Campos de calibre cl ´ assicos: Maxwell M.T. Thomaz [email protected]Instituto de F´ ısica, UFF Resumo: A partir do princ´ ıpio de m´ ınima ac ¸˜ ao reobtemos as equac ¸˜ oes de movimento cl´ assicas reescritas atrav ´ es das equac ¸˜ oes de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´ ıpio para obter as equac ¸˜ oes de movimento dos campos cl´ assicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagn´ eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noc ¸˜ ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformac ¸˜ ao da Relatividade Restrita e escrever as equac ¸˜ oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos el´ etrico e magn´ etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariˆ ancia de calibre ´ e implementada nestes campos. M.T. Thomaz (Instituto de F´ ısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CL ´ ASSICOS 1 / 28
A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre é implementada nestes campos.
Apresentação: . Princípio de Hamilton para campos clássicos
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Resumo:A partir do princıpio de mınima ac ao reobtemos as equac oes de movimento cl assicas reescritas atrav es das equac oesde Lagrange. Mostramos como estender esse princıpio para o bter as equac oes de movimento dos campos cl assicose o aplicamos ao caso dos campos eletromagn eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desen volver,estudaremos a noc ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de tra nsformac ao da Relatividade Restrita eescrever as equac oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os camposeletrico e magn etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a inv ari ancia de calibre e implementadanestes campos.
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Apresentacao:
1. Princıpio de mınima acao
2. Revisao de topicos em Matematica
3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
4. Espaco de Minkowski
5. Princıpio de Hamilton para campos classicos
6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
O que ja sabemos?
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
O que ja sabemos?
As eqs. que governam a evolucao no tempo dos campos eletro-magneticos, ~E(~x, t) e ~B(~x, t) :
As equacoes de Maxwell~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),
~∇ · ~B(~x, t) = 0,
~∇× ~E(~x, t) = −1
c
∂~B(~x, t)
∂t,
~∇× ~B(~x, t) =1
c
∂~E(~x, t)
∂t+
4π
c~(~x, t),
sendo ρ(~x, t) a densidade de carga eletrica e ~(~x, t) o vetor densidadede corrente eletrica.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒
⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒
⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.
Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor:
Para cada campo fısico ~E(~x, t) e ~B(~x, t) o 4-potencial vetor nao e
unico ⇒
⇒ impor 1 condicao de calibre .
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
E possıvel obter as 4 equacoes de Maxwell
para os campos eletromagneticos a partir
do calculo do extremo de uma acao
(de um funcional)?
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:
x : variavel
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:
x : variavel
t : parametro.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:
x : variavel
t : parametro.
A lagrangeana L do movimento da partıcula:
L = L(x(t), x(t); t)
sendo
x(t) =dx(t)
dt.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A acao S do movimento de 1 partıcula durante o intervalo de tempo[t0, tf ]:
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A acao S do movimento de 1 partıcula durante o intervalo de tempo[t0, tf ]:
S[x(t); t0, tf ] =
∫ tf
t0
dt L(x(t), x(t); t),
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A acao S do movimento de 1 partıcula durante o intervalo de tempo[t0, tf ]:
S[x(t); t0, tf ] =
∫ tf
t0
dt L(x(t), x(t); t),
t
x(t)
Figura 1.1
2
3
1
t t0 f
A trajetoria percorrida pela da partıcula classica entre as posicoes x(t0)e x(tf ) e a que extremiza a acao S.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).
Para o campo Φ(~x, t) temos:
Φ : variavel do sistema fısico;
~x : parametro;
t : parametro.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).
Para o campo Φ(~x, t) temos:
Φ : variavel do sistema fısico;
~x : parametro;
t : parametro.
A funcao Φ(~x, t) da a configuracao do campo
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).
Para o campo Φ(~x, t) temos:
Φ : variavel do sistema fısico;
~x : parametro;
t : parametro.
A funcao Φ(~x, t) da a configuracao do campo em cada ponto do espaco~x no instante t.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Para cada configuracao do campo Φ(~x, t) associamos um numeroatraves do funcional da acao S:
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Para cada configuracao do campo Φ(~x, t) associamos um numeroatraves do funcional da acao S:
S[Φ; t0, tf ] =
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t).
L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acaotem dimensao de momento angular.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Para cada configuracao do campo Φ(~x, t) associamos um numeroatraves do funcional da acao S:
S[Φ; t0, tf ] =
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t).
L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acaotem dimensao de momento angular.
Princıpio de Hamilton para a campo classico:Obter a configuracao Φ(~x, t), que comeca em Φ(~x, t0)
e termina em Φ(~x, tf ) e que extremiza a acao
S[Φ; t0, tf ].
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Importante:A acao de sistemas relativısticos,
S[Φ; t0, tf ] =
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Importante:A acao de sistemas relativısticos,
S[Φ; t0, tf ] =
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)
e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıculapercorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acaoneste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outroreferencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira poruma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser ummınimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que apartıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalarde Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produtodtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambemtem que ser um escalar de Lorentz.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Importante:A acao de sistemas relativısticos,
S[Φ; t0, tf ] =
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)
e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıculapercorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acaoneste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outroreferencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira poruma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser ummınimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que apartıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalarde Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produtodtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambemtem que ser um escalar de Lorentz.
E por esta razao que para uma partıcula nao relativıstica a lagrangeana naopode ser a energia mecanica total.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:
φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)
eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:
φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)
eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).
Para confirmar que a configuracao φ(~x, t) e um extremo da acao ,comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenasvariacoes de φ(~x, t):
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:
φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)
eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).
Para confirmar que a configuracao φ(~x, t) e um extremo da acao ,comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenasvariacoes de φ(~x, t):
Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t),
onde α e uma constante eα → 0.
A funcao η(~x, t) satisfaz ascondicoes de contorno:η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A condicao de que φ(~x, t) extremiza a acao:
δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] =α→0
0.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A condicao de que φ(~x, t) extremiza a acao:
δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] =α→0
0.
Como no caso do sistema de 1 partıcula, definimos:
G(α) ≡
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(φ+ αη, ∂µ(φ) + α∂µ(η);~x, t;α).
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A condicao de que φ(~x, t) extremiza a acao:
δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] =α→0
0.
Como no caso do sistema de 1 partıcula, definimos:
G(α) ≡
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(φ+ αη, ∂µ(φ) + α∂µ(η);~x, t;α).
Reescrevemos a condicao de extremo da acao, em α = 0, como:
∂G(α)
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0 ⇒∂S[Φ;α]
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A condicao de extremo de S[Φ;α]:
∂S[Φ;α]
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0,
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A condicao de extremo de S[Φ;α]:
∂S[Φ;α]
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0,
aplicada a forma integral da acao:
∂S[Φ;α]
∂α=
∂
∂α
[∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)
]
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A condicao de extremo de S[Φ;α]:
∂S[Φ;α]
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0,
aplicada a forma integral da acao:
∂S[Φ;α]
∂α=
∂
∂α
[∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)
]
=
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x
{∂L
∂Φ
∂Φ
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂x
)∂(∂Φ∂x
)
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂y
)
∂(∂Φ∂y
)
∂α
+∂L
∂(∂Φ∂z
)∂(∂Φ∂z
)
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂t
)∂(∂Φ∂t
)
∂α
}
= 0,
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
A condicao de extremo de S[Φ;α]:
∂S[Φ;α]
∂α
∣∣∣∣α=0
= 0,
aplicada a forma integral da acao:
∂S[Φ;α]
∂α=
∂
∂α
[∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)
]
=
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x
{∂L
∂Φ
∂Φ
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂x
)∂(∂Φ∂x
)
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂y
)
∂(∂Φ∂y
)
∂α
+∂L
∂(∂Φ∂z
)∂(∂Φ∂z
)
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂t
)∂(∂Φ∂t
)
∂α
}
= 0,
Na regra da cadeia tratamos: Φ, ∂t(Φ), ∂x(Φ), ∂y(Φ) e ∂z(Φ), comovariaveis independentes.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Utilizamos a notacao de soma implıcita para escrever de formacompacta os termos do l.d. da integral:
∂L
∂(∂Φ∂x
)∂(∂Φ∂x
)
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂y
)
∂(∂Φ∂y
)
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂z
)∂(∂Φ∂z
)
∂α+
∂L
∂(∂Φ∂t
)∂(∂Φ∂t
)
∂α
=∂L
∂(∂µΦ)
∂(∂µΦ)
∂α.
onde µ = 0, 1, 2, 3.
Nao podemos esquecer:
∂0 =∂
∂(ct)=
1
c∂t; ∂1 =
∂
∂x= ∂x; ∂2 =
∂
∂y= ∂y; ∂3 =
∂
∂z= ∂z.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Lembrando:
Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒
⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Lembrando:
Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒
⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
Assim:
∂(∂µΦ)
∂α=
∂
∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Lembrando:
Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒
⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
Assim:
∂(∂µΦ)
∂α=
∂
∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]
=∂
∂α[∂µ(φ(~x, t))]
︸ ︷︷ ︸
0
+
(∂α
∂α
)
︸ ︷︷ ︸
1
· ∂µ(η(~x, t) + α∂
∂α[∂µ(η(~x, t))]
︸ ︷︷ ︸
0
.
Portanto:
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Lembrando:
Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒
⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
Assim:
∂(∂µΦ)
∂α=
∂
∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]
=∂
∂α[∂µ(φ(~x, t))]
︸ ︷︷ ︸
0
+
(∂α
∂α
)
︸ ︷︷ ︸
1
· ∂µ(η(~x, t) + α∂
∂α[∂µ(η(~x, t))]
︸ ︷︷ ︸
0
.
Portanto:
∂(∂µΦ)
∂α= ∂µ(η(~x, t), µ = 0, 1, 2, 3.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Reescrevemos a condicao de extremo de S como:
I ≡
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x
{∂L
∂Φη(~x, t) +
∂L
∂(∂Φ∂x
)∂η(~x, t)
∂x+
∂L
∂(∂Φ∂y
)∂η(~x, t)
∂y+
+∂L
∂(∂Φ∂z
)∂η(~x, t)
∂z+
∂L
∂(∂Φ∂t
)∂η(~x, t)
∂t
}
= 0.
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Princıpio de Hamilton para campos classicos
Reescrevemos a condicao de extremo de S como:
I ≡
∫ tf
t0
dt
∫
V∞
d3~x
{∂L
∂Φη(~x, t) +
∂L
∂(∂Φ∂x
)∂η(~x, t)
∂x+
∂L
∂(∂Φ∂y
)∂η(~x, t)
∂y+
+∂L
∂(∂Φ∂z
)∂η(~x, t)
∂z+
∂L
∂(∂Φ∂t
)∂η(~x, t)
∂t
}
= 0.
Para cada funcao arbitraria η(~x, t), as suas derivadas: ∂tη(~x, t),