
64,21xquandoHjeitarRe
co
co
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Tem-se grande probabilidade de aceitar Ho (95%) e pouca
probabilidade de rejeitar Ho (5%).
• Quando se aceita uma hipótese pode-se estar cometendo o erro tipo
II (aceitar Ho quando Ho é falsa). No exemplo dado, essa
probabilidade poderá ser de até 95%.
• Por outro lado, tem-se apenas 5% de chances para rejeitar Ho
quando Ho é verdadeira; todavia, quando se rejeita Ho pode-se
estar cometendo o erro tipo I (rejeitar Ho quando Ho é verdadeira).
Como a probabilidade neste caso é relativamente baixa (até 5%), a
decisão de rejeitar Ho é mais segura do que a decisão de aceitá-la.
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Lógica do teste de significância:
Atribuem-se baixos valores para α, geralmente de 1% a 10%;
Formula-se Ho com pretensão de rejeitá-la, daí o nome de
hipótese nula;
Se o teste indicar a rejeição de Ho tem-se um indicador mais
seguro para a decisão;
Caso o teste indique aceitação de Ho, diz-se que, com o nível de
significância α, não se pode rejeitar Ho, e nestes casos a
decisão não é tão segura quanto a rejeição de Ho.
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Fixado α, pode-se determinar a probabilidade β de se cometer o
erro tipo II (aceitar Ho quando Ho é falsa).
• Para o cálculo de β (probabilidade de aceitar Ho, quando Ho é
falsa), admite-se outros valores para Ho, já que o seu valor original
é considerado falso (no exemplo, Ho: μ = 20 seria falso, na
realidade μ > 20);
• Essa suposição corresponde a uma infinidade de possíveis valores.
Para cada um desses valores de μ > 20 pode-se determinar o valor
de β condicionado à hipótese admitida. Assim, para um valor
qualquer, μ1 > 20, tem-se a seguinte configuração de β:
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Se , por exemplo, for igual a 20,5, será aceita a hipótese falsa
Ho: μ = 20, quando na realidade a verdadeira hipótese é Ho: μ =
μ1.
x
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Quando se consideram valores de μ1 próximos de 20 tem-se
elevados índices para β. Observe no gráfico o deslocamento de μ1
para a esquerda:
• Quando μ1 = 21,64 tem-se P(β/μ1) = 50%, e esse valor irá
crescendo à medida que se consideram valores de μ1 menores que
21,64.
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Quando μ = 21,64
50,00
16
4
64,2164,21ZP)64,21/64,21x(P)64,21/(P
Deslocamento da segunda curva para a esquerda até que μ1 = 21,64
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7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismos dos erros:
• Quando μ = 22
3594,036,0
16
4
2264,21ZP)22/64,21x(P)22/(P
Deslocamento da segunda curva para a direita até que μ1 = 22
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.2 Conceitos Fundamentais
O mecanismo dos erros:
• Assim:
Ho: μ = μ1 β 1 - β
20,50
21,00
21,64
22,00
0,8729
0,7389
0,5000
0,3594
0,1271
0,2611
0,5000
0,6406
• Quando se tem hipóteses próximas à hipótese original que se está
testando, os valores de β são elevados, diminuindo à medida que o
valor de μ1 se afasta do valor testado.
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7.2 Conceitos Fundamentais
Curva característica de Operação (CCO):
• Curva que expressa o comportamento do erro β em função das
diversas hipóteses alternativas feitas para Ho, fixando-se o nível de
α. No exemplo analisado, a CCO é dada por:
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7.2 Conceitos Fundamentais
Curva Característica de Operação (CCO):
• À medida que o
tamanho da amostra
aumenta consegue-se
menores valores para
o erro β, admitindo-se
um valor de α baixo
(entre 1% e 10%).
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Introdução
Conceitos fundamentais
Testes de significância
VII – Teste de Hipóteses
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
São os mais usados nas pesquisas;
Consideram apenas o erro α
Procedimento para a sua realização:
1. Enunciar as hipóteses Ho e H1;
2. Fixar o limite do erro α e identificar a variável do teste;
3. Das tabelas estatísticas, considerando α e a variável do teste,
determinar as regiões críticas (RC) e a região de aceitação (RA)
para Ho;
4. Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste;
5. Concluir pela aceitação ou rejeição de Ho pela comparação do
valor obtido no 4º passo com RA e RC.
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
Teste de significância para as médias
1. Ho: μ = μo
H1: uma das alternativas: (a) μ ≠ μo (b) μ > μo (c) μ < μo
2. Fixar α, admitindo-se que σ2 é desconhecida; a variável do
teste, neste caso, será t de Student, com φ = n – 1;
3. Com o auxílio da tabela t determinam-se RC e RA;
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para as médias
4. Cálculo do valor da variável do teste;
5. Conclusões:
n
S
xt o1
cal
amostradatamanhon
padrãodesvioS
nulahipótesedavalor
amostralmédiax:onde
o
a) Se – tα/2 ≤ tcal ≤ tα/2 , não se pode rejeitar Ho.
Se tcal > tα/2 ou tcal < –tα/2 , rejeita-se Ho.
b) Se tcal < tα , não se pode rejeitar Ho.
Se tcal > tα , rejeita-se Ho.
c) Se tcal > -tα , não se pode rejeitar Ho.
Se tcal < -tα , rejeita-se Ho.
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para as médias
• Exemplo: Os dois registros dos últimos anos de um colégio,
atestam para os calouros admitidos uma nota média de 115 (teste
vocacional). Para testar a hipótese de que a média de uma nova
turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 20 notas,
obtendo-se a média 118 e desvio padrão 20. Admitir α = 5%.
1. Ho: μ = 115
H1: μ ≠ 115
2. α = 0,05; Variável t com φ = 20 – 1 = 19 graus de liberdade
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para as médias
• Exemplo:
3.
4.
5. Como -2,093 ≤ tcal ≤ 2,093, não se pode rejeitar Ho: μ = 115
para o nível de significância α = 5%.
2,093 -2,093
α/2 = 0,025 α/2 = 0,025
67,0
2020
115118tcal
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para variâncias
1. Ho: σ2 = σo
2
H1: uma das alternativas: (a) σ2 ≠ σo2 (b) σ2 > σo
2 (c) σ2 < σo2
2. Fixar α; escolher a variável qui-quadrado com φ = n – 1;
3. Com o auxílio da tabela χ2 determinam-se RC e RA;
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para variâncias
4. Cálculo do valor da variável do teste;
5. Conclusões:
2
o
22
cal
S)1n(
nulahipótesedavalor
amostraliânciavarS
amostradatamanhon:onde
2
o
2
a) Se χ2inf ≤ χ2
cal ≤ χ2sup , não se pode rejeitar Ho.
Se χ2cal > χ2
sup ou χ2cal < χ2
inf , rejeita-se Ho.
b) Se χ2cal < χ2
sup , não se pode rejeitar Ho.
Se χ2cal > χ2
sup , rejeita-se Ho.
c) Se χ2cal > χ2
inf , não se pode rejeitar Ho.
Se χcal < χ2inf , rejeita-se Ho.
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7.3 Testes de Significância
Testes de significância para variâncias
• Exemplo: Para testar a hipótese que a variância de uma
população é 25, tirou-se uma amostra aleatória de 25 elementos
obtendo-se S2 = 18,3. Admitindo-se α = 10%, efetuar o teste de
significância unicaudal à esquerda.
1. Ho: σ2 = 25
H1: σ2 < 25
2. α = 0,10; Variável χ2 com φ = 25 – 1 = 24 graus de liberdade
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7.3 Testes de Significância
Testes de significância para variâncias
• Exemplo:
3.
4.
5. Como χ2cal > 15,7 não se pode rejeitar Ho: σ
2 = 25 para o nível
de significância de 10%.
56,1725
3,18)125(2
cal
α = 0,10
φ = 24
χ2inf =15,7
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para proporções
1. Ho: p = po
H1: uma das alternativas: (a) p ≠ po (b) p > po (c) p < po
2. Fixar α; escolher a variável normal padrão Z;
3. Com o auxílio da tabela de distribuição normal padrão
determinam-se RC e RA;
Zα/2
α/2 α/2 α α
-Zα/2 Zα Zα
(a) (b) (c)
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para proporções
4. Cálculo do valor da variável do teste;
5. Conclusões:
n
)p1(p
pfZ
oo
o
cal
amostradatamanhon
amostralpadrãodesvioS
nulahipótesedavalorp
amostranaevento
dorelativafrequênciaf:onde
o
a) Se – Zα/2 ≤ Zcal ≤ Zα/2 , não se pode rejeitar Ho.
Se Zcal > Zα/2 ou Zcal < –Zα/2 , rejeita-se Ho.
b) Se Zcal < Zα , não se pode rejeitar Ho.
Se Zcal > Zα , rejeita-se Ho.
c) Se Zcal > -Zα , não se pode rejeitar Ho.
Se Zcal < -Zα , rejeita-se Ho.
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para proporções
• Exemplo: As condições de mortalidade de uma região são tais
que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é de 0,6.
Testar essa hipótese ao nível de 5% se em 1000 nascimentos
amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até 60
anos.
1. Ho: p = 0,6
H1: p ≠ 0,6
2. α = 0,05; a variável escolhida é a normal (0,1)
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para proporções
• Exemplo:
3.
4.
5. Como Zcal < -1,96, rejeita-se Ho, concluindo-se, ao nível de
5%, que p ≠ 0,6.
1,96 -1,96
α/2 = 0,025 α/2 = 0,025
Z
42,4
1000
)6,01(6,0
6,01000
530
Z cal
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para a igualdade de duas variâncias
1. Ho: σ12 = σ2
2
H1: σ12 ≠ σ2
2 (alternativa mais comum)
2. Fixar α; escolher a variável F com φ1 = n1 – 1 graus de
liberdade no numerador, e φ2 = n2 – 1 graus de liberdade no
denominador.
3. Com o auxílio da tabela F determinam-se RC e RA;
F Finf Fsup
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7.3 Testes de Significância
4. Cálculo do valor da variável do teste;
5. Conclusões:
2
2
2
1
calS
SF
2amostradaiânciavarS
1amostradaiânciavarS:onde
2
2
2
1
Se Finf ≤ Fcal ≤ Fsup , não se pode rejeitar Ho.
Se Fcal > Fsup ou Fcal < Finf , rejeita-se Ho.
Teste de significância para a igualdade de duas variâncias
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
• Exemplo: Dois programas de treinamento de funcionários foram
executados. Os 21 funcionários treinados no programa antigo
apresentaram uma variância em suas taxas de erro de 146. No
novo programa, 13 funcionários apresentaram uma variância de
200. Sendo α = 10%, pode-se concluir que a variância é diferente
para os dois programas?
1. Ho: σ12 = σ2
2
H1: σ2 ≠ σ2
2
2. α = 0,10; variável F com φ1 = 21 – 1 = 20 e φ2 = 13 – 1 = 12
graus de liberdade.
Teste de significância para a igualdade de duas variâncias
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7.3 Testes de Significância
• Exemplo:
3.
4.
5. Como 0,43 ≤ Fcal ≤ 2,54 , não se pode rejeitar Ho ao nível de
significância de 10%.
73,0200
146
S
SF
2
2
2
1
cal
Teste de significância para a igualdade de duas variâncias
α = 0,05
α = 0,05
Finf=0,43 Fsup=2,54
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para a igualdade de duas médias
1. Ho: μ1 = μ2 ou μ1 – μ2 = d, onde d é uma diferença admitida
entre as médias
H1: μ1 ≠ μ2 ou μ1 – μ2 ≠ d (caso mais comum)
2. Fixar α; a variável do teste é a normal padrão;
3. Com o auxílio da tabela Z determinam-se RC e RA;
1º Caso: As variâncias populacionais são conhecidas,
independentes e normais
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7.3 Testes de Significância
4. Cálculo do valor da variável do teste;
5. Conclusões:
amostradatamanhon
amostralpadrãodesvioS
nulahipótesedavalor
amostralmédiax:onde
o
Se – Zα/2 ≤ Zcal ≤ Zα/2 , não se pode rejeitar Ho.
Se Zcal > Zα/2 ou Zcal < –Zα/2 , rejeita-se Ho.
Teste de significância para a igualdade de duas médias
2
2
2
1
2
1
21
cal
nn
d)xx(Z
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
• Exemplo: Um fabricante produz dois tipos de pneus. Para o tipo
A, σ = 2500 milhas, e para o tipo B, σ = 3000 milhas. Um táxi
testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo duração média
de 24000 e 26000 milhas, respectivamente. Adotando-se um risco
α = 4%, testar a hipótese de que a vida média dos dois tipo é a
mesma.
1. Ho: μA = μB
H1: μ ≠ μB
2. α = 0,04
Variável Z → N(0,1)
Teste de significância para a igualdade de duas médias
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
• Exemplo:
3.
4.
5. Como Zcal ≤ -2,05, rejeita-se Ho, concluindo-se que as vidas
médias dos pneus analisados são diferentes com risco de 4%.
2,05 -2,05
α/2 = 0,02 α/2 = 0,02
38,3
40
)3000(
50
)2500(
0)2600024000(Z
22cal
Teste de significância para a igualdade de duas médias
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
Teste de significância para a igualdade de duas médias
1. Ho: μ1 = μ2 ou μ1 – μ2 = d, onde d é uma diferença admitida
entre as médias
H1: μ1 ≠ μ2 ou μ1 – μ2 ≠ d (caso mais comum)
2. Fixar α; a variável do teste é t com φ = (n1 + n2 – 2);
3. Com o auxílio da tabela de t determinam-se RC e RA;
2º Caso: As variâncias populacionais são desconhecidas e
admitidas iguais, independentes e normais.
φ=(n1+n1 -2
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7.3 Testes de Significância
4. Cálculo do valor da variável do teste;
5. Conclusões:
Teste de significância para a igualdade de duas médias
2nn
S)1n(S)1n(S,
nn
nnS
d)xx(t
21
2
22
2
11
c
21
21
c
21
cal
Se – tα/2 ≤ tcal ≤ tα/2 , não se pode rejeitar Ho.
Se tcal > tα/2 ou tcal < –tα/2 , rejeita-se Ho.
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para a igualdade de duas médias
• Exemplo: Na tabela abaixo estão registrados os índices de venda
em 6 supermercados para os produtos concorrentes da marca A e
marca B. Testar a hipótese de que a diferença das médias no índice
de vendas entre as marcas é zero. Admitir α = 5%.
Supermercado Marca A Marca B
1
2
3
4
5
6
14
20
2
11
5
12
4
16
28
9
31
10
Σ 64 98
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7.3 Testes de Significância
1. Ho: μA = μB
H1: μ ≠ μB
2. α = 0,05; variável t com φ = 6 + 6 – 2 = 10 graus de liberdade
3. RA e RC
Teste de significância para a igualdade de duas médias
2,2281 -2,2281
α/2 = 0,05 α/2 = 0,05
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
• Exemplo:
4.
5. Como -2,2281 ≤ tcal ≤ 2,2281, não se pode rejeitar a hipótese
de igualdade das médias, ao nível de 5%.
0,10S3,16x
9,5S7,10x
BB
AA
Teste de significância para a igualdade de duas médias
21,8266
100)16(8,34)16(Sc
18,1
66
6621,8
0)3,167,10(tcal
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7.3 Testes de Significância
Teste de significância para a igualdade de duas proporções
1. Ho: p1 = p2
H1: p1 ≠ p2
2. Fixar α; escolher a variável normal padrão Z;
3. Com o auxílio da tabela de distribuição normal padrão
determinam-se RC e RA;
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
4. Cálculo do valor da variável do teste;
5. Conclusões:
2
2
2
1
1
1
21
21
21
21
caln
xf
n
xf
nn
xxp̂
n
1
n
1)p̂1(p̂
ffZ
21
21
pepacomumestimadorp̂
amostraisrelativassfrequênciaf,f:onde
Se – Zα/2 ≤ Zcal ≤ Zα/2 , não se pode rejeitar Ho.
Se Zcal > Zα/2 ou Zcal < –Zα/2 , rejeita-se Ho.
Teste de significância para a igualdade de duas proporções
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7.3 Testes de Significância
• Exemplo: Deseja-se testar se são iguais as proporções de
homens e mulheres que lêem revista e se lembram de determinado
anúncio. Os resultadosas de amostras aleatórias independentes de
homens e mulheres encontram-se na tabela abaixo, onde x1 é o
número de homens que se lembram do anúncio e x2 é o
correspondente número de mulheres. Admitir α = 10%.
Teste de significância para a igualdade de duas proporções
Homens Mulheres
x1 = 70
n1 = 200
x2 = 50
n2 = 200
18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
• Exemplo:
3.
Teste de significância para a igualdade de duas proporções
1. Ho: p1 = p2
H1: p1 ≠ p2
2. α = 0,1; variável escolhida é a normal (0,1)
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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
7.3 Testes de Significância
• Exemplo:
4.
5. Como Zcal > 1,64, rejeita-se a hipótese da igualdade das
proporções, concluindo-se, com risco 10%, que as proporções
são diferentes.
18,2
200
1
200
1)3,01(3,0
25,035,0Z30,0
200200
5070p̂
25,0200
50f35,0
200
70f
cal
21
Teste de significância para a igualdade de duas proporções
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