Equivalentes Thévenin, Equivalentes Adjuntos e Equações de Trânsito de Energia Daniel Filipe Cabral Maré da Silva Dias Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Júri Presidente: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco Orientador: Prof. Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus Co-Orientador: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira Vogal: Prof. Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro Novembro de 2009
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Equivalentes Thévenin, Equivalentes Adjuntos e
Equações de Trânsito de Energia
Daniel Filipe Cabral Maré da Silva Dias
Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco
Orientador: Prof. Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus
Co-Orientador: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira
Vogal: Prof. Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Novembro de 2009
i
Agradecimentos
Agradeço à Professora Doutora Célia de Jesus e ao Professor Doutor Luís Marcelino
Ferreira por me terem confiado este trabalho e pela orientação e ajuda disponibilizada ao longo
da realização do mesmo.
Um obrigado especial à minha família, principalmente aos meus pais e irmão, pelo
apoio incondicional transmitido ao longo da minha vida, bem como por proporcionarem todas
as condições necessárias para que os meus objectivos pessoais e académicos pudessem ser
atingidos.
A todos os meus amigos (vocês sabem quem são) pela paciência, amizade, ajuda e
boa disposição que sempre demonstraram, pois tiveram e continuarão a ter um papel
importantíssimo na minha vida.
Por último, agradeço igualmente a todas as pessoas que, directa ou indirectamente,
tornaram esta “viagem académica” inesquecível (bons e maus momentos), que culminou na
realização deste trabalho. Acreditem que não teria tido metade da piada sem vocês9
ii
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iii
Resumo
O trabalho começa por apresentar um estudo teórico efectuado sobre o trânsito de
energia, estabilidade de tensão, o teorema de Thévenin e o teorema de Tellegen aplicado às
redes adjuntas. São apresentados alguns métodos existentes sobre esses temas, servindo
como base bibliográfica.
De seguida segue-se a abordagem aos métodos de análise utilizados na dissertação,
com especial atenção aos dois modelos de equivalentes de Thévenin, onde cada um
representa uma situação de funcionamento (situação de curto-circuito e situação de
funcionamento normal de um sistema de energia eléctrica), e correspondente cálculo de tensão
aos seus terminais. Para além destes, também são apresentados o modo de calcular o trânsito
de energia (programa MATPOWER) e o método escolhido para indicar o colapso de tensão
(���������). São efectuados dois tipos de perturbação através de simulação: de carga num
barramento e num ramo. O primeiro é testado em três sistemas de energia eléctrica (3, 6 e 39
barramentos), de modo a confrontar as duas situações de funcionamentos e os seus
respectivos modelos de equivalentes Thévenin com a solução do trânsito de energia escolhido
e obter conclusões sobre os mesmos. O segundo é efectuado apenas no sistema de 39
barramentos, por ser o mais complexo. Essas perturbações acontecem nos barramentos e
ramos críticos de cada sistema, de modo a obter resultados mais precisos.
Palavras-chave: Estabilidade de Tensão, Sistemas de Energia Eléctrica, Teorema de
Tellegen, Teorema de Thévenin, Trânsito de Energia.
iv
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v
Abstract
The work begins with a theoretical study about power flow, voltage stability, Thevenin’s
theorem and Tellegen’s theorem applied to adjoint networks. Some existing methods are
presented on these issues, serving as a bibliographic database.
Next follows the approach of the methods of analysis used in this dissertation, with
special attention to the two models of Thevenin equivalent, where each one represents an
operating situation (situation of short circuit and normal operating conditions of an electrical
power system), and corresponding calculation of voltage at its terminals. In addition to these, it
is also shown how to calculate the power flow (software MATPOWER) and the method chosen
to indicate the voltage collapse (���������). There are two types of disturbances carried out by simulation: at a load bus and at a
branch. The first is tested in three electrical power systems (3, 6 and 39 buses), in order to
compare the two operation situations and their respective equivalent Thevenin models with the
solution of the chosen power flow and obtain conclusions about them. The second is analyzed
only in the 39 bus system, because it is the most complex one. These disturbances occur on
the critical buses and branches of each system, in order to obtain more accurate results.
Keywords: Electrical Power Systems, Power Flow, Tellegen’s Theorem, Thevenin’s Theorem,
Voltage Stability.
vi
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vii
Índice
Agradecimentos ................................................................................................................ i
Resumo ............................................................................................................................ iii
Abstract ............................................................................................................................. v
Índice .............................................................................................................................. vii
Lista de Figuras .............................................................................................................. xi
Lista de Tabelas .............................................................................................................. xv
Lista de Símbolos ......................................................................................................... xvii
Lista de Abreviaturas .................................................................................................... xxi
FIGURA ANEXO.8 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE ���&��'� NO BARRAMENTO 12. . 87
FIGURA ANEXO.9 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR �$%�&��'� ENTRE OS BARRAMENTOS
12 E 11. ............................................................................................................................................... 88
FIGURA ANEXO.10 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR ���&��'� ENTRE OS BARRAMENTOS
12 E 11. ............................................................................................................................................... 89
FIGURA ANEXO.11 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 � NO BARRAMENTO 12. .............................. 90
FIGURA ANEXO.12 – INJECÇÃO DE CORRENTE ENTRE OS BARRAMENTOS 12 E 11. ...................................... 90
xiv
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xv
Lista de Tabelas
TABELA 4-1 – RESULTADOS DOS BARRAMENTOS DO SISTEMA. ................................................................... 39
TABELA 4-2 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. ................................................................................ 39
TABELA 4-3 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ..................................................................... 40
TABELA 4-4 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................... 40
TABELA 4-5 – RESULTADOS DOS BARRAMENTOS DO SISTEMA. ................................................................... 41
TABELA 4-6 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. ................................................................................ 41
TABELA 4-7 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ..................................................................... 42
TABELA 4-8 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................... 42
TABELA 4-9 – RESULTADOS DOS BARRAMENTOS DO SISTEMA. ................................................................... 43
TABELA 4-10 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. .............................................................................. 44
TABELA 4-11 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ................................................................... 46
TABELA 4-12 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................. 46
TABELA 4-13 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NOS BARRAMENTOS PARA O CASO INICIAL. ..................... 48
TABELA 4-14 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 2. ..................................................................... 48
TABELA 4-15 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NOS BARRAMENTOS PARA O CASO INICIAL. ..................... 48
TABELA 4-16 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 3. ..................................................................... 49
TABELA 4-17 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NOS BARRAMENTOS PARA O CASO INICIAL. ..................... 49
TABELA 4-18 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 35. ................................................................... 50
TABELA 4-19 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 3, COM POTÊNCIA REACTIVA
TABELA 4-27 – VARIAÇÃO DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 12. .............................. 64
TABELA ANEXO-1 – DADOS DO CIRCUITO. .................................................................................................. 77
TABELA ANEXO-2 – DADOS DO CIRCUITO. .................................................................................................. 81
TABELA ANEXO-3 – DADOS DO CIRCUITO. .................................................................................................. 85
xvi
(Página em branco)
xvii
Lista de Símbolos
( Símbolo que denota a derivada da grandeza cujo símbolo se lhe segue
∆ Símbolo que denota variação ou perturbação da grandeza cujo símbolo se lhe segue
^ Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes a �+ e �+,
~ Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes a �. e �.,
∗ Símbolo que denota conjugado da grandeza cujo símbolo lhe é anterior
′ Símbolo que denota transposto da grandeza cujo símbolo lhe é anterior
1 Erro do modelo
2 Frequência angular
3 Argumento
34 Argumento no barramento � 35 Argumento no barramento � Ф Argumento da impedância de carga �
745 Susceptância do barramento � para � � Capacitância
845 Condutância do barramento � para � � Vector das correntes nos ramos
� Corrente
�9: Corrente entre os terminais e !
�: Corrente de base
�;; Corrente de curto-circuito
� Corrente de emissão
�4 Corrente injectada no barramento � �45 Corrente transitada do barramento � para � �5 Corrente injectada no barramento � �< Corrente no ramo para a rede �
�=<, Corrente no ramo para a rede �+,
�><, Corrente no ramo para a rede �.,
�? Corrente de Norton
� Corrente de recepção
� Unidade imaginária
@< Matriz Jacobiano
Índice do ramo que se está a analisar
AB Conjunto de índices dos ramos correspondentes a geradores
AC Conjunto de índices dos ramos correspondentes a cargas activas
A? Conjunto de índices dos ramos da rede passiva
AD Índice do ramo que corresponde ao gerador de referência
xviii
E Indutância
F Índice do ramo que sofre a perturbação
� Rede original (usualmente a rede do sistema de energia eléctrica)
�+ Rede adjunta da rede �
�+, Rede adjunta de índice F da rede �
�., Rede adjunta de índice F da rede �
G Conjunto de índices dos ramos da rede cuja tensão se quer observar
�. I. Por unidade
� Potência activa
�J Potência activa de carga
� Potência activa de emissão
�B Potência activa de geração
�< Potência activa correspondente ao ramo
�� Potência activa de perdas
� Potência activa de recepção
K Potência reactiva
KJ Potência reactiva de carga
K Potência reactiva de emissão
KB Potência reactiva de geração
K� Potência reactiva de perdas
K Potência reactiva de recepção
L Resistência
& Potência aparente
&: Potência (aparente) de base
&; Potência (aparente) de carga
&JM Potência (aparente) de carga inicial
&B Potência (aparente) de geração
&45 Potência (aparente) transitada do barramento � para � &< Potência complexa correspondente ao ramo
N Vector das tensões nos ramos
� Tensão
�9: Tensão entre os terminais e !
�: Tensão de base
�4 Tensão no barramento � �4M Tensão pré-defeito no barramento � �5 Tensão no barramento � �< Tensão no ramo
�O<, Tensão adjunta do ramo para a rede �+,
�P<, Tensão adjunta do ramo para a rede �.,
xix
�Q Tensão do barramento de emissão
�RS Tensão de Thévenin
T Reactância
TB Reactância do gerador
�: Admitância de base
�< Admitância do ramo
� Impedância
�9: Impedância entre os terminais e !
�: Impedância de base
�; Impedância de carga
�UV Impedância de defeito
�M Impedância de carga inicial
� Impedância de carga ligada ao barramento de recepção
�Q Impedância de carga ligada ao barramento de emissão
�RS Impedância de Thévenin
xx
(Página em branco)
xxi
Lista de Abreviaturas
IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.
PSERC Power Systems Engineering Research Center
SEE Sistema de Energia Eléctrica
TE Trânsito de Energia
VCPI Voltage Collapse Proximity Indicator
xxii
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1
Capítulo 1 1. Introdução
1.1 Motivação
Os sistemas de energia eléctrica (SEE) em regime permanente são habitualmente
estudados através das equações de trânsito de energia, sendo que o seu interesse
normalmente não está na solução de todas as correntes e tensões mas sim na corrente ou
tensão de uma pequena parte da rede. Assim, e dada a necessidade de se melhorar a rapidez
de cálculo de tensões e correntes destes sistemas, é conveniente conseguir-se substituir
grande parte da rede por um circuito simples equivalente.
É neste contexto que, na procura de alternativas à solução das equações do trânsito de
energia para uma pequena parte do sistema, aparecem as aplicações do teorema de Thévenin
e do teorema de Tellegen aliado à tecnologia das redes adjuntas em modelos equivalentes
como possíveis opções válidas.
O teorema de Thévenin desempenha um papel de grande importância no estudo de
sistemas lineares. Sabendo que os SEE são essencialmente de natureza não linear, a dúvida
reside no correcto funcionamento do teorema de Thévenin neste tipo de sistemas, para além
do habitual cálculo de curto-circuitos (usado com grandes garantias devido à linearidade dos
seus cálculos).
Entre os teoremas de análise de circuitos, o teorema de Tellegen é incomum, pois
depende unicamente das leis de Kirchhoff e da topologia da rede. Este teorema pode ser
portanto aplicado a todos os sistemas eléctricos que obedeçam às leis de Kirchhoff, sejam
estes lineares/não lineares e variantes/invariantes no tempo.
2
O teorema de Tellegen aplicado à tecnologia das redes adjuntas já é considerado como
uma solução válida e célere para este tipo de problemas (cálculo de tensões e correntes), pois
a sua aplicação já obteve resultados extremamente precisos aquando variados tipos de
perturbação nesses sistemas (variações de tensão, impedâncias, potências, modificações na
estrutura da rede, etc.).
Com o aumento da exigência na qualidade, segurança e condições de funcionamento
das redes de energia eléctrica, assim como os benefícios económicos e os condicionamentos
ambientais, cada vez mais os SEE são operados muito próximo dos seus limites. Assim, é
compreensível que a estabilidade de tensão seja um tema com uma importância considerável
na indústria da energia eléctrica nos últimos anos, o que torna conveniente o seu estudo nesta
dissertação.
Deste modo, torna-se bastante interessante o estudo e desenvolvimento de modelos
equivalentes, como equivalentes de Thévenin e equivalentes adjuntos (usando o teorema de
Tellegen), em sistemas de energia eléctrica, testando-os ao longo de várias perturbações
nomeadamente nos limites de estabilidade de tensão do sistema.
1.2 Objectivos
O principal objectivo desta dissertação consiste no estudo e desenvolvimento de
equivalentes Thévenin e de equivalentes adjuntos em sistemas de energia eléctrica,
comparando os seus resultados com a solução das equações de trânsito de energia. Dado que
nesta dissertação apenas são encontrados modelos equivalentes Thévenin (um para a
situação de curto-circuito e outro para a situação de funcionamento normal dos SEE), somente
estes são confrontados com a solução habitual do trânsito de energia (método de Newton)
quanto à precisão de resultados.
Dado que, num sistema de energia eléctrica, o estudo de uma situação de curto-circuito
é possível por este se encontrar muito próximo da linearidade (as correntes são enormes), é
interessante obter um modelo equivalente Thévenin que se baseie nestes pressupostos. Esse
modelo deve ser então comparado com um outro modelo equivalente Thévenin, que funcione
para a situação de funcionamento normal de um SEE (onde os seus valores estão próximos
dos valores nominais do sistema). É esperado que o modelo para esta última situação, dada a
natureza deste tipo de sistemas (não lineares), obtenha piores resultados do que o modelo
para a situação de curto-circuitos.
A fim de testar os modelos equivalentes Thévenin de ambas as situações, recorre-se a
perturbações de carga num barramento e a perturbações num ramo. Assim, é necessário
utilizar um método de análise de estabilidade de tensão para se encontrar os barramentos e
ramos críticos, de modo a que essas perturbações não provoquem a instabilidade do sistema
(colapso de tensão).
3
Com o objectivo de desenvolver os modelos equivalentes, é essencial numa primeira
fase estudar os princípios teóricos destes temas (trânsito de energia, estabilidade de tensão e
teoremas de Thévenin e de Tellegen aplicado às redes adjuntas), nomeadamente o que já foi
feito sobre cada um deles. Assim, nessa primeira análise é realizado um trabalho bibliográfico,
maioritariamente através da biblioteca digital IEEE Xplore (1), e verificados alguns dos métodos
já existentes.
1.3 Estrutura da Dissertação
A dissertação está dividida em cinco capítulos, de modo a proporcionar uma melhor
compreensão do mesmo. No presente capítulo (capítulo 1) é realizada a introdução ao
trabalho efectuado, onde é descrito de uma forma sucinta a motivação e os objectivos desta
dissertação.
O capítulo 2, apesar de não conter contribuições originais, é essencial nesta
dissertação por conter os princípios fundamentais teóricos de todo o trabalho realizado. Este
apresenta ainda todo um trabalho bibliográfico sobre métodos existentes de análise de
estabilidade de tensão e de aplicação do teorema de Thévenin.
No capítulo 3 são apresentados os modelos de análise utilizados no capítulo 4,
nomeadamente o modo de calcular o trânsito de energia escolhido, o método de análise de
estabilidade de tensão de um sistema e os modelos para as duas situações diferentes de
cálculo de equivalentes de Thévenin (situação de curto-circuito e situação de funcionamento
normal), denominados por Modelo 1 e Modelo 2 de modo a facilitar a sua utilização. Estes dois
últimos métodos (principalmente o Modelo 2, por se tratar de uma situação de funcionamento
normal de um SEE), junto com o respectivo cálculo de tensão aos terminais do modelo
equivalente, são as contribuições originais desta dissertação.
No capítulo 4 é realizado um estudo de perturbações em três sistemas de energia
eléctrica (3, 6 e 39 barramentos), de modo a entender o comportamento dos equivalentes
Thévenin para as duas situações distintas relativamente às equações do trânsito de energia.
Para isso, são consideradas determinadas perturbações nos barramentos de cada sistema e
perturbações no ramo crítico do sistema de 39 barramentos, partindo-se sempre de um caso
inicial igualmente estudado.
Por último, o capítulo 5 apresenta conclusões relativas a este trabalho, como a
utilidade/validade do modelo equivalente Thévenin para a situação de funcionamento normal
de um SEE (Modelo 2) proposto e a sua comparação com o modelo equivalente Thévenin na
situação de curto-circuito (Modelo 1). Nesse capítulo perspectiva-se ainda trabalho futuro,
nomeadamente a obtenção de métodos de cálculo de equivalentes adjuntos.
4
(Página em branco)
5
Capítulo 2 2. Princípios Fundamentais Teóricos
2.1 Trânsito de Energia
Trânsito de Energia (Power Flow) (2), também conhecido por Trânsito de Potência ou
Fluxo de Potência, é a solução em regime estacionário de um sistema de energia eléctrica,
compreendendo os geradores, a rede e as cargas. É um problema essencial em sistemas de
energia eléctrica.
Consiste no cálculo das amplitudes e argumentos das tensões de todos os
barramentos (nós) da rede e das potências activa e reactiva que transitam em todos os ramos
(linhas e transformadores), para condições de geração e carga especificadas e para uma dada
configuração topológica.
O número de barramentos e de ramos dos sistemas eléctricos pode ser muito elevado
(podem atingir dezenas de milhar de barramentos) e as equações que modelam esses
sistemas são equações não lineares, o que torna necessário o recurso a programas
computacionais. Assim, foi procurada a melhor solução para ser usada nesta Dissertação, que
se encontra descrita na secção 3.1.
Na análise dos SEE, em vez de utilizar as respectivas unidades das grandezas
eléctricas (impedâncias, admitâncias, correntes, tensões e potências), é preferível exprimi-las
por valores por unidade ��. I. �, cujos valores base podem ser calculados por:
�:� �� = &:√3 ∙ �:
(2.1)
6
�:��� = �:√3 ∙ �:
= �:Z&: (2.2)
�:�&� = &:�:Z (2.3)
O trânsito de energia e a sua solução consiste nos seguintes passos:
• Formulação do modelo matemático representativo do sistema;
• Especificação do tipo de barramento e grandezas referentes a cada um;
• Solução numérica das equações do trânsito de energia, sendo obtidas as amplitudes
e argumentos das tensões em todos os barramentos;
• Cálculo das potências transitadas nos ramos.
Figura 2.1 – Esquema unifilar de um barramento genérico (sistema com � barramentos).
Por definição, a potência injectada num barramento é:
[4 = [B4 − [J4 = �B4 − �J4 + ��KB4 − KJ4� (2.4)
sendo a corrente injectada nesse barramento dada pela equação:
^4 = [4∗_4∗ (2.5)
Relativamente à potência transitada nos ramos, esta é dada por:
[45< = _4 ∙ `^45< a∗ (2.6)
de onde se obtém também a corrente transitada nesses ramos:
^45∗ = b[45<_4 c
∗ (2.7)
Num sistema eléctrico de energia existem três tipos de barramentos:
• Barramento de balanço (referência) – é obrigatório haver pelo menos um barramento
de balanço no sistema, pois é neste barramento que é efectuado o fecho do balanço
energético. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são � e 3, e as calculadas
são �B e KB .
• Barramento PQ (carga ou geração) – os barramentos de carga são modelados como
barramentos PQ. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são �B e KB , e as
calculadas são � e 3.
Barramento PV (geração) – os barramentos de geração podem ser modelados como
barramentos PQ ou PV. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são �B e �, e as
calculadas são KB e 3.
7
2.2 Estabilidade de Tensão
A estabilidade de tensão (voltage stability) (3) é a capacidade que um sistema eléctrico
tem de manter a tensão constante em todos os barramentos do sistema, após ter sido
submetido a uma perturbação a partir de uma determinada condição inicial de funcionamento.
Tipicamente, quando a carga num barramento específico ou área aumenta lentamente,
os valores das tensões diminuem gradualmente de início e depois rapidamente até atingirem
um valor limite, a partir do qual o sistema se tona instável. A esse fenómeno dá-se o nome de
colapso de tensão (voltage collapse), podendo resultar em apagões (blackouts).
De modo a evitar o colapso de tensão, deve-se incluir no estudo de um sistema o
cálculo das tensões críticas (limites mínimos das tensões). Assim, conhecendo as condições de
estabilidade de tensão dos barramentos do sistema eléctrico, nomeadamente do mais propício
a chegar mais rapidamente ao limite de estabilidade (barramento mais sensível às variações de
carga), é possível garantir que as tensões mantêm valores mais elevados do que os seus
valores críticos, mantendo o sistema estável.
A não estabilidade das tensões e o colapso das mesmas ameaçam assim o correcto
funcionamento dessas redes, daí o imenso estudo relativamente recente de variados métodos
de análise (dinâmicos e estáticos) para prever o colapso de tensão. Alguns desses métodos
são descritos na secção 2.2.1, ficando para a secção 3.2 uma descrição mais pormenorizada
do método utilizado nesta Dissertação.
2.2.1 Métodos existentes
Apesar da instabilidade de tensão ser um fenómeno dinâmico, têm sido propostos e
amplamente utilizados vários métodos de análise estáticos em diferentes redes de energia nos
últimos anos. Estes são geralmente mais fáceis de implementar, requerendo menos tempo
computacional à custa da perda de exactidão dos resultados. Em contraste, os métodos de
análise dinâmicos conseguem resultados mais precisos, mas exigem modelos mais elaborados
e um tempo computacional maior, daí que sejam menos utilizados.
Dado que o objectivo desta Dissertação não necessita da precisão obtida pelos
métodos de análise dinâmicos, foram pesquisados maioritariamente métodos de análise
estáticos. Os mais interessantes, tendo em vista esse objectivo, são referidos nos parágrafos
seguintes.
O cálculo das curvas P-V e Q-V (4), técnicas clássicas para prever o colapso de
tensão, servem para investigar como é que a tensão do barramento de carga varia com a
variação das potências activa e reactiva, respectivamente. Através desses gráficos, é possível
encontrar facilmente os valores de tensão e potência críticos, que é o ponto onde a curva faz
uma inversão do quadrante superior para o inferior. Tal pode ser verificado na Figura 2.2,
retirada também de (4).
8
Figura 2.2 – Curvas: a) P-V; b) Q-V.
Sterling et. al. (5) estudou o colapso de tensão num barramento de carga usando o
conceito da potência máxima transitada entre dois barramentos, que afirma que a potência
transferida para uma carga é máxima quando a impedância de carga �C é igual ao conjugado
da impedância da fonte �Q, ou seja, �C = �Q∗.
Figura 2.3 – Representação de uma rede com 2 barramentos.
A rede de 2 barramentos da Figura 2.3 é aplicada a um circuito equivalente de
Thévenin (secção 2.3) relativamente a um barramento específico, onde �Q é a tensão em
circuito aberto no barramento �, �Q é a impedância equivalente de Thévenin entre o terminal � e
a terra, e �C é a impedância da carga ligada ao barramento �. Usando este circuito equivalente,
o índice de estabilidade de tensão é a relação entre os módulos �C e �Q, que tem um valor
máximo de 1 quando ambas as impedâncias são iguais, indicando a carga máxima nesse
barramento para que o sistema se mantenha estável, ou seja,
�C�Q ≤ 1 (2.8)
Este último método serviu de base para outros, como para Jasmon et. al. (6) e
Moghavvemi et.al. (7). No primeiro é calculado um índice de estabilidade de tensão, E, que
deriva das equações de tensão de um sistema de 2 barramentos e também utiliza o circuito
equivalente de Thévenin do sistema eléctrico relativo ao barramento de carga. Este índice
indica a proximidade dos barramentos de carga ao limite de estabilidade de tensão,
9
apresentando inclusivamente melhores resultados. No segundo, é calculado um indicador de
proximidade de colapso de tensão (VCPI – Voltage Collapse Proximity Indicator), que investiga
cada linha do sistema através do cálculo de um indicador que varia entre 0 (sem carga) e 1
(carga máxima). Também utiliza o conceito da potência máxima transitada entre dois
barramentos.
Chang et. al. (8) também apresentou um método que calcula um VCPI para cada
barramento, definido por uma relação entre as variações das potências reactivas dos
geradores e a variação da potência reactiva de carga. O barramento com o maior valor de
VCPI é o nó mais fraco do sistema.
Janischewskyj et. al. (9) definiu uma nova abordagem rápida e simples para a condição
de carga extrema (XLC – Extreme Loading Condition), que pode ser utilizado em grandes
sistemas. O cálculo identifica correctamente o barramento mais fraco (sensível) do sistema.
Parniani et. al. (10) combinou a análise estática com a dinâmica, criando um modelo
que usa uma abordagem estática ao problema da estabilidade de tensão, seguido de
simulações temporais. Esta combinação aproveita as vantagens de ambos os métodos de
análise.
Gubina et. al. (11) usou ainda o teorema de Tellegen (secção 2.4) associado ao
Teorema de Thévenin para calcular um índice de estabilidade de tensão, obtendo resultados
bastante satisfatórios num sistema de teste de dois barramentos e no sistema Belga-Francês
de 32 barramentos. O teorema de Tellegen é usado de modo a simplificar a determinação dos
parâmetros de Thévenin e o respectivo índice (Figura 2.4). Este necessita apenas das
medições da tensão e da corrente para avaliar a estabilidade de tensão do sistema num
determinado barramento.
Figura 2.4 – Representação: a) barramento de carga do sistema; b) rede �; c) rede adjunta �+.
10
2.3 Teorema de Thévenin
O Teorema de Thévenin (12) estabelece que um circuito linear terminado em dois
pontos e !, contendo um número qualquer de geradores de tensão, pode ser substituído por
um único gerador de tensão em série com uma impedância ligados entre aqueles dois pontos,
designados por �RS e �RS, respectivamente. Ao conjunto de componentes �RS e �RS dá-se a
designação de Equivalente de Thévenin, como se mostra na Figura 2.5.
Figura 2.5 – Esquema Equivalente de Thévenin.
O gerador de tensão �RS é igual à tensão do circuito aberto medida entre e !, sendo
a impedância �RS igual à impedância do circuito medida entre e ! com os geradores de
tensão curto-circuitados. De notar que, caso hajam, os geradores de corrente são substituídos
por circuitos abertos e os geradores comandados não podem ser anulados.
Como dito anteriormente, este teorema funciona correctamente para sistemas lineares.
Como os SEE são essencialmente de natureza não linear (cálculos do trânsito de energia
exigem soluções de equações algébricas não lineares), a dúvida reside no correcto
funcionamento do Teorema de Thévenin neste tipo de sistemas para o cálculo dos módulos e
argumentos das tensões nos SEE. Actualmente são usados com garantias no cálculo de
correntes de curto-circuito, notando-se nos últimos anos várias investigações na tentativa de
aplicar este teorema à análise da estabilidade de tensão (descrita na secção 2.2), devido à sua
importância neste tipo de sistemas.
Assim, foram estudados e descritos na secção 2.3.1 alguns modelos existentes de
obtenção do esquema equivalente de Thévenin para sistemas de energia eléctrica, tanto para o
cálculo de correntes de curto-circuitos como para análise da estabilidade de tensão, na
tentativa de verificar se este modelo equivalente pode ser utilizado em sistemas não lineares
para cálculo de tensões.
Nas secções 3.3 e 3.4 são descritos os modelos de cálculo do equivalente Thévenin
para as duas situações (situação de curto-circuito e situação de funcionamento normal de um
SEE) utilizados nesta dissertação, ficando para a secção 3.5 o respectivo cálculo da tensão �9:
(utilizado no Capítulo 4).
11
2.3.1 Métodos existentes
Curto-circuito (2) designa um percurso de baixa impedância, resultante de um defeito,
através do qual se fecha uma corrente, em geral elevada. Trata-se de uma situação anormal
em Sistemas de Energia Eléctrica que requer acção imediata, face aos danos que dela podem
resultar. Assim, o cálculo das correntes de curto-circuito é uma tarefa fundamental neste tipo
de sistemas.
Para solucionar este problema, é normalmente usado o teorema da sobreposição (2),
considerando-se o estado da rede após o defeito como a sobreposição dos dois estados
representados na Figura 2.6. O estado 1 corresponde à situação pré-defeito, dado pelo
resultado do trânsito de energia que fornece o perfil das tensões pré-defeito em todos os
barramentos do sistema, e inclui todos os geradores reais ligados à rede (não representados).
O estado 2 corresponde à ligação do gerador fictício com a polaridade invertida, sendo que os
geradores reais são apenas representados pelas suas impedâncias internas respectivas.
Figura 2.6 – Aplicação do teorema da sobreposição no cálculo das correntes de curto-circuito.
O estado 2 representa a aplicação do teorema de Thévenin, como pode ser visto na
Figura 2.7, onde �R é a impedância equivalente de Thévenin (�RS) da rede vista do barramento
� quando se anulam as fontes de tensão e/ou corrente, �UV é a impedância de defeito, �4M é a
tensão pré-defeito (obtida no estado 1) e �4;; é a corrente de curto-circuito nesse barramento.
Figura 2.7 – Esquema equivalente de Thévenin aplicado ao estado 2 do teorema da
sobreposição, para cálculo das correntes de curto-circuito.
12
Rao et. al. (13) investiga a veracidade dum modelo equivalente de Thévenin na
obtenção de características Q-V em barramentos PQ. Para isso, calcula o trânsito de energia
para um caso base de uma determinada rede eléctrica (são usadas redes de 3, 6, 14 e 39
barramentos), passando a considerar que �RS é a tensão no barramento especificado (onde se
quer achar o equivalente), ou seja, �RS = �eJ. A impedância �RS é calculada nesse próprio
barramento, aproximando os barramentos PQ a fontes de tensão constantes e os barramentos
PV também a fontes de tensão, o que parece funcionar com uma precisão razoável.
Os autores comparam ainda os valores das tensões obtidas através desse modelo
equivalente com as tensões obtidas pelo trânsito de energia normal, variando a potência
reactiva no barramento PQ em estudo. Esses resultados mostram que o erro do modelo
aumenta com o aumento do tamanho do sistema e com o aumento das variações da potência
reactiva.
Gross et. al. (4) também usa o equivalente de Thévenin para obter as características Q-
V de um determinado SEE de 6 barramentos, assim como as características P-V. O modelo
equivalente é calculado com base num estudo inicial de um trânsito de energia convergente
aplicado a essa rede (caso 0), onde o sistema esteja próximo da instabilidade de tensão. Após
esse estudo (nomeadamente o cálculo da matriz de admitâncias do sistema �:fg), o barramento
especificado é substituído por um gerador de tensão equivalente. Todos os geradores são
modelados como fontes de tensão em série com uma reactância TB, sendo os seus módulos
computados a partir do limite superior de variação e os seus argumentos a partir do caso base.
Essas fontes de tensão são então transformadas em fontes de corrente, cuja admitância é
absorvida numa matriz de admitâncias actualizada. As cargas em cada barramento também
são convertidas em admitâncias, produzindo a matriz de admitâncias final, que é a inversa da
matriz de impedâncias h�i. O circuito equivalente de Thévenin é então formado, podendo ser
visto para qualquer barramento.
Este método tende a ser conservador, prevendo o colapso da tensão em níveis de
carga mais baixos do que os encontrados por trânsito de energia normal (resultado desejável).
Assim, apresentou resultados satisfatórios na procura do colapso de tensão, encontrando
valores de carga em barramentos PQ com erros inferiores a 10% relativamente aos
verdadeiros valores críticos. Nos barramentos PV apresentou resultados um pouco piores.
Sterling et. al. (5) e Jasmon et. al. (6) voltam a usar o equivalente de Thévenin para
analisar a estabilidade de tensão. Em ambos os casos a tensão �RS é a tensão em circuito
aberto no barramento em causa. Relativamente à impedância �RS, Sterling et. al. (5) considera
que, para uma rede com � barramentos, a impedância equivalente de Thévenin entre um
barramento � e a terra é dada por �44∠k4., enquanto que Jasmon et. al. (6) não dá indicação de
como calcula essa impedância, pois o seu índice de estabilidade de tensão apenas precisa do
�RS.
Wang et. al. (14) calcula um equivalente de Thévenin através de fasores (vectores de
rotação) sincronizados, que incluem toda a informação sobre as variações no estado do
sistema, para analisar quando é que existe instabilidade de tensão. Assim, usa os fasores
13
sincronizados do barramento escolhido e os barramentos ligados ao mesmo através de ramos
do sistema, que são medidos através do sistema WAMS (Wide Area Measurement System),
para encontrar o circuito equivalente de Thévenin visto do barramento em causa.
Para exemplificar este método é usado o sistema de 39 barramentos New England
(estrutura da rede de 39 barramentos no Anexo C), escolhendo o barramento 16 (ligado aos
barramentos 15, 17, 19, 21 e 24) como exemplo de estudo (Figura 2.8a).
Figura 2.8 – Fases do processo do cálculo do equivalente de Thévenin no barramento 16: a)
Subsistema unifilar; b) Subsistema monofásico equivalente; c) Esquema equivalente em � do
ramo entre os barramentos 16 - 17.
Após simplificação do subsistema para um esquema monofásico equivalente (Figura
2.8b), é necessário processar cada ramo isoladamente. Assim, tenta-se encontrar o parâmetro
�lmn analisando a Figura 2.8c:
�oZ = `�o?mn − �o?mpa �?mpq?mn⁄ (2.9)
�om = �oZ + �2 ∙ smpqmn ∗ �o?mn (2.10)
�olmn = �o?mn + �om ∙ �lmn′ (2.11)
Relacionando estas equações, obtém-se:
�olmn = �o?mn + �lmn′ ∙ tu 1�?mpqmn + �
2 ∙ smpqmnv ∗ �o?mn − �o?mp�?mpqmnw (2.12)
Decompondo a equação em partes real e imaginária, passamos a lidar com duas
equações e quatro variáveis incógnitas, incluindo a parte real e imaginária de �olmn e �olmn.
Dado que para calcular esses quatro parâmetros, é necessário mais duas equações, é
14
necessário recorrer a medições com pelo menos dois tempos diferentes. Considerando-se
erros de medição, os parâmetros equivalentes devem ser calculados pelo método dos mínimos
quadrados através de múltiplas medições em sistemas reais. Quando os fasores sincronizados
são medidos continuamente, o método recursivo dos mínimos quadrados é necessário para
ajustar a variação da curva de parâmetros equivalentes.
Após a solução dos parâmetros equivalentes �olmn e �olmn, finalmente consegue-se
calcular o parâmetro �lmn, através da transformação estrela-triângulo:
As redes adjuntas �+, e �., são topologicamente equivalentes à rede de energia
eléctrica �, apresentando o mesmo grafo. Apresentam cinco tipos de ramos, representados na
Figura 2.10:
a) A rede passiva das redes adjuntas é idêntica à rede passiva do sistema de energia
eléctrica �, logo a mesma configuração e as mesmas impedâncias para os elementos
constituintes – Equações (2.21) e (2.26);
b) Os ramos das redes adjuntas correspondentes aos ramos de carga da rede �
(barramentos PQ) – Equações (2.22) e (2.27);
c) Os ramos das redes adjuntas correspondentes aos geradores da rede �
(barramentos PV) – Equações (2.23) e (2.28);
d) O ramo das redes adjuntas correspondente ao ramo do gerador de referência da rede
� – Equações (2.20) e (2.25);
e) O ramo de observação das redes adjuntas corresponde ao ramo da rede � cuja
variação de tensão se pretende calcular – Equações (2.24) e (2.29).
Figura 2.10 – Representação simbólica dos elementos da rede adjunta: a) Admitância �<; b) fonte de corrente dependente; c) fonte de tensão dependente; d) curto-circuito; e) fonte de
corrente independente unitária.
18
Assim, considerando o sistema de 3 barramentos do Anexo A e o seu respectivo
esquema unifilar apresentado na Figura 2.11, a representação simbólica da rede adjunta para o
cálculo de sensibilidades no barramento 3 é apresentado na Figura 2.12.
De notar que, em ambas as figuras, os barramentos do circuito estão representados
pelos números dentro de rectângulos e os ramos pelos restantes números. O ramo 7 é o ramo
que se quer observar, não pertencendo verdadeiramente ao circuito, como se observa pela
Figura 2.11.
Figura 2.11 – Representação do sistema de 3 barramentos com indicação dos barramentos e ramos.
Figura 2.12 – Representação em circuito da rede adjunta para o cálculo de sensibilidades no barramento 3.
19
Capítulo 3 3. Modelos de Análise
3.1 Trânsito de Energia
O programa computacional para resolver o trânsito de energia (TE) escolhido foi o
MATPOWER (27) (versão 3.2), que usa a linguagem de programação MatLab (versão
7.6.0.324 – R2008a) e foi desenvolvido por investigadores da PSERC (Power Systems
Engineering Research Center).
Trata-se de uma ferramenta grátis de simulação de trânsito de energia para
investigadores e estudantes, que contém um pacote de ficheiros MatLab para resolver trânsitos
de energia. Como foi concebido para proporcionar o melhor desempenho possível, mantendo o
código simples de compreender e modificar (topologia da rede e/ou restrições impostas), foi a
melhor opção para ser usada nesta dissertação.
O MATPOWER disponibiliza cinco diferentes métodos de resolução de TE:
• Método de Newton;
• Método Fast-Decoupled (Variante XB);
• Método Fast-Decoupled (Variante BX);
• Método de Gauss-Seidel;
• Método DC.
O método utilizado por defeito no MATPOWER é o método de Newton (28), que
também foi o usado nos cálculos do Capítulo 4. Este encontra-se explicado detalhadamente
na secção seguinte.
20
3.1.1 Método de Newton-Raphson
O código que está implementado pode ser consultado através do ficheiro newtonpf.m
do pacote MATPOWER.
O processo iterativo do cálculo (com iterações) das tensões, cujo fluxograma está
representado na Figura 3.1, obedece aos seguintes passos:
1. Estimar valores iniciais das tensões nos barramentos;
2. Calcular os erros de fecho ∆�4 e ∆K4 entre os valores especificados e calculados das
potências activa e reactiva, dados pelas seguintes equações:
¦RS,�U�� Z = 0,0553 ∙ �5n|,}Z = 0,0101 + �0,0543 �. I.
4.4.1.2 Análise do sistema nos casos críticos
Através da variação da potência activa no barramento crítico, mantendo constante a
potência reactiva em KJ = 50 ����, atinge-se o ponto crítico de tensão em �J = 934 �´. A
evolução da tensão no barramento 3 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-
19 e nas Figuras 4.4 (módulos de �¿) e 4.5 (argumentos de �¿).
Tabela 4-19 – Variação da potência activa no barramento 3, com potência reactiva constante.
·Ã VCPI
(power)
módulo _¹ (p.u.) argumento _¹ (graus)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
220 0,2977
0,9686 0,9687 0,9693
-5,77 -5,11 -5,93
300 0,3911
0,9559 0,9562 0,9561
-8,42 -7,08 -8,75
380 0,4834
0,9412 0,9419 0,9398
-11,17 -9,13 -11,67
460 0,5738
0,9242 0,9254 0,9201
-14,07 -11,29 -14,73
540 0,6616
0,9043 0,9062 0,8962
-17,15 -13,60 -17,97
620 0,7464
0,8809 0,8836 0,8672
-20,48 -16,10 -21,45
700 0,8273
0,8523 0,8562 0,8314
-24,19 -18,91 -25,27
52
780 0,9026
0,8159 0,8211 0,7857
-28,49 -22,20 -29,64
860 0,9687
0,7641 0,7711 0,7215
-34,00 -26,47 -35,11
934 0,9956
0,6417 0,6513 0,5769
-45,05 -35,36 -45,66
Figura 4.4 – Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 3 e com potência reactiva constante.
Figura 4.5 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 3 e com potência reactiva constante.
Observa-se que o Modelo 1 apresenta valores de módulo da tensão �¿ muito próximos
dos do Trânsito de Energia, o que já não acontece com o Modelo 2, onde o erro vai sendo cada
vez maior até atingir um erro máximo de 10,10 %.
Relativamente ao argumento da tensão �¿, ao contrário do que se sucede para o
módulo, o Modelo 1 apresenta uma diferença maior (erro mínimo de 11,38 % e erro máximo de
22,17 %), sendo que o Modelo 2 mantém valores muito próximos dos obtidos pelo Trânsito de
Energia.
Variando a potência reactiva no barramento crítico, mantendo constante a potência
activa em �J = 140 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 606 ����. A evolução da
tensão no barramento 3 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-20 e nas
Figuras 4.6 (módulos de �¿) e 4.7 (argumentos de �¿).
Tabela 4-20 – Variação da potência reactiva no barramento 3, com potência activa constante.
ºÃ VCPI
(power)
módulo _¹ (p.u.) argumento _¹ (graus)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
105 0,2682
0,9561 0,9560 0,9467
-2,97 -2,96 -3,08
160 0,3396
0,9310 0,9310 0,9126
-2,72 -2,69 -2,95
215 0,4158
0,9044 0,9043 0,8770
-2,48 -2,42 -2,82
270 0,4949
0,8758 0,8757 0,8397
-2,23 -2,14 -2,69
325 0,5758
0,8448 0,8447 0,8002
-1,98 -1,84 -2,57
380 0,6578
0,8106 0,8104 0,7578
-1,73 -1,52 -2,46
435 0,7404
0,7719 0,7717 0,7112
-1,48 -1,18 -2,36
490 0,8325
0,7263 0,7262 0,6581
-1,24 -0,81 -2,29
545 0,9068
0,6682 0,6681 0,5930
-1,03 -0,39 -2,26
606 0,9986
0,5418 0,5418 0,4606
-1,04 0,22 -2,55
Figura 4.6 – Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 3 e com potência activa constante.
Figura 4.7 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 3 e com potência activa constante.
Na variação de potência reactiva, o Modelo 1 obteve excelentes resultados
relativamente ao cálculo do módulo de �¿, sendo inclusivamente impossível de distinguir a
curva do Trânsito de Energia na Figura 4.6, pois esta está sobreposta pela curva do Modelo 1.
0,40000,50000,60000,70000,80000,90001,0000
105 160 215 270 325 380 435 490 545 606
| V3 |
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-3,50-3,00-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,50
105 160 215 270 325 380 435 490 545 606
Delta V3
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
54
Por sua vez, o Modelo 2 apresenta valores do módulo com um erro crescente (erro máximo de
14,99 %) até o sistema atingir o ponto crítico.
Comparando os valores obtidos dos argumentos de �¿ através da Figura 4.7, observa-
se que o Modelo 1 volta a apresentar valores com um erro menor do que o Modelo 2, tal como
acontece com o módulo da tensão.
Variando ambas as potências no barramento crítico, atinge-se o ponto crítico de tensão
em �J = 710 �´ e KJ = 280 ����. A evolução da tensão no barramento 3 e do índice de
estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-21 e nas Figuras 4.8 (módulos de �¿) e 4.9
(argumentos de �¿).
Tabela 4-21 – Variação das potências activa e reactiva no barramento 3.
·Ã ºÃ VCPI
(power)
módulo _¹ (p.u.) argumento _¹ (graus)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
200 75 0,2987
0,9608 0,9609 0,9571
-5,03 -4,53 -5,20
260 100 0,3911
0,9404 0,9405 0,9324
-6,94 -5,92 -7,27
320 125 0,4820
0,9180 0,9184 0,9052
-8,95 -7,40 -9,43
380 150 0,5713
0,8935 0,8941 0,8751
-11,08 -8,97 -11,72
440 175 0,6588
0,8660 0,8670 0,8414
-13,39 -10,68 -14,16
500 200 0,7440
0,8346 0,8361 0,8031
-15,92 -12,57 -16,81
560 225 0,8263
0,7976 0,7997 0,7583
-18,79 -14,73 -19,78
620 250 0,9045
0,7512 0,7540 0,7030
-22,23 -17,35 -23,27
680 275 0,9752
0,6836 0,6874 0,6246
-26,96 -21,04 -27,97
710 280 0,9982
0,6376 0,6420 0,5730
-30,38 -23,76 -31,30
Figura 4.8 - Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 3.
Figura 4.11 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 5 e com potência reactiva constante.
Figura 4.12 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 5 e com potência reactiva constante.
O Modelo 1 apresenta resultados muito próximos dos do Trânsito de Energia, no que
se refere ao módulo da tensão �{. Por sua vez, o Modelo 2 vai aumentando a diferença com o
Trânsito de Energia consoante a proximidade do ponto de colapso de tensão, atingindo o seu
ponto máximo com um erro de 23,11 %, ou seja, um erro já bastante considerável.
No cálculo do argumento de �{, é o Modelo 2 que demonstra resultados muito próximos
dos obtidos pelo Trânsito de Energia, ao contrário dos do Modelo 1.
Variando a potência reactiva no barramento crítico, mantendo constante a potência
activa em �J = 70 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 380 ����. A evolução da
tensão no barramento 5 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-23 e nas
Figuras 4.13 (módulos de �{) e 4.14 (argumentos de �{).
Tabela 4-23 – Variação da potência reactiva no barramento 5, com potência activa constante.
ºÃ VCPI
(power)
módulo _¼ argumento _¼
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
100 0,3878 0,9520 0,9520 0,9271 -4,93 -4,70 -4,88
130 0,4440 0,9287 0,9288 0,8803 -4,70 -4,20 -4,59
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
110 150 190 230 270 310 350 390 430 462
| V5 |
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-60,00
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
110 150 190 230 270 310 350 390 430 462
Delta V5
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
58
160 0,5041 0,9041 0,9040 0,8334 -4,49 -3,68 -4,30
190 0,5672 0,8776 0,8775 0,7859 -4,30 -3,13 -4,03
220 0,6324 0,8489 0,8488 0,7376 -4,14 -2,53 -3,76
250 0,6992 0,8174 0,8171 0,6877 -4,02 -1,90 -3,50
280 0,7672 0,7819 0,7814 0,6354 -3,96 -1,19 -3,25
310 0,8362 0,7405 0,7398 0,5790 -4,01 -0,40 -3,02
340 0,9060 0,6887 0,6878 0,5144 -4,24 0,56 -2,80
380 0,9999 0,5338 0,5329 0,3533 -6,37 3,02 -2,75
Figura 4.13 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 5 e com potência activa constante.
Figura 4.14 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 5 e com potência activa constante.
No cálculo do módulo da tensão no barramento 5, o Modelo 1 mantém uma curva
extremamente parecida com a curva do Trânsito de Energia. O Modelo 2 apresenta um erro
considerável acima dos 10 % a partir da quarta medição, que vai aumentando até atingir o seu
máximo para KJ = 380 ���� (33,81 %).
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
100 130 160 190 220 250 280 310 340 380
| V5 |
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
100 130 160 190 220 250 280 310 340 380
Delta V5
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
59
Relativamente ao cálculo do argumento de �{, a curva do Modelo 2 mantém-se quase
constante, sendo que a do Modelo 1 diverge da curva do Trânsito de Energia, apresentando
inclusive valores positivos enquanto as curvas do Modelo 2 e do Trânsito de Energia mantêm-
se sempre no eixo negativo.
Variando ambas as potências no barramento crítico, atinge-se o ponto crítico de tensão
em �J = 276 �´ e KJ = 276 ����. A evolução da tensão no barramento 5 e do índice de
estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-24 e nas Figuras 4.15 (módulos de �{) e 4.16
(argumentos de �{).
Tabela 4-24 – Variação das potências activa e reactiva no barramento 5.
Figura 4.18 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência activa no barramento 12 e com potência reactiva constante.
Figura 4.19 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência activa no barramento 12 e com potência reactiva constante.
Observa-se que, no que diz respeito ao módulo da tensão no barramento 12, os
Modelos 1 e 2 voltam a apresentar resultados distintos. O Modelo 1, quando comparado com o
Trânsito de Energia, apresenta sempre um erro mínimo. Por sua vez, o Modelo 2 apresenta
sempre algum erro, atingindo um máximo de 16,61 %.
No cálculo do argumento de �mZ, o Modelo 2 é o que obteve resultados mais próximo
dos do Trânsito de Energia, com um erro máximo de 10 %.
Variando a potência reactiva no barramento crítico, mantendo constante a potência
activa em �J = 8,5 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 585 ����. A evolução da
tensão no barramento 12 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-26 e nas
Figuras 4.20 (módulos de �mZ) e 4.21 (argumentos de �mZ).
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
120 230 340 450 560 670 780 890 10001104
| V12 |
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
120 230 340 450 560 670 780 890 1000 1104
Delta V12
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
63
Tabela 4-26 – Variação da potência reactiva no barramento 12, com potência activa constante.
ºÃ VCPI
(power)
módulo _½¾ argumento _½¾
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
140 0,1281 0,9824 0,9831 0,9677 -7,21 -7,17 -7,07
190 0,1841 0,9648 0,9663 0,9364 -7,21 -7,13 -6,93
240 0,2461 0,9465 0,9487 0,9048 -7,20 -7,09 -6,78
290 0,3153 0,9274 0,9303 0,8728 -7,20 -7,04 -6,64
340 0,3931 0,9074 0,9111 0,8403 -7,20 -6,99 -6,49
390 0,4815 0,8863 0,8907 0,8072 -7,20 -6,94 -6,34
440 0,5832 0,8639 0,8690 0,7732 -7,21 -6,88 -6,19
490 0,7019 0,8399 0,8459 0,7381 -7,21 -6,82 -6,03
540 0,8433 0,8140 0,8208 0,7017 -7,22 -6,76 -5,87
585 0,9969 0,7887 0,7961 0,6672 -7,24 -6,70 -5,71
Figura 4.20 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 12 e com potência activa constante.
Figura 4.21 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 12 e com potência activa constante.
0,6500
0,7000
0,7500
0,8000
0,8500
0,9000
0,9500
1,0000
140 190 240 290 340 390 440 490 540 585
| V12 |
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-7,50
-7,00
-6,50
-6,00
-5,50
-5,00
140 190 240 290 340 390 440 490 540 585
Delta V12
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
64
No cálculo dos módulos da tensão no barramento 12, a curva do Modelo 2 mantém um
erro com subida constante (a diferença aumenta cerca de 1,5 % em cada simulação), atingindo
um máximo de 15,41 %. O Modelo 1 volta a ter uma curva sempre com um erro inferior a 1 %.
Os valores dos argumentos de �mZmantêm valores quase constantes nos dois modelos,
assim como os do próprio Trânsito de Energia.
Variando ambas as potências no barramento crítico, atinge-se o ponto crítico de tensão
em �J = 140 �´ e KJ = 574 ����. A evolução da tensão no barramento 12 e do índice de
estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-27 e nas Figuras 4.22 (módulos de �mZ) e 4.23
(argumentos de �mZ).
Tabela 4-27 – Variação das potências activa e reactiva no barramento 12.
function [baseMVA, bus, gen, branch] = caso3_base %%----- Power Flow Data -----%% %% system MVA base baseMVA = 100; %% bus data % bus_i type Pd Qd Gs Bs area Vm Va baseKV zone
Figura Anexo.1 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �RS¥Q�4; no barramento 3.
Figura Anexo.2 - Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 3.
79
A.3 Injecção de corrente
Figura Anexo.3 – Injecção de corrente no valor de 1 � no barramento 3.
80
Anexo B: Sistema de 6 barramentos
B.1 Dados iniciais do sistema
function [baseMVA, bus, gen, branch] = caso6_base %%----- Power Flow Data -----%% %% system MVA base baseMVA = 100; %% bus data % bus_i type Pd Qd Gs Bs area Vm Va baseKV zone
Figura Anexo.4 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �RS¥Q�4; no barramento 5.
82
Figura Anexo.5 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 5.
B.3 Injecção de corrente
Figura Anexo.6 – Injecção de corrente no valor de 1 � no barramento 5.
83
Anexo C: Sistema de 39 barramentos
C.1 Dados iniciais do sistema
function [baseMVA, bus, gen, branch] = caso39_base %%----- Power Flow Data -----%% %% system MVA base baseMVA = 100; %% bus data % bus_i type Pd Qd Gs Bs area Vm Va baseKV zone